Lezioni di Analisi Matematica 6 a.a

SPAZI DI LEBESGUE Lezioni di Analisi Matematica 6 a.a. 2002-2003 Introduzione In queste pagine troverete una traccia delle lezioni e dei seminari svolti nell ambito del Corso di Analisi Matematica 6. Questi fogli sono, appunto, solo uno schema: non ci sono né dimostrazioni, né esercizi svolti, ma solo il testo dei risultati fondamentali e di quegli esercizi che mi sono sembrati più significativi (e non nello stesso ordine in cui sono stati presentati a lezione...). Data la struttura schematica, non troverete le consuete chiacchiere fatte a lezione per spiegare (o tentare di spiegare) meglio gli argomenti, ma solo una lista di teoremi, corollari, lemmi, esercizi e osservazioni. Spazi di Lebesgue Definizione (Spazi di Lebesgue). Sia un sottoinsieme misurabile di R N e sia p [, ). Poniamo { } L p () = u : R misurabili tali che u p <. Se p = poniamo invece dove L p () = {u : R misurabili tali che ess sup u < }, ess sup u = inf{k > 0 : u k q.o. in }. Esercizio. Se è limitato e u : R è continua e limitata, allora u L p () p [, ]. Esercizio 2. Sia = B(0, ) e sai u(x) = x. Allora u Lp () se e solo se p < N. Teorema 2. L p è uno spazio vettoriale qualunque sia p [, ]. Su L p definiamo la seguente quantità (che risulterà essere una norma): ( /p u L p () = u L p = u p = u dx) p se p <, ess sup u se p =. Esercizio 3. Sia p. Se f, g L p, allora max{f, g} L p. In particolare, se f L p, allora f + = max{f, 0} e f = max{ f, 0} appartengono ad L p. Uno dei risultati fondamentali nella teoria degli spazi L p è il seguente teorema: Teorema 3 (Disuguaglianza di Hölder). Siano p, p [, ] tali che p + p = (con l ovvia generalizzazione p = se p = o viceversa) e siano u e v due funzioni misurabili definite su. Allora uv u p v p. In particolare, se u L p () e v L p (), il prodotto uv L (). Osservazione 4. La disuguaglianza di Hölder permette di dimostrare che u p è effettivamente una norma, in quanto vale la disuguaglianza di Minkowski: u + v p u p + v p p [, ]. Di conseguenza, L p risulta uno spazio metrico, dove la distanza è definita da e quindi f n f in L p se f n f p 0. d p (u, v) = u v p u, v L p, p [, ]

SPAZI DI LEBESGUE Teorema 5 (Fisher Riesz). Per ogni p [, ], L p () è uno spazio di Banach rispetto alla norma u p. Inoltre L 2 () è uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare u, v = uv dx. Esercizio 4. Sia f n (x) = n +n x. Per quali p f n è una successione di Cauchy in L p ([0, ])? (Sol: p < 2). La disuguaglianza di Hölder ha utili conseguenze: Teorema 6. (i) Siano p, q, r [, ] tali che Se u L p e v L q, allora uv L r e (ii) Siano p,..., p k [, ] tali che Se u i L pi, allora Π k i= u i L e r = p + q. uv r u p v q. p + p 2 +... + p k =. u... u k Π k i= u i pi. (iii) Se u n u in L p e v n v in L p, allora u n v n uv in L. (iv) Se u n 0 in L p e v n è limitata in in L p, allora u n v n 0 in L. Un altro utile corollario della disuguaglianza di Hölder è il seguente Teorema 7 (Disuguaglianza di interpolazione). Siano p, q, r [, ] tali che p < r < q e sia θ (0, ) tale che Allora L p L q L r, cioè se u L p L q, allora u L r e r = θ p + θ. q u r u θ p v θ q. In particolare L L L 2 (scegliendo p =, q =, r = 2 e θ = /2). Teorema 8 (Convergenza dominata (o di Lebesgue) in L p ). p < : Supponiamo che u n L p (), che u n u q.o. in e che esista φ L p () tale che u n φ q.o. in. Allora u L p () e u n u in L p (). p = : Supponiamo che u n, u L (). Allora u n u in L () se e solo se esiste un insieme misurabile A tale che A = 0 e u n u uniformemente in \ A. Vale una sorta di viceversa del Teorema precedente: Teorema 9. Se f n f in L p, p, allora esistono una sottosuccessione (f nk ) k ed una funzione h L p tali che f nk f q.o. in ; f nk (x) h(x) k e q.o. in. Osservazione 0. Nel teorema precedente, se p =, si può prendere n k = k. Invece, se p <, in generale, la (f nk ) k è proprio una sottosuccessione, come mostra l esercizio seguente. Esercizio 5. Siano = R, p [, ) e f n = χ [log n,log(n+)[. Allora f n 0 in L p (R), ma non esiste alcuna h L p (R) tale che f n h q.o. in R. (Invece se n k = k 2 e h(x) = χ [log k 2,log(k 2 +)[ il teorema è verificato). Teorema (Riflessività). L p () è uno spazio riflessivo per ogni p con < p <. 2

