Esercizi E1. Considerimo l AFD D 0 su Σ = {, } l cui tell delle trnsizioni è qui di seguito riportt. q s s 1 1 2 3 2 2 3 3 3 3 Tell delle trnsizioni di D 0 Lo stto di prtenz di D 0 è s mentre gli stti di ccettzione di D 0 sono 1 e 2. () Trovre per vi lgoritmic un AFD D di dimensione minim equivlente D 0. () (c) (d) (e) (f) (g) Fcendo uso del Lemm di Arden trovre un espressione regolre E che denoti il linguggio ccettto dll AFD D del punto (). Costruire l utom di Thomson ssocito ll espressione E del punto (). A prtire dll espressione regolre E del punto (), costruire per vi lgoritmic un AFD D 1 che ccetti il linguggio denotto d E e verificre con l lgoritmo di Moore che D 0 e D 1 sono equivlenti. Dto l AFD D del punto (), trovre un grmmtic regolre G che generi il linguggio ccettto d D. Dt l grmmtic regolre G del punto (e), trovre un grmmtic contestule G* in form normle di Chomsky equivlente G. Dt l grmmtic cotenstule G* del punto (f), pplicre l lgorimo CYK per decidere se l string è un frse di G*; se lo è, trovre tutti i suoi leri di dervzione. 1
oluzione () Dto l AFD D 0 con tell delle trnsizioni q s s 1 1 2 3 2 2 3 3 3 3 in cui s è lo stto di prtenz ed 1 e 2 sono stti di ccettzione, si ottiene l prtizione in stti indistinguiili Q' = {s', 1', 2'} dove s' = {s}, 1' = {1, 2} e 3' = {3}. Pertnto, un AFD di dimensione minim equivlente D 0 è l AFD D con tell delle trnsizioni q' s' s' 1' 1' 1' 2' 2' 2' 2' in cui s' è lo stto di prtenz ed 1' è l unico stto di ccettzione. i noti che 2' uno stto morto. () Per l AFD D imo il sistem di equzioni λ 0 = {} λ 0 {} λ 1 λ 1 = {} λ 1 ({} λ 2 {}) λ 2 = {, } λ 2 Ø Il Lemm di Arden fornisce l seguente soluzione: λ 2 = {, }* Ø = Ø λ 1 = {}* {} = {}* λ 0 = {}* ({} {}*) Pertnto il linguggio ccettto d D è denotto dll espressione regolre E = (()*)(()(()*)). 2
(c) L struttur sintttic dell espressione regolre E è l lero ordinto mostrto in figur. 1 * 2 4 3 5 6 * 7 A questo punto, con le regole di Thompson è fcile costruire un utom finito che ccetti il linguggio denotto d E. (d) Considerimo l espressione regolre E = (E)($) = ((()*)(()(()*)))($) e l su struttur sintttic è l lero ordinto mostrto in figur. 0 1 8 $ * 2 4 3 5 6 * 7 Le foglie sono nell ordine i vertici f 1 = 3 f 2 = 5 f 3 = 7 f 4 = 8. 3
L seguente tell riport l list di dicenz dei nodi 1, 2, 3 e 4. nodo i etichett di i nodi dicenti d i 1 1, 2 2 3, 4 3 3, 4 4 $ Ø L AFD che si ottiene è esttmente l AFD del punto (). L verific dell equivlenz vviene costruendo l tell di Moore (q, q') (f(q,), f'(q',)) (f(q, ), f'(q',)) (s, s') (s, s') (1, 1') (1, 1') (2, 1') (3, 2') (2, 1') (2, 1') (3, 2') (3, 2') (3, 2') (3, 2') che è complet, il che dimostr che D 0 e D sono equivlenti. (e) All AFD D rest ssocit l grmmtic regolre G = (T, N,, P 1 P 2 ) con T = {, }, N = {, A, B} e P 1 = { A, A A B, B B B} P 2 = {A }. (f) L grmmtic G contiene un simolo improduttivo di prim specie (il simolo B) e non contiene simoli improduttivi di second specie. Pertnto le produzioni A B, B B e B B sono inutili e possono essere eliminte d P 1. Otteninmo così un grmmtic equivlente G con insieme di produzioni P = { A, A A, A } che, con l eliminzione dell produzione null, divent P' = { A, A A }. L riduzione in form normle di Chomsky gener l grmmtic G* = (T, N*,, P*) con T = {, }, N* = {, A, X, Y} e 4
P* = { X Y A, A X A, X, Y }. Voglimo infine decidere se l string x = è un frse di G*. Le sottostringhe x i,j di x sono di seguito riportti. 11 21 31 41 12 13 14 22 23-32 - - - - - Tell delle sottostringhe x i,j Con l lgorimo CYK clcolimo gli insiemi N i,j : 11 A, X 21, Y 31 A, X 41 A, X 12 13 14 22 23-32 - - A - - - Tell degli insiemi N i,j e, visto che il simolo specile pprtiene d N 1,4, possimo concludere che l string è un frse di G* ed esiste infine un solo lero di derivzione. 5
