ENS - Prima prova in itinere del 07 Maggio 0 L allievo é invitato a dare una ragionata e succinta risposta a tutti gli argomenti proposti, per dimostrare il livello di preparazione globale. I calcoli devono essere sviluppati nel seguito. Gli esercizi devono essere risolti solo sui fogli dei colori indicati; si consiglia una lettura attenta del testo degli esercizi. Per esiti e soluzioni si usi l indirizzo Internet: http://www.elet.polimi.it/dsp/courses/ens l1/ Per la discussione dello scritto si contatti i docenti via mail: marcon@elet.polimi.it o rocca@elet.polimi.it; Esercizio 1 [Punti ] (foglio bianco) Progetto di un filtro passa basso e calcolo del rumore di quantizzazione Si progetti un filtro numerico passa basso in modo per: - avere pulsazione di taglio normalizzata π/00 - annullare la componente del segnale a pulsazione normalizzata π (Nyquist). - avere guadagno a frequenza zero unitario. a) [5 punti] Utilizzando la tecnica vettoriale, si determini la posizione dello zero e del polo del filtro e la sua funzione di trasferimento H (z). b) [3 punti] Si determini la risposta all impulso del sistema. c) [3 punti] Si determini la funzione di autocorrelazione della risposta all impulso sia del blocco relativo allo zero, che del blocco relativo al polo, che della loro cascata. d) [4 punti] Si tracci lo schema a blocchi del filtro numerico, si indichino le sorgenti del rumore di quantizzazione dei segnali e le si localizzino sullo schema a blocchi. (N.B. Si ricorda che ogni nodo sommatore o moltiplicatore costituisce una sorgente di rumore). e) [7 punti] Si calcoli il livello del rumore di quantizzazione in uscita e la struttura del filtro che rende minimo questo livello. Esercizio [Punti ] (foglio azzurro) Decimazione Un segnale campionato a 0 khz deve essere decimato 5:1 in modo che la nuova frequenza di campionamento sia 0 khz. La risposta all impulso del filtro impiegato per il filtraggio passa basso sia quella di un filtro ad andamento triangolare nei tempi con il primo zero alla nuova frequenza di Nyquist a valle della decimazione. a) [7 punti] Si fornisca la risposta all impulso h n di un filtro decimatore causale e se ne trovi la trasformata H(z). Si tracci inoltre il diagramma poli-zeri di H(z) nel piano complesso. b) [7 punti] Si costruisca la struttura polifase per effettuare la decimazione del segnale, si traccino le risposte all impulso dei singoli filtri polifase ed infine si tracci lo schema a blocchi completo della struttura polifase ed anche quella che ha il minimo utilizzo di memoria. c) [8 punti] Ad un segnale in ingresso x(n) = cos(f 0 n) con f 0 = 6kHz si somma un rumore y(n) = sin(f 1 n) con f 1 = 1kHz. Determinare lo spettro del segnale decimato con e senza il filtro anti alias e indicare il rapporto segnale/rumore a valle del decimatore, in presenza del filtro.