SPAZI DI LEBESGUE La dimostrazione di questo teorema si basa sulla (prima) disuguaglianza di Clarkson: se p [2, ), allora per ogni f, g Lp, risulta p p f + g 2 + f g 2 f p p + g p p. 2 p Osservazione 2. È possibile dimostrare che gli spazi L e L non sono mai riflessivi, a meno che la misura di Lebesgue in sia sostituita da una misura µ concentrata in un numero finito di atomi, nel qual caso anche L (, µ) e L (, µ) risultano riflessivi. È anche facile convincersi che L non sia riflessivo dal seguente Esercizio 6. Sia = (, ) e sia f n = n 2 χ [ n, n ]. Evidentemente f n = n. Se L () fosse riflessivo, sarebbe possibile estrarre una sottosuccessione convergente debolmente in L. Invece f n converge (nel senso delle distribuzioni!) alla δ di Dirac concentrata in 0. Difatti L è contenuto nell insieme delle misure di Radon, quindi ogni successione limitata in L ammette sottosuccessioni convergenti nel senso delle misure. La riflessività di L p per < p < garantisce che da ogni successione limitata in tali spazi si possa estrarre una sottosuccessione debolmente convergente. Ovviamente, in generale, non si potrà avere la convergenza quasi ovunque al limite debole: Esercizio 7. Supponiamo di essere in uno dei casi seguenti. = (0, π) e f n (x) = sin(nx). = R, g L p (R) e g n (x) = n /p g(nx). = R, h L p (R) e h n (x) = h(n + x). Allora f n 0 debolmente in L p () ma non q.o.! È facile dimostrare che se f n f in L p, allora f n p f p. Ovviamente se u n p u p non si può concludere che u n u (basta prendere due funzioni diverse che hanno norma uguale...). Però se in più u n u q.o., vale: Esercizio 8. Se p <, u n p u p e u n u q.o., allora u n u in L p. Se p = questo risultato è falso: basta considerare = [0, 2], u n (x) = x n se x [0, ], u n (x) = se x (, 2] e u(x) = χ [,2] (x). Teorema 3 (Separabilità). L p () è uno spazio separabile per ogni p con p <. Più precisamente, si può dimostrare che L p () è separabile se e solo se p < (a meno che la misura di Lebesgue in sia sostituita da una misura µ concentrata in un numero finito di atomi, nel qual caso anche L (, µ) risulta separabile). Teorema 4 (Rappresentazione di Riesz). Sia p < e sia L (L p ). Allora esiste una, ed una sola, u L p tale che L, f = uf dx f L p, ed inoltre p L (L p ) = u L p. Al solito, si intende =. Grazie a questo Teorema, sarà sempre fatta l identificazione del duale di L p con L p, essendo questi spazi isometrici. Inoltre si ha adesso una chiara visione di quello che significhi convergenza debole in L p, per p < : f n f f n g dx fg dx g L p (), qualunque sia p [, ). Esercizio 9. Consideriamo le successioni introdotte nell esercizio 7. Allora f n converge debolmente, ma non fortemente a 0 in L 2 (0, π); g n converge debolmente, ma non fortemente a 0 in L p (R), qualunque sia g L p (R); 3

