Il fenomeno della diffrazione principio di Huygens Fresnel; teorema di Kirchhoff; Diffrazione da knife edge:ilraggiodiffratto

Transcript

1 Toia Gomtica lla Diffazion Il fnomno lla iffazion pincipio i Huygns Fsnl; toma i Kichhoff; Diffazion a knif g:ilraggiodiffatto Diffazion a wg pfttamnt conutto il cono i Kll; cofficinti GTD / UTD; C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

2 Il pincipio i Huygns-Fsnl Il fnomno lla iffazion può ss intootto scitto a pati al pincipio i Huygns o ll sognti sconai : noto il font ona F all istant t, è possibil icostui il succssivo font ona F all istant tt supponno ch gli lmnti i supfici S i F siano ccitati a mtt contmpoanamnt on sfichconlavlocitàv ll ona; l inviluppo i tali on sconai all istant tt costituisc il font ona F allo stsso istant. T S Q U(R) χ = ( χ) Σ o s R K A jβ jβs s P o U(R) = K jβ jβs s ( χ) A Σ Sfa K(χ) è un fatto ch ipotizza una ipnnza all'angolo χ i inclinazion illustato in figua C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

3 Il toma i Kichhoff (/) S Dtta Ψ la gnica componnt l gnico campo, in una gion omogna piva i sognti: funzion Mtoo lla nˆ P funzion i Gn G Ψ Q χ Ψ σ Ψ = Ψ( ) = Ψ G S n n S nl caso in figua quini ' O G Ψ Ψ( ) = Ψ G S n n S SUS Fatt l sgunti ipotsi:, >> λ Mzzo snza pit Ψ ( ) = Campo in Q jβ jβ jβ F 4 π S ( ϑ, ϕ) ( cos χ ) S (5) Ψ lim = lim Ψ = n σ G( ) = 4π S = sup. ona K jβ 4π ( χ) = ( cos χ) C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

4 Il toma i Kichhoff (/) In psnza i un ostacolo l intgal v ss limitato alla pozion i font ona non intcttata all ostacolo stsso. S A P ( ) jβ jβ Ψ( ) = F( ϑ, ϕ) 4π χ S A ( cos ) S Il campo su S A può ss appossimato con i valoi ch si avbbo in assnza ll ostacolo (appossimazion i Kichhoff); i valoi ch si avbbo con schmo infinito (appossimazion i Bth) L spssion intgal così icavata pmtt i isolv in lina i pincipio qualunqu poblma i iffazion. Occo i volta in volta tmina la supfici S A sulla qual calcola l intgal p il calcolo l campo. C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

5 Knif-Eg Diffaction (/3) Ona piana incint su un smipiano compltamnt assobnt isposto ppnicolamnt alla izion i popagazion (incinza nomal): E H inc inc ( x,y,z) ( x,y,z) = ( x,y, ) ( ) A E = A H x,y, jβx jβ jβ R ( cosχ) z' y' 4π R Supponno x >> λ sapno ch l sognti sconai (z, y ) ch anno un contibuto significativo al campo icvuto in (x,y,) sono solo qull pz qualch λ (pim zon ifsnl (5) ) ( y y' ) ( z' ) ( z' ) R = x R R E( x,y, ) π β jβ j R = A 4 ( cosχ) y' H( x,y, ) π R E in z = E jkx y z R y = χ x ( x, y, ) ( y y' ) x C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

6 Knif-Eg Diffaction (/3) Applicano il mtoo lla fas stazionaia p la isoluzion ll intgal, possibil ottn la sgunt soluzion p il campo icvuto [5] : y > (Rgion illuminata) E ( x,y, ) π jβ jβx j cos = A A 4 ( ) πβ sinθ H x,y, θ y E y < (Shaow Rgion) (,θ ) ( x,y, ) π jβ j cos = A 4 ( ) πβ sinθ H x,y, θ Ona Piana Incint x Confin omba θ > s y > θ < s y < C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

7 y Knif Eg Diffaction (3/3) Ona Piana Incint (,θ ) x Confin omba ( x,y, ) ( ) E H x,y, = jβx A U Ona Piana (solo p θ> ) jβ π j ( θ) A 4 D( θ) Ona Cilinica Diffatta Ona Cilinica Diffatta La psnza l knif g gna un ona iffatta ch nll ipotsi fatt isulta ss un ona cilinica L supfici ona sono pciò i cilini avnti p ass il boo supio l knifg alloa possibil fini i Raggi Diffatti ch si popagano al boo ll ostacolo in izion aial. ( ) πβ cosθ sinθ D θ = : Cofficint i Diffazion C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

