PROVA D ESAME SESSIONE STRAORDINARIA 0 Lico scintifico opzion scinz pplict * Lo studnt dv svolgr uno di du problmi rispondr qusiti dl qustionrio Durt mssim dll prov: or È consntito l uso dll clcoltric non progrmmbil PROBLEMA Sti sgundo un corso, nll mbito dll orintmnto univrsitrio, pr l prprzion gli studi di Mdicin Il docnt introduc l lzion dicndo ch un mdico bn prprto dv disporr di conoscnz, nch mtmtich, ch prmttno di costruir modlli d intrprtr i dti ch dfiniscono lo stto di slut l situzion clinic di pzinti Al tuo gruppo di lvoro vin ssgnto il compito di prprr un lzion sul tm: com vri nl tmpo l concntrzion di un frmco nl sngu? S il frmco vin somministrto pr vi ndovnos, si ipotizz pr smplicità ch l concntrzion dl frmco nl sngu rggiung subito il vlor mssimo ch immditmnt inizi diminuir, in modo proporzionl ll concntrzion stss; nl cso ch il docnt ti h chisto di discutr, pr ogni or ch pss l concntrzion diminuisc di dl vlor ch vv nll or prcdnt Individu l funzion (t) ch prsnt l ndmnto richisto, ipotizzndo un concntrzion inizil ng ( 0) (microgrmmi millilitro) rpprsntl grficmnt in un pino crtsino vnt ml n g in sciss il tmpo t sprsso in or in ordint l concntrzion sprss in ml S invc l somministrzion vvin pr vi intrmuscolr, il frmco vin dpprim inittto nl muscolo progrssivmnt pss nl sngu Si ipotizz prtnto ch l su concntrzion nl sngu umnti pr un crto tmpo, rggiung un mssimo poi inizi diminuir con un ndmnto simil qullo riscontrto nl cso dll somministrzion pr vi ndovnos Scgli tr l sgunti funzioni qull ch ritini più dtt pr rpprsntr l ndmnto dscritto pr il cso dll somministrzion pr vi intrmuscolr, giustificndo l tu sclt: ( t ) t (), t t () sin( t) $, t () t t t, t t t () _ i Trcci il grfico dll funzion sclt in un pino crtsino vnt in sciss il tmpo t sprsso in ng or in ordint l concntrzion sprss in dscrivi l su crttristich principli, in ml rpporto l grfico dll funzion rltiv ll somministrzion pr vi ndovnos Pr vitr dnni gli orgni ni quli il frmco si ccumul è ncssrio tnr sotto controllo l concntrzion dl frmco nl sngu Supponndo ch in un orgno il frmco si ccumuli con un ng vlocità v, sprss in, proporzionl ll su concntrzion nl sngu: vt () k$ () t ml $ h Dtrmin l quntità totl di frmco ccumult nll orgno nl cso dll somministrzion ndovnos di qull intrmuscolr studit in prcdnz In qul dll du l ccumulo srà mggior? * L prov è ugul qull dll scuol itlin ll'stro, Amrich, 0 Znichlli Editor, 08
PROBLEMA Si f l funzion dfinit d ( ) ( ) $ Dimostr ch l funzion possid un unico punto di minimo un unico punto di flsso Clcol l coordint dl minimo dl flsso trcci il grfico G f dll funzion; dimostr ch l funzion g ( ) ( ) $ è simmtric f risptto ll ss trccirn il grfico G g ; dtti P Q i punti di intrszion rispttivmnt dl grfico G f dl grfico G g con l ss, dtrmin l r A dll porzion di pino dlimitt dl sgmnto PQ di grfici G f G g ; si f l fmigli di funzioni dfinit d f( ) ( ) $, con! R { 0} Pr ogni funzion f l tngnt l grfico nl punto di flsso intrsc l ss l ss dlimitndo un tringolo rttngolo Dtrmin i