EQUAZIONI DELLA MAGNETOFLUIDODINAMICA (MD) V. D'Alssandro Copyright ADEPRON Tutti i Diritti Risrvati - www.adpron.it EQUAZIONI DELLA MAGNETOFLUIDODINAMICA (MD) Valrio D'ALESSANDRO * * Inggnr Trmomccanico; Dottorato di Ricrca in Enrgtica ; Gruppo di Trmofluidodinamica, Univrsità Politcnica dll March INTRODUZIONE La Magntofluidodinamica (Magnto-ydro-Dynamic, MD) è la toria ch dscrivr la dinamica di fluidi lttricamnt conduttori, chimicamnt omogni d inrti nlla loro intrazion con campi lttromagntici strni, d è sviluppata nll ambito dlla Toria di Continui. Il problma Fluidodinamico (o Eulriano) d il problma Elttromagntico (o Maxwlliano) dl mzzo risultano, nll ambito dlla toria dlla Magntofluidodinamica, accoppiati, dando origin ad un sistma di quazioni all drivat parziali linari non linari. La formulazion dll quazioni dlla dinamica di un fluido nwtoniano non micropolar omogno monofas rimangono inaltrat nll ambito dlla trattazion di sguito sposta, mntr pr quanto riguarda la part lttromagntica dl problma è opportuno considrar quanto sgu. L variazioni d intnsità dl campo lttrico E dl campo magntico nl tmpo sono dtrminat dalla loro distribuzion istantana dal movimnto dll carich ngativ risptto all positiv, indipndntmnt da com la variazion tmporal il moto rlativo sono prodotti. Pr qusto l Equazioni di Maxwll non sono formalmnt altrat dal moto dl fluido. La part lttromagntica dl problma dl moto di un fluido lttricamnt conduttor dlla sua intrazion con vntuali campi lttromagntici strni è totalmnt trattabil con l Equazioni di Maxwll scritt in prsnza di un mzzo dilttrico nll ipotsi di matrial diamagntico o paramagntico. PROBLEMA MAXWELLIANO La part lttromagntica dl problma, com già argomntato, è posta matmaticamnt con l classich quazioni di Maxwll (si prsuppon noto il significato di simboli dll grandzz ch vi compaiono): (1) () () (4) (5) (6) D ρ B 0 B E t D j t B μ D εe (7) ρ t j 0 A tali rlazioni è poi util aggiungr la Lgg di Ohm gnralizzata la qual, ovviamnt, riman valida nll ambito di qusta toria: (8) E ub u j σ ρ dov il trmin u è la dnsità di corrnt di convzion. PROBLEMA EULERIANO L quazioni ch dscrivono il problma fluidodinamico (o Eulriano) sono, nll ambito dlla toria qui prsntata, sattamnt qull dlla Fluidodinamica Classica opportunamnt munit di trmini rlativi all forz di massa maxwllian all fftto Joul. S F è la forza di natura non lttromagntica, rifrita all unità di massa, agnt sul fluido si ha: 1
EQUAZIONI DELLA MAGNETOFLUIDODINAMICA (MD) V. D'Alssandro Copyright ADEPRON Tutti i Diritti Risrvati - www.adpron.it (9) ' 1 ' ρ p μ u μ u ρ E F ρf L dov F L è la forza di Lorntz pr unità di volum: (10) F L jb pr cui sostitundo la (10) nlla (9) si ottin banalmnt: (11) ' 1 ' ρ p μ u μ u ρ E jb ρf L quazion dll nrgia pr un fluido nwtoniano non micropolar classico, invc, assum la forma: (1) D ρ k T p u μφ ch può ssr riscritta, nll ipotsi di gas prftto, com: (1) DT ρc v k T p u μφ La (1), prò, in Magntofluidodinamica va corrtta in virtù dll fftto Joul: infatti, si dv tnr conto ch il campo lttrico può spostar l carich lttrich libr nl fluido spndndo una potnza mccanica (si tnga prsnt ch la forza di Lorntz, quindi il campo lttrico ad ssa associato, non può compir lavoro sull carich lttrich) sprssa dalla sgunt rlazion: (14) w je la qual ntra di diritto nll quazion dll nrgia (1): (15) DT ρc v k T p u μφ je Non è affatto difficil ricavar l quazion di produzion dll ntropia in prsnza di fftto Joul da tal procdimnto, qui omsso, si conclud facilmnt ch s l fftto Joul è prsnt allora produc ntropia. Pr compltar la dscrizion dl problma Eulriano è ncssario aggiungr: l quazion di continuità dlla massa: l quazion di stato di gas prftti (è ch il modllo trmodinamico ch si è assunto già nll quazion dll nrgia); una rlazion =(T). ρ t ρ u 0 L quazioni di consrvazion dlla massa, dlla quantità di moto dll nrgia, ch costituiscono il corpo matmatico dl problma ulriano dlla toria dlla Magntofluidodinamica, sono più complss di quanto appaiono: sono non linari, accoppiat difficili da risolvr. É difficil, inoltr, dimostrar con procdur matmatich sistnti l sistnza di una soluzion unica pr particolari condizioni al contorno la dipndnza con continuità dlla soluzion dall condizioni al contorno d iniziali. L sprinza mostra ch l Equazioni di Navir-Stoks dscrivono corrttamnt il flusso di un fluido nwtoniano, solo in particolari casi flussi compltamnt sviluppati in gomtri smplici è possibil ottnr una soluzion analitica dll quazioni stss sia nlla Fluidodinamica ch nlla Magntofluidodinamica. Qusti flussi sono importanti pr lo studio di fondamnti di qust disciplin, ma qui casi particolari sono dl tutto irrilvanti dal punto di vista applicativo. L 7 quazioni dl problma maxwlliano più l 7 dl problma ulriano costituiscono la formulazion complta dl problma magntofluidodinamico a cui, ovviamnt, vanno aggiunt opportun condizioni al contorno d iniziali. Il problma matmatico ch scaturisc dall analisi dlla fnomnologia fisica di intrss è, allo stato attual dlla ricrca nll ambito dll Analisi Matmatica, privo di soluzion analitica: pr qusto motivo risulta ncssario introdurr, pr dtrminat condizioni di flusso, dll smplificazioni nll quazioni, in modo ch alcuni trmini in ss prsnti divntano poco importanti o trascurabili risptto ad altri. Nonostant qusto, è possibil ch anch l quazioni così smplificat siano tali da non ammttr soluzion analitica, rndndo quindi ncssario pr la loro risoluzion il ricorso ad approcci di tipo numrico.
EQUAZIONI DELLA MAGNETOFLUIDODINAMICA (MD) V. D'Alssandro Copyright ADEPRON Tutti i Diritti Risrvati - www.adpron.it IPOTESI DI ALFVEN L impossibilità di potr risolvr il problma matmatico alla bas dlla Magntofluidodinamica richid, com dtto, la ncssità di introdurr nll quazioni, pr particolari condizioni di flusso, dll smplificazioni, valutando l opportunità di trascurar o mno alcuni di trmini in ss prsnti risptto ad altri. L ipotsi di Alfvn, ch si inquadrano pinamnt in qusta logica, sono l sgunti: In gnral s non vi sono oscillazioni ad alta frqunza si ha: t εμ t Qusto quival ad imporr la trascurabilità dlla corrnt di spostamnto ni problmi di Magntofluidodinamica. La corrnt di convzion è trascurabil. La prima ipotsi di Alfvn è avvalorata dall sprinza sprimntal; pr quanto riguarda la sconda ipotsi si può dar una dimostrazion appropriata. A tal fin, considrando la Lgg di Ohm gnralizzata, si ottin: (16) j σ E u B ρ u tndndo conto dll quazion di continuità dlla carica lttrica si ha: (17) σ E u B ρ u ρ t Introducndo nlla (17) l quazioni (1) (6) si ottin: (18) ρ σ ε u B ρ u ρ t la qual può ssr