Esempi per ingressi costanti

Esempi di analisi di transitori Esempi per ingressi costanti 45 Un alimentatore con tensione V 0 e resistenza R carica un condensatore C, inizialmente scarico. Quanto vale l energia erogata dal generatore? 1 46

Un alimentatore con tensione V 0 e resistenza R carica un condensatore C, inizialmente scarico. Quanto vale l energia erogata dal generatore? 1 V 0 con R C ( 0 ) = [ V ] v C 0 i( t) v C ( t) 47 per t 0 V t = R t 0 it () exp - ( ) V0 i 0 = R τ = RC i = 0 V 0 R i( 0 ) R R 1 i v C ( 0 ) = 0 R eq = R = 0 V 0 a regime C circuito aperto 48

1 W = pt ()d t = V it ()dt = erogata 0 0 0 2 2 0 t V0 V 2 = τ exp - = τ = CV0 = 2 WC( t ) R t R 0 V 0 con R C i( t) ( 0 ) = [ V ] v C 0 v C ( t) 49 1 L energia erogata dal generatore non dipende dal valore di R, ed il processo di carica del condensatore ha rendimento ½ W = pt ()d t = V it ()dt = erogata 0 0 0 2 2 0 t V0 V 2 = τ exp - = τ = CV0 = 2 WC( t ) R t R 0 R V 0 con C i( t) ( 0 ) = [ V ] v C 0 v C ( t) 50

2 Calcolare e diagrammare v(t) ed i L (t) per t =0 6H i L ( t) 51 2 Condizioni iniziali Calcolo la corrente i L nell induttore (variabile di stato) prima dell apertura dell interruttore, al tempo t =0-6 i L Ht ( ) t=0 1 i L (0 ) = A 2 partitore di corrente 52

2 supponendo la rete in condizioni di regime stazionario permanente (=in continua) al tempo t =0-6 i L Ht ( ) t=0 1 i L (0 ) = A 2 partitore di corrente 53 2 Si osserva v(0 - ) = -3/2 V. Non è però necessario conoscere questo valore per esprimere la soluzione per t>0 (occorre solo ricavare la variabile di stato al tempo t=0) 6 i L Ht ( ) t =0 1 i L (0 ) = A 2 partitore di corrente 54

2 Condizioni iniziali Al tempo t =0, appena attivato l interruttore, la corrente nell induttore rimane la stessa di quella al tempo t =0 - Calcolo la tensione v al tempo t =0 v (0 ) 1[ V] = = = Ω 2 i (0 ) L 6 i L Ht ( ) Ω 2 v( 0 ) i L (0 ) = 1 = A 2 55 Condizioni iniziali Appena attivato l interruttore, al tempo t =0 : Corrente i L (0)=-0,5 A Tensione v (0)=1 V 2 v( t ) 6H i L ( t ) 56

2 Condizioni di regime In condizioni di regime stazionario permanente (=in continua), per t 8, l induttore si comporta come un corto circuito 2 A 6 i L Ht ( ) t = 0 v i L = 0 57 2 Costante di tempo È comunque una proprietà della rete resa passiva (generatori indipendenti spenti), anche se nel nostro caso la rete in analisi non contiene nessun generatore 6H i L ( t) 58

La resistenza vista dall induttore ai suoi due morsetti (con interruttore aperto) vale R eq =23=5 ohm. La costante di tempo t vale t=l/r eq =6/5 s 2 6H i L ( t) 59 Soluzione Le condizioni iniziali e di regime trovate, e la costante di tempo porgono, per it () = 0,5exp( t / τ)a v(t) = 1exp( t / τ)v con τ = 6/5s 2 3 V 2 5t 6 e t 1 2 i L (t) A 1 2 5t 6 e t 60

Esempi di analisi di transitori per ingressi costanti a tratti 61 Noto l andamento temporale di e(t) fornire un espressione analitica per la corrente i(t) 10V 10V 1 t(s) i(t) 2F Nota: Si debbono studiare due transitori. La costante di tempo dei due transitori è però la stessa 62

Costante di tempo La costante di tempo è una proprietà della rete resa passiva. La resistenza vista dal condensatore vale R eq =2//22=3 ohm, che porge t=r eq C=6s 10V 10V 1 t(s) i(t) 2F 63 Condizione iniziale Per tutti i tempi t<0, il generatore di tensione è spento e quindi il condensatore, in t=0 -, si può supporre scarico, si ha cioè v C (0)=0 Al tempo t=0 si misura una corrente i(0)=5/3 A i ( g 0 ) 10V i(t) i( 0 ) 2F 10 10 ig (0 ) = = A 2 2 // 2 3 i(0 ) = i (0 ) / 2 g v C ( 0) = 0 64

Primo transitorio: per 0<t<1 Condizione di regime La rete va a regime come se la tensione del generatore rimanesse sempre costante ed uguale a 10V i(t) 2F 10V i 2F e 5 i = = A 2, 5A 1 2 2 2 = 65 Primo transitorio: per 0<t<1 per 0<t<1 si ottiene 5 5 it () = exp ( t/ τ ) 5 3 2 2 con t = 6 s 66