vlori di pr i quli tl tringolo è nch isoscl, spigndo il procdimnto sguito QUESTIONARIO Dtrminr il volum dl solido gnrto dll rotzion ttorno ll rtt di quzion dll rgion di pino dlimitt dll curv di quzion dll rtt stss Vrificr ch l funzion: f ( ) h un discontinuità di prim spci ( slto ), mntr l funzion: f ( ) h un discontinuità di trz spci ( liminbil ) Durnt il picco mssimo di un pidmi di influnz il % dll popolzion è cs mmlto: qul è l probbilità ch in un clss di 0 lunni c n sino più di du ssnti pr l influnz? b dscrivr l oprzioni d compir pr vrificr ch, s l intr scuol h 00 lunni, l probbilità ch c n sino più di 0 influnzti è mggior dl 99% Nllo spzio sono dti du pini b rispttivmnt di quzion: ) z 0 b ) z 0 Dopo vr dtrminto l quzion prmtric dll rtt r d ssi individut vrificr ch ss pprtin l pino c di quzion z 0 Considrt l prbol di quzion, nl primo qudrnt ciscun tngnt ll prbol dlimit con gli ssi coordinti un tringolo Dtrminr il punto di tngnz in modo ch l r di tl tringolo si minim Dtrminr l funzion dnsità di probbilità di un vribil csul continu ch ssum vlori nll intrvllo [; ] con un distribuzion uniform Dtrminr inoltr il vlor mdio, l vrinz, l dvizion stndrd di tl vribil l probbilità ch si # # Znichlli Editor, 08
8 9 0 Clcolr il vlor mdio dll funzion f ( ) # # ( # nll intrvllo [; ] dtrminr il vlor dll in cui l funzion ssum il vlor mdio Un sfr h il rggio ch umnt l pssr dl tmpo scondo un dt funzion r(t) Clcolr il rggio dll sfr nll istnt in cui l vlocità di crscit dll suprfici sfric l vlocità di crscit dl rggio sono numricmnt uguli In un rifrimnto crtsino nllo spzio Oz, dt l rtt r di quzioni: t * t z kt il pino P di quzion: z 0, dtrminr pr qul vlor di k l rtt r il pino P sono prllli, l distnz tr di ssi Scrivr l quzion dll circonfrnz C ch h il cntro sull ss d è tngnt l grfico G f di f ( ) nl suo punto di flsso Znichlli Editor, 08
SOLUZIONE SESSIONE STRAORDINARIA 0 Lico scintifico opzion scinz pplict PROBLEMA Si (t) l concntrzion dl frmco nl sngu ll istnt t, sprss in n gml /, dov t 0 rpprsnt il momnto dll inizion Dir ch l concntrzion, ogni or, si riduc di risptto ll or prcdnt, quivl dir ch l concntrzion in ogni istnt (lmno prtir d un or dopo l inizion) è pri i dll concntrzion rgistrt un or prim Abbimo dunqu: ^0h, ^h ^0h, 0 ^ h ^ h k ^ h k, così vi In gnrl possimo ipotizzr ch l concntrzion dl frmco sgu l ndmnto dscritto dll sgunt funzion: ^th k t, dov t $ 0 indic il tmpo trscorso dll inizion, sprsso in or L ndmnto è dunqu qullo di un funzion sponnzil con bs minor di ; disgnimo il rltivo grfico Nl cso di somministrzion intrmuscolr, l concntrzion è crscnt in un primo intrvllo di tmpo poi dcrscnt, con ndmnto sintotico vrso il vlor nullo, rimnndo smpr positiv Tr l quttro funzioni propost, l unic comptibil è l ultim; inftti: ^t l prim funzion t h ^ h rpprsnt un prbol con l concvità vrso il bsso, ch non h ndmnto sintotico vrso lo zro; l scond funzion t sin t t ^ h ^ h h ndmnto sintotico, m è oscillnt; l trz funzion ^th t t t è un cubic, ch non h ndmnto sintotico t t Mostrimo ch invc t ^ h _ i con t! 0; h l ndmnto richisto L funzion ssum vlori smpr positivi, d è null solo pr t 0 Inftti: lim t t t t t t t ^0h 0; ^ th 0 " _ i 0 " " " t 0; t t t t ^th 0 " " " t 0 " t 0 t lim t t ^ h _ i 0, quindi h sintoto orizzontl 0 pr t " t " " O (µg/ml) Figur (t) ( ) t 8 9 t (h) Znichlli Editor, 08