E2. Considerimo l utom finito A su Σ = {, } l cui tell delle trnsizioni è qui di seguito riportt. stto s {s, q} {q} q Ø {s, q} Tell delle trnsizioni di A Lo stto di prtenz di A è s mentre q è l unico stto di ccettzione di A. () Trovre un grmmtic contestule G in form normle di Chomsky che gener il linguggio ccettto d A; quindi, verificre che l string è un frse di G e trovre i possiili leri di derivzione. () Trovre per vi lgoritmic un AFD D equivlente d A; quindi, prtire d D, determinre un espressione regolre che ne denoti il linguggio. oluzione () All utom finito A rest ssocit l grmmtic regolre G = (T, N,, P 1 P 2 ) con T = {, }, N = {, Q} e P 1 = { Q Q, Q Q} P 2 = {Q }. Eliminndo l produzione null si ottiene l insieme delle produzioni { Q Q, Q Q } Pertnto, un grmmtic contestule in form normle di Chomsky che gener il liguggio ccettto d A è G = (T, N,, P) con T = {, }, N = {, Q, A, B} e P = { A AQ BQ, Q B BQ, A, B }. Voglimo or decidere se l string x = è un frse di G. Le sottostringhe x i,j di x sono di seguito riportti. 6
11 12 13 21 31-22 - Tell delle sottostringhe x i,j Con l lgoritmo CYK clcolimo gli insiemi N i,j : - 11 12 13, Q, B 21, Q, B 31, A -, Q, Q 22 Q - - Tell degli insiemi N i,j e, visto che il simolo specile pprtiene d N 1,3, possimo concludere che l string è un frse di G. Con l vrinte dell lgoritmo CYK clcolimo nche i possiili leri di derivzione: 11 : Q: B: 21 : Q: B: 31 : A: 12 : B 11, Q 21 Q: B 11, 21 Q: B 11, Q 21 22 Q: B 21, 31 13 : B 11, Q 22 Q: B 11, Q 22 - - - 7
Pertnto, esiste un solo lero di derivzione dell frse di G: 0 1 B 2 Q B 3 4 5 6 7 () Per trovre un AFD D equivlente d A, utilizzimo il seguente lgoritmo 1. s := {s}; Q := { s }; dichir s perto. 2. Fintntoché esiste uno stto perto q in Q, ripetere dichirre q chiuso ; per ogni Σ, ripetere p := F( q, ) ; se p Q, llor f( q, ) := p 3. R = { q Q : q R Ø}. ggiungere p Q ; dichirre p perto ed ottenimo l AFD D = (Σ, Q, q 0, R, f) con solo quttro stti: 8
stto di D sottoinsieme di Q q 0 {s} q 1 {s, q} q 2 {q} Ø q 3 tti di D con stto di prtenz q 0 e stti di ccettzione q 1 e q 2 e con l seguente tell delle trnsizioni Il sistem di equzioni ssocito d D è stto q 0 q 1 q 2 q 1 q 1 q 1 q 2 q 3 q 1 q 3 q 3 q 3 Tell delle trnsizioni di D λ 0 = {} λ 1 {} λ 2 λ 1 = {, } λ 1 {} λ 2 = {} λ 3 {} λ 1 {} λ 3 = {, } λ 3 Applicndo il Lemm di Arden si ottiene l soluzione λ 0 = {, } {, }* {} λ 1 = {, }* λ 2 = {} {, }* {} λ 3 = Ø Pertnto un espressione regolre che denot il linguggio ccettto d A è (( )( )*) 9
E3. Dt l grmmtic contestule G o = (T, N o,, P o ), dove T = {, }, N o = {} e P o = { }, trovre un grmmtic contestule G = (T, N,, P) in form normle di Chomsky equivlente G o, verificre con l lgoritmo CYK che l string è un frse di G e trovre i possiili leri di derivzione di x. oluzione G = (T, N,, P) dove N = {, A, B, C} e P contiene le produzioni AC AB C B A B L ppliczione dell lgoritmo CYK 11 21 31 41 12 13 14 22 23-32 - - - - - 11 A: 21 A: 12 Ø 22 : A 21 B 31 13 Ø 23 C: 22 B 41 14 : A 11 C 23-31 - - B: Ø 41 B: - - - e, visto che il simolo specile pprtiene d N 1,4, possimo concludere che l string è un frse di G. Inoltre, esiste un solo lero di derivzione dell frse di G: 10
0 A 1 2 C 3 4 5 A 6 7 B 8 B 9 10 11
E4. i consideri AFN A su Σ = {, } il cui digrmm delle trnsizioni è qui di seguito riportto, con 0 stto di prtenz e 2 stto di ccettzione., 0, 3 1 2 Digrmm delle trnsizioni di A () () (c) Usndo il Lemm di Arden, trovre un espressione regolre che denoti il linguggio ccettto d A. Trovre un rppresentzione cnonic del linguggio ccettto d A e, quindi, un grmmtic regolre in form stndrd che generi il linguggio ccettto d A. Dopo ver semplificto e normlizzto l grmmtic trovt l punto (2), vist quest volt come grmmtic contestule, costruire (con l lgoritmo CYK) tutti gli leri di derivzione dell string. oluzione () Aimo il sistem di equzioni λ 0 = {} λ 0 {} λ 1 λ 1 = {} λ 2 {, } λ 3 λ 2 = {} λ 1 {} λ 2 {} λ 3 = {, } λ 3 che mmette l soluzione λ 3 = Ø λ 2 = {, }* λ 1 = {} {, }* λ 0 = {}* {} {, }* d cui l espressione regolre *( )*. 12
() L AFD D riportto in figur èequivlente d A. 0 1 2 4 3, Per trovre un grmmtic regolre genertiv del linguggio L(D) conviene utilizzre un su rppresentzione cnonic. iccome gli stti 1 e 4 sono indistinguiili (Algoritmo di Moore) e lo stto 3 è uno stto morto, un rppresentzione cnonic di L(D) è 0 1 2 ed un grmmtic regolre genertiv di L(D) è X X Y Y Y X che è già in form normle. (c) Un grmmtic contestule genertiv di L(D) in form normle di Chomsky è A BX X AY Y AY BX A B 13