Soluzioni Es.1 H (z) = A 1 + z 1 1 ρz 1 ; ρ = 1 ε = 1 π = ρ = 0.996 86 (1) 00 A = 1 ρ = 0.00157 () ( h n = ρ n + ρ n 1) A; n > 1; h 0 = A (3) Figure 1: Posizionamento delle sorgenti di rumore nella sequenza Polo-zero e zero-polo Indichiamo con S lo spettro di potenza di rumore di quantizzazione generato da ogni moltiplicatore e sommatore e discutiamo alla fine dove inserire il moltiplicatore per A e vederne gli effetti. Nel caso di polo che precede lo zero la potenza di rumore in uscita prima del moltiplicatore è per ogni frequenza S 1 + z 1 1 ρz 1 + S (4) Nel secondo caso, se lo zero precede il polo, la potenza di rumore in uscita prima del moltiplicatore è per ogni frequenza 1 S 1 ρz 1 (5) Le potenze di rumore in uscita prima del moltiplicatore, calcolate come il valore delle funzioni di autocorrelazione al tempo zero valgono rispettivamente {...ρ, ρ, 1, ρ, ρ... } + ρ 1 ρ {1;, 1} + 1 = e per n = 0; 1 ρ + 1 = 1 ρ + 1 = 638σ q (6)
e nel secondo caso 1 ρ = 318σ q (7) e quindi la prima soluzione è peggiore. Il moltiplicatore per ottenere il guadagno unitario va inserito ovviamente alla fine, perchè cosi il rumore in uscita è moltiplicato per A e il risultato finale è 318 0.00157 σ q + σ q = 1.0007σ q (8) Facendo il conto in modo semplificato, rappresentiamo la funzione di trasferimento del polo con un rettangolo di altezza 1 ε e banda ε.la potenza in uscita, nel primo caso, va poi scalata per il guadagno di potenza dello zero a frequenza zero, pari a = 4. Inoltre si deve tenere conto del fatto che la potenza di rumore di quantizzazione si sparge su tutto l intervallo da 0 a π e quindi P out = 4 σ ε q π 1 ε + σ q = 4σ q πε + σ q = 406 σ q (9) (facendo un errore del solito fattore /π pari al 50% circa). Nel secondo caso la potenza in uscita è calcolata in modo approssimato come P out = σ q π (1 ρ) = 0σ q () L effeto del moltiplicatore finale per A, abbatte comunque il rumore di quantizzazione generato precedentemente. Es. H (z) = ( 1 1 z ) 1 z 1 Ad un segnale in ingresso x(n) = cos(f 0 n) con f 0 = 6kHz si somma un rumore y(n) = sin(f 1 n) con f 1 = 1kHz. Determinare lo spettro del segnale decimato con e senza il filtro anti alias e indicare il rapporto segnale/rumore a valle del decimatore, in presenza del filtro.considerando l attenuazione richiesta sui lobi secondari il filtro dovrà essere quantomeno triangolare e presentare il primo zero a ω = π 5 : h (n) = 1 [ 1 H(ω) = [ 1 I cinque filtri utilizzati saranno i seguenti: e la struttura del filtro sarà: ] n 9 per 0 n 19 (11) ] sin (ω/) e j9ω (1) sin (ω/) H 0 (z) = 1 [ 1 + 6z 1 + 9z + 4z 3] H 1 (z) = 1 [ + 7z 1 + 8z + 3z 3] H (z) = 1 [ 3 + 8z 1 + 7z + z 3] (13) H 3 (z) = 1 [ 4 + 9z 1 + 6z + 1z 3] H 4 (z) = 1 [ 5 + z 1 + 5z ]
Magnitude Response (db) 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Normalized Frequency ( π rad/sample) Figure : H(ω) Impulse Response 4 6 8 1 14 16 18 Samples Figure 3: Risposta all impulso Pole/Zero Plot 18 3 1 0 1 3 4 Real Part Figure 4: Diagramma poli-zeri di H(z)
Figure 5: schema del filtro polifase Lo spettro del segnale originale presenterà la coppia di impulsi del segnale alle frequenze normalizzate ± 6 1 0 π e la coppia di impulsi del rumore: ± 0 π con le successive repliche centrale intorno a multipli di π. A valle del decimatore le repliche saranno invece centrate intorno ai 0 khz, ( π 5 in pulsazioni normalizzate secondo la frequenza di campionamento originale). Ossia, a valle del decimatore avremo gli impulsi di segnale a ± 6 0 π ed i due impulsi dovuti all aliasing del rumore ± 0 1 0 π = ± 4 5π Il rapporto segnale-rumore a valle del decimatore con filtro anti-alias è pari a H( 6 π) 0 H( 1 π) = 0.09dB 0