. Misura di finita vs Misura di infinita SPAZI DI LEBESGUE h n converge debolmente, ma non fortemente a 0 in L p (R), qualunque sia h L p (R). Un classico risultato di compattezza negli spazi L p è una generalizzazione del Teorema Ascoli Arzelà, per il cui enunciato diamo prima la seguente Definizione 5. Per ogni h R e u L p (R N ), poniamo u h (x) = u(x + h), x R N. Teorema 6 (Fréchet Kolmogorov Riesz). Sia F un insieme limititato di L p (R N ), p <. Supponiamo che lim u h u p = 0 uniformemente per ogni u di F h 0 (cioè ε > 0 δ > 0 tale che h R N tale che h < δ risulti u h u p < ε u F). Allora F è relativamente compatta in L p () per ogni R N misurabile e di misura finita.. Misura di finita vs Misura di infinita Se la misura di è finita, ci sono alcuni risultati piuttosto interessanti, tutti conseguenza della disuguaglianza di Hölder. Teorema 7. Siano < e p [, ]. Allora L p () si immerge con continuità in L q () per ogni q p. Più precisamente u q q/p u p. Di conseguenza () L p () L q () q p e quindi Quest ultima inclusione è stretta, come mostra il seguente L () p L p (). Esercizio 0. Sia = (0, ) e sia u(x) = log x. Allora u p L p () (ma evidentemente u L ()). Inoltre anche le inclusioni di () sono strette: Esercizio. Sia = (0, /2) e sia u(x) = (x log 2 x). Allora u L (), ma u L p () per alcun p >. Osserviamo anche il Teorema di immersione cessa di essere valido nel caso in cui abbia misura infinita; difatti la funzione u(x) = /x appartiene a L 2 (, + ) (e ad L (, )), ma evidentemente non appartiene a L (, + ). Inoltre: Esercizio 2. La funzione f(x) = ( x( + log x )) appartiene a L 2 (0, ), ma non appartiene ad alcun L p (0, ) per alcun p 2. Esercizio 3. Costruire una funzione u L (0, ) tale che u L 2 (0, ) e u L (0, ). Costruire funzione u L 2 (0, ) tale che u L (0, ) e u L (0, ). Esercizio 4. Sia <. Allora f = lim p f p per ogni f L (); se f p L p () e sup f p <, allora f L (). p< Teorema 8 (Disuguaglianza di Jensen). Sia J : R R una funzione convessa e sia u L (). Allora ( ) J u(x) dx J(u(x)) dx. 4

3 APPOSSIMAZIONI E CONVOLUZIONI 2 Convergenze Di seguito saranno ricordate le principali implicazioni relative alla convergenza di funzioni. specificato, p indicherà un numero tra e inclusi. Se non diversamente 2. Caso Generale f n f in L p f n f in misura; f n f in L f n f q.o.; f n f in L p f n f debolmente in L p. 2.2 Misura di finita Oltre alle implicazioni precedenti, valgono anche le seguenti: f n f in L f n f in L p ; f n f q.o. f n f in misura; se p > q e f n f in L p f n f in L q. Per interpolazione si può dimostrare che, in certi casi, la convergenza debole implica quella forte: Esercizio 5. Se <, p (, ), f n L p (), f n 0 q.o. e f n 0 in L p (), allora f n 0 in L q () q < p. 3 Appossimazioni e Convoluzioni Teorema 9 (Teoremi di densità). Sia p <.. Esiste un infinità numerabile di funzioni a gradini le cui combinazioni lineari a coefficienti in Q sono dense in L p. 2. C 0 C è denso in Lp. 3. C C è denso in Lp. Per dimostrare il punto 3 del Teorema precedente, è necessario ricorrere alla nozione di convoluzione. Definizione 20. Siano f L (R N ), g L p (R N ), p. Definiamo la convoluzione di f con g come f g(x) = f(x y)g(y) dy. R N Osserviamo immediatamente che, cambiando variabile di integrazione, f g = g f. Teorema 2. Siano f L (R N ), g L p (R N ), p. Allora per q.o. x di R N la funzione y f(x y)g(y) è integrabile su R N (ovvero f g è ben definita). Inoltre f g L p (R N ) e f g p f g p. Definizione 22. Siano p e u : R. Diciamo che u L p loc () se uχ K L p () per ogni compatto K contenuto in. Proposizione 23. Siano f C 0 C (RN ) e g L loc (RN ). Allora f g è ben definita in ogni x R N e f g è continua su R N. Inoltre se f C k C (RN ), allora f g C k (R N ) e D α (f g) = (D α f) g per ogni multiindice α tale che α k. La dimostrazione dell ultima affermazione è una semplice applicazione del teorema di derivazione sotto il segno di integrale. 5