Primo transitorio: per 0<t<1 La tensione sul condensatore vc () t = 51 exp ( t/ τ ), con t = 6s porge: ( ) vc( t = 1) = vc( t = 1 ) = 5 1 exp 1/6 condizione iniziale del secondo transitorio i(t) 2F v C ( t) 10V v C = 5V 67 Secondo transitorio: per t>1 (dove si ha e(t)=-10v "t>1s) Condizione iniziale i(t) 2F A v ( t =1 ) C t = 1 e = 10V B v AB e v = 3 C 68

Condizione iniziale Al tempo t=0 la tensione sul condensatore vale v C =5[1-exp(-1/t)], 51 exp( 1/ τ ) risultato che porge corrente it ( == 1 ) 6 i(t) 2F t = 1 A v ( t =1 ) C e = 10V B v AB e v = 3 C 69 Secondo transitorio: per t>1 (dove si ha e(t)=-10v "t>1s) Condizione di regime i(t) 2F 10 5 i 2 = = = 2, 5A 2 2 2 10V i 2 70

Condizione di regime La rete va a regime per tensione del generatore costante ed uguale a -10V i(t) 2F 10 5 i 2 = = = 2, 5A 2 2 2 10V i 2 71 Soluzione per t>1 per t>1 si ottiene ( t 1) 5 5 5 it () = 1 exp( 1/ τ ) exp 6 2 τ 2 con t = 6 s 72

Soluzione [ ] ( ) ( ) dove ( t 1) 5 5 5 5 5 it () = ut () ut ( 1) exp t/6 ut ( 1) exp 1/6 exp 2 6 3 6 6 2 i(t) 1per x> 0 u(x) = 0per x< 0 10V 2 F ( t) 1 t( s) v C 1 1 i e V i = 6 e i = 6 C [ A] [ A] 2 4 6 8 10 t 10V 2 73 Esempi di analisi di transitori per rete con generatori pilotati 74

Noto l andamento temporale di e(t) fornire un espressione analitica per la tensione v(t) 0V 8V t R = ix i A 1 C = F B 3 R = KCL nodo A: i = 3 i x 2i x 75 0V 8V t R = ix i A 1 C = F B 3 R = KCL nodo A : i = 3 i x 2i x Equazione KVL: v(t)=e(t)-r i x (t) Posso calcolare i x (t) Conviene utilizzare l equivalente Thevenin ai morsetti AB 76

Equivalente Thevenin - Prova a vuoto. Si ottiene subito v AB (t)=e(t) (a vuoto) R ix A B VAB 2i x 3i x ix = 0 equazione pilota 77 Equivalente Thevenin - Prova in cortocircuito. Si ottiene subito i cc_ab =3 e(t)/4r Da cui si ottiene R eq =V AB /i cc_ab =4R/3 R i x R A i = 3 B cc i x 2i x x ( 3 x) ( ) KVL: e = Ri R i et ix = 4R equazione pilota 78

Abbiamo ricondotto il problema originale (figura a sinistra) al calcolo della corrente i x (t) nel circuito di destra, con equazione (KVL) che porge: v(t)=e(t)-r i x (t) R = ix i A KCL nodo A: 1 C = F 3 B R = i = 3i x 2i x 4 8 R = Ω 3 3 v v C e( t) ( t) = v ( t) C ( 0 ) = 0V AB 3i x A 1 C = F B 3 condizione iniziale 79 Costante di tempo: t =R eq C =8 s Condizione iniziale: 3 i x (0) = e(t=0)/r eq =3 A da cui i x (t=0) = 1 A Soluzione a regime i x8 =0 A Con equazione finale (KVL): v(t)=e(t)-r i x (t) 0V 8V t 4 8 R = Ω 3 3 v v C e( t ) ( t) vc ( t) ( 0 ) = 0 V AB 3i x A 1 C = F 3 B = condizione iniziale 80

Soluzione: Cond. iniziale v(0)=6v, soluz. a regime v 8 =8 V 0V 0 per t < 0 vt () = [ 8 2exp( t/8) ] per t > 0 8V t R = ix KCL nodo A: i A 1 C = F B 3 R = i = 3i x 2i x 81 Esempi di analisi di transitori per rete con diodo ideale 82

Sapendo che la tensione iniziale sul condensatore è nulla, calcolare la tensione v AB (t), e le correnti i(t), i C (t) ed i*(t) 100V 10Ω A 10µF i( t) i ( t) i C ( t) 50V B 83 La tensione ai capi del condensatore tende esponenzialmente, con costante di tempo 100 microsecondi, alla tensione di 100 V, ma non li raggiunge perchè il diodo inizia a condurre quando questa tensione prova a superare i 50 V 100V 10Ω A 10µF i( t) i ( t) i C ( t) 50V B 84

100V 100V 50V ( ) t v AB 10Ω A 10µF i ( t ) i ( t ) i C ( t ) B V 50 ( ) i t 10A 5A i C ( t ) 10A 5A i ( t) 5A 85