TEORIA DELLA RISONANZA MAGNETICA NUCLEARE

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1 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria EORIA DELLA RISONANZA AGNEICA NUCLEARE Basi fisiche della risonana magnetica nucleare In natura esistono cariche elettriche isolate positive (protoni) e cariche elettriche isolate negative (elettroni) la cui carica è misurata in coulomb ma non esistono cariche magnetiche isolate. Si definisce dipolo elettrico l insieme di due cariche elettriche di segno opposto separate da una distana d. Il dipolo elettrico è caratteriato tramite il vettore momento di dipolo elettrico definito come: p = q d, dove il vettore d è diretto dalla carica negativa a quella positiva. Il momento di dipolo elettrico si misura in debe (D) = (C m). In natura non esistono dei veri dipoli elettrici tuttavia molte molecole hanno un baricentro delle cariche positive posto ad una distana d dal baricentro delle cariche negative e quindi hanno un comportamento tipo dipolo elettrico. Se si considera una spira circolare di raggio R ed area S = R percorsa da una corrente I questa struttura può essere considerata come un dipolo magnetico con associato un vettore momento di dipolo magnetico dato da m = R I n (A m ) dove n è il versore normale alla superficie della spira orientato, rispetto alla corrente, secondo la regola della mano destra. In natura sono presenti dipoli magnetici orbitali e dipoli magnetici di spin. I dipoli orbitali sono associati alla rotaione dell elettrone intorno al nucleo. Questa rotaione dà luogo ad una corrente e quindi ad un momento di dipolo magnetico orbitale. Il dipolo magnetico di spin, invece, è associato alla rotaione degli elettroni dei protoni o dei neutroni intorno al loro asse. Anche in questo caso se pensiamo la carica dell elettrone del protone e del neutrone (uguale carica positiva e negativa) disposta sulla superficie di una sfera, si comprende come la rotaione di queste cariche intorno al proprio asse dia luogo a tante piccole correnti su percorsi circolari e quindi ad un momento di dipolo magnetico. Per avere un momento magnetico risultante è però necessario che l atomo abbia un numero dispari di elettroni di protoni o di neutroni. Sostane con un numero dispari di elettroni sono quelle paramagnetiche come ad esempio i radicali liberi presenti nel nostro organismo. Queste molecole sono il bersaglio di una tecnica detta risonana di spin elettronico (ESR).

2 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria ra tutti gli atomi, circa /3 sono dotati di un nucleo con un numero dispari di protoni o di neutroni e quindi possiedono uno spin nucleare. Queste sostane sono il bersaglio della tecnica di risonana magnetica nucleare (RN in italiano o RI = magnetic risonance imaging in inglese). Come detto in precedena, in questo caso il nucleo può essere rappresentato come una sfera in rotaione su se stessa dotata di momento angolare di spin K (Figura ). K m Figura Al momento angolare è associato un momento magnetico (*) : m = K () Dove è detto fattore o rapporto giromagnetico e dipende dalla carica e dalla massa del nucleo di ciascun elemento atomico, del quale è caratteristico essendo: = q / m () Per i protoni il rapporto giromagnetico è di 4.58 H/tesla (= Rad/(Gs)). A titolo di confronto per l'elettrone libero il rapporto giromagnetico vale (**) -76 GH/tesla. In particolare, tra tutti gli atomi l idrogeno (il cui nucleo è costituito da un protone singolo) è particolarmente abbondante nei tessuti biologici (essendo tra l altro presente nella molecola dell acqua) e, come vedremo nel seguito, sarà il principale responsabile delle immagini RN standard. uttavia si possono ottenere immagini di risonana a partire da tutti (*) Per una massa puntiforme che ruota velocità angolare a distana r da un punto si ha K = r p = r m v e quindi se r e v sono perpendicolari : K = mr [kg s - m ] (**) = q / m [C / kg] = [A s / kg] analogamente [H / ]= [s - / Wb/m ] = [m / s V s] ma: V I = [ J / s] = [N m / s = kg m/s m/s -> V = kg m /s 3 A, e quindi [H / ] = [A m s 3 / s kg m ] = [A s / kg] inoltre: 4.58 H/tesla = 458 H/G = 458 [Rad /G s ] = 675 [Rad /G s]

3 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria gli atomi che hanno un numero di protoni dispari come quelli riportati nella tabella seguente ed in particolare sono stati già sviluppati sistemi di risonana basati sugli atomi di sodio e di potassio che risultano utili a causa del ruolo importante svolto da questi atomi negli ambienti intra- ed etra-cellulari. Elemento Isotopo spin Frequena H ad tesla Idrogeno H / 4.6 Carbonio 3 C /.7 Fluoro 9 F / 4. Sodio 3 Na 3/.6 Potassio 39 K 3/.98 Dal punto di vista macroscopico, se si considera un sistema composto da N atomi dotati di momenti magnetici elementari identici, il loro comportamento globale può essere descritto tramite il vettore intensità la magnetiaione che rappresenta il momento di dipolo magnetico per unità di volume definito come: lim mi (3) V V dove il limite vale per un volume che contenga un numero significativo di atomi in modo da poterne calcolare una proprietà media (*). Poiché questi atomi sono orientati in tutte le possibili direioni (Figura ) il momento magnetico risultate sarà nullo. Figura = (*) si ricorda che si ha: B = (H + ). Le dimensioni di sono [A/m] mentre B si misura in tesla []. tesla sono 4 gauss, = 4 G. Inoltre si ha.8 A/m. Il campo magnetico terrestre vale circa.5 G. 3