8 Ossvazioni: La possibilità i stn l ottica gomtica al fnomno lla iffazion fin qui mostata sottoposta ai sgunti vincoli limitazioni: ) Appoccio scala alla toia lla iffazion (Huygns Fsnl); ) Ona incint piana; 3) Incinza nomal; 4) Ostacolo assimilato il a un knif g tasvsalmnt illimitato; i 5) Ricvito lontano al confin omba l aggio itto (D()= ) Tali ipotsi i lavoo assai aamnt isultano vificat in situazioni ali i iffazion. E quini oppotuno gnalizza l appoccio fin qui sguito in moo a stn la scizion a aggi lla iffaziona situazioni più alistich C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

9 La lgg lla Diffazion (/) L stnsion ll Ottica Gomtica alla catgoia i Raggi Diffatti stata intootta a J. B. Kll nl 96 si aticola ni sgunti sgunti assunti [6] : I. Si gnano uno o più aggi iffatti ogniqualvolta un aggio ll OG classica (itto o iflsso) inci su uno spigolo o un vtic; II. P ogni cammino iffatto val il Pincipio i Fmat (Estnsion l pincipio i Fmat al fnomno lla iffazion) Raggio Incint Cono i Kll Lgg lla iffazion: il aggio iffatto qullo incint giacciono a pati oppost isptto al piano allo spigolo passant p il punto i iffazion; gli angoli ch tali aggi fomano con lo spigolo (angolo i incinza angolo i i ff iffazion) sono ati alla lgg i Snll p la iffazion : n i sinθ i = n sinθ S i aggi si popagano nllo stsso mzzo, θ =θ ι; Ogni aggio incint gna una infinità i aggi iffatti alla supfici latal i un cono (cono i Kll) C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

10 La lgg lla Diffazion (/) S Q D P Supponno n =n i =cost il cammino iffatto costituito a u sgmnti ttilini avnti un stmo nl punto i iffazion Q D (SQ D PQ D ); P Supponno spigolo ttilino, si uoti il piano contnnt lo spigolo il punto P attono allo spigolo stsso finché non contin il punto S. Tal otazion non ha altato n la lunghzza l sgmnto PQ D n l angolo ch tal sgmnto foma con lo spigolo Dopo la otazion, S P lo spigolo appatngono allo stsso piano il minimo cammino ottico ato alla lgg lla iflssion θ =θ i OSSERVAZIONE: la lgg lla iffazioni può ss icavata isolvno l quazioni i i Maxwll nl caso i ona piana incinti su i uno spigolo ttilino [7]. Il campo icvuto nl gnico punto P isulta ss ato alla sovapposizion i 3 on: l ona itta, l ona iflssa (vntualmnt null) un ona iffatta ch isulta ss cilinica p incinza nomal, conica p incinza obliqua ( cono i Kll) C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

11 Il Campo Diffatto (/) S P Campo iffatto spansion in si i Lunbg Klin Alta fqunza solo tmin p m= ŝ O β j ( ) nˆ Q βψ D () () ( ) ( ) jβs E = A E s = E O' β Equazioni β ( ) ( ) Maxwll i s s ŝ', =aggi i cuvatua ll ona iffatta sono ati all, agg cu atu a o a atta so o at a istanz ll caustich ll ona iffatta all oigin O ll ass ll asciss cuvilin s Una caustica coinci smp con lo spigolo (9) convin scgli O Q D ( = spssion più smplic). Consvazion Engia nl tubo i flusso: E (O ) p O Q D ( ) Poiché E (s) non puo ipn alla sclta ll oigin l ifimnto, non può ch ss: [ v ( ) ] i lim E o' = No FINITO E ( QD ) D O' QD ( ) E i jβs ( s) E ( Q ) D A(,s) = D C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

12 Il Campo Diffatto (/) φˆ ˆβ ŝ E i E β Ds β' = i E φ D h Eφ' ( QD ) ( Q ) D A s, j s ( ) β ' ˆβ ŝ' ˆφ' Pincipio l campo local: Il campo associato al aggio iffatto ipn all popità lttomagntich gomtich ll oggtto in un intono l punto i iffazion all popità l campo incint nl punto i iffazioni C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

13 Spaing Facto Espssion gnal l fatto i ivgnza (9) : A(,s) = ( s ) s s (istanza lla caustica ll ona iffatta a Q D ) ipn in gnal alla cuvatua ll ona incint, al aggio i cuvatua llo spigolo nl punto Q D agli angoli i incinza iffazion; in gnal: ( ŝ' ŝ) nˆ = sin β Caso paticola: staight g: A( s,s' ) g ' : cuvatua ona incint g : cuvatua g p ona incint piana o conica s = p ona incint s sinβ cilinica s' s ( s s' ) p ona incint sfica C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

