MECCANICA COMPUAZIONALE Capitolo Formlazione analitica degli elementi Rev. 9 marzo 28 (rev. 9//28) Capitolo : /29 Argomenti trattati nel capitolo Richiami di elastotica Notazione Formlazione discreta Criteri di convergenza Patch test Altri metodi per il calcolo della matrice di rigidezza (rev. 9//28) Capitolo : 2/29
Problema elastotico (contino D) Il problema elastotico è caratterizzato dai tre grppi di eqazioni definiti in ogni pnto del contino Congrenza: Legame: i j εij = + 2 j i E ν σ ij = εij + εkkδij + ν 2ν in V Eqilibrio: σ ij + bj = i Ci si aggingono le condizioni al contorno: c.c. tiche c.c. ematiche σ ˆ ijnj = t s S i t = i i s S r (rev. 9//28) Capitolo : /29 Notazione comptazionale In meccanica comptazionale si è soliti raccogliere spomenti, deformazioni e sforzi nei vettori: b b = b 2 b σ σ σ 22 σ = σ2 σ 2 σ ε ε ε 2 ε γ 2 γ = γ2 = 2 tˆ tˆ = tˆ 2 tˆ Si noti come anche i tensori del secondo ordine di sforzi e deformazione vengano rappresentati in vettori colonna. = 2 (rev. 9//28) Capitolo : 4/29 2
Problema in notazione comptazionale congrenza: legame: eqilibrio: ε = σ = E ε σ + b= c.c. tiche: c.c. ematiche: R σ =ˆ t s St R = s S r 2 = = 2 R 2 α α2 α = α α α α α α 2 2 ν ν ν ν ν ν ν ν ν E 2ν E = ( + ν)( 2ν ) 2 2ν 2 2ν R 2 = (rev. 9//28) Capitolo : 5/29 carichi esterni σ + b = sforzi generalizzati b EQUILIBRIO Diagramma di onti LEGAME σ σ = E ε ε = ε spomenti R CONGRUENZA deformazioni generalizzate = condizioni al contorno ematiche R σ =ˆ t condizioni al contorno tiche (rev. 9//28) Capitolo : 6/29
Problema nidimensionale (a) È possibile generalizzare la notazione matriciale tilizzando la stessa scrittra per differenti problemi strttrali. Ad esempio per il caso nidimensionale della biella, i vettori (con na sola componente) sono: b = [ q ] σ = [ N ] ε = [ ε ] = [ ] ˆ = Nˆ t = [ ] ˆ ˆN q ˆN e le matrici relative sono banalmente: d = = E = [ EA] d R = [ ± ] R = [ ± ] (rev. 9//28) Capitolo : 7/29 rave piana rigida a taglio q b = qy N σ = M ε ε = κ = y Nˆ tˆ = ˆ Mˆ ˆ ˆ ˆ ϕ = y y f y qy q M N d = = 2 d A E = E J (rev. 9//28) Capitolo : 8/29 4
rave piana deformabile a taglio b q q m = y N σ = M ε ε = γ κ ϕ = y Nˆ tˆ = ˆ Mˆ ˆ ˆ ˆ ϕ = y qy q m d = = d 2 d y f y M N EA E = GAs EJ (rev. 9//28) Capitolo : 9/29 Problema piano (di tensione) Per il problema piano di tensione (che verrà meglio analizzato nel cap. 4), si ha: q b = qy σ n n n = yy y ε ε ε γ y = yy = y tˆ pˆ n = pˆ t ˆ n = ˆ t ˆp n y qy q ˆp t = = y y E ν Eh ν ( ν ) 2 = ν 2 R α α 2αα = 2 2 y y 2 2 αα y α αy αα y R (rev. 9//28) Capitolo : /29 α αy = αy α 5
Piastra (o lastra inflessa) rigida a taglio (teoria di Kirchhoff-Love) b = [ q z ] σ m m m y = κ ε = κ yy 2κ y = [ z ] ˆ ˆ t t = mˆ ˆz = ˆt ϕ m y y z t y m yy q z z m t t n m y h = = 2 ν Eh E = ν 2 2( ν ) ν 2 yy y (rev. 9//28) Capitolo : /29 Energia potenziale totale Π = ε σ dv bdv tˆ da EP 2 V V S t Il pedice indica che si tratta di n fnzionale in ci la variabile indipendente sono gli spomenti (deformazioni e tensioni sono assnti in fnzione di qesti tramite congrenza e legame). Nella formlazione agli spomenti del FEM è qesto il fnzionale che tilizzeremo. È possibile scrivere fnzionali analoghi dove le variabili indipendenti sono gli sforzi (metodo delle forze): energia potenziale complementare Per problemi specifici si ricorre inoltre alle formlazioni miste con l assnzione di più variabili indipendenti: potenziale di Hellinger-Reissner (spomenti e sforzi) potenziale di Vebeke-H-Washiz (spomenti, deformazioni e sforzi) (rev. 9//28) Capitolo : 2/29 6
eorema dei lavori virtali Spomento virtale: variazione di configrazione arbitraria (virtale) ematicamente ammissibile (compatibile con i vincoli). eorema dei lavori virtali: la variazione di energia potenziale totale prodotta da spomenti virtali e deformazioni virtali fra loro congrenti è nlla: δπ = δ dv δ dv δ da= EP ˆ ε σ b t V V S se e solo se forze e tensioni sono in eqilibrio. N.B.: Data la sa importanza, si è soliti riferirsi a tale teorema (cioè ennciato dimostrabile!), come Principio dei Lavori Virtali (PLV). t L annllarsi della variazione dell energia potenziale totale è dnqe eqivalente all eqilibrio e ci si riferisce