Qundo si pplic l lgoritmo CYK ll string si ottiene l tell degli insiemi N i,j 11 X Y A 21 B 31 X Y A 41 12 Ø 22 Y 32 Ø 42 13 X Y 23 Ø 33 X Y 14 Ø 24 Y 15 X Y B 51 X Y A Y Tell degli insiemi N i,j A questo punto, con l usilio delle telle delle foreste si ottiene il solo lero di derivzione: A B X A Y B X E5. Dt l grmmtic G con le due produzioni 1. Provre che G pprtiene ll clsse LL(1). Con il metodo deduttivo costruire un lero di derivzione per l string. 2. Provre che G pprtiene ll clsse LR(1). Con il metodo induttivo provre che l string vuot e l string sono frsi di G. 14
oluzione 1. Per i corpi delle due produzioni di G imo I() = {} I() = {} e per l unico simolo nonterminle di G imo J() = {, $} Il criterio di pprtenenz d LL(1) pplicto lle due produzioni di G richiede che I() I() = se I() llor I() J() = se I() llor I() J() = Tutte e tre le condizioni sono soddisftte e quindi G pprtiene ll clsse LL(1). Esplicitmente, l tell di controllo è simolo $ e non contiene celle multiple. Considerimo or l string. Inizilmente l situzione è l seguente 1 Comincimo d pplicre l procedur di sviluppo: Psso 1. Il nodo di controllo viene sviluppto utilizzndo l produzione 15
1 2 3 4 Psso 2. iccome il nodo di controllo h per etichett un simolo terminle () e questo coincide con il simolo corrente dell string di ingresso, llor il cursore e l sond vengono entrmi ftti vnzre: il nuovo simolo corrente è ed il nuovo nodo di controllo è il vertice 3: 1 2 3 4 Psso 3. Il nodo di controllo viene sviluppto utilizzndo l produzione 1 2 3 4 5 6 7 16
Psso 4. Il nodo di controllo h per etichett un simolo terminle () che coincide con il simolo corrente dell string di ingresso; così, il cursore e l sond vengono entrmi ftti vnzre: il nuovo simolo corrente è ed il nuovo nodo di controllo è il vertice 6. 1 2 3 4 5 6 7 Psso 5. Il nodo di controllo viene sviluppto utilizzndo l produzione e l sond viene ftt vnzre sì che il nuovo nodo di controllo 1 è il vertice 8. 2 3 4 5 6 7 8 Psso 6. Il nodo di controllo h per etichett l string vuot () e l sond viene ftt rislire l vertice 7. 17
18 Psso 7. Il nodo di controllo h per etichett un simolo terminle () che coincide con il simolo corrente dell string di ingresso; così, il cursore e l sond vengono entrmi ftti vnzre: il nuovo simolo corrente è ed il nuovo nodo di controllo è il vertice 4. 1 2 4 3 5 7 6 8 1 2 4 3 5 7 6 8
Psso 8. Il nodo di controllo h per etichett un simolo terminle () che coincide con il simolo corrente dell string di ingresso. Essendo il simolo corrente l ultimo dell string d ingresso ed essendo il nodo di controllo l ultim fogli, il processo termin. Così, si è ottenuto l lero di derivzione 1 2 3 4 5 6 7 2. Innnzitutto si costruisce l grmmtic estes G 8 (0) (1) (2) e si determinno le fsi delle tre produzioni: (0, 0) = (, 0) (0, 1) = (, 1) (1, 0) = (, 0) (2, 0) = (, 0) (2, 1) = (, 1) (2, 2) = (, 2) (2, 3) = (, 3) 19
A questo punto si costruiscono l utom A delle fsi (0, 0) (0, 1) (1, 0) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 3) e l utom D delle preformule q 0 (0, 0) (1, 0) (2, 0) q 1 (0, 1) (1, 0) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 3) q 2 q 3 q 4 Infine viene costruit l tell delle zioni tendendo presente che J() = {, $}. Così, gli stti di D vengono ssocite le zioni come ppresso specificto. (q 0 ) Lo stto q 0 di D contiene i tre stti di A (0, 0) = (, 0) (1, 0) = (, 0) (2, 0) = (, 0) Lo stto (0, 0) di A è inefficce. Lo stto (1, 0) di A f sì che lle coppie (q 0, ) e (q 0, $) veng ssocit l zione R( ). Lo stto (2, 0) di A f sì che ll coppi (q 0, ) veng ssocit l zione T. 20
(q 1 ) Lo stto q 1 di D contiene il solo stto (0, 1) = (, 1) di A che f sì che ll coppi (q 1, $) veng ssocit l zione A. (q 2 ) Lo stto q 2 di D contiene i tre stti di A (1, 0) = (, 0) (2, 0) = (, 0) (2, 1) = (, 1) Lo stto (1, 0) di A f sì che lle coppie (q 2, ) e (q 2, $) veng ssocit l zione R( ). Lo stto (2, 0) di A f sì che ll coppi (q 2, ) veng ssocit l zione T. Lo stto (2, 1) di A è inefficce. (q 3 ) Lo stto q 3 di D contiene il solo stto (2, 2) = (, 2) di A che f sì che ll coppi (q 3, ) veng ssocit l zione T. (q 4 ) Lo stto q 4 di D contiene il solo stto (2, 3) = (, 3) di A che f sì che lle coppie (q 4, ) e (q 4, $) veng ssocit l zione R( ). Dunque, l tell delle zioni è stto $ q 0 T R(1) R(1) q 1 A q 2 T R(1) R(1) q 3 T q 4 R(2) R(2) Riduzione sinistrors-destrors dell string vuot Il processo di riduzione si svilupp nei seguenti pssi. pil uffer zione q 0 $ R(1) q 0 q 1 $ A Riduzione sinistrors-destrors dell string Il processo di riduzione si svilupp nei seguenti pssi. 21