14 Cofficinti i Diffazion (/5) Rgion II Rgion I Rgion III Souc ISB : Incinc Shaow Bounay (Confin omba omba l Raggio Ditto) RSB : Rflction Shaow Bounay (Confin omba l Raggio Riflsso) R I : itto iflsso iffatto R II : itto iffatto R III : iffatto P(,φ) Y WA = ( n) π γ = S(,φ φ ) X Ipotsi: spigolo pfttamnt conutto tasvsalmnt illimitato i ampizza WA ( n ) sognt lina infinita paallla allo spigolo pcosa a cont costant ( J =I i z ) Ona incint cilinica (piana) incinza nomal C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

15 Cofficinti i Diffazion (/5) Limitanosi al caso i conutto lttico pftto, isolvno l quazioni i Maxwll p il sistma consiato tnno in bito conto l conizioni al contono impost al conutto ( E tang =, H nom = ) possibil ottn (9) la sgunt spssion p il campo total icvuto nl gnico punto P: Soft Polaization Ha Polaization (Sognt Magntica) (Sognt Elttica) ( g g ) ωμi E = Ezîz = G( β,, ', φ, φ' ) î 4 H = E jωμ z ωεi H = Hzîz = G( β,, ', φ, φ' ) î 4 E = H jωε z G(β,,φ,φ ) : oppotuna funzion i Gn. C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

16 Cofficinti i Diffazion (3/5) A pati a tali spssioni p il campo total applicano il mtoo SDP (Stpst Dscnt Mtho) ) nlla vsion moificata i Pauli Clmmow, possibil ottn la sgunt spssion l solo campo iffatto [8] : jβ ωμi j( β' ) 4 s Softpolaization : E = π D ( β,, φ, φ',n ) îi z 4 πβ' jβ ( ) ωεi j β' h Ha polaization : H = π 4 D ( β,, φ, φ',n ) î i z v ( E = η H ŝ) E 4 πβ' β ( β' π j ) 4 h D ( β,, φ, φ',n) ˆ ϕ ωε I j = η î 4 πβ' Confontano tali spssioni con la lazion gnal i j s E β ( s) = E ( Q ) D A(,s) D D s, D h Cofficinti i Diffazion C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

17 Cofficinti i Diffazion (4/5) Cofficinti i Kouyoumjian Pathak (Unifom Thoy of Diffaction) π j 4 s, h π ξ π ξ (, φ, φ ',n ) = cot F [ β g ( ξ ) ] cot F [ β g ( ξ ) ] D h n Δ πβ n n π ξ π ξ cot F[ β g ( ξ )] cot F[ β g ( ξ )] n n Soft polaization : Δ = ; Ha polaization : Δ = ; ξ = φ φ ξ = φ φ φ La funzion F (funzion i tansizion) gaantisc la continuità i cofficinti sui confini omba omba F ± ± ± ± jβ g ± ( ξ± [ β g ( ξ )] = j β g ( ξ ) ) jτ β g ± ξ± ( ) τ m [ ξ nπn ] m [ ξ nπn ] g = cos g = cos ± N Z ch mglio soisfano l sgunti quazioni m nπn ξ = π m nπn ξ = π C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

18 Cofficinti i Diffazion (5/5) Lontano ai confini omba F cofficinti i iffazion i Kll (Gomtical Thoyy of Diffaction) D s (, φ, φ',n) = jπ 4 sin n πβ ( π ) n cos( π ) cos ξ ( π ) ξ cos cos n n n n D s (, φ, φ',n) = j π 4 sin n πβ ( π ) n cos cos ξ n ( π ) cos ξ cos( π ) n n n C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

19 Esmpio H i E i P(,φ) θ φ = 45 C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

20 Incinza Obliqua D s,h (, φ, φ',n) = n j π 4 πβ sin π ξ Δ cot n ' ( β ) π ξ cot n F π ξ [ βlg ( ξ )] cot F[ βlg ( ξ )] π ξ F[ βlg ( ξ )] cot F βlg ( ξ ) n π [ ] n L ( β ) s sin ' Ona Incint Piana ' s sin( β ) s' sin( β ) = Ona Incint Cilinica s s' ' s s' sin ( β ) Ona Incint Sfica o Conica s s' C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

