Esercizi sui sistemi dinamici discreti e continui Esercitatori: Dott. Alessandro Ottazzi Dott.ssa Maria Vallarino 1 Sistemi dinamici discreti Esercizio 1. In un vivaio di orate la numerosità delle orate cresce con legge malthusiana: ogni anno la popolazione diventa una volta e mezza quella dell anno precedente. Ogni anno in media l allevatore vende 200 orate al ristorante Il Veliero. Indichiamo con N k la numerosità di orate al k-esimo anno. Scrivere la legge con cui si evolve N k. Sapendo che la popolazione è in equilibrio, qual è il numero iniziale N 0 di orate che l allevatore ha messo nel vivaio? Se egli avesse scelto piú di N 0 orate, quale sarebbe stato il destino della popolazione? Esercizio 2. Consideriamo il sistema dinamico discreto descritto dalla legge x k = 1, con k 1 e x x 2 0 > 0. Esercizio 3. Consideriamo il sistema dinamico discreto descritto dalla legge x k = 1 x, con k 1 e x 0 > 0. Esercizio 4. Consideriamo il sistema dinamico discreto descritto dalla legge x k = 1 x, con k 1 e x 0 > 0. Esercizio 5. In un paesino di 1000 abitanti, il tasso di mortalità è del 20%. Ogni anno nascono 100 bambini. Descrivere il sistema dinamico discreto che governa l evoluzione, trovare il punto di equilibrio e determinarne la natura (attrattivo, repulsivo, stabile). Infine, determinare nel tempo l evoluzione del sistema. 1
Esercizio 6. Sia q il tasso annuo medio di aumento del volume d acqua di un bacino artificiale utilizzato per l irrigazione. Il tasso q è controllato dall uomo per mezzo di un complesso sistema di canalizzazione dell acqua piovana. La capienza del bacino è di 2 10 6 litri. Supponiamo che le piogge autunnali provvedano a riempire direttamente il lago per una quantità annua di 2 10 2 litri d acqua. Se si desidera che allo scadere del primo anno il bacino contenga esattamente una quantità d acqua pari alla sua capienza, qual è il tasso q da scegliere? Esercizio 7. Una popolazione di scimmie si evolve con la legge ( N k = N + N 1 N ), 2000 dove N k indica la numerosità della popolazione al k-esimo anno. Qual è la capicità portante dell ambiente? Quali sono i valori di equilibrio per l evoluzione di questo sistema? Supponendo che il numero iniziale di scimmie sia pari a 2500, qual è il destino finale della popolazione? Esercizio 8. Consideriamo il modello logistico discreto ( N k = N + bn 1 N ), K con b = 2 e K = 2000. Qual è la capicità portante dell ambiente? Quali sono i valori di equilibrio per l evoluzione di questo sistema? Esercizio 9. All istante t = 0 vi sono N 0 trote nell allevamento del signor Poisson. Supponiamo che, in assenza di prelievo di esemplari da parte di pescatori, il sistema evolva in modo malthusiano, e che il tasso di variazione specifico ((N k N )/N ) della numerosità delle trote sia costante, pari a 3/2. (a) Descrivere l evoluzione del sistema dinamico discreto (unità temporale = 1 mese) durante i mesi nei quali la pesca è interdetta. (b) Supponiamo che nei mesi in cui la pesca è consentita vengano pescati ogni mese p esemplari. Determinare l evoluzione del sistema, supponendo una numerosità pari a N 0 all istante t = 0. (c) Quanto deve valere N 0 affinché al termine di ogni mese del periodo in cui la pesca è consentita vi sia nell allevamento sempre lo stesso numero di trote? 2
