Funzioni Deinizione di unzione : una unzione che associa ad ogni elemento : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge A uno e un solo elemento y B y = () y viene chiamato immagine di e indicato anche con (). Esempio: se consideriamo come insieme A l insieme degli studenti della classe 5B (del liceo scientiico di Montevarchi nell anno scolastico in corso) e come insieme B l insieme dei giorni dell anno, possiamo considerare la unzione che associa ad ogni studente la propria data di nascita. Proprietà di una unzione Una unzione si dice iniettiva se ad elementi distinti ( ) corrispondono immagini distinte ( ) ( ) Per esempio la unzione : studente 5B data di nascita, non è detto che sia iniettiva perche ci potrebbero essere studenti nati nello stesso giorno.
Una unzione si dice suriettiva se ogni elemento elemento A. y B è l immagine di almeno un Esempio di unzione suriettiva ma non iniettiva NOTA: se prendiamo come insieme di arrivo B l insieme delle immagini, ogni unzione diventa suriettiva. Una unzione si dice biunivoca quando è iniettiva e suriettiva e quindi quando ad ogni elemento A corrisponde uno e un solo elemento y B e viceversa. Questa unzione viene detta anche uno-a-uno.
Funzioni reali di variabile reale Data : A B se A, B R, cioè A e B sottoinsiemi dell insieme dei numeri reali, si dice unzione reale di variabile reale. La variabile A variabile dipendente. viene detta variabile indipendente mentre ( ) Esempio: : + è la unzione che associa ad ogni numero reale R il suo successivo. y = viene chiamata Dominio della unzione: è l insieme dei numeri reali per cui la unzione risulta deinita. Esempio : : ha come dominio D = R { 0} poiché per = 0 non è possibile eettuare. 0 Esempio : π π : tg è deinita per + kπ cioè il suo dominio è D = R = + kπ, k Z. Codominio della unzione: è l insieme delle immagini della unzione. Esempio : Esempio: : tg ha come codominio C = R. sen C = ; : ha come codominio [ ] Graico della unzione: è l insieme dei punti ( y) sistema di rierimento., con D e ( ) y = rispetto ad un Esempio: il graico di y = sen è il seguente. D = R C = [, ] 3
NOTA : dal graico di una unzione possiamo vedere se è iniettiva tracciando rette parallele all asse : se le rette parallele all asse che intersecano il graico lo intersecano solo in un punto allora si tratta di una unzione iniettiva, altrimenti no. Inatti per esempio nel graico di y = sen una retta y = k con k interseca ininite volte il graico ed inatti y = sen non è una unzione iniettiva. π 6 5 π 6 ecc. NOTA : se una curva è graico di una unzione allora tagliandola con rette parallele all asse y dobbiamo avere al massimo una intersezione (ad ogni A è associato uno ed un solo y = ( ) B ) Per esempio una circonerenza non è graico di una unzione. + y y = ± = Ad un valore corrispondono due immagini distinte. 4
Esercizi Determina dominio, codominio e graico delle seguenti unzioni:. y = + ( : + ). y = + 3. y = 4. y = cos 5. y = tg *6. y = 4 Svolgimento: se eleviamo al quadrato entrambi i membri otteniamo y ( 4 ) + = = y 4 4 Si tratta di una ellisse con semiassi a =, b = (centro l origine e assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani). Non possiamo però considerare tutta la curva ma solo la parte con y 0 poiché la unzione era y = 4 e quindi y 0 Il dominio: D : (inatti si deve avere 4 0 ) Il codominio : 0 y 7. y = 8. y = 5
Esempi di determinazione del dominio ) Se abbiamo una unzione polinomiale il suo dominio è R. Esempio: le unzioni y = a + a + a +... + 0 n a n y = + ; = 3 y ; y = + Hanno tutte come dominio R. ) Se è una unzione razionale ratta (cioè quoziente di due polinomi) per determinare il suo dominio basterà escludere i valori che annullano il denominatore. : N( ) D( ) = a0 + a +... + an b + b +... + b 0 m n m D { : D( ) = 0} = R Esempi: = y ha come dominio { } R ; y ha come dominio R { ± } = 4 3) a) Se ( ) = n R( ) cioè è una radice con indice pari, il dominio si troverà risolvendo R ( ) 0 Esempio: y = 0 D : < 0 > b) Se ( ) = n + R( ) cioè () è una radice di indice dispari, il duo dominio coinciderà con quello del radicando R(). Esempio: y = 3 D : 0 6