4 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Campo magnetico statico, precessione, frequena di Larmor La presena di un campo di induione magnetica B genera una coppia di fore (momento torcente) pari al prodotto vettoriale m B, per cui il momento angolare varia nel tempo secondo la relaione: d oltiplicando ambo i membri per si ottiene: K m B (4) d m m (5) B Supponendo che sia B = B e posto m = m m m, si ha: d(m m m ) m m m B Da cui segue: Posto dm mb dm mb dm (6) = B (7) pulsaione di Larmor o pulsaione di risonana giromagnetica (positiva perché è positivo), si ha: 4

5 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria dm dm m m m cos t Questo è il tipico sistema di equaioni di un moto circolare uniforme. Derivando la prima si ottiene: (8) E quindi: m d m A cos m t Bsin t m dm A sin t Bcos t Posto m (t ) m () A m (t ) m () B m (t ) m () Si ha: m m Y X (t) m X (t) m () cos t m X () sin t m m Z (t) m Z () Y Y () sin t () cos t (9) Il moto descritto dalle eq. (9) è un moto precessionale attorno alla direione del campo magnetico (Figura 3) con velocità angolare ω. 5

6 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria B m m Figura 3 Il vettore ruota sulla superficie di un cono il cui asse coincide con B (in questo caso ). Per qualunque valore di m() e m() la base del cono è una circonferena. Ad esempio con m() = si ha: m = m()cost e m = -m()sent il vettore descrive una circonferena in verso orario (sarebbe antiorario per l elettrone). Si noti che l energia magnetica del protone sarà: Em = -m B, quindi il moto di precessione avviene ad energia costante perchè la proieione di m su B non cambia. A livello macroscopico in presena di un campo di induione magnetica statico B tutti i dipoli magnetici iniiano a ruotare (moto precessionale). Gli spin nucleari in precessione dell idrogeno possono assumere due possibili orientamenti, rispetto alle linee di flusso del campo B, parallelo ed antiparallelo, cui corrispondono rispettivamente un livello energetico inferiore, più stabile, ed uno superiore, meno stabile (*) (Figura 4). L agitaione termica, crea uno scambio continuo di spin tra i livelli parallelo e antiparallelo si ha però complessivamente una leggera prevalena di spin paralleli (**) e quindi la nascita di una componente (Figura 5b). (*) Se si indica con E l energia magnetica media del sistema; in presena di B si ha: E = E m B. Si ha cioè uno sdoppiamento del livello energetico tra un livello a più bassa energia associato agli spin paralleli (E = E m B) ed uno a più alta energia associato agli spin antiparalleli (E = E +m B). (**) Gli spin paralleli sono circa lo.3% in più di quelli antiparalleli. In un volume di mm 3 ci sono circa protoni, quindi in valore assoluto la differena è consistente. 6

7 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Parallelo Antiparallelo Figura 4 X = Y = Z (a) Figura 5 (b) eq B ep K B ep K Viceversa nel piano - gli spin sono orientati in tutte le direioni (non sono in fase tra di loro) e quindi la magnetiaione risultante sarà nulla (Figura 5a). 7

8 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Quindi il vettore non appare in precessione perché alla sua costituione contribuiscono solo le componenti longitudinali dei vettori microscopici m e non le loro componenti trasversali, le quali si annullano reciprocamente; infatti gli spin precedono alla stessa frequena ω in un campo omogeneo B, ma non sono in fase tra loro. Equaioni di Bloch per la magnetiaione: evoluione libera L analisi svolta suppone l assena di perdite. D'altra parte, noi sappiamo che per tempi lunghi tende ad un valore di equilibrio eq. Questo fenomeno si chiama rilassamento. Per tenere conto del rilassamento Bloch ha proposto le seguenti equaioni per la magnetiaione come estensione delle eq. (6): d d d X BY BX Z eq Y () In questo modello si suppone che la magnetiaione totale = X + Y+ Z sia stata portata fuori equilibrio (X, Y, Z eq). I parametri e sono chiamati rispettivamente tempo di rilassamento longitudinale o spin-lattice (spin-reticolo) e tempo di rilassamento trasversale o spin-spin. I tempi di rilassamento per le componenti X, Y devono essere uguali tra di loro e diversi da quello per la componente Z a causa della simmetria assiale del sistema determinata dal campo magnetico statico. La soluione delle () può essere ottenuta facilmente considerando le combinaioni ± = X ± jy. Sommando e sottraendo la prima delle () e la seconda moltiplicata per j si ottiene 8

9 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria d d j B jb j () d j j j j j () L equaione () ammette la soluione: (t) ()e ( jt t / ) ()e ( jt ) e ( t / ) Quindi si ha: t t (t) ()e cos t j ()e sin t ovvero: t ()e cos t t (3) ()e sin t corrispondente ad un moto armonico smorato. In Figura 6a è mostrato l andamento nel tempo delle componenti e. Il decadimento, che avviene con costante di tempo è detto decadimento indotto libero (Free Induction Deca = FID). In Figura 6b è riportata l evoluione della componente traversa t = + o che descrive un moto a spirale (in verso orario). 9

10 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria (a) (b) Figura 6 Per la componente si ha: d eq e posto = - eq si ha d (t) Ce t eq E quindi: (t) eq Ce t Per t= si ha: (t) = () = eq + C e quindi: C = () eq per cui risulta: eq eq t (t) ( () ) e (4) Quindi la componente ha un andamento esponeniale (con costante di tempo ) del tipo di quello mostrato in Figura 7 (agnetiation Recover).

11 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria eq () t Figura 7 Combinando le componenti traverse e longitudinali si ha l andamento riportato in Figura 8. Figura 8 In conclusione la situaione finale sarà ancora quella riportata in Figura 5b.