pil uffer zione q 0 $ T q 0 q 2 $ T q 0 q 2 q 2 $ R(1) q 0 q 2 q 2 q 3 $ T q 0 q 2 q 2 q 3 q 4 $ R(2) q 0 q 2 q 3 $ T q 0 q 2 q 3 q 4 $ R(2) q 0 q 1 $ A 22
Testi d esme T.1 L grmmtic contestule G con produzioni AA BB, A, B (nessun delle quli è inutile) gener il linguggio L = {, }. (1) i G' l grmmtic risultnte dll eliminzione delle produzioni nulle. i riporti l lgoritmo che elimin le produzioni inutili e lo si pplichi G'. i G" l grmmtic in form normle di Chomsky equivlente G'. i pplichi l lgoritmo CYK per determinre gli leri di derivzione di e. (2) Verificre che G pprtiene ll clsse LL(1) ed pplicre il metodo deduttivo per costruire leri di derivzione per le stringhe e. (3) Verificre che G non pprtiene ll clsse LR(1). Utilizzndo il Lemm di Arden, determinre il linguggio ccettto dll utom deterministico D delle preformule di G. (4: fcolttivo) Verificre che G" pprtiene ll clsse LR(1) ed pplicre il metodo induttivo per costruire leri di derivzione per le stringhe e. oluzione (1) L grmmtic G' risultnte dll eliminzione delle produzioni nulle di G contiene solo le due produzioni. L grmmtic G" in form normle di Chomsky equivlente G' h le quttro produzioni XY YX X Y L ppliczione dell lgoritmo CYK lle due stringhe e è ovvi. 23
(2) Algoritmo 10.1 1. Per ogni simolo grmmticle X di G, porre I(X) := {X} se X è un simolo terminle e I(X) =: Ø ltrimenti. 2. Finché per nessun simolo nonterminle A l insieme I(A) poss essere ulteriormente mplito, ripetere per ogni produzione nonnull A α di G, si β il più lungo prefisso di α che contiene solo simoli nonterminli nnullili; se β llor, per ogni simolo B in β, porre I(A) := I(A) I(B); se β α llor, detto X il ( β +1).esimo simolo in α, porre I(A) := I(A) I(X). 3. Per ogni simolo nonterminle A nnullile, porre I(A) := I(A) {}. I simoli nonterminli nnullili di G sono A e B. Le produzioni nonnulle sono AA BB. Il più lungo prefisso di AA che contiene solo simoli nonterminli nnullili è A ed il più lungo prefisso di BB che contiene solo simoli nonterminli nnullili è B. Così, il risultto dell ppliczione dell Algoritmo 10.1 è il seguente: X I(X) {} {} A {} B {} {, } 24
Algoritmo 10.2 1. e α =, llor porre I(α) := {}; ltrimenti, I(α) := Ø. 2. e α, llor si β il più lungo prefisso di α che contiene solo simoli nonterminli nnullili; se β llor, per ogni simolo B in β, porre I(α) := I(α) (I(B)\{}); se β α llor, detto X il ( β +1).esimo simolo in α, porre I(α) := I(α) I(X); ltrimenti, porre I(α) := I(α) {}. Il risultto dell ppliczione dell Algoritmo 10.2 è il seguente: α A B AA BB I(α) {} {} {} {} {} {} {} Algoritmo 10.3 1. Porre J() := {$}. Per ogni ltro simolo nonterminle A di G, J(A) := Ø. 2. Finché per nessun simolo nonterminle A insieme J(A) poss essere ulteriormente mplito, ripetere: 25
per ogni produzione A α di G tle che α conteng lmeno un simolo nonterminle per ogni simolo nonterminle B contenuto in α per ogni suffisso γ di α preceduto d B (cioè A βbγ) J(B) := J(B) (I(γ)\{}); se I(γ) llor J(B) := J(B) J(A). Le produzioni A α tli che α conteng lmeno un simolo nonterminle sono AA BB. Il corpo dell prim produzione contiene il solo simolo nonterminle A ed imo due suffissi preceduti d A: γ = A e γ =. In entrmi i csi, I(γ) cosicché ndremo d pplicre J(A) := J(A) I(γ). Il corpo dell second produzione contiene il solo simolo nonterminle B ed imo due suffissi preceduti d B: γ = B e γ =. In entrmi i csi, I(γ) cosicché ndremo d pplicre J(B) := J(B) I(γ). Così, il risultto dell ppliczione dell Algoritmo 10.3 è il seguente: A J(A) A {, } B {, } {$} Condizione necessri e sufficiente perché G si un grmmtic LL(1) è che, per ogni coppi di produzioni distinte A α ed A β in P, sino soddisftte tutte e tre le condizioni: I(α) I(β) = Ø, se I(β) llor I(α) J(A) = Ø se I(α) llor I(β) J(A) = Ø. Or, siccome per AA BB imo 26