4) Se ( ) è una unzione goniometrica ricordiamo che y = sen D = R y = cos D = R y = tg π D = R + kπ / k Z Esempi π y = sen D = R 3 π π π 3 π y = tg + kπ π + k 4 4 8 5) ( ) a = (unzione esponenziale) ha come dominio R. = Esempio: y ha come dominio { } R perché l esponente è deinito per. 6) ( ) log = a (unzione logaritmica) ha come dominio > 0 (cioè l argomento deve essere positivo). Quindi se per esempio abbiamo = log ( ) > 0 >. y a dovremo porre l argomento positivo: Nota: per indicare il logaritmo in base e (numero irrazionale, 7 ) scriveremo ln, cioè ln = loge. 7
Determina il dominio delle seguenti unzioni: Appunti di Matematica 5 Esercizi 3 ) y = + + [R ] ) y = [ ±] 3) y = [ 0 > ] 4) y = 3 [ ] π 3 5) y = sen + cos [ + kπ π + kπ ] 4 4 6) y = 4 [ 0 ] + 7) = y e [ ] 8) y = ln [ 3 < < > 3 ] 9 9) y = ln [ ] 0) y ] 4 = 9 3 [ 0 ) y = [ > 0 ln e, ] e ) 3 π y = tg [ + kπ ] 3) ln y = 4 [ 0 < e ] e 4) y = [R ] e π π 5) y = sen + tg [ + k ] 4 8
Caratteristiche di una unzione Vediamo alcune caratteristiche di una unzione: ) ( ) si ha ( ) ( ) si dice unzione crescente in I(a,b) (I intervallo anche illimitato) se per ogni < I <, mentre si dice decrescente in I per ogni I >. < ( ) ( ) Può darsi che una unzione sia crescente (o decrescente) in tutto il dominio oppure crescente in alcuni intervalli e decrescente in altri. Esempi y = + è crescente D y = è decrescente 0 y = sen è crescente negli intervalli π π + kπ + kπ, decrescente quando π 3 + kπ π + kπ quindi in = (,0] I è crescente 0 cioè in I = [ 0,+ ) NOTA: Naturalmente una unzione può essere costante cioè ( ) k Esempio: y = D = R = D. unzione costante 9
) a. Una unzione ( ) si dice limitata ineriormente se ( ) m D ( m si dice minimo della unzione e appartiene al codominio) oppure se ( ) I > D (I si dice estremo ineriore e non appartiene al codominio). Esempio: y = + ha un minimo = m ( ) D = R Esempio: y = e ha un estremo ineriore = 0 I ( ) > 0 D = R b. Una unzione ( ) si dice limitata superiormente se ( ) M D (M si dice massimo della unzione e appartiene al codominio) oppure se ( ) S codominio) < D (S si dice estremo superiore e non appartiene al Esempio: y = + ha massimo = Esempio: M : ( ) y = e ha estremo superiore = 0 R S : ( ) < 0 R 0
c. ( ) si dice limitata se è limitata ineriormente e superiormente. Esempio: Esempio: y = sen è limitata ( m =, M = ) π π y = arctg è limitata I =, S = 3) a. Una unzione ( ) si dice pari quando ( ) = ( ) e quindi il suo graico è simmetrico rispetto all asse y. Esempio: y = + è pari NOTA: se in una unzione la variabile compare solo con esponente pari la unzione è pari. 4 Esempio: y 3 + = è una unzione pari poiché ( ) e quindi il suo graico è simmetrico rispetto all origine del sistema di rierimento. b. Una unzione ( ) si dice dispari quando ( ) = ( ) 4 ( ) 3 + ( ) = = ( ) Esempio: 3 y = è dispari ' P ( ; ( ) ) P ( ; ( ) ) sono simmetrici rispetto a (0;0)
4) Una unzione ( ) si dice periodica di periodo T quando T è il minimo valore per cui ( T ) ( ) = + ( ) D Esempi: a. y = sen ha periodo T = π y = sen ha periodo T = π Inatti + π = sen + π = sen + π = sen = ( ) ( ) ( ) ( ) In generale y = senk ha periodo T π = k π π + = sen k = sen = k + k π ( k + ) = senk ( ) b. y = cos ha periodo T = π y = cos ha periodo T = π In generale poiché y = cos k ha periodo T π = k π π ( + ) = cos k = = k + k cos π cos c. y = tg ha periodo T = π ( k + ) = k ( ) π In generale y = tgk ha periodo T = poiché k π π + = tg k = tg k + = tgk = k + k π ( ) ( )
5) Una unzione ( ) può avere un asintoto Appunti di Matematica 5 orizzontale: quando il suo graico si avvicina ad una retta orizzontale di equazione k y =. Esempio: y = e ha l asse come asintoto orizzontale ma solo quando (parte sinistra del graico). Esempio: y = ha l asse come asintoto orizzontale sia per + che quando (cioè sia a sinistra che a destra). Verticale: quando il suo graico si avvicina ad una retta verticale di equazione = k quando k ( = k D ). Esempio: π y = tg ha come asintoti verticali le rette di equazione = + kπ Esempio: y = ln ha come asintoto verticale l asse y. 3
obliquo: quando il suo graico si avvicina ad una retta di equazione + e/o y = m + q quando y Esempio: y = 9 ( = 3 9 4 a = 3 b = ) y = ± 3 asintoti obliqui Esercizi Determina dominio, codominio, graico e caratteristiche delle seguenti unzioni: ) y = cos3 ) y = 3 3) y = 4) y = 5) y = 3 6) y = tg 7) y = 8) y = 9 3 9) y = sen4 0) y = 4
Graici deducibili dal graico di () Se conosciamo il graico graico di: G di una unzione ( ) possiamo acilmente disegnare anche il ( ) a ( a) + a R a R ( ) ( ) ( ) Vediamo un esempio: consideriamo come unzione = ln ( ) a. Come risulterà il graico di y = ln +? E chiaro che sarà traslato verso l alto di. Naturalmente se considero y = ln traslo verso il basso. b. Come risulterà il graico di = ln( ) y? In questo caso il dominio cambia e risulta > : il graico è traslato verso destra ed ha asintoto verticale =. Se invece avessi considerato = ln ( +) y il graico del logaritmo traslava verso sinistra e aveva asintoto verticale = (il dominio: > ) 5
b. Come risulta il graico di y = ln? Le immagini risultano opposte e quindi si ha il graico simmetrico rispetto all asse. c. Come risulta il graico di y = ln ( )? Questa volta il dominio cambia e si ha > 0 < 0. Il graico sarà simmetrico (di quello del logaritmo) all asse y. rispetto d.come risulta il graico di y = ln? Ricordiamo che: ln = ln ln quando ln 0 cioè quando ln < 0 cioè per per 0 < < Quindi il graico di ln coincide con il graico di ln quando si trova sopra all asse (cioè quando le immagini sono positive), mentre andrà ribaltato rispetto all asse quando si trova sotto all asse (cioè quando le immagini sono negative). 6
Esercizi Traccia il graico delle seguenti unzioni: ) = ln( ) y ) y = 3) y = 4 4) y = 3 5) y = ln *6) y = ln ( + ) Svolgimento: Partiamo dal graico di ( ) ln graico di = ln ( + ) = e consideriamo all inizio il y (dominio > : traslo a sinistra). Inine consideriamo = ln ( + ) all asse : y cioè ribaltiamo rispetto 7
7) y = ln( 3) 8) y = ln ( +) 9) = ln( 3) y 0) y = tg ) 3) = ) y = ln( 4) y y = 4) y = *5) y = e + Svolgimento: = e e consideriamo il graico di (simmetrico rispetto all asse ) Partiamo dal graico di ( ) ( ) Inine consideriamo = ( ) + y = ) y cioè trasliamo verso l alto di (l asintoto orizzontale diventa 8
Composizione di unzioni Le unzioni si possono comporre. Se per esempio abbiamo : + : possiamo applicare e al risultato applicare ( ) ( ) + + y = + corrisponde a o che si legge composto ( si scrive vicino alla la unzione che si applica per prima). Nota o = ( ( ) ) Notiamo che la composizione tra unzioni non gode della proprietà commutativa cioè: o o Inatti per esempio considerando le unzioni precedenti se applico prima e poi ho: + o risulta = + y ed è diversa da y = ( +) Nota: si possono comporre anche più di unzioni. Per esempio = ln ( +) y può essere pensata come la composizione di + ln 3 ( + ) ln ( + ) 9
Funzione inversa Consideriamo una unzione ( ) : per unzione inversa di ( ), indicata con il simbolo ( ) intendiamo la unzione che associa all immagine ( ) il valore di partenza. Per esempio se ( ) : + ( ) : Inatti da y = + ricavando = y abbiamo che + = = y y y Generalmente poi, invece di scrivere ( y) = y si scrive ( ) =. Riportando i graici di ( ) e ( ) nello stesso sistema di rierimento, notiamo che sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I-III quadrante: inatti se, (, ( ) ) G ( ( ), ) G Un altro esempio noto è la unzione esponenziale e la unzione logaritmica (inversa dell esponenziale) : osserviamo che il dominio e il codominio si scambiano 0
Ma possiamo sempre invertire una unzione? Perché la il codominio di ). sia una unzione occorre che ( ) sia iniettiva (come dominio di prenderemo Inatti consideriamo per esempio ( ) =. Se proviamo a ricavare abbiamo: y = = ± y Ma y = ± non è una unzione! (ad ogni valore di corrispondono immagini). In questi casi però, se vogliamo, possiamo decidere di restringere il dominio della unzione in modo da renderla iniettiva e poterla così invertire. Se per esempio consideriamo inversa è y = y = ma solo con > 0 la unzione diventa iniettiva e la sua Vediamo come sono state deinite le unzioni inverse delle unzioni goniometriche.
Funzione inversa del seno Appunti di Matematica 5 π π Restringiamo y = sen all intervallo, : in questo intervallo la unzione è iniettiva. La unzione inversa si indica con arcsen (che si legge arcoseno di ed indica l angolo il cui π π seno è di ) ed ha come dominio [ ; ] e come codominio, Il graico di y = arcsen è il seguente: Funzione inversa del coseno Se restringiamo y = cos all intervallo [ 0,π ] possiamo invertirlo: la unzione inversa del coseno ristretto a [ 0,π ] si chiama arccos (arcocoseno di ) ed ha il seguente graico Funzione inversa della tangente Se restringiamo la tangente y = tg π π all intervallo ; possiamo considerare la unzione inversa, indicata con arctg (arcotangente di ) che ha il seguente graico. ll dominio di y = arctg è R, il codominio è π π ;.
Determina il dominio delle seguenti unzioni: 3 ) y 4 Appunti di Matematica 5 Esercizi = [ < 0 < 3] y [ 3] ) = 3 5 + 6 3) = + 9 [ 0 ] y 3 4) e y = ln 4 [ ] > 0 e, e 5) y = ( ) log 6) y = log ( ) + 7) y = 4sen 8) y = tg 3 4 9) y = ln + 0) y = arcsen ) y = arctg ) y = arcsen( ) 3) y = arccos 4) y = arctg( ln ) 5) y = + + 3 [ < 5] π π + kπ + kπ 6 6 π π π + kπ < + kπ + kπ < π + kπ 3 3 [ < > ] [ ] [ 0] [ 0 ] [ ] [ > 0] [ ] 3
6) y = 3 + [ ] 7) y = + [ R ] 8) y = tg π kπ < + kπ π 9) y = 3 [ k ] tg 0) y = 5 [ ] ) y ln ln = [ 0 < < > e ] + ) y = ln 3) y = tg [ > 0] π π π 3 + kπ < + kπ + kπ < π + kπ 4 4 4) y = e 3 [ < 0 ln 3] 5) y = ln [ < ] 6) = arcsen y [ 0 ] 7) y = 3 ln( ) 8) y = e 9) y = 4 [ < ] [ 0] [ 3] 30) y = arctg ( ) [ ] 4
Esercizi di ricapitolazione Scheda ) Determina il dominio delle seguenti unzioni: a) y 3 e) = arctg 5 = [ < 3 0 < 3] b) = ln c) y [ < > ] = [ 0] ) y = 3 y [ 5] sen + cos y g) y ln y = arcsen 4 3 5 h) y 4 log d) ( ) [ ] π + kπ 4 = [ ] = [ > 0, 6] ) Traccia il graico delle seguenti unzioni indicando anche dominio e caratteristiche: a) y = c) y = 3 + b) y = ( 3 ) ln d) y = 4 3) a) Date domini. : e : ln, scrivi come risultano o e o e indica i loro ln D : > 0 ; : : > 0, o o D o ln o : b) Determina la unzione inversa di y = e Traccia i graici di e nello stesso sistema di rierimento. Cosa osservi? c) E possibile invertire la unzione y = +? Motiva la risposta. 5
Esercizi di ricapitolazione Scheda ) Determina il dominio delle seguenti unzioni: 9 a) y = ln e) y = 5 b) ln ln sen y = ) y = 5 cos π c) y = arcsen( 7) g) y = tg 3 d) y = arctg h) y = ln 8 ) Traccia il graico delle seguenti unzioni indicando anche dominio e caratteristiche: ln b) = π y e + 5 c) y = sen 6 a) y = ( ) 3) a) Date : e : +, scrivi come risultano o e o e indica i loro domini. b) Si può invertire la unzione y =? Se la risposta è aermativa determina l inversa. c) Disegna il graico della unzione y = tg e indicane dominio e caratteristiche. Si può invertire? Come si dovrebbe restringere il dominio per invertirla? Disegna il graico della unzione inversa nel caso in cui si restringa il dominio di. 6