Formule Utili Analisi Matematica per Bioinformatici a.a. 007-008 Dott. Simone Zuccher settembre 007 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore zuccher@sci.univr.it). Indice Geometria Analitica. Il piano cartesiano............................... La retta..................................... La circonferenza................................. La parabola...................................5 L ellisse.....................................6 L iperbole....................................7 L iperbole equilatera............................. 5 Goniometria 6. Relazioni fondamentali............................ 6. Periodicità................................... 6. Formule di conversione............................ 6. Archi associati................................. 7.5 Formule di addizione e sottrazione...................... 7.6 Formule di duplicazione e triplicazione................... 8.7 Formule di bisezione............................. 8.8 Formule parametriche............................. 8.9 Formule di prostaferesi e di Werner..................... 8.0 Archi noti................................... 9 Derivate 0. Derivate fondamentali ed altre notevoli................... 0 Sviluppi in serie di Taylor 0. Principali sviluppi di McLaurin....................... 0 i
5 Integrali 5. Integrali indefiniti immediati o quasi)................... ii
Geometria Analitica. Il piano cartesiano x + x Punto medio di un segmento M ; y ) + y x ; y ), x ; y ) coordinate estremi Distanza tra due punti x x ) + y y ) x ; y ), x ; y ) coordinate punti. La retta Definizione: nessuna perché è un ente primitivo. Forma implicita ax + by + c = 0 tutte le rette x = c a = k retta verticale b = 0) y = c b = h retta orizzontale a = 0) Forma esplicita y = mx + q non comprende rette verticali perché m = b a, q = c a sono espressioni valide solo se a 0 Date due rette ax + by + c = 0 e a x + b y + c = 0 si ha: a a b b a a = b b c c a a = b b = c c rette incidenti una intersezione) rette parallele nessuna intersezione) rette coincidenti infinite intersezioni) Date due rette m = m x + q e y = m x + q si ha: m = m rette parallele m m = m = m rette perpendicolari Retta per un punto y y 0 = mx x 0 ) x 0 ; y 0 ) coordinate del punto Retta per due punti y y y y = x x x x x ; y ) e x ; y ) coordinate dei punti Distanza punto retta d = ax 0 + by 0 + c a + b Nota: retta in forma implicita
. La circonferenza Definizione: luogo geometrico dei punti del piano per i quali la distanza da un punto fisso detto centro è costante e congruente ad un segmento detto raggio. Equazione noti centro Cx 0 ; y 0 ) e raggio r x x 0 ) + y y 0 ) = r Equazione canonica x + y + αx + βy + γ = 0 C α ) ; β r = α ) + β ) γ. La parabola Definizione: luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. La figura così ottenuta ha un asse di simmetria. Il punto di intersezione tra l asse di simmetria e la figura stessa è detto vertice. Asse parallelo all asse delle ordinate y = ax + bx + c Posto = b ac, si ha V F b a ; ) a b a ; ) a x = b a y = + a a > 0, a < 0 Vertice Fuoco Asse di simmetria Direttrice Asse parallelo all asse delle ascisse x = ay + by + c a > 0, a < 0 ) V F a ; b ) a a ; b ) a Vertice Fuoco y = b a x = + a Asse di simmetria Direttrice
.5 L ellisse Definizione: luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. La figura così ottenuta ha due assi di simmetria o più semplicemente assi), il maggiore dei quali è detto asse maggiore su di esso si trovano i fuochi) e l altro asse minore. Il punto di intersezione degli assi è detto centro, i punti di intersezione tra gli assi e la figura stessa sono detti vertici. Riferita a rette parallele agli assi x x 0 ) a + y y 0) b = Centro O x 0 ;y 0 ) mn > 0 mx + ny + px + qy + r = 0 p m + q n r > 0 O p m ; q n ) Riferita agli assi x a + y =, a > b Fuochi sull asse x, b a semiasse maggiore b semiasse minore F± a b ; 0) V ±a; 0), V 0; ±b) Riferita agli assi x a + y =, a < b Fuochi sull asse y, b a semiasse minore b semiasse maggiore F0; ± b a ) V ±a; 0), V 0; ±b)
.6 L iperbole Definizione: luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. La figura così ottenuta ha due assi di simmetria. L asse che interseca la figura stessa è detto asse trasverso su di esso si trovano i fuochi) e l altro asse non trasverso. Il punto di intersezione degli assi è detto centro, i punti di intersezione tra l asse trasverso e la figura stessa sono detti vertici. Esistono due rette, detti asintoti, tali che la distanza tra ciasuna di esse e i punti dell ellisse tende a zero al tendere all infinito di x o y. Riferita a rette parallele agli assi x x 0 ) a y y 0) b = x x 0 ) a y y 0) b = mx + ny + px + qy + r = 0 p m + q n r > 0 p m + q n r < 0 { Centro O x 0 ; y 0 ) Asse trasverso orizzontale { Centro O x 0 ; y 0 ) Asse trasverso verticale mn < 0 O p m ; q ) n Asse trasverso orizzontale Asse trasverso verticale Riferita agli assi x a y b = F± a + b ; 0) V ±a; 0) a semiasse trasverso b semiasse non trasverso y = ± b a x Equazioni degli asintoti Riferita agli assi x a y b = F0; ± a + b ) V 0; ±b) a semiasse non trasverso b semiasse trasverso y = ± b a x Equazioni degli asintoti