12 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Equaione della RN completa: evoluione forata Consideriamo ora l effetto di un campo di induione magnetica B oscillante ortogonale a B (Figura 9). Figura 9 Supponiamo il campo B polariato linearmente nel piano,. E' conveniente indicare con la sua direione al tempo t =. Come è noto, un campo polariato linearmente può essere scomposto nella somma di due campi polariati circolarmente, uno in verso orario e l'altro in verso antiorario. E' sufficiente considerare solamente la componente rotante nello stesso verso della precessione della magnetiaione, che dà luogo al fenomeno di risonana quando la frequena del campo oscillante è pari alla frequena di Larmor (nel caso del protone la precessione avviene in verso orario). Pertanto possiamo scrivere (vedi Eqq. 9 e 3): B (t) B ( cos t sin In questo caso B = B + B e le equaioni () divengono: t) d B Bloch e risulta:

13 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria B cos t B B (5) sin t B e quindi si ha: d Y B Z B sin t X d X B Y ZB cos t (6) Posto: d X B Z sin t YB cos t eq si ha: = B (7) d Y Z sin t X d X Z cos t Y d X sin t Y cos t Z eq (8) Il metodo tradiionale per risolvere sistemi di equaioni lineari con i coefficienti dipendenti dal tempo consiste nell'effettuare una trasformaione di coordinate tale da eliminare questa dipendena. Nel nostro caso questa trasformaione è ottenuta passando ad un sistema di riferimento rotante concordemente al campo magnetico oscillante (in verso orario). Le nuove coordinate,, sono date da: 3

14 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria ' ' X sent X t Y cost. X cost Y sent ' cost ' sint ' sint cost ' per cui, moltiplicando la (8) per cost e sent e sommando; ovvero per -sent e cost e sommando, si avrà: 'cos t ' sin t 'cos t ' ' sin t cos t sin t sin t cos t Le relaioni che legano a e B a B nei due sistemi sono date da: ' ' ' (9) cos t sin t ' ' cos t ' sin t sin t cos t ' ' sin t ' cos t () ' ' B cos t sin t B ' B' cos t B' sin t B B sin t cos t B ' B' sin t B' cos t () B B ' B' Sostituendo le () () nella (6) ed operando le derivate dei prodotti si ha d ' cos t ' ' sin t d sin t ' ' cos t sin t ' ' sin t cos t ' cos t ' sin t () 4

15 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria d ' d ' sin t ' ' cos t d cos t ' ' sin t cos t ' ' cos t sin t ' sin t ' (3) cos t ' eq ' cos t sin t ' sin t ' sin tcos t ' cos t (4) oltiplicando la prima equaione per cost e la seconda per -sint e sommando si ha: d ' ' ' ' (5) oltiplicando la prima equaione per sint e la seconda per cost e sommando si ha: d Infine dalla tera si ha: ' ' ' ' ' (6) d In questo sistema di coordinate le (6) divengono: ' ' eq ' (7) d d ' d ' ( ' ( ) ' ) ' ' ' ' ' eq ' (8) Come si vedrà nel seguito, le equaioni di Bloch nel sistema rotante possono essere risolte facilmente in una varietà di condiioni, corrispondenti a diversi tipi di esperimenti possibili nella RN. 5

16 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Soluioni dell equaione di Bloch: Esperimento impulsato In un esperimento impulsato il campo magnetico oscillante B(t) è applicato solamente per un periodo a partire dall'istante t =. Si assume che l'impulso sia ideale, e che sia esattamente in risonana: = ω. Studiamo l'andamento della magnetiaione tramite le (8) nell ipotesi = ω si ha:: d' ' d' ' ' d ' ' ' eq (9) t / Risolvendo la prima delle (9) si ha: (t) Ce () e. In un intervallo di ' tempo molto breve rispetto ai tempi di rilassamento e risulta: (t) () e (t). Quindi in definitiva nell ipotesi di fenomeni che evolvono in tempi brevi rispetto a ' eq e si possono trascurare i termini in cui intervengono e e la (9) diventa: ' t / ' ' d d d ' ' ' Il sistema (3) è simile al (6) per cui la soluione sarà data da: ' ' (3) ' ' ' (t) () ()cos t ' ' ()sin t ' ' ()sin t ()cos t La magnetiaione descrive un moto armonico alla pulsaione in verso sinistro rispetto ad. Al tempo la magnetiaione risulta ruotata di un angolo θ = = B rispetto alla direione all'istante iniiale (Figura ). Quindi la rotaione dipende dall intensità del campo B e dal tempo di applicaione. ' (3) 6

17 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria () () Figura Se i valori iniiali corrispondono al valore di equilibrio determinato dal campo B, ovvero () = () =, () = eq, al tempo / = /(ω) la magnetiaione è diretta lungo l'asse del sistema rotante (impulso /) (Figura a), mentre al tempo = /ω è diretta lungo - (impulso π) (Figura b). Quindi per far ruotare la magnetiaione si può agire sia sull ampiea di B che sulla durata dell impulso. Ad esempio per far ruotare la magnetiaione di / per un certo B risulta / = /(B) ma se si aumenta B il / si riduce. (a) Figura (b) 7

18 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Se si considera l estremo del vettore nel sistema di riferimento iniiale, al variare del tempo questo estremo descrive nello spaio un moto (detto di nutaione) come quello riportato in Figura a (a) Figura (b) Le componenti e invece hanno nel tempo l andamento riportato in Figura 3. Come si vede dalla Figura b, al variare della durata di il fenomeno prosegue. In particolare al tempo = /ω il vettore ritorna ad essere parallelo a B. Se, una volta eccitato il sistema, si toglie il campo magnetico oscillante (B = ), e per tempi brevi rispetto ai tempi di rilassamento, la soluione delle (8) per la magnetiaione nel campo rotante è: ' ' ' (t) (t) (t) ' ' ' () () () Nel sistema rotante il vettore è fermo, mentre nel sistema fisso si ha una precessione alla pulsaione di eccitaione ω = ω. Al crescere del tempo non sono più trascurabili e e il sistema ritorna in equilibrio come mostrato in Figura 8 (evoluione libera). 8