3 APPOSSIMAZIONI E CONVOLUZIONI Definizione 24 (Mollificatori). Una successione (ρ n ) n è detta di mollificatori se n N risulta ρ n CC (RN ); il supporto di ρ n è contenuto in B(0, n ); ρ n 0 e ρ R N n =. Esercizio 6. Sia ρ(x) = { e x 2 se x <, 0 se x e sia C = ( ρ). Allora la successione definita da ρ n (x) = Cn N ρ(nx) è una successione di mollificatori. Teorema 25. Sia ρ n una successione di mollificatori.. Se f C(R N ), allora ρ n f f uniformemente sui compatti di R N ; 2. se p < e f L p (R N ), allora ρ n f f in L p (R N ). L ultima affermazione garantisce quindi che C (R N ) è denso in L p (R N ). Scegliendo poi una successione w n di funzioni C C (RN ) che convergono puntualmente a su R N, si dimostra che C C (RN ) è denso in L p (R N ), mostrando che w n (ρ n f) f. Estendendo poi le funzioni di L p () a 0 fuori di si dimostra, come corollario, la terza parte del Teorema 9 su domini qualunque. 6

4 SPAZI DI SOBOLEV 4 Spazi di Sobolev Definizione 26 (Spazi di Sobolev). Sia un aperto di R N e sia p [, ]. Definiamo { W,p () = u L p () : g,..., g n L p () tali che uφ xi dx = g i φ dx } v CC (), i =,..., N. Osservazione 27. Nella definizione precedente si possono considerare anche funzioni test φ appartenenti a C C (). Inoltre la funzione g i è unica e si chiama deriva i sima debole di u. Teorema 28. Per ogni p [, ], W,p () è uno spazio di Banach rispetto alla norma o a quella equivalente u W,p () = u W,p = u,p = u p + Du p u = ( u p p + Du p p) /p. Inoltre H () := W,2 () è uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare u, v = uv dx + Du Dv dx. In particolare W,p è uno spazio metrico completo rispetto alla distanza d(u, v) = u v,p. Considerando i risultati ottenuti per gli spazi L p non è difficile convincersi della validità del risultato seguente. Teorema 29. W,p è riflessivo per < p <. W,p è separabile per p <. È ovvio che prodotto di funzioni L p non sia ancora in L p. Invece in W,p valgono le seguenti regole di derivazione del prodotto e di derivazione della composizione: Esercizio 7. Se u, v W,p L, allora uv W,p e (uv) = u v + u v i =,..., N. x i x i x i Se F C (R), F C e u W,p, allora F u W,p e (F u) = F (u) u i =,..., N. x i x i Se R N, estendendo a 0 le funzioni fuori di si ha un immediata immersione di L p () in L p (R N ). Per gli spazi di Sobolev la cosa non è così semplice, ma vale il seguente Teorema 30 (Prolungamento). Sia p e sia R N di classe C e con frontiera limitata (oppure = R N + ). Allora esiste un operatore di prolungamento lineare e continuo P : W,p () W,p (R N ) tale che. P u = u (prolungamento); 2. P u L p (R N ) C u L p (); 3. P u W,p (R N ) C u W,p () (continuità), dove la costante C è una costante che dipende solo da N e p. Tramite prolungamenti e convoluzioni si dimostra il 7