21 Conclusioni Lo stuio l analisi lanalisi i un sistma lttomagntico può smp ss conotto in lina i pincipio isolvno l quazioni i Maxwll calcolano così i campi E H in ogni punto lla gion i intss; In molti casi patici tuttavia si aotta un appoccio a aggi allo stuio lla popagazion, più smplic intuitivo; la popagazion ll ona EM al tasmttito al icvito vin scitta p mzzo i aggi ottici ch intagiscono con l ambint al i popagazion gnano iflssioni, tasmissioni (Ottica Gomtica Classica) iffazion (Toia Gomtica lla Diffazion); La taittoia i ogni aggio vin tminata p mzzo ll lggi lla iflssion (iflssion spcula), lla tasmission (lgg i Snll) lla iffazion (cono i Kll). L anamnto l campo quini lla potnza lungo un aggio vin tminato p mzzo i cofficinti i iflssion, tasmission iffazion. C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

22 Diffazion Multipla (/5) Ipotsi : tattazion scala; spigoli paallli; sognt puntifom (ona sfica) Tubo i flusso infinitsimo supfici pian lati l cuno uguali (, ) S θ A θ< B A A Ona incint sfica ona iffatta gnica A (,,s) = ( s) ( s) In paticola = ssno una ll u caustich coincint col sgmnto AB C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

23 Diffazion Multipla (/5) A A β β β A A S B C β B β β I tiangoli BAS BCA sono vintmnt uguali = A = ( ) ( s) (( ) s) = s= ( ) ( ) ( ) = E( ) E ( ) ( ) - jβ ( -) E { ( ) D ( ) E jβ - jβ = E D j β ( ) ( ) C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

24 Diffazion Multipla (3/5) S θ B A D A θ< A(,,s) C A = ( s) ( s) Tiangoli DSC DC C C sono uguali D D α β A α α A A = S C β B C α C α α A = ( ) ( ) C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

25 Diffazion Multipla (4/5) ( ) = E( ) E ( ) ( ) ( -) E( ) ( ) ( ) - jβ - jβ D P quanto visto p la singola iffazion: ( ) E = E D jβ ( ) ( ) ( ) E = E D D ( ) jβ ( ) C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

26 Diffazion Multipla (5/5) E possibil gnalizza al caso i n gs paallli conscutivi: Sclta l oigin loiginll s sull ultimo ultimo g ( = = ) : n (... n ) A = (... ) n n R ( ) E R = E DD...Dn... n jβ (... ) n (... ) n Limiti l mollo: spigoli cipocamnt ointati in mania abitaia; sclta i valoi L i p i ; multipla iffazion nlla gion i tansizion: Slop Diffaction [9] : i s,h i s,h E s,h j s s,h D E E ( QD ) D β = A ; = : coff. i Slop Diffaction jβ s' φ' φ' QD C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

27 Diffusion L pati gli ifici non sono mai pian infinitamnt sts, n gli spigoli sono tasvsalmnt illimitati il numo i aggi gnati a una pat al p iflssion iffazion (a spigolo a vtic) talmnt lvato ch una scizion ttagliata i ogni contibuto non paticamnt gstibil; L pati gli ifici i non sono mai omogn lisc la isomognitàità i matiali la ugosità supficial tminano una iistibuzion lla potnza incint anch in izioni ivs a qulla spcula; Tutti tali contibuti gnano complssivamnt il campo iffuso alla pat Com valuta il campo iffuso? (s. RCS [] Physical Optics [], RCS Coff. Rugosità quivalnt,...) E possibil fini un Raggio Diffuso? (non val p la iffusion il pincipio l campo local ) C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion

28 Conclusioni In ambint al non smp tascuabil il contibuto i aggi ch aggiungono il icvito opo av subito multipl iffazioni (s. aggio Ov Roof Top). La valutazion i tali contibuti non immiata, poiché l ona ch si popaga opo la pima iffazion non smp iconucibil a una ll tipologi canonich (piana, sfica, cilinica). Inolt, qualoa il cammino iffatto si popaghi all intno lla gion i tansizion occo consia anch il tmin aggiuntivo i Slop Diffaction; L pati gli ifici non sono mai pian omogn infinitamnt sts, n gli spigoli sono tasvsalmnt illimitati. La potnza complssivamnt incint su i una pat al vin ptanto iffusa paticamnt in tutt l izioni (iagamma i scatting). L popità itàintinsch i l mccanismo i iffusion i (non un fnomno local) l non pmttono una facil stnsion i molli a aggi al fnomno llo scatting. C. Pisanti, F. Fuschini Diffazion