I(AA) I(BB) = {} {} = Ø, I(BB), I(AA), possimo concludere che G è un grmmtic LL(1). L tell di controllo è simolo $ AA BB A B L ppliczione del metodo deduttivo per costruire leri di derivzione per le stringhe e è ovvi. (2) Considerimo l grmmtic G che si ottiene con l ggiunt dell produzione. i osservi che esistono solo due derivzioni destrorse dl simolo specile : (,, AA, A, ) (,, BB, B, ) Pertnto le formule grmmticli destrorse di G sono:,, AA, BB, A, B,, i σ un termine di un coderivzione distinto d, si σ' il termine successivo σ ed A α l produzione riducente utilizzt per l riduzione (σ, σ') di σ. Così, σ è dell form λαµ e σ' dell form λaµ. Chimimo λα il prefisso riduciile di σ e un qulsisi prefisso di λα un prefisso di σ coerente con l riduzione (σ, σ'). Così per l prim coderivzione (, A, AA,, ) imo σ produzione riducente prefisso riduciile prefissi coerenti A A A A, A, A AA AA AA, A, A, AA, AA, 27
e per l second coderivzione (, B, BB,, ) imo σ produzione riducente prefisso riduciile prefissi coerenti B B B B, B, B BB BB BB, B, B, BB, BB, In generle, chimimo preformul di G un qulsisi string che si un prefisso di un formul grmmticle destrors σ di G con σ e che si coerente con l riduzione di σ in un qulche coderivzione che conteng σ. Per ottenere l utom deterministico che ccett le preformule di G, si ordinno le produzioni dell grmmtic G (0) (1) AA (2) BB (3) A (4) B e se ne determinno le fsi: (0, 0) = (, 0) (0, 1) = (, 1) (1, 0) = ( AA, 0) (1, 1) = ( AA, 1) (1, 2) = ( AA, 2) (1, 3) = ( AA, 3) (1, 4) = ( AA, 4) (2, 0) = ( BB, 0) (2, 1) = ( BB, 1) (2, 2) = ( BB, 2) (2, 3) = ( BB, 3) (2, 4) = ( BB, 4) (3, 0) = (A, 0) (4, 0) = (B, 0) A questo punto si costruisce l utom nondeterministico A che ccett le preformule di G 28
(0, 1) (3, 0) (0, 0) (1, 0) (2, 0) A B (1, 1) (2, 1) (1, 2) (2, 2) A B (1, 3) (2, 3) (1, 4) (2, 4) (4, 0) cosicché l utom deterministico D equivlente d A h il seguente digrmm delle trnsizioni: q 1 q 0 A q 2 q 3 A q 4 q 5 B q 6 q 7 B q 8 q 9 con q 0 = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0)} q 1 = {(0, 1)} q 2 = {(1, 1)} q 3 = {(1, 2), (3, 0)} q 4 = {(1, 3)} q 5 = {(1, 4)} q 6 = {(2, 1)} q 7 = {(2, 2), (4, 0)} q 8 = {(2, 3)} q 9 = {(2, 4)} Il sistem di equzioni per l utom deterministico D è: 29
λ 0 = {} λ 1 {A} λ 2 {B} λ 6 {} λ 1 = {} λ 2 = {} λ 3 {} λ 3 = {A} λ 4 {} λ 4 = {} λ 5 {} λ 5 = {} λ 6 = {} λ 7 {} λ 7 = {B} λ 8 {} λ 8 = {} λ 9 {} λ 9 = {} cosicché il linguggio ccettto d D è λ 0 = {,, A, B, A, B, AA, BB, AA, BB}. Infine viene costruit l tell delle zioni tendendo presente che J() = {$} e J(A) = J(B) = {, }. Così, gli stti di D vengono ssocite le zioni come ppresso specificto. (q 0 ) Lo stto q 0 di D contiene i cinque stti di A (0, 0) = (, 0) (1, 0) = ( AA, 0) (2, 0) = ( BB, 0) (3, 0) = (A, 0) (4, 0) = (B, 0) Gli stti (0, 0), (1, 0) e (2, 0) di A sono inefficci. Lo stto (3, 0) di A f sì che lle coppie (q 0, ) e (q 0, ) veng ssocit l zione R(A ). Lo stto (4, 0) di A f sì che lle coppie (q 0, ) e (q 0, ) veng ssocit l zione R(B ). (q 1 ) Lo stto q 1 di D contiene il solo stto (0, 1) = (, 1) di A che f sì che ll coppi (q 1, $) veng ssocit l zione A. (q 2 ) Lo stto q 2 di D contiene il solo stto (1, 1) = ( AA, 1) di A che f sì che ll coppi (q 1, ) veng ssocit l zione T. (q 3 ) Lo stto q 3 di D contiene gli stti (1, 2) = ( AA, 2) e (3, 0) = (A, 0) di A. Lo stto (1, 2) di A è inefficce mentre lo stto (3, 0) di A f sì che lle coppie (q 3, ) e (q 3, ) veng ssocit l zione R(A ). (q 4 ) Lo stto q 4 di D contiene il solo stto (1, 3) = ( AA, 3) di A che f sì che ll coppi (q 4, ) veng ssocit l zione T. 30
(q 5 ) Lo stto q 5 di D contiene il solo stto (1, 4) = ( AA, 4) di A che f sì che ll coppi (q 5, $) veng ssocit l zione R( AA). (q 6 ) Lo stto q 6 di D contiene il solo stto (2, 1) = ( BB, 1) di A che f sì che ll coppi (q 6, ) veng ssocit l zione T. (q 7 ) Lo stto q 7 di D contiene gli stti (2, 2) = ( BB, 2) e (4, 0) = (B, 0) di A. Lo stto (2, 2) di A è inefficce mentre lo stto (4, 0) di A f sì che lle coppie (q 7, ) e (q 7, ) veng ssocit l zione R(B ). (q 8 ) Lo stto q 8 di D contiene il solo stto (2, 3) = ( BB, 3) di A che f sì che ll coppi (q 8, ) veng ssocit l zione T. (q 9 ) Lo stto q 9 di D contiene il solo stto (2, 4) = ( BB, 4) di A che f sì che ll coppi (q 9, $) veng ssocit l zione R( BB). Dunque, l tell delle zioni è stto $ q 0 q 1 q 2 R(3) R(4) R(3) R(4) A T q 3 R(3) R(3) q 4 T q 5 R(1) q 6 T q 7 R(4) R(4) q 8 T R(2) q 9 e contiene due celle, ciscun con due zioni, l qul cos prov che G non pprtiene ll clsse LR(1). Possimo verificrlo, considerndo l frse di G. All coppi (q 0, ) sono ssocite non un m due zioni: R(3) ed R(4). Or, se pplichimo R(3), llor viene ccettt mentre, se pplichimo R(4), viene rifiutt. 31