4 SPAZI DI SOBOLEV Teorema 3 (Densità ristretta). Siano di classe C e p <. Data u W,p (), esiste una successione di funzioni u n C C (RN ) tale che u n u in W,p (). In realtà l ultimo teorema può essere migliorato notevolmente, senza ipotesi su : Teorema 32 (Meyers Serrin). Sia p < e sia u W,p (). u n C () W,p () tale che u n u. Esercizio 8. Sia p [, ] e sia f W,p (). Allora f +, f, f W,p (). Allora esiste una successione di funzioni Esercizio 9. Sia = B(0, ) e sia u(x) = x α, α R. Allora u W,p () se e solo se α > N/p. Esercizio 20. Sia p e sia (u n ) n una successione in W,p. Supponiamo che u n u in L p e che Du n g in (L p ) N. Allora u W,p e Du = g. Teorema 33 (Caratterizzazione di W,p ). Sia < p e sia u L p (). Allora sono equivalenti i fatti seguenti:. u W,p (); 2. esiste C tale che u φ dx x C φ p ; 3. Esiste C tale che per ogni aperto ω compattamente contenuto in e per ogni h R N tale che h < dist(ω, C ) risulta u( + h) u L p (ω) C h. In 2 e 3 la miglior costante C è Du p. Osservazione 34. Se p = valgono le seguenti relazioni: 2 3. Le funzioni che verificano 2 o 3 per p = sono le funzioni a variazione limitata. Teorema 35 (Sobolev (Gagliardo-Niremberg)). Sia p < N e sia p = pn ( N p p = p ). N Allora esiste γ = γ(n, p) > 0 tale che ( R N u p ) /p ( ) /p dx γ Du p dx R N u W,p (R N ). In altre parole, W,p (R N ) si immerge con continuità in L p (R N ). Esercizio 2. Il valore di p dato dal Teorema di Sobolev è l unico valore di q per cui con γ = γ(n, p) (si consideri u t (x) = u(tx)). Per interpolazione si ottiene il seguente corollario. u q γ Du p Corollario 36. Sia p < N. Allora W,p (R N ) si immerge con continuità in L q (R N ) per ogni q [p, p ]. Più precisamente, se q = α p + α p, allora u q γ u,p, dove γ è la costante del Teorema di Sobolev. Come corollario del Teorema di Sobolev, si ottiene anche il seguente Teorema 37 (Caso p = N). Per ogni q [N, ) esiste C = C(N, q) > 0 tale che ( ) /q ( ) /N u q dx C Du N dx u W,N (R N ). R N R N In altre parole, W,N (R N ) si immerge con continuità in L q (R N ) q [N, ). 8

4 SPAZI DI SOBOLEV Questo risultato è ottimale, nel senso che esistono funzioni di W,N che non stanno in L : Esercizio 22. Sia = B(0, /2) e sia u(x) = ( log x ) α con 0 < α < /N. Allora u W,N (), ma evidentemente u L (). Un altro esempio simile è dato dalla funzione u(x) = log log( + x ) che appartiene a W,n (B(0, )). Teorema 38 (Morrey). Sia p > N. Allora esiste C = C(N, p) > 0 tale che u C u,p u W,p (R N ). In altre parole W,p (R N ) si immerge con continuità in L (R N ). Inoltre u(x) u(y) C Du p x y /p per q.o. x, y R N. Di conseguenza le funzioni di W,p con p > N ammettono un rappresentante continuo (concetto profondamente diverso dall essere continue quasi ovunque!). Corollario 39. Se p > N e u W,p (R N ), allora lim u(x) = 0. x In particolare, le funzioni di W,p (R), p >, tendono a 0 all infinito. Teorema 40 (Differenziabilità q.o.). Sia N < p e sia u W,p loc (RN ). Allora u è differenziabile q.o. e il suo gradiente distribuzionale coincide col gradiente classico. Inoltre Teorema 4. u W, loc u Lip loc. E come corollario Teorema 42 (Rademacher). Se u Lip loc, allora è derivabile q.o.. Il teorema fondamentale di compattezza negli spazi di Sobolev è il seguente (che si dimostra tramite il Teorema di Ascoli Arzelà e il Teorema 6). Teorema 43 (Rellich Kondrachov). Sia limitato e di classe C. Allora se p < N, allora W,p () L q () q [, p ); se p = N, allora W,p () L q () q [, ); se p > N, allora W,p () C 0 (), e tutte le immersioni sono compatte. In particolare W,p () L p () qualunque sia p, e quindi se u n è una successione che converge debolmente in W,p ad u, allora u n u nei rispettivi spazi di immersione compatta. Definizione 44. Sia un aperto di R N e sia p [, ). Definiamo W,p 0 () = la chiusura di C C () in W,p (). Teorema 45 (Disuguaglianza di Poincaré). Sia un aperto limitato. Allora esiste C = C(N, p) > 0 tale che u p C Du p u W,p 0 (). Osservazione 46. In realtà è sufficiente che sia limitato in una direzione. Corollario 47. Se è un aperto limitato Du p è una norma equivalente a u,p. Ricordiamo anche la seguente 9