19 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Il risultato delle (9)-(3) è da considerarsi valido anche quando il campo oscillante non sia esattamente in risonana ( ), in concordana col noto risultato della teoria di Fourier dei segnali secondo cui un impulso di frequena f=/ e di durata (a mea altea) contiene tutti i valori di frequena in un intervallo di ampiea / intorno al valore centrale (Figura 3). B(t) B(f) f = / t f = / f = 64 H f Figura 3 Nel caso ωω la parte di eccitaione va come per il caso =, ma, una volta tolto il campo B (ω = ), il termine (ω - ω) non è più trascurabile e per tempi brevi rispetto ai tempi di rilassamento nel sistema rotante, si deve risolvere il sistema (8) e si avrà: ' (t) ' () cos( )t ' () sin( )t ' (t) ' () sin( )t ' () cos( )t (3) ' (t) ' () Quindi si avrà una lenta rotaione in verso orario (ω > ω) o antiorario (ω < ω) nel piano - per cui nel sistema fisso si avrà una precessione con velocità angolare rispettivamente maggiore o minore rispetto alla velocità del sistema rotante (ω). (ad esempio se f = 63.9 H e f = 64. H, f - f = kh orario nel sistema rotante e si ha f = 64. H nel sistema fisso). Si noti che in questo caso il moto di tutti i dipoli avviene sotto il controllo del campo a radiofrequena e quindi avviene in fase. 9

20 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Analisi dei tempi di rilassamento Si noti preliminarmente che il sistema che stiamo considerando è costituito da un insieme si dipoli magnetici (spin dei protoni nei nuclei di idrogeno) immersi in un ambiente (reticolo che rappresenta tutto il resto ) che può essere considerato come una sorta di termostato con cui il sistema di spin è in contatto. Gli spin possono scambiare energia (interagire) tra di loro (interaione interna o spinspin) o con l ambiente esterno (interaione esterna o spin-reticolo). E solo l interaione esterna (spin-reticolo) che può mutare l energia totale del sistema, e quindi può mutare la componente lungo la direione del campo B del vettore (Em = - B). Il campo B crea una magnetiaione trasversale perché fa ruotare in fase i dipoli. L interaione spin-spin è in grado di riportare a ero nel processo di riequilibrio interno, una qualunque magnetiaione trasversale e in quanto fa perdere la coerena di fase. La riequilibraione interna è caratteriata da un tempo proprio detto tempo di rilassamento trasversale Il campo B può anche variare Z variando il numero di spin paralleli o antiparalleli al campo statico. Gli scambi energetici con il reticolo fanno sì che la componente possa ritornare al valore di equilibrio. Questo processo, detto rilassamento spin-reticolo, determina il tempo di rilassamento longitudinale. Si noti che sarà in generale, in quanto il rilassamento della componente longitudinale della magnetiaione richiede che vi sia uno scambio di energia tra il sistema di spin ed i gradi di libertà esterni. In altri termini risulta > dato che non è possibile avere equilibrio con l esterno se prima non vi è anche equilibrio interno. I due tempi di rilassamento devono tendere allo stesso valore quando B tende a ero. I tempi di rilassamento e stanno alla base delle immagini ottenibili nella Risonana agnetica. Infatti, mentre la densità dei nuclei di Idrogeno, che rappresenta evidentemente il primo parametro misurabile, varia relativamente poco nell ambito dei tessuti biologici, i tempi e assumono margini di variabilità molto elevati non solo nell ambito dei diversi tessuti, ma anche, per ciascuno, nel passaggio da stato sano a stato patologico.

21 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Il rilassamento longitudinale è favorito, cioè il è più breve, quando le fluttuaioni delle molecole dell ambiente circostante (il reticolo) avvengono a frequene vicine a quelle di Larmor. Ciò avviene soprattutto nei tessuti biologici in cui sono presenti macromolecole. Nei liquidi puri le fluttuaioni rapide delle piccole molecole d acqua, e nelle strutture solide le lente fluttuaioni delle macromolecole, rendono il rilassamento più lento e quindi più lungo il. Nei tessuti biologici (e per valori di B di circa. esla) la durata di varia nell ambito di alcune centinaia di millisecondi. Nel caso di liquidi a temperatura ambiente è compreso tra e s mentre per i solidi è molto maggiore. Ad esempio per l acqua = 3.6 s mentre per il ghiaccio a basse temperature è di ore. Il rilassamento trasversale è favorito invece quando vi sono disomogeneità nell intensità del campo magnetico circostante, per cui sarà più breve. Le disomogeneità sono create dai movimenti molecolari. I rapidi movimenti delle molecole d acqua, nei liquidi puri, si mediano tra loro per cui il campo è più omogeneo ed il è più lungo. I lenti movimenti delle macromolecole in sospensione o nei tessuti solidi rendono il campo magnetico più disomogeneo ed il si accorcia. varia nell ambito delle decine di millisecondi. Nei liquidi puri si allunga sino a raggiungere ma non può ovviamente superarlo (non è possibile avere equilibrio con l esterno se non vi è anche equilibrio con l interno). Alcuni valori tipici dei tempi e dei tessuti a.5 esla sono riportati nella seguente tabella: ESSUO (ms) (ms) Grasso 9 8 Fegato ila 76 4 uscoli ateria grigia 85 Sangue CSF 5 5

22 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria isura dei tempi di rilassamento Se con un impulso RF si ruota il sistema di spin di un certo angolo e poi si rimuove la RF, la magnetiaione descrive l andamento riportato in Figura 4.. (a) Figura 4 * (b) Quindi per la componete si ha un recupero esponeniale mentre per la componente si ha una oscillaione smorata. La tecnica RN si basa sull uso di bobine per l eccitaione del sistema di spin tramite brevi impulsi RF. Una volta spento il campo RF le stesse bobine (sistemi a singola bobina single coil) o altre bobine (sistemi a doppia bobina double coil) sono utiliate per misurare il segnale prodotto dal successivo decadimento transitorio (*). uttavia gli andamenti riportati in Figura 4a mostrano che con questa tecnica non è possibile misurare il tempo in quanto la sua variaione temporale è troppo lenta e non induce alcuna tensione appreabile nella bobina. Il segnale riportato in Figura 4b, viceversa, è in grado di indurre una tensione nella bobina dalla quale è possibile risalire al tempo. uttavia, in un semplice esperimento come quello sopra riportato non si misura il parametro ma un altro parametro *. (*) Ai capi della bobina, di seione S e numero di spire N, disposta ortogonalmente alla magnetiaione si induce un fem data da: d db do fem NS NS dove S è supposta piccola rispetto alle variaioni di.