pil uffer zione q 0 $ R(3) q 0 Aq 2 $ T q 0 Aq 2 q 3 $ R(3) q 0 Aq 2 q 3 Aq 4 $ T q 0 Aq 2 q 3 Aq 4 q 5 $ R(1) q 0 q 1 $ A pil uffer zione q 0 $ R(4) q 0 Bq 6 $ E 32
T.2 i consideri l grmmtic contestule G con produzioni A A A 10 1. Dopo ver trsformto G in form normle di Chomsky, pplicre l lgoritmo CYK per verificre che l string 1010 è un frse di G che mmette un solo lero di derivzione. Quindi, costruire l derivzione sinistrors e destrors dell string 1010. 2. Trovre un grmmtic G' equivlente G che si priv di produzioni ricorsive sinistr. Verificre che G' pprtiene ll clsse LL(1) ed pplicre il metodo deduttivo per costruire un lero di derivzione per l string 1010. 3. Verificre che G pprtiene ll clsse LR(1) ed in cso ffermtivo pplicre il metodo induttivo per costruire un lero di derivzione per l string 1010. Utilizzndo il Lemm di Arden, determinre il linguggio ccettto dll utom deterministico D delle preformule di G. 33
T.3 L grmmtic contestule G con produzioni { A, A Ac } gener il linguggio L = { n m c m : n, m 0}. 1. i fornisc un l grmmtic G' in form normle di Chomsky equivlente G. i pplichi l lgoritmo CYK per determinre gli leri di derivzione di c. 2. Decidere se G' pprtiene ll clsse LL(1) e, in cso ffermtivo, pplicre il metodo deduttivo per costruire un lero di derivzione per l string c. 3. Decidere se G' pprtiene ll clsse LR(1) e, in cso ffermtivo, pplicre il metodo induttivo per costruire un lero di derivzione per l string c e determinre il linguggio ccettto dll utom deterministico delle preformule di G'. 34
T4. (1) È noto che, dte due qulsisi espressioni e ed f di Kleene, sono equivlenti le due espressioni E = e(fe)* E' = (ef)*e. Per verificre l equivlenz di E ed E', provre l equivlenz degli utomi A e A' di Thompson ssociti rispettivmente lle due espressioni E ed E' prendendo per lfeto l inseme {e, f}. (2) i consideri l seguente grmmticl G con produzioni A = 1 A A 1 A 1 2) Provre che G non pprtiene ll clsse LL(1). Trovre un grmmtic G' che pprtiene ll clsse LL(1) ed è equivlente G, e costruire col metodo deduttivo un lero di derivzione per l frse 1 1 = 1. 2) Provre che G pprtiene ll clsse LR(1), elencre le preformule dell grmmtic estes G e pplicre l procedur di riduzione ll frse 1 1 = 1. oluzione (2) Per i corpi delle due produzioni con test A si h I(A 1) = {1} I(1) = {1} l qul cos prov che G non pprtiene ll clsse LL(1). Per ottenere un grmmtic G* che pprteng ll clsse LL(1) e si equivlente G, st eliminre l produzione mcin A A 1. Così G* contiene le produzioni A = 1 A 1 B B 1 B B 35
Tenuto conto che I() = I(A) = {1}, I(B) = {, }, J() = {$}, J(A) = J(B) = {=}, l tell di controllo è 1 = $ A = 1 A 1 B B 1 B (2) A prtire dll grmmtic estes G (0) (1) A = 1 (2) A A 1 (3) A 1 si costruisce l AFN A (0, 0) (0, 1) A (1, 0) (1, 1) = 1 (1, 2) (1, 3) A (2, 0) (2, 1) 1 (2, 2) (2, 3) 1 (3, 0) (3, 1) e quindi l AFD D 36
q 1 1 A q 0 q 2 = q 3 q 4 1 q 5 q 6 1 q 7 Tenuto conto che J() = {$}, J(A) = {, =}, l tell delle zioni è q 0 q 1 A 1 = $ T A q 2 T T q 3 q 4 q 5 T T q 6 R(2) R(2) R(1) q 7 R(3) R(3) e, quindi, G pprtiene ll clsse LR(1). Risolvendo con il lemm di Arden il sistem di equzioni ssocito D si ottiene che le preformule di G sono:, A=1, A=, A 1, A, A, 1,. 37
L procedur di riduzione dell string 1 1=1 si svilupp come segue. pil uffer zione q 0 1 1=1$ T q 0 1q 7 1=1$ R(3) q 0 Aq 2 1=1$ T q 0 Aq 2 q 5 1=1$ T q 0 Aq 2 q 5 1q 6 =1$ R(2) q 0 Aq 2 =1$ T q 0 Aq 2 =q 3 1$ T q 0 Aq 2 =q 3 1q 4 $ R(1) q 0 q 1 $ A 38
T5. (1) È noto che, dte due qulsisi espressioni e ed f di Kleene, sono equivlenti le due espressioni E = (e f*)* E' = e (e f)*. Per verificre l equivlenz di E ed E', st provre l equivlenz degli utomi di Thompson ssociti lle due espressioni E ed E' prendendo per lfeto l insieme {e, f}. A tle scopo, fcendo uso dei grfi delle dicenze, si costruiscno gli utomi di Thompson ridotti A e A' ssociti lle due espressioni E ed E' e, quindi, due AFD D e D' equivlenti d A e A'. (2) i consideri l seguente grmmtic G con produzioni A A A 2) Costruire l AFD D delle preformule di G e clcolre il linguggio ccettto d D. 2) Costruire l tell delle zioni. 2c) Applicre l procedur di riduzione ll frse e verificre che le stringhe contenute nell pil durnte il processo di riduzione sono tutte preformule di G. 39
T6. i consideri l utom finito A mostrto in Figur, in cui tutti gli stti sono di ccettzione. 1 0 2 6 3 4 5 1. Trovre un AFD D min equivlente d A e di dimensione minim. Quindi, determinre il linguggio ccettto d A pplicndo D min il lemm di Arden. 2. i interpreti A come l utom finito delle preformule di un grmmtic contestule con N = {} e T = {, }. i quest G. 2.1) Trovre un grmmtic contestule C equivlente G e in form normle di Chomsky. Verificre con l lgoritmo CYK che le stringhe e sono frsi di C e, quindi, di G. 2.2) Applicre il metodo induttivo (tecnic di riduzione destrors) per verificre che le stringhe e sono frsi di G. (A tle scopo, prtire d G costruire l tell delle zioni). Verificre che in entrmi i csi le stringhe contenute nell pil nel corso del processo di riduzione sono tutte stringhe ccettte d A (cioè preformule di G). 40
oluzione 1. Con l costruzione dei sottoinsemi, trovimo il seguente AFD D equivlente d A: q 1 q 0 q 2 q 3 q 4 dove q 0 = {0, 2, 6} q 1 = {1} q 2 = {2, 3, 6} q 3 = {4} q 4 = {5} Con l ggiunt di uno stto non di ccettzione q 5 che si stto finle per tutte le trnsizioni ssenti in D, ottenimo un AFD completo D equivlente d A. A questo punto possimo ottenere un utomo finito deterministico completo D equivlente d A e di dimensione minim per rffinmento dell prtizione inizile degli stti di D in R = {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 } ed = {q 5 }. Considerimo l sottotell dell tell delle trnsizioni di D indott d R. stto q 0 R R q 1 q 2 R R q 3 R q 4 Così l clsse viene scompost nelle tre clssi X = {q 0, q 2 }, Y = {q 1, q 4 } e Z = {q 3 }. Considerimo prim X e poi Y. Considerimo l sottotell dell tell delle trnsizioni di D indott d X. stto q 0 Y X q 2 Z X 41
Così l clsse X viene scompost nelle due clssi {q 0 } e {q 2 }. Considerimo or l sottotell dell tell delle trnsizioni di D indott d Y. stto q 1 q 4 Così l clsse Y non può essere scompost. In definitiv, D h cinque stti, corrispondenti {q 0 }, {q 2 }, Y, Z,, di cui è uno stto morto. Pertnto, D min h il seguente digrmm delle trnsizioni e tutti i suoi stti sono di ccettzione. q 1 q 0 q 2 q 3 Finlmente, possimo pplicre il lemm di Arden D min e si ottiene il sistem di equzioni λ 0 = {} λ 1 {} λ 2 {} λ 1 = {} λ 2 = {} λ 2 {} λ 3 {} λ 3 = {} λ 1 {} che h per soluzione λ 3 = {, } λ 2 = {}* {,, } λ 1 = {} λ 0 = {} {}* {,, } {, } = = {}* {} {,, } {, } = = {}* {} {} + {, } {, } = = {}* {} ({} + {}) {, } = 42
= {}* {} {}* {, } = = {}* {,, }. Pertnto L(A) = L(D) = L(D ) = L(D ) = L(D min ) = {}* {,, }. 2. Gli stti di A corrispondono lle fsi delle produzioni dell grmmtic estes G di G: P0: P1: P2: Esplicitmente si h: stto di A fse 0 (P0, 0) 1 (P0, 1) 2 (P1, 0) 3 (P1, 1) 4 (P1, 2) 5 (P1, 3) 6 (P2, 0) Pertnto, l grmmtic G h due sole produzioni:. 2.1) L grmmtic C h produzioni AC AB C B A B L string vuot è nlmente un frse di C. Qunto ll string x = le sue sottostringhe x i,j sono di seguito riportti. 11 21 31 41 12 13 14 22 23-32 - - - - - Tell delle sottostringhe x i,j 43
Con l lgorimo CYK clcolimo gli insiemi N i,j : 11 A 21 A 31 B 41 B 12 13 14 22 23 - C 32 - - - - - Tell degli insiemi N i,j e, visto che il simolo specile pprtiene d N 1,4, possimo concludere che l string è un frse di C e, quindi, di G. 2.2) Per costruire l tell delle zioni, v ripreso l utom finito D i cui stti corrispondono gli insiemi q 0 = {(P0, 0), (P1, 0), (P2, 0)} q 1 = {(P0, 1)} q 2 = {(P1, 0), (P1, 1), (P2, 0)} q 3 = {(P1, 2)} q 4 = {(P1, 3)} cosicché, dopo ver clcolto J() = {, $}, ottenimo l tell delle zioni: stto $ q 0 T R ( ) R ( ) q 1 A q 2 T R ( ) R ( ) q 3 T q 4 R ( ) R ( ) Per l string vuot imo il processo di riduzione pil uffer zione q 0 $ R ( ) q 0 q 1 $ A e le stringhe contenute nell pil nel corso dell riduzione sono le preformule ed. 44
Per l string imo il processo di riduzione pil uffer zione q 0 $ T q 0 q 2 $ T q 0 q 2 q 2 $ R ( ) q 0 q 2 q 2 q 3 $ T q 0 q 2 q 2 q 3 q 4 $ R ( ) q 0 q 2 q 3 $ T q 0 q 2 q 3 q 4 $ R ( ) q 0 q 1 $ A e le stringhe contenute nell pil nel corso dell riduzione sono le preformule:,,,,,, ed. 45