Clcolimo l drivt prim: l^ th t t 0 t t 0 t t k _ i studimo il suo sgno pr t $ 0: t t t t t t t 0 0 t l^ h " " " " " t ln " t ln, con ln 9, L funzion è dunqu crscnt pr 0 # t ln, dcrscnt pr t ln, mostr prtnto l ndmnto richisto dll concntrzion dl mdicinl nl sngu Pr disgnr più ccurtmnt il grfico dll funzion, dtrminimo il punto di mssimo rltivo, ch è nch ssoluto, studimo l drivt scond Pr il mssimo trovimo: ln ln ln ln ln ` j k k A A : ` j ` j D 0,, quindi il punto di mssimo h pprossimtivmnt coordint (,9; 0,) Clcolimo l drivt scond: t 0 t t t t ll^ h k _ 0 9 i studimo il suo sgno: t t t t t t t 0 9 9 9 t 0 9 ll^ h " " " " " t ln t ` j " $ ln ` j " t ln ` j, con ln ` j, 8 Quindi l drivt scond è positiv, l funzion volg l concvità vrso l lto, pr t ln` j, mntr l drivt scond è ngtiv, l funzion volg l concvità vrso il bsso pr 0 # t ln` j Disgnimo il grfico plusibil dll funzion rltiv ll somministrzion pr vi intrmuscolr confrontndolo con qullo rltivo ll somministrzion pr vi ndovnos (µg/ml) (t) ( ) t P t (t) t ( ) O 8 0 8 t (h) Figur Pr individur il punto P di intrszion fr i du grfici vlutimo l funzion diffrnz d t t t ^ h k _ i pr t pr t : d^h 0, 0; d^h 0, 0 Quindi l du concntrzioni divntno uguli in un tmpo t! @ ; Znichlli Editor, 08
Con l somministrzion pr vi intrmuscolr, nll prim or si h un concntrzion minor risptto ll somministrzion pr vi ndovnos, m dll sst or in poi l concntrzion risult mggior L quntità totl di frmco (in n gml / ) ccumult in un orgno si può clcolr mdint un intgrl improprio rifrito ll intrvllo 0; Vlutimo i du csi in sm Accumulo nl cso di somministrzion pr vi ndovnos: A v t dt k t dt k t z dt k lim t dt k lim ln t z $ ^ h ^ h k $ k $ : k D 0 0 0 z " 0 z " 0 k k lim k, k ln z 0 $ : k kd $ ln 0 @ ln 9 z " Accumulo nl cso di somministrzion pr vi intrmuscolr: t t t t Ai v() tdt k$ tdt () k$ _ idt k$ lim _ idt z " 0 0 0 t t z z z k$ lim @ 0 k$ lim ^ h( ) A z " z " k $ [ 0 ( )] k Ngli orgni si ccumul prciò un quntità mggior di frmco s si procd pr vi intrmuscolr PROBLEMA L funzion f^h ^h è continu infinitmnt drivbil su R Studimo l su drivt prim pr dtrminr i suoi vntuli punti di minimo di mssimo f l^ h ^ h $ 8 Ottnimo llor: f l^ h 0 pr 0, con f 0 0 0 $ ^ h ^ $ h ; f l^ h 0 f () crscnt pr 0 ; f l^ h 0 f () dcrscnt pr 0 L funzion h dunqu un solo punto di minimo rltivo ssoluto di coordint ^0; h Procdimo in modo nlogo con l drivt scond f 8 8 ll^ h $ ^8 h Risult: fll^ h 0 pr, con f $ $ k ` j : ` j D, ; fll^ h 0 f () volg l concvità vrso l lto pr ; fll^h 0 f () volg l concvità vrso il bsso pr L funzion h dunqu un solo punto di flsso di coordint ` ; j Znichlli Editor, 08