23 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Questo è dovuto al fatto che anche piccolissime disomogeneità del campo statico possono ridurre drasticamente. Supponiamo, ad esempio, che B sia uguale a 5 gauss (.5 ) e abbia una disomogeneità dell ordine di -6 ovvero B = 5-3 gauss. Ciò fa sì che, uno volta tolto il campo B, i diversi protoni possano precedere con una velocità angolare che differisce di = 5-3. Per il protone = 8. per cui = 4 s -. Per cui due nuclei che erano in fase ad un dato istante saranno in opposiione di fase dopo un tempo * dato da *= ovvero * = ms, quindi in un tale lasso di tempo avverrà che la componente trasversale di andrà a ero. Poiché il tempo di rilassamento effettivamente misurato è dovuto a cause esterne (campo magnetico esogeno) al sistema di spin, viene indicato con * e non con, riservando tale simbolo al tempo di rilassamento trasversale intrinseco del sistema stesso (campo magnetico endogeno). In conclusione misurando il FID si può avere solo un informaione sull andamento temporale del segnale ed in particolare sul suo valore massimo che è legato alla densità dei protoni. Per valutare anche i parametri e si ricorre a sequene di impulsi. Le tecniche impulsate permettono di misurare il tempo di rilassamento longitudinale e quello trasversale. Di seguito saranno descritte la tecnica 9-FID per la misura della densità protonica, la tecnica di inversione e recupero (inversion and recover) per la misura di, quella detta di spin-eco per la misura di, e la tecnica di spin eco ripetuta con la quale è possibile valutare sia che e. Sequena 9-FID In questo tipo di sequena si applica un impulso a 9 che determina la rotaione della magnetiaione e subito dopo si va a leggere il FID (vedi Figura 5). Z = eq = eq (a) (b) (c) Figura 5 3

24 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Dalla misura del FID è possibile avere un informaione sulla densità protonica. Infatti, lo spettro del segnale in tensione ai capi di una bobina disposta ad esempio ortogonalmente a avrà un andamento del tipo t * e sin t con un ampiea data da: S = eq = C eq proporionale alla densità protonica (). Questa ampiea può essere valutata dall ampiea dello spettro del FID. Come si vede in Figura 6 un segnale esponeniale decrescente ha uno spetto la cui parte reale e una Loreniana mentre lo spettro di un coseno a pulsaione è costituito da due impulsi di Dirac a pulsaioni. Se i due segnali nel tempo sono moltiplicati, dando luogo all andamento temporale del FID, si ha in frequena una convoluione. L ampiea delle Loreniana è proprio pari ad S = eq = C. Figura 6 4

25 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Sequena Inversione e recupero La magnetiaione, iniialmente all'equilibrio ( = eq), viene invertita con un impulso (ovvero tale da ribaltare la magnetiaione di 8 ) (vedi Figura 7 a, b e Figura 8). = eq =- eq = eq(-ep(-/ )) = eq(-ep(-/ )) (a) (b) (c) (d) Figura 7 eq / Figura 8 Come visto in precedena la durata di tale impulso è pari a /B. Alla fine dell impulso ci si trova con = - eq. A partire dall' istante t = + in cui termina l'impulso la componente recupera verso il valore di equilibrio con andamento esponeniale dato in base alla (4) da: t / t / (t) ( () )e e ( e ) (33) eq eq eq eq eq t / Se trascorso il tempo (detto anche tempo di inversione I) dall iniio del rilassamento longitudinale, si applica un impulso a 9, il valore di, che c è al momento, viene ribaltato 5

26 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria di 9 dando luogo ad un diretto lungo (Y in Figura 7c, d e Figura 8) di pari valore, dato quindi da: / ( ) ( ) ( e ) (34) / eq che, causa la precessione ad alta frequena, è in grado di generare un segnale a radiofrequena nella bobina ricevente proporionale alla sua ampiea dato da S ( / C e ). Per valutare la costante di tempo si deve attendere che il sistema ritorni in equilibrio e poi si fa un altra scansione con un diverso ottenendo: S ( / C e ). In conclusione, con due di tali misure a diversi è possibile ricostruire la curva di decadimento esponeniale ed ottenere quindi. Cioè il parametro può essere ottenuto con un fit non-lineare dell eq. (34). E interessante notare che con questa tecnica è possibile annulalre il segnale proveniente da un tessuto con costante di tempo semplicemente scegliendo ln. Infatti, così facendo si ottiene: S C( e ln/ ln ) C( e ) C( /) (35) Quindi il segnale proveniente dal scelto viene annullato. Questa tecnica si utilia ad esempio per la soppressione del grasso scegliendo = 5 7 ms. Sequena spin-echo Il valore del tempo di rilassamento trasversale può essere ottenuto con un esperimento di spin-echo come quello riportato nelle Figure 9-. Consideriamo un sistema costituito da spin aventi frequene di Larmor i centrate attorno ad un valore medio (i per effetto delle fluttuaioni del campo Bo). All'equilibrio la magnetiaione di tutti gli spin è diretta lungo l'asse. Assumiamo, per semplicità, che il valore di equilibrio della magnetiaione di questo pacchetto sia pari ad uno (Figura 9a e a). Un impulso / all'istante t = genera una magnetiaione lungo l'asse (Figura 9b e b). 6

27 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Prendiamo come riferimento un sistema d'assi ruotante con la frequena del campo oscillante, e seguiamo l'evoluione nel tempo della magnetiaione degli spin i, considerando per ora degli intervalli di tempo brevi rispetto ai tempi di rilassamento, così da ignorare i termini dissipativi delle equaioni di Bloch. Nel piano - alcuni spin stanno ruotando in verso orario ed altri in verso antiorario (la loro pulsaione di Larmor cambia da punto a punto per effetto delle variaioni del campo statico esterno). Dopo un tempo il vettore magnetiaione si trova nel piano -, ma con una fase pari a i = ( - i ) (eq. 3) (Figura 9c). A titolo di esempio In Figura c abbiamo considerato lo spin + che ruota in verso orario e lo spin - che ruota in verso antiorario. Inoltre la velocità dello spin è maggiore di quella dello spin. Nel tempo questi sfasamenti danno luogo ad un decadimento del FID con una costante di tempo * (Figura ). A questo punto viene applicato un nuovo impulso, tale che la magnetiaione venga rovesciata di nel piano (cambia segno solo ) (Figura 9d e d). In questo modo, i dipoli magnetici che erano in ritardo, ora si trovano in anticipo, e viceversa. Nell'evoluione successiva, che avviene ancora secondo la eq. (3), lo sfasamento viene compensato, di modo che all'istante la magnetiaione si trova allineata con la direione - (Figura 9e, e, tempo = e in Figura ). Si è generato a t = un eco del segnale presente a t =. Questo fenomeno può anche essere visto nel sistema di riferimento --. In questo sistema, dopo l applicaione del secondo impulso, gli spin più veloci diventano gli ultimi e dopo un tempo raggiungono i più lenti (che erano diventati i primi). E' importante notare che l'eco avviene indipendentemente dal segno e dall'entità dello sfasamento, purché l'impulso a t = sia effettivamente tale da rovesciare di tutti i pacchetti di spin con diversa frequena di risonana. Il risultato di questa analisi mostra che si può creare artificialmente, con l'uso di opportuni impulsi a microonde, una situaione in cui il valore della magnetiaione al tempo t = è esattamente quello che si otterrebbe se i pacchetti di spin fossero esattamente focaliati. L'intensità dell'eco in realtà è minore del valore iniiale, a causa del decadimento dovuto a. In particolare, l ampiea del segnale indotto in una bobina disposta ortogonalmente all asse delle sarà:. 7 S e / E C. Pertanto, applicando un secondo impulso a 8 a E + e leggendo il secondo FID a E si ottiene: S e / E C per cui, interpolando le due misure si può ottenere il valore effettivo di

28 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Evoluione della magnetiaione durante Spin Eco a) equilibrio termico - =, =, = b) Impulso / + =, =, = c) evoluione libera - = sin i, = cos i, = d) Impulso + = sin i, = -cos i, = e) evoluione libera = sin i cos i -cos i sin i = = -sin i - cos i = - = Figura 9 (a) (b) (c) (d) (e) Figura Figura 8

29 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Sequena spin-echo ripetuta In questo caso, la sequena spin eco, costituita da un impulso a 9 seguito da uno a 8 e dalla lettura del FID al tempo E (tempo di eco) viene ripetuta trascorso un tempo R (tempo di ripetiione) maggiore di E dall iniio del primo impulso (Figura ). R E Figura Figura 3 9

30 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Iniialmente la magnetiaione è diretta secondo e si ha = eq (punto in Figura 3). L applicaione del primo impulso a 9 ruota la magnetiaione lungo (punto ). A questo punto, la componente partendo dal valore ero iniia a crescere verso il suo valore di equilibrio. rascorso il tempo R la componente raggiunge il valore (R)=eq(-ep(-R/) punto 3). A questo punto si applica un secondo impulso a 9 e si crea una (punto 4) e dopo il successivo impulso a 8 si crea il secondo eco (punto 5) e si ha: =eq( ep( R/))ep(-E/). La lettura di questo secondo eco dà luogo ad un segnale di ampiea che parte da ero e di una spin echo) S R / E / C ( e ) e. (E la combinaione di un recover Quindi in questo segnale sono contenute le informaioni su tutti e tre i parametri, e. Per capire come questo segnale possa essere sfruttato è utile riportare su di una scala arbitraria l evoluione della magnetiaione longitudinale e di quella trasversale in funione dei tempi R (Fig. 4 a) e E (Fig. 4 b), per due tessuti del corpo umano. In particolare, in / Figura 4a si riporta l andamento del termine ( e R ) con in rosso l andamento del fluido cerebrospinale (CSF) ed in blu l andamento per il grasso mentre in Figura 4b si riporta l andamento del termine ( per il CSF. e E / ) con in rosso l andamento del grasso ed in blu l andamento (a) Figura 4 3 (b)

31 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria (a) (b) (c) Figura 5 Quindi, se si esegue una sequena di spin eco ripetuta con R lungo e E lungo (Figura 5a) il segnale che si registra è dato da S / E C e e quindi è essenialmente influenato dal parametro. In questo caso si parla di immagini pesate in (-Weighted). Viceversa, se si esegue una sequena di spin eco ripetuta con R breve e E breve R / (Figura 5b) il segnale che si registra è dato da S C ( e ) e quindi è essenialmente influenato dal parametro. In questo caso si parla di immagini pesate in (-Weighted). Infine, se si esegue una sequena di spin eco ripetuta con R lungo e E breve (Figura 5c) il segnale che si registra è dato da S C e quindi è essenialmente influenato dalla densità protonica. In questo caso si parla di immagini pesate in densità protonica (Proton Densit Weighted). Si noti infine che dall analisi della Figura 4 si evince che il contrasto, legato alla massima differena ottenibile tra i segnali provenienti dai vari tessuti, è massimo per particolari valori che per variano tra.3 e.5 s mentre per tra e 3 ms. 3