riscritta com: (19) Dρ ρ σ ε σ ub La (19) prsnta una soluzion dl tipo: (0) σ ρ A xp t B ε Nlla (0) si suppon ch il movimnto lo si considri a partir da un istant di tmpo abbastanza lontano dall istant di tmpo assunto com istant inizial: in qusta ipotsi il pso dlla corrnt nll quazioni di convzion divnta dl tutto trascurabil. EQUAZIONE DI INTERAZIONE u- L quazion di intrazion u- si inquadra a pino nll obittivo di ricrca dlla riduzion dl numro di quazioni figuranti nl problma matmatico dlla Magntofluidodinamica. Essa infatti, com sarà mglio spigato in sguito, costituisc l unica quazion ncssaria sufficint alla formulazion matmatica dl problma maxwlliano nll ipotsi fluido incomprimibil nlla validità dll ipotsi di comportamnto rologico, lttrico magntico prcdntmnt formulat. A partir dalla (4) si può scrivr: (1) t j D Sostitundo la (8) in (1) si ottin: () t σ E ub ρ u D Tnndo conto dll quazioni costitutiv maxwllian (5) (6) dlla () si ha:
EQUAZIONI DELLA MAGNETOFLUIDODINAMICA (MD) V. D'Alssandro Copyright ADEPRON Tutti i Diritti Risrvati - www.adpron.it t σμ x u ρ u ε E la qual, tnndo conto dll quazioni (), () (5), può ssr riscritta com: t () σμ t u ρ u εμ t ch risistmata porta a scrivr: (4) t 1 σμ u ρ u εμ t L ipotsi di Alfvn prima discuss prmttono di riscrivr la (4), s =1/ è la diffusività magntica, nl sgunt modo: (5) t u η Qusta è l quazion u- quantifica l intrazion fra il campo cintico d il campo magntico. La (5), ssndo u=0 =0, può ssr riscritta com: (6) t u u η ovvro anch com: (7) D η u dov si è indicato con: D : u t l oprator di drivata sostanzial. PROBLEMA MAGNETOIDRODINAMICO L considrazioni fin d ora qui fatt hanno consntito la scrittura di un st di quazioni sufficinti pr la dscrizion dl problma dinamico di un fluido nwtoniano, incomprimibil, lttricamnt conduttor immrso in un campo magntico l intrazion dl campo lttromagntico con il fluido stsso (l ipotsi di incomprimibilità giustifichrbb il trmin Magntoidrodinamica piuttosto ch Magntofluidodinamica). Considrata la trascurabilità di alcuni trmini risptto ad altri, l citat smplificazioni da introdurr nll quazioni sono giustificat ipotizzando pr il fluido l sgunti proprità: fluido incomprimibil; fluido viscoso; fluido a conduttività lttrica uniform. Nll quazion di Navir-Stoks bisogna considrar l ipotsi di incomprimibilità trascurar l fftto dll carich lttrich libr (pr l ipotsi di Alfvn) ottnndo: (8) ρ p μ u jb ρf La forza di Lorntz va modificata tnndo conto ch pr la prima ipotsi di Alfvn la (4) divnta x = j il campo di induzion magntica può ssr scritto pr la rlazion costitutiva (5) com B =, pr cui: (9) ' ρ p μ u μ ρf dov con si è indicata la viscosità dinamica dl fluido è la prmabilità magntica dl mzzo. 4
EQUAZIONI DELLA MAGNETOFLUIDODINAMICA (MD) V. D'Alssandro Copyright ADEPRON Tutti i Diritti Risrvati - www.adpron.it Alla (9) vanno aggiunt l quazion di continuità dlla massa la rlazion di intrazion dl campo cintico con il campo magntico (5): (0) (1) u 0 t u η La (9), la (0) la (1) costituiscono l quazioni ncssari a sufficinti pr la soluzion dl problma Magntofluidodinamico (insim all ncssari condizioni al contorno d iniziali) di un fluido incomprimibil d lttricamnt conduttor, valid nll ipotsi prcdntmnt introdott circa il comportamnto rologico, lttrico magntico dl fluido. 5