T.7 Un frmmento dell grmmtic genertiv delle espressioni dell lger relzionle (per si di dti) h l form seguente G = (T, N, E, P) dove T = {rel, set, join, (, )} N = {E} P: E rel (E) join (E) i consideri l string x = (rel) join (rel) (1) Trovre un grmmtic contestule G equivlente G in form normle di Chomsky. Verificre con l lgoritmo CYK che l string x è un frse di G e, quindi, di G. (2) Applicre il metodo induttivo (tecnic di riduzione destrors) per verificre che l string x si un frse di G. (3) Determinre il linguggio ccettto dll AFD delle preformule e verificre che le stringhe contenute nell pil nel corso dell riduzione sono tutte preformule. (1) L grmmtic G h produzioni oluzione E rel AX 1 X 1 EX 2 X 2 CX 3 X 3 JX 4 X 4 AX 5 X 5 EC J join A ( C ) Qunto ll string x le sue sottostringhe x i,j sono di seguito riportti. 11 12 13 14 15 16 17 ( 21 (rel 22 (rel) 23 (rel)join 24 (rel)join( 25 (rel)join(rel 26 (rel)join(rel) rel 31 rel) 32 rel)join 33 34 rel)join( rel)join(rel 35 rel)join(rel) ) 41 )join 42 )join( 43 44 )join(rel )join(rel) join join( join(rel join(rel) 46
51 ( 61 rel 71 ) 52 (rel 62 rel) 53 (rel) Tell delle sottostringhe xi,j Con l lgoritmo CYK clcolimo gli insiemi N i,j : 11 A 21 E 31 C 41 J 51 A 61 E 71 C 12 22 X 5 32 42 52 62 X 5 13 X 4 23 33 43 53 X 4 14 24 34 44 X 3 15 25 35 X 2 16 26 X 1 17 E Tell degli insiemi Ni,j e, visto che il simolo specile E pprtiene d N 1,7, possimo concludere che l string x è un frse di G. (2) G P0: E E P1: E rel P2: E (E)join(E) L AFN A delle preformule è mostrto in Figur (tutti gli stti sono di ccettzione). 47
1 E 0 2 rel 3 4 ( E 5 6 ) 9 ( 8 join 7 E 10 ) 11 dove 0 = (P0, 0) 1 A = (P0, 1) 2 T = (P1, 0) 3 R = (P1, 1) 4 T = (P2, 0) 5 = (P2, 1) 6 T = (P2, 2) 7 T = (P2, 3) 8 T = (P2, 4) 9 = (P2, 5) 10 T = (P2, 6) 11 R = (P2, 7) Con l costruzione dei sottoinsemi, trovimo il seguente utom finito qusideterministico D equivlente d A: 48
E q 1 q 0 rel q 2 rel q 7 E Q q 8 ( rel ( ( ) q 3 E q 4 ) q 5 join Q q 6 q 9 Q ( dove q 0 = {0, 2 T, 4 T } q 1 = {1 A } q 2 = {3 R } q 3 = {2 T, 4 T, 5} q 4 = {6 T } q 5 = {7 T } q 6 = {8 T } q 7 = {2 T, 4 T, 9} q 8 = {10 T } q 9 = {11 R } A questo punto, dopo ver clcolto J(E) = {), $}, ottenimo l tell delle zioni: stto rel set join ( ) $ q 0 T T q 1 A q 2 R (E rel) R (E rel) q 3 T T q 4 T q 5 T q 6 T q 7 T T q 8 T R (E (E) join (E)) R (E (E) join (E)) q 9 49
Per l string (rel) join (rel) imo il processo di riduzione pil uffer zione q 0 (rel)join(rel)$ T q 0 (q 3 rel)join(rel)$ T q 0 (q 3 relq 2 )join(rel)$ R (E rel) q 0 (q 3 Eq 4 )join(rel)$ T q 0 (q 3 Eq 4 )q 5 join(rel)$ T q 0 (q 3 Eq 4 )q 5 joinq 6 (rel)$ T q 0 (q 3 Eq 4 )q 5 joinq 6 (q 7 rel)$ T q 0 (q 3 Eq 4 )q 5 joinq 6 (q 7 relq 2 )$ R (E rel) q 0 (q 3 Eq 4 )q 5 joinq 6 (q 7 Eq 8 )$ T q 0 (q 3 Eq 4 )q 5 joinq 6 (q 7 Eq 8 )q 9 $ R (E (E) join (E)) q 0 Eq 1 $ A e le stringhe contenute nell pil nel corso dell riduzione sono nell ordine: ( (rel (E (E) (E)join (E)join( (E)join(rel (E)join(E (E)join(E) E (3) e pplichimo il lemm di Arden ll utom D ottenimo il sistem di equzioni λ 0 = {E} λ 1 {rel} λ 2 {(} λ 3 {} λ 1 = {} λ 2 = {} λ 3 = {(} λ 3 {E} λ 4 {} λ 4 = {)} λ 5 {} λ 5 = {join} λ 6 {} λ 7 = {rel} λ 2 {(} λ 3 {E} λ 8 {} λ 8 = {)} λ 9 {} λ 9 = {} che h per soluzione λ 3 = {, } λ 2 = {}* {,, } λ 1 = {} 50
λ 0 = {} {}* {,, } {, } = = {}* {} {,, } {, } = = {}* {} {} + {, } {, } = = {}* {} ({} + {}) {, } = = {}* {} {}* {, } = = {}* {,, }. Pertnto L(A) = L(D) = L(D ) = L(D ) = L(D min ) = {}* {,, }. 51
T.8 Le prole di senso compiuto che sono ngrmmi di mor sono tutte e solo le frsi dell grmmtic G = (T, N,, P}, dove T = {, m, o, r}, N = {, U, V, X, Y, Z} e P è l insieme delle produzioni UV XY YZ U ro or V m X Z r Y mo Z r 1) Trovre un grmmtic contestule C equivlente G in form normle di Chomsky. Verificre che l string rom è un frse di G pplicndo l lgoritmo CYK con input C. 2) Applicre il metodo induttivo (tecnic di riduzione destrors) per verificre che l string rom è un frse di G. (A tle scopo, prtire d G costruire l tell delle zioni). Verificre che, nel corso del processo di riduzione, le stringhe dell pil sono tutte stringhe ccettte dll AFD utilizzto dl metodo induttivo. 52