32 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Formaione delle Immagini RN Il segnale di RN registrato dalle bobine di riceione contiene informaioni sul numero degli spin in precessione nel campione (ampiea del segnale) e sull ambiente fisico-chimico in cui sono immersi (Rilassamento Spin-Spin e Spin-Reticolo tempo di decadimento del segnale). ale segnale non è però utiliabile per creare una mappa della disposiione degli spin, cioè un immagine, perché privo di informaioni spaiali. L informaione spaiale viene creata tramite un fenomeno di interaione indotta locale. In pratica si sovrappone al campo magnetico statico B (dell ordine di.-3. esla) un campo molto più debole (pochi m) variabile a gradiente linearmente con le direioni,,. Vediamo ora, separatamente l aione dei diversi gradienti. Immagini (Visione qualitativa) Se Bo è diretto lungo, l applicaione di un gradiente lungo l asse determina la seleione del piano immagine (GZ, slice selecting gradient). Infatti, durante l applicaione di un campo B a RF di banda ristretta, saranno eccitati solo gli strati perpendicolari a con frequena di risonana corrispondente alle frequene dei segnali contenuti nella banda RF. In Figura 6, ad esempio, il gradiente di campo varia linearmente da.4 ai piedi del paiente fino a.6 alla testa, di conseguena varia la frequena di precessione da 6 a 68 H. Per seleionare lo strato è sufficiente inviare impulsi con un range di frequene fra 64 e 65 H. Variando la durata dell impulso o il gradiente si può modificare lo spessore della fetta. H Figura 6 3

33 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Vediamo ora cosa succede se si applica un campo statico B nella direione ed un gradiente lungo la direione (Figura 7a). Il campo statico è sempre diretto lungo ma subisce una variaione di ampiea nella direione trasversale. Ipotiiamo che lungo siano disposti tre cilindri dielettrici con tre diverse sostane e quindi 3 diverse densità protoniche (Figura 7b). L intensità di campo statico effettiva sperimentata dagli spin varierà quindi da un minimo ad un massimo lungo l asse di applicaione del gradiente. In base all equaione di Larmor ω = B lungo il gradiente varierà linearmente anche la frequena di risonana degli spin. Se gli spin vengono eccitati con un campo B a RF di banda sufficientemente ampia, daranno luogo in una bobina ortogonale all asse o ad un segnale con un andamento armonico smorato (tutti con lo stesso *) alla frequena di risonana caratteristica di ogni punto lungo il gradiente, e di ampiea proporionale al numero degli spin presenti in ogni punto (Figura 7 c). Si è così giunti a codificare in frequena la posiione degli spin. Le codifiche in frequena della posiione degli spin non sono direttamente ricavabili all uscita della coil dove i segnali si sommano nel tempo (Figura 7d). Si fa quindi ricorso alla rasformata di Fourier che fornisce le componenti del segnale (Loreniane) in funione della frequena. Come si evince anche dalla Figura 7e ogni componente in frequena è correlata alla posiione del cilindro. Vediamo ora cosa succede se si applica un campo statico B nella direione ed un gradiente lungo la direione (Figura 8a). In questo caso, invece di considerare la frequena di risonana si tiene conto dell angolo di fase sviluppato dagli spin. Ad esempio nella spin echo classica questo angolo era pari a 8. In questo caso, gli spin, subiscono anche l aione di un gradiente nella direione (Figura 8a) per cui dopo un certo tempo E gli spin avranno sviluppato un certo angolo di fase (Figura 8c) (diverso da 8 ). In particolare, tolto il gradiente il campo magnetico generato dagli spin avrà componenti lungo di ampiea variabile a seconda della fase sviluppata. La posiione lungo l asse può essere codificata quindi anche secondo l angolo di fase. Il sistema tuttavia non riesce a misurare delle fasi ma solo delle frequene. Per ricostruire una frequena vengono effettuate più misure con diversi gradienti lungo. In questo modo si riesce, in ogni cilindro lungo l asse, a creare per punti una sinusoide connettendo tutti i valori di fase che si ottengono in quel cilindro al variare del gradiente (Figura 8d) (la frequena è legata alla posiione l ampiea alla densità protonica). 33

34 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria B() B (a) 3 (b) V(t) V(t) V(t) t t t t (c) V(t) (d) t V(f) (e) f Figura 7 34

35 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria B() B (a) 3 (b) t (c) (d) Figura 8 35

36 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Quest onda possiede una certa frequena (o pseudo frequena in quanto ottenuta indirettamente) diversa da quella dei cilindri adiacenti (in particolare quella del cilindro è la più bassa) che consente di individuare la posiione lungo del cilindro. In conclusione, la tecnica si esplica attraverso la ripetiione di un gruppo di tre operaioni elementari attuate in successione temporale e demandate nell ordine alla seleione dello strato (slice), alla codifica di fase e alla codifica di frequena. Queste sequene sono mostrate in Figura 9. Figura 9 Dopo l impulso RF che opera la slice selection (e che costituisce anche il primo impulso della sequena) si applica un gradiente lungo l asse (GY, phase encoding gradient). In questo periodo si codifica la posiione degli spin lungo sulla base dell angolo di fase sviluppato. Segue un gradiente lungo (GX, frequenc encoding gradient) e si crea una codifica in frequena della posiione degli spin lungo, rilevata operando la rasformata di Fourier del segnale così ottenuto. In conclusione, la codifica di posiione nel piano trasverso, viene ottenuta operando N volte la rasformata di Fourier lungo sulle N proieioni lungo del piano accumulate progressivamente nella memoria del computer di cui dispone l apparecchiatura per omografia a RN. Un intero volume può essere ricostruito seleionando altri piani e ripetendo per ciascuno di essi la procedura descritta sinora. 36