4. Il caso N = 4 SPAZI DI SOBOLEV Proposizione 48 (Disuguaglianza di Poincaré Wirtinger). Sia p < N. Allora esiste C = C(N, p) tale che ( B(x, r) B(x,r) ) /p f (f) x,r p ( Cr B(x, r) per ogni B(x, r) e per ogni f W,p (), dove (f) x,r = B(x,r) B(x,r) f. Indichiamo ora con W,p lo spazio duale di W,p 0. B(x,r) Df p ) /p Teorema 49 (Rappresentazione di W,p ). Sia L H,p (). Allora esistono f 0, f,..., f N L p () tali che per ogni u W,p () N u L(u) = f 0 u dx + f i dx. x i Se è limitato, si può prendere f 0 = 0. Corollario 50. Sia p < e sia limitato. Allora u n u in W,p se e solo se Du n V Du V per ogni campo vettoriale V (L p ) N. In particolare Du n Dv Du Dv per ogni v W,p. Esercizio 23. Provare che per ogni u H 2 () H 0 () risulta i= ( ) /2 ( /2 Du 2 dx u 2 dx u dx) 2. Ricordiamo anche il fatto che le funzioni di Sobolev, anche se definite quasi ovunque, hanno significato anche su in base alla teoria delle tracce: Teorema 5 (Teorema di traccia). Sia p < e sia = R N + oppure un aperto limitato di classe C. Allora esiste un operatore lineare e continuo T : W,p () L p ( ) tale che T u = u per ogni u W,p () C 0 (); esiste C = C(N, p) tale che per ogni u W,p () (continuità). Ricordiamo infine la seguente definizione. T u L p ( ) C u W,p () Definizione 52. Siano p e m N. Definiamo per ricorrenza lo spazio { W m,p () = u W m,p () : dotato della norma u m,p = 0 α m Du p. u x i W m,p () i =,..., N Come prima, W m,p () risulta uno spazio di Banach, riflessivo per < p <, separabile per p <, e W m,2 := H m risulta uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare u, v = 0 α m D α u D α v. Non saranno riportati i teoremi relativi agli spazi W m,p, lasciando a chi legge il compito di estendere i risultati precedenti a questi spazi. 4. Il caso N = In questa sezione il dominio naturale dell funzioni sarà un intervallosia I di R. Cominciamo con il seguente miglioramento del Teorema di Morrey. Teorema 53. Sia p. Allora, comunque presa u W,p (I), esiste ũ C(I) tale che u = ũ q.o. su I e inoltre vale la formula del Teorema Fondamentale del Calcolo ũ(x) ũ(y) = x La funzione ũ è chiamata rappresentante continuo di u. y u (t) dt x, y I. }, 0

4 SPAZI DI SOBOLEV 4. Il caso N = Teorema 54. Sia p. Allora esiste C = C(n, I ) (dove I ) tale che cioè W,p (I) L (I) p. Inoltre, se I è limitato, u C u,p W,p (I) C(I) W,p (I) L q (I) u W,p (I), p (, ], p [, ). Proposizione 55. Sia u L p (I), con < p. Allora sono equivalenti:. u W,p (I); 2. esiste C tale che u φ dx x C φ p ; 3. Esiste C tale che per ogni aperto ω compattamente contenuto in I e per ogni h R N tale che h < dist(ω, I C ) risulta u( + h) u Lp (ω) C h. In 2 e 3 la miglior costante C è u p. Osservazione 56. Se p = valgono le seguenti relazioni: 2 3: le funzioni che verificano sono le funzioni assolutamente continue, mentre quelle che verificano 2 o 3 sono le funzioni a variazione limitata. Corollario 57. Sia u L (I). Allora u W, (I) C > 0 tale che u(x) u(y) C x y per q.o. x, y I. Esercizio 24. Provare direttamente che se u W,p (0, ) per qualche p (, ), allora ( /p u(x) u(y) x y /p u (t) dt) p per q.o. x, y [0, ]. Esercizio 25. Siano a, b > 0. Allora u(x) = x appartiene a W,p ( a, b) per ogni p [, ]. 0