.7 L iperbole equilatera Definizione: iperbole con semiassi congruenti, ossia a = b. Riferita agli assi x y = a Fuochi sull asse x F±a ; 0) V ±a; 0) y = ±x Equazioni degli asintoti Riferita agli assi x y = a Fuochi sull asse y F0; ±a ) V 0; ±a) y = ±x Equazioni degli asintoti Riferita ai propri asintoti xy = k k > 0, occupa il I e III quadrante F k; k), F k; k) V k; k), V k; k) x = 0, y = 0 Equazioni degli asintoti Riferita ai propri asintoti xy = k k < 0, occupa il II e IV quadrante F k; k), F k; k) V k; k), V k; k) x = 0, y = 0 Equazioni degli asintoti Funzione omografica y = ax + b cx + d d c ; a ) c c 0, ad bc 0 Coordinate del centro x = d c, y = a c Equazioni degli asintoti 5
Goniometria Nota: in quanto segue, con il simbolo sin x si intende sin x). È chiaro che questa scrittura non è corretta perché sin x = sinsinx) ma, essendo entrata nell uso corrente ed essendo più veloce da scrivere, la adottiamo anche qui.. Relazioni fondamentali Descrizione relazione matematica restrizioni Relazione fondamentale: sin x + cos x = x R Definizione di tangente: tanx = sin x cosx Definizione di cotangente: cotx = tanx = cosx sin x Definizione di secante: sec x = cos x Definizione di cosecante: csc x = sin x x + k,k Z x k,k Z x + k,k Z x k,k Z. Periodicità sinx + k) = sinx cosx + k) = cosx k Z tanx + k) = tanx cotx + k) = cotx k Z secx + k) = secx cscx + k) = csc x k Z. Formule di conversione noto sinx noto cosx nota tanx sin x = sin x ± tanx cos x ± + tan x cos x = ± sin x cos x ± + tan x sin x tan x = ± sin x ± cos x cos x tan x Una volta noti sinx, cos x o tanx, il passaggio alle altre funzioni trigonometriche è banale essendo cot x = / tan x, sec x = / cos x e csc x = / sin x. 6
. Archi associati fx) sin fx) cos fx) tanfx) cot fx) x sin x cos x tanx cot x x cos x sin x cot x tan x + x cos x sin x cot x tan x x sin x cos x tanx cot x + x sin x cos x tanx cotx x cos x sin x cot x tan x + x cos x sin x cot x tan x x sin x cos x tanx cot x Nota: questi archi associati sono deducibili immediatamente dal cerchio goniometrico, quindi è inutile memorizzarli..5 Formule di addizione e sottrazione sinx ± y) = sinxcos y ± cos x sin y cosx ± y) = cosxcos y sin x sin y tanx ± y) = tanx ± tany tanxtany cotx ± y) = cotxcot y cotx ± coty 7
.6 Formule di duplicazione e triplicazione sinx) = sin x cos x cosx) = cos x sin x = sin x = cos x sinx) = sin x sin x cosx) = cos x cos x tanx) = tanx tan x tanx) = tanx tan x tan x.7 Formule di bisezione x sin ) x cos ) x tan ) = ± = ± cos x + cosx cos x = ± + cosx = sin x + cosx = cos x sin x.8 Formule parametriche x t = tan,x + k) k Z sin x = ) t cosx = t tanx = t + t + t t.9 Formule di prostaferesi e di Werner sin x + sin y = sin x + y sin x sin y = cos x + y cos x + cos y = cos x + y cos x cos y = sin x + y cos x y sin x y cos x y sin x y sin x sin y = [cosx y) cosx + y)] cosxcos y = [cosx + y) + cosx y)] sin x cos y = [sinx + y) + sinx y)] 8
.0 Archi noti x[rad] x[deg] sin x cos x tan x cot x 0 0 0 0 0 5 6 8 5 6 + 0 + 5 + 5 5 5 + 5 8 0 + + 6 0 5 60 8 67 0 + + 5 75 6 + 6 + 90 0 0 Nota: sono qui riportati solo gli archi del primo quadrante in quanto gli altri sono riconducibili a tale quadrante tramite gli archi associati vedi.). 9
Derivate. Derivate fondamentali ed altre notevoli fx) derivate fondamentali f x) k,k R 0 x α,α R αx α a x a x log a e x log a x log x sin x cos x e x x log a e = x log a x cos x sin x altre derivate notevoli fx) f x) tanx + tan x = cos x cotx + cot x) = sin x arcsin x x arccos x x arctan x + x arccotx + x Sviluppi in serie di Taylor. Principali sviluppi di McLaurin e x = + x + x + x! + + xn n! + oxn ) log + x) = x x + x + )n+xn n + oxn ) = + x + x + + x n + ox n ) x + x) α αα ) = + αx + x αα )α ) + x + +! αα ) α n + ) + x n + ox n ) n! sin x = x x! + x5 5! + x n+ )n n + )! + oxn+ ) cos x = x! + x xn + )n! n)! + oxn+ ) tan x = x + x + ox ) arcsin x = x + x 6 + ox ) arccos x = x 6 x + ox ) arctanx = x x + x5 xn+ + )n 5 n + + oxn+ ) 0
5 Integrali 5. Integrali indefiniti immediati o quasi) Integrali fondamentali Altri integrali notevoli x α dx = xα+ + c, α α + f x) [fx)] α dx = [fx)]α+ α + + c, α x dx = log x + c f x) fx) dx = log fx) + c a x dx e x dx = ax log a + c, a > 0 a = e x + c f x) a fx) dx f x) e fx) dx = afx) log a + c, a > 0 a = e fx) + c sinx dx = cos x + c f x) sin[fx)] dx = cos[fx)] + c cos x dx = sinx + c f x) cos[fx)] dx = sin[fx)] + c cos x) dx sin x) dx x = tanx + c = cot x + c dx = arcsinx + c f x) [cos fx)] dx f x) [sinfx)] dx f x) [fx)] dx = tan[fx)] + c = cot[fx)] + c = arcsin[fx)] + c dx = arctanx + c + x f x) dx = arctan[fx)] + c + [fx)]