Pr disgnr il grfico G f, dtrminimo infin l intrszioni con gli ssi, i limiti gli strmi dl dominio il sgno dll funzion: f^0h com già dtto; f^h 0 " ^ h 0 " 0 " ; lim f^h lim ^ h 0; " " lim f^h lim ^ h " " f ( ) 0 " ^h 0 " 0 " Disgnimo un grfico plusibil dll funzion ; O f() ( ) Figur Poiché g^h f^h, l funzion g() è simmtric f() risptto ll ss ; trccimo il suo grfico G g prtir dl grfico di f() f() O g() Figur Znichlli Editor, 08
I punti P Q hnno coordint P ` ; 0j Q ` ; 0j Pr l simmtri di grfici G f G g bbimo: 0 0 0 0 ; A g^hd f^hdo f^hd ^h @ d bbimo ntposto il sgno mno ll intgrl pr vr un vlor positivo pr l r, visto ch l funzioni sono ngtiv nll intrvllo considrto Clcolimo l intgrl indfinito corrispondnt: ^ h @ d ^ hd d d D $ $ @ d D @ d d c ^ h c, dov simo ricorsi ll intgrzion pr prti pr risolvr d Tornndo l clcolo dll r, ottnimo: A ^ h @ d ^ h @ 0 0 &: $ ` $ j D ^$ 0 h @ 0 ^ h, 0 Considrimo l funzion f ^h ^ h dll fmigli ssgnt, con! 0 Ossrvimo ch l funzion f () considrt in prcdnz è l funzion dll fmigli ch si ottin pr, mntr g() si ottin pr Più in gnrl, l ndmnto dll funzion f () è simil qullo dll funzion f () pr 0 qullo dll funzion g() pr 0 In prticolr, pr 0 f () è ottnut d f () mdint un diltzion o un contrzion orizzontl, pr 0 f ^h è ottnut d g() mdint un diltzion o contrzion orizzontl: f ^h fh ^ ( ) h, con h^h! 0 Dtrminimo il punto di flsso di f (): fl^h ^ h $, f ll^ h ^ h Poiché! 0 pr ipotsi, risult: f ll^h 0 " 0 " ; inoltr f ll ( ) cmbi di sgno prim dopo, ch risult dunqu l sciss dll unico punto di flsso Clcolimo l corrispondnt ordint: $ f k ` j : $ ` j D, ossrvimo ch il suo vlor non dipnd d Figur g() Q P O f() 8 Znichlli Editor, 08
Il cofficint ngolr dll rtt tngnt l grfico di f () nl punto di flsso F` ; j vl: f $ k l` j $ ` j l rtt tngnt h quzion: f f ` j l` j$ : ` jd " $ ` j " " Dtrminimo l intrszioni dll rtt tngnt con gli ssi crtsini Intrszion con l ss : * " 0 " 0 " " A` ; 0 j 0 Intrszion con l ss : * " $ 0 " " B0; k 0 Rpprsntimo l situzion rltiv l cso 0 nl disgno qui sotto, ricordndo ch l situzion rltiv l cso 0 si ottin pr simmtri risptto ll ss A O f (), > 0 F B Figur Il tringolo OAB è isoscl s i ctti OA OB hnno l stss lunghzz; imponndo qust condizion trovimo il vlor di crcto: A B " "! "! I vlori di pr i quli OAB è isoscl sono du Pr, l tngnt l grfico di f nl punto di flsso è prlll ll bisttric, com in figur Pr, l tngnt l grfico di f nl punto di flsso è prlll ll bisttric 9 Znichlli Editor, 08
QUESTIONARIO Individuimo l rgion comprs fr il grfico dll funzion f^h l rtt di quzion L funzion f() h dominio R non è né pri né dispri È un funzion polinomil di trzo grdo, quindi, oltr non vr sintoti orizzontli vrticli, non h sintoti obliqui Crchimo l intrszioni fr grfico dll funzion rtt f^h " " 0 " ( ) 0 " 0 00 Il grfico di f() intrsc l rtt di quzion in ^ ; h, (0; ), ^ ; h L drivt prim dll funzion fl^ h ^ h ssum vlori positivi pr 0 ngtivi pr Dunqu f() è crscnt pr 0 dcrscnt pr L funzion h un mssimo rltivo in ^; h un minimo rltivo in (; ) L drivt scond fll^h ssum vlori positivi pr 0 ngtivi pr 0 Quindi f() h l concvità vrso l lto pr 0 vrso il bsso pr 0 Disgnimo il grfico pprossimtivo dll funzion f() dll rtt, individundo l rgion R d ruotr f() R O Figur Il volum dl solido gnrto dll rotzion di R ttorno ll rtt di quzion è dto dll intgrl: V f r ^ h @ d r ^ h d r ^ 9 hd r: D 0 Znichlli Editor, 08
r& : ^ h ^ h ^ hd: ^ h ^ h ^ hd0 r: ` 9 j` 9 jd 08 0 0 r` 8j r r 9, L funzion f^h è dfinit pr! 0; clcolimo il limit sinistro dstro dll funzion nl punto di discontinuità 0: lim 0 0, lim " " 0 0 Poiché i du limiti sono finiti divrsi, l funzion prsnt un slto (discontinuità di prim spci) pri in 0 Anch l funzion f^h è dfinit pr! 0; clcolimo il limit sinistro dstro dll funzion nl punto di discontinuità 0: 0 0 lim 0 0 0, lim " " 0 0 0 0 Poiché i du limiti sono finiti uguli, l funzion prsnt un discontinuità liminbil (discontinuità di trz spci) in 0 Indichimo con p 0, l probbilità ch un prson dll popolzion si influnzt Considrimo l vribil csul discrt X «numro di lunni influnzti» Tl vribil sgu un distribuzion di probbilità binomil Possimo quindi clcolr l probbilità ch più di du lunni, in un clss di 0 lunni, sino cs influnzti mdint l diffrnz: p^x h p^x 0h p^x h p^x h Clcolimo sprtmnt i divrsi trmini: 0 0 0 0 p^x 0h ` 0 jp ^ ph $ $ 0, 8 009, " 9, %, 0 9 9 p^x h ` jp ^ ph 0$ 0, $ 08, 0, ", %, 0 8 8 p^x h ` jp ^ ph 90 $ 0, $ 0, 8 0, 9 ", 9% Risult dunqu: p^x h 0, 09 0, 0, 9 0, 9 " 9, % L probbilità ch sino cs influnzti lmno studnti dll clss è qusi il 0% b Più in gnrl, rifrndosi ll popolzion di 00 studnti dll scuol, l probbilità ch c n sino più di 0 cs mmlti è dt d: 0 00 p X 0 p X n n 0 n, 0, 8 00 n ^ h / ^ h / ` j $ n 0 0 n 0 Znichlli Editor, 08
I clcoli in qusto cso sono molto lboriosi pr il loro sviluppo srbb opportuno ricorrr un foglio lttronico Potndo implmntr il clcolo computr, si trov: p^x 0h 0, 999 " 99, 9% I du pini si intrscno lungo un rtt prché i cofficinti dll vribili corrispondnti non hnno lo stsso rpporto `! j L rtt r intrszion di b è rpprsntt dl sistm formto dll quzioni di du pini z 0 z z r b ) " " " z 0 ) ^ z h z 0 ) z 8 0 z 8 ` z z z z 8 j * " z 8 " * * z 8 Posto z t, con t! R, trovimo l quzion prmtric dll rtt r b: Z t ] [ t 8 ] \ z t Vrifichimo ch l rtt pprtin l pino c di quzion z 0; pr frlo, sostituimo,, z nll quzion dl pino l sprssioni prmtrich di r, vrifichimo ch ottnimo un idntità: ` t j ` t 8 j t 0 " t t 8 t 0 " 0 0 Avndo ottnuto un idntità, risult r c Considrimo l rco di prbol di quzion pprtnnt l primo qudrnt Un gnrico punto P su tl rco h coordint Pk ^ ; k h, con 0 k D P trccimo l tngnt ll prbol, ch intrsc gli ssi rispttivmnt in A in B Poiché l, l rtt tngnt ll prbol in P h quzion: ^ k h k^ kh " " k k k " k k L coordint di A sono: k k k k 0 ) " ) " 0 0 k k k * " A ; 0 k k 0 L coordint di B sono: k k k 0 ( " ( " B^0; k h 0 0 L r dl tringolo OAB, in funzion di k, risult: k A^kh $ OA $ OB $ $ ^k k h ^k h k Figur 8 B A O P Znichlli Editor, 08
Crchimo il vlor di k ch rnd minim tl r: Al^ kh ^k h$ k$ k ^k h $ ^k h^k h, k k Al^kh 0 " k 0 " k! Nll intrvllo considrto ]0; [ è dunqu: Al^kh 0 pr k ; A l^ k h 0 A(k) dcrscnt pr 0 k ; A l^ k h 0 A(k) crscnt pr k ; quindi l r dl tringolo OAB ssum vlor minimo pr k Il punto P corrispondnt h coordint: 8 Pc ; c m m " Pc ; P ; m " c m In gnrl, l funzion dnsità di probbilità di un vribil csul continu X dfinit su [; b] vnt distribuzion uniform è così dfinit: Z 0 s ] f^h [ s # # b b ] \ 0 s b Il vlor mdio l vrinz si clcolno rispttivmnt con l formul: b M^Xh, vr^xh ^b h L vribil csul X dfinit su [; ] con distribuzion uniform h dunqu l sgunt funzion dnsità di probbilità: Z0 s ] f^h [ s # #, ] \ 0 s i sgunti indici: vlor mdio M^Xh, vrinz vr^xh ^ h 9, dvizion stndrd v vr^xh Clcolimo l probbilità richist con l intgrl dfinito dll funzion dnsità: p` # # j f^hd d @ ` j 8 $ 0, Znichlli Editor, 08
Pr pplicr il torm dll mdi dobbimo prim vrificr ch f() è continu in [; ] I du trtti sono funzioni continu su R in prticolr sui rispttivi intrvlli di dfinizion Quindi dobbimo vrificr l continuità solo nl punto di rccordo tr i du trtti Clcolimo i limiti dstro sinistro in : lim f lim ^ h ^ h f ^h; lim f ^h lim ^ h f ^h " " " " I du limiti coincidono, quindi f è continu in [; ] Clcolimo il vlor mdio dll funzion f(): b m f d d d b ^ h : ^ h ^ h D ': D @ 9 0 : ` j` j ^ h ^ hd Crchimo l controimmgin di 8, Ossrvimo ch pr # # è 0 # f^h #, quindi l controimmgin di nll intrvllo ]; ] v crct f^h " " " ln, 8 9 L suprfici sfric di rggio r(t) vl S^th r r^th@, quindi l vlocità di crscit dll suprfici sfric è: Sl^th 8 rr^th$ rl^ th Imponimo ch l vlocità di crscit dll suprfici sfric si numricmnt ugul ll vlocità di crscit dl rggio: Sl^th rl^th " 8rr^th$ rl^th rl^th " 8rr^th @ rl^ th 0 Poiché è rl^th! 0, prché il rggio umnt l vrir dl tmpo, dv llor ssr: 8rr^th 0 " r^th 8 r Il vttor dirzion dll rtt r è r ^ ; ;kh, con k! R, mntr il vttor dirzion prpndicolr l pino P è p ^ ; ; h L rtt r è prlll l pino P s r p sono prpndicolri, cioè s: r $ p 0 " $ $ k$ ^ h 0 " k L rtt prlll l pino è dunqu: r: * t t z t L distnz fr rtt pino coincid con l distnz di un qulunqu punto dll rtt dl pino; considrto pr smpio il punto dll rtt di coordint A(; ; 0), ch si ottin pr t 0, ottnimo: drp ^, h d^ap, h $ $ $ 0 ^h Znichlli Editor, 08
0 Crchimo il punto di flsso dll funzion f^h : con fl^h, fll^h ^ h, fll^ h 0 pr, fll^ h 0 pr, fll^ h 0 pr L funzion prsnt quindi un punto F di flsso di coordint: F^; f ^hh F^; h L rtt t tngnt l grfico G f dll funzion in tl punto h quzion: f ^h fl^h$ ^ h " ^ h " Il cntro dll circonfrnz crct h coordint C (0; c); inoltr, poiché l circonfrnz è tngnt G f nl punto di flsso F, il vttor CF risult prpndicolr ll rtt t Imponimo l condizion di prpndicolrità: F C c mcf m " " 0 " c " c t F C L circonfrnz h cntro C`0; j pss pr F^; h; il suo rggio è dunqu: 0 r CF ^ 0h ` j ` j 9 9 0 Dtrminimo l quzion dll circonfrnz: r 0 0 ^ Ch ^ Ch " ^ h ` j k " 9 0 9 9 " 9 9 9 0 Pur non ssndo richisto, rpprsntimo grficmnt l situzion Ossrvimo ch l drivt prim fl^h ^h è ngtiv pr 0, quindi l funzion è dcrscnt in tl intrvllo O C F f() Figur 9 Znichlli Editor, 08