Esercizio 10. All istante t = 0 vi sono N 0 volpi nella riserva di caccia del signor Hunter. Supponiamo che, in assenza di prelievo di esemplari da parte di cacciatori, il sistema evolva in modo malthusiano, e che il tasso di variazione specifico ((N k N )/N ) della numerosità delle volpi sia costante, pari a 5/2. (a) Descrivere l evoluzione del sistema dinamico discreto (unità temporale = 1 mese) durante i mesi nei quali la caccia è interdetta. (b) Supponiamo che nei mesi in cui la caccia è consentita vengano uccisi ogni mese q esemplari. Determinare l evoluzione del sistema, supponendo una numerosità pari a N 0 all istante t = 0. (c) Quanto deve valere N 0 affinché al termine di ogni mese del periodo in cui la caccia è consentita vi sia nella riserva sempre lo stesso numero di volpi? 2 Sistemi dinamici continui Esercizio 11. Indichiamo con N(t) la numerosità al tempo t di una popolazione. β ( 10 3 N(t) ), dove β indica un parametro reale. (c) Disegnare un grafico qualitativo di N(t) nel caso in cui β = 2. (d) Supponendo N 0 = 10 5 e β = 2, quanto tempo deve trascorrere perché N(t) 10 3 < 10 2? Esercizio 12. Indichiamo con N(t) la numerosità al tempo t di una popolazione. α ( 100 N(t) ), dove α indica un parametro reale. 3
(c) Disegnare un grafico qualitativo di N(t) nel caso in cui α = 1. (d) Supponendo N 0 = 1000 e α = 1, quanto tempo deve trascorrere perché N(t) 100 < 10? Esercizio 13. Indichiamo con N(t) la numerosità al tempo t di una popolazione di scimmie di un isola tropicale. Supponiamo che la popolazione al tempo iniziale t = 0 sia pari a N 0 > 0 e che evolva secondo la legge N (t) = N 0(900 N(t) 2 ). N(t) (a) Si fornisca la definizione di soluzione di equilibrio per l equazione differenziale assegnata e si illustrino i vari tipi di equilibrio possibili. (b) Si determinino le soluzioni di equilibrio del sistema e le si classifichino. (c) Si tracci un grafico qualitativo della funzione N(t), nel caso in cui N 0 = 25. (d) Si determini la funzione N(t), nel caso in cui N 0 = 31. Esercizio 14. Indichiamo con N(t) la numerosità al tempo t di una popolazione. e N(t)2 /N(t) 2. (a) Determinare N(t) per t > 0, supponendo che N(0) = N 0 (si assume (b) Disegnare un grafico qualitativo di N(t). Esercizio 15. Indichiamo con N(t) la numerosità al tempo t di una popolazione. α ( 10 6 N(t) ), dove α indica un parametro reale. (c) Disegnare un grafico qualitativo di N(t) nel caso in cui α = 1. 4
(d) Consideriamo la variante seguente del modello del punto (a): il tasso di variazione specifico di N(t) è uguale a α ( 10 6 N(t) 2), dove α è come sopra. Confrontare questo modello con quello precedente dal punto di vista biologico. Determinare N(t) per t > 0, supponendo che N(0) = N 0 (si assume (Suggerimento: si consiglia il cambio di variabili N 2 = U nel calcolo dell integrale che interviene nella formula risolutiva dell equazione differenziale). Esercizio 16. Sia m(t) la massa al tempo t di un isotopo radioattivo la cui massa iniziale sia 10 5 grammi. Supponiamo che la massa decada istantaneamente in modo proporzionale alla massa stessa e che il tasso di decadimento per unità di massa sia a = 5 10 3 ln 2(anni) 1. (a) Determinare la funzione m(t) e tracciarne un grafico qualitativo. (b) Calcolare gli anni necessari affinché la massa si dimezzi (tempo di dimezzamento). Esercizio 17. Indichiamo con N(t) la numerosità al tempo t di una popolazione di topi. Supponiamo che N(t) vari secondo la legge N (t) = N(t)(50 N(t)). 50 (b) Determinare N(t) per t > 0, supponendo che N(0) = N 0 (si assuma che 0 < N 0 < 50). (c) Disegnare un grafico qualitativo di N(t) nel caso in cui N 0 = 25. (d) Supponiamo che ogni topo consumi, ad ogni istante, 0.5 grammi di formaggio. Se N 0 = 25, quanto formaggio viene consumato dall istante iniziale fino all istante t = 3 dall intera popolazione? Esercizio 18. Consideriamo una popolazione di numerosità N(t) che evolve secondo la legge N (t) = 10 3 N(t) 1. Interpretare biologicamente i coefficienti 10 3 e 1 dell equazione. Risolvere poi l equazione. Per quali valori della numerosità iniziale la popolazione si estinguerà? 5