37 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Immagini (Visione quantitativa) Seleione della fetta (slice selection) lungo Il campo magnetico statico viene fatto variare con in base alla legge: BZ() = B + G dove GZ = dbz/d è il gradiente del campo lungo la direione. Di conseguena la pulsaione di risonana varierà con come: () = BZ() = (B + G) = B + G Figura 3 Come mostrato in Figura 3, l impulso a radiofrequena applicato per la rotaione degli spin avrà una certa banda f. In particolare se si indica con t la larghea dell impulso a radiofrequena (larghea a metà ampiea) e si indica con f la larghea del suo spettro, nell ipotesi di modulaione in ampiea di tipo Gaussiano risulta: t = /f. Inoltre risulta: = G da cui segue: = / G. Quindi la larghea della slice seleionata può essere ridotta riducendo (impulso più lungo) o aumentando G. 37

38 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Codifica in frequena (frequenc encoding) lungo alla legge: Per la codifica in frequena il campo magnetico statico viene fatto variare con in base BZ() = B + G Di conseguena la pulsaione di risonana varierà con come: () = BZ() = (B + G) = B + G Quindi il FID può essere espresso come: f(,t) S()cos[ ()t] dove S() è il segnale S valutato in precedena con le varie sequene che contiene i termini di decadimento esponeniale. Questo segnale è ora funione di perché dipende dalla distribuione della densità di protoni (). Nel seguito di questa analisi si pone: con f(,t) S()ep( j ()t Res(,t) Re s(,t) S() ep[ j (B G )t] Questo segnale è codificato in frequena (frequenc encoded) perché il suo spettro è correlato allo spaio (vedi visione qualitativa) e G è detto gradiente di codifica in frequena. Il segnale ricevuto dall intero campione sarà dato da: s(t) S() ep[ j (B G )t]d S() ep[ jgt]d ep[ jt] Codifica in fase (phase encoding) lungo Per la codifica in fase un gradiente di campo magnetico statico viene applicato per un tempo t e poi viene disattivato per cui si ottiene: 38

39 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria S() ep[ j (B s(,t) S() ep[ j G G )t] t ]ep[ j B t t t ] t t Per < t < t il segnale è codificato in fase e, al variare di, accumula diversi angoli di fase. In particolare, al tempo t il segnale avrà un angolo di fase variabile con la posiione e dato da: () = - Gt e quindi è codificato in fase e risulta: s(t) S() ep[ jgt ]d ep[ jt] Generaione immagini Per la generaione delle immagini RN si applicano in successione un gradiente di codifica in fase ed uno in frequena ed il segnale irradiato (eco) è registrato per cui si ottiene: s(t) S(, )ep[ j (Gt Gt ]dd ep[ jt] Applicando gradienti in successione e campionando questi segnali nel tempo in un numero N di punti ad intervalli t si ottiene per il segnale demodulato (sena la portante ep(-jt)): s(n,m) S(,)ep[ j (G nt mg t ]dd / n N m / Questa è detta Equaione dell immagine (imaging equation). 39

40 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria Se ad esempio = 56 e N = 56 si ottiene una matrice di 5656 numeri complessi. Posto: k = n t G e k = m t G si ha: s(k,k ) S(,)ep[ j(k k ] dd Quindi la matrice s(k, k) definita nello spaio k rappresenta la trasformata di Fourier bidimensionale della funione S(,). QUINDI APPLICANDO LA RASORAA DI FOURIER INVERSA AI DAI s(k,k) IL RISULAO SARA UNA SIA DELLA FUNZIONE S(,). raiettorie nello spaio k Nello spaio k la formaione dell immagine può essere vista come schematiato nella Figura 3. I gradienti lungo (tempo II in Figura 3a) e lungo (tempo III in Figura 3a) fanno descrivere nello spaio k le traiettorie riportate nella Figura 3 b (a) (b) Figura 3 Per ridurre i tempi di acquisiione si utiliano anche delle sequene rapide come quella a spirale riportata nella Figura 3. 4

41 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria (a) (b) Figura 3 Consideraioni finali La Figura 33 mostra come le procedure di codifica per la ricostruione dell immagine si intersecano con quella di spin eco per la valutaione del tempo. Figura 33 Il tempo minimo di misura (acq: empo di Acquisiione) è rappresentato dal tempo elementare richiesto dalla sequena di base (R: tempo che intercorre fra due sequene di impulsi) per il numero di ripetiione dei cicli (: numero di righe costituenti l immagine). Esso aumenta ulteriormente in proporione, se si ritiene di effettuare o 4 o più medie delle misure (Ne: numero delle misure) al fine di migliorare il Rapporto Segnale Rumore e di conseguena la qualità dell immagine: acq= r Ne. Questo conduce, per una singola immagine, a tempi 4

42 Stefano Pisa - Strumentaione e ecniche per la Diagnostica 7 RN - eoria di misura in genere dell ordine di qualche minuto e quindi a tempi tanto più lunghi quanto più è alto il numero delle seioni che si intende rappresentare. Nella RN siamo interessati a diverse seioni del corpo (Figura 34). ipicamente, si indica con l asse maggiore del corpo, e si chiamano assiali le seioni perpendicolari all asse (Figura 35a). L asse è l asse oriontale, e si chiamano sagittali le seioni perpendicolari all asse. Infine l asse è l asse verticale e si chiamano coronali le seioni perpendicolari a questo asse (Figura 35b). Figura 34 (a) (b) Figura 35 ipicamente la slice selection si applica lungo l asse perpendicolare alla seione da visualiare, la codifica di fase lungo l asse maggiore della seione mentre quella in frequena lungo l asse minore (vedi tabella). Figura 36 4