ad essa come formlazione integrale dell eqilibrio (o eqilibrio in forma debole). Nel segito tilizzeremo qe eqivalenza: PLV + congrenza eqilibrio (rev. 9//28) Capitolo : /29 Discretizzazione degli spomenti ) All interno dell elemento il campo di spomenti viene approssimato in fnzione di n certo nmero di parametri scalari a, a 2,, a n raccolti nel vettore a: ( ) = Φ( ) a 2) I parametri a (che sono in generale privi di significato fisico immediato, e.g. coefficienti di polinomi) vengono messi in relazione (binivoca!) con gli spomenti nodali: v = Ψ a a= Ψ v +2) Combinando le espressioni precedenti si ginge a scrivere l interpolazione degli spomenti: = Φ Ψ v = Ω v ( ) ( ) ( ) Il campo di spomenti contino è ottento come prodotto di na matrice di fnzioni note per il vettore degli spomenti nodali. La matrice Ω è detta matrice delle fnzioni di forma per gli spomenti ed è ottenta in modo che gli spomenti valtati in corrispondenza di n nodo ( n ) egaglino gli spomenti nodali v n. (rev. 9//28) Capitolo : 4/29 7
Discretizzazione della congrenza Dall interpolazione degli spomenti: Applicando la congrenza si ha: La matrice: ( ) = Ω( ) v ( ) ( ( ) ) ( ( )) ( ) ε = Ω v = Ω v = B v ( ) = Ω( ) B contiene le derivate delle fnzioni di forma lngo gli spomenti ed è detta matrice delle fnzioni di forma per le deformazioni. L interpolazione delle deformazioni è dnqe: ε( ) = B( ) v (rev. 9//28) Capitolo : 5/29 Discretizzazione del legame Considerando le eqazioni di legame: σ ( ) = E ε( ) = E B( ) v si ottiene l interpolazione per gli sforzi: σ ( ) = E B( ) v alvolta si definisce la matrice: delle fnzioni di forma per gli sforzi. ( ) = E B( ) S (rev. 9//28) Capitolo : 6/29 8
Discretizzazione del PLV (/2) Anziché sfrttare direttamente le eqazioni di eqilibrio pntale (forma forte), applichiamo il principio dei lavori virtali, cioè l eqilibrio in forma integrale (forma debole). Spomenti e deformazioni virtali sono dovti esclsivamente a spomenti nodali virtali (na volta scelte, le fnzioni di forma sono fissate). Consideriamo spomenti e deformazioni virtali congrenti (per ipotesi si adottano le stesse fnzioni di forma sate per gli spomenti reali): δ = Ω δv δε = B δv (rev. 9//28) Capitolo : 7/29 Discretizzazione del PLV (2/2) Dal PLV: δπ = δε σdv δ bdv δ tˆ da= EP V V St sostitendo le qantità discretizzate si ottiene: ( ) ( ) ( ) ( ) v B E B v v Ω b v Ω tˆ V V St δ dv δ dv δ da= portando fori dagli integrali gli spomenti nodali (che non dipendono dalla posizione): ( ) ( ) ( ) δv dv dv ˆ da = B E B v V Ω b V Ω t St che condce alla forma discretizzata del PLV: [ ] δv k v p = (rev. 9//28) Capitolo : 8/29 9
Eqilibrio discretizzato Si definiscono dnqe la matrice di rigidezza dell elemento: k B E BdV = V e il vettore dei carichi nodali dell elemento: Dalla forma discretizzata del PLV: ( ) dv ( ) ˆ p = Ω b + Ω t da V St [ ] δv k v p = tenendo conto dell arbitrarietà degli spomenti virtali, si ottengono le eqazioni di rigidezza, ovvero l eqilibrio discretizzato: k v p= (rev. 9//28) Capitolo : 9/29 rasformazione di coordinate Considerando (ove necessario) la trasformazione da coordinate locali a coordinate globali v = Q v la relazione fra gli spomenti virtali nei de sistemi si scrive: Sostitendo nel PLV: glob δv = Q δv glob δ v glob Q k Q v glob p = si ottengono le trasformazioni della matrice di rigidezza e del vettore dei carichi: k = Q k Q p = Q p glob glob e l espressione delle eqazioni di rigidezza dell elemento in coordinate globali: kglob vglob pglob = (rev. 9//28) Capitolo : 2/29
Altri modi per ricavare la matrice di rigidezza Ricavare la matrice di rigidezza attraverso la definizione delle fnzioni di forma e l applicazione di n principio variazionale (come fatto in qesto capitolo con il PLV) è il metodo più generale. ttavia vale la pena citare altri metodi eqivalenti (gli ingredienti di base sono sempre eqilibrio, legame e congrenza!): - Applicando direttamente le eqazioni di eqilibrio, legame e congrenza (come visto per l elemento biella nel cap. 2). -Imponendo spomenti nitari per n solo GdL alla volta dell elemento con ttti gli altri spomenti nlli (il coefficiente di rigidezza k ij è la reazione correlativa al i-mo GdL qando si imponga il solo spomento nitario j-mo). - Sfrttando il primo teorema di Castigliano. Le forze nodali sono le derivate dell energia rispetto agli spomenti nodali: EP Π pi = vi la rigidezza è a sa volta la derivata delle forze rispetto agli spomenti: 2 EP pi Π k = = ij v v v j i j (rev. 9//28) Capitolo : 2/29 Caratteristiche della matrice di rigidezza Qadrata: ha tante righe qanti sono i gradi di libertà e tante colonne qanti i carichi nodali, che per definizione sono nello stesso nmero. Simmetrica: lo si pò vedere dal teorema di Castigliano applicando il teorema di Schwarz oppre direttamente dalla formla ottenta con il PLV (considerando la simmetria del tensore di elasticità E). Semidefinita positiva: è necessario compiere n lavoro positivo per deformare l elemento (non è definita strettamente positiva in qanto i movimenti rigidi non provocano deformazioni e dnqe compiono lavoro nllo). Ha rango pari al nmero di gradi di libertà dell elemento diminito dei moti rigidi consentiti: e.g. per l elemento biella D si ha esattamente n atovalore nllo che corrisponde alla traslazione lngo l asse della biella stessa (in coordinate globali la biella 2D ha matrice 44 e atovalori nlli corrispondenti alle de traslazioni e alla rotazione). k k EA k λ k 2 λ = k =, k det( λ ) det 2kλ λ k k = k I = = + = k k λ λ2 = 2k (rev. 9//28) Capitolo : 22/29
Caso con coazioni (pretensioni, variazioni termiche, etc.) legame: PLV: ( ) σ = E ε ε (nica eqazione modificata) V V ˆ A δπ EP = δε σd δ bd δ td = V V St ( ) ( ) V ( ) δv B E B vd δ V V v B E ε dv + ( ) V ( ) ˆ δv Ω bd δv Ω td V St [ ] δv k v p = A= Le coazioni si tradcono dnqe in carichi nodali aggintivi: ( ) ( ) ˆ V A B ( ) E ε p = Ω b d + Ω t d + dv V St V (rev. 9//28) Capitolo : 2/29 Condizioni di convergenza Affinché n elemento possa essere considerato valido si richiede che all infittirsi del reticolo di discretizzazione (mesh), la solzione discreta converga alla solzione del problema contino. Esistono alcne condizioni sfficienti alla convergenza: ) Continità 2) Completezza ) Conformità 4) Isotropia geometrica Se n elemento non rispetta ttti i criteri non è detto che non fnzioni in assolto (sono freqenti ad esempio elementi non conformi), tttavia tali elementi sono in pratica intilizzabili se non per scopi specialistici (spesso solo accademici). (rev. 9//28) Capitolo : 24/29 2
Condizioni di convergenza: continità e completezza ) Condizione di continità: è richiesto che l interpolazione degli spomenti sia contina all interno dell elemento e differenziabile almeno qanto richiesto dalle eqazioni di congrenza. 2) Condizione di completezza: è richiesto che le fnzioni di forma siano in grado di rappresentare, in modo fra loro indipendente, ttti i moti rigidi e gli ti a deformazione conte. La rappresentazione dei moti rigidi con parametri indipendenti, garantisce che n elemento soggetto ad na roto-traslazione pra non vari la propria energia, manifendo così rigidezze sprie a qesti moti. La rappresentazione indipendente degli ti a deformazione conte garantisce che, al limite dell infittimento del reticolo di discretizzazione, il volme di ogni elemento converga all intorno di n pnto materiale. (rev. 9//28) Capitolo : 25/29 Condizioni di convergenza: conformità e isotropia geometrica ) Condizione di conformità: l assemblaggio deve ricostitire la continità di spomenti e deformazioni all interfaccia fra gli elementi. Ciò è garantito se e solo se gli spomenti s n bordo dell elemento dipendono esclsivamente da qelli dei nodi appartenenti al bordo stesso. In pratica è richiesto che la fnzione di forma relativa ad n nodo si annlli s ttti i bordi dell elemento ai qali il nodo non appartiene. 4) Condizione di isotropia geometrica: le proprietà dell elemento non devono dipendere dalla scelta del sistema di riferimento locale, cioè il modello di spomento deve rimanere inalterato se gli assi vengono rotati. (rev. 9//28) Capitolo : 26/29
Patch test È n metodo nmerico per verificare la validità di n elemento. Si definisce na mesh di elementi (patch, letteralmente pezza ) in modo che si abbia n elemento completamente interno alla mesh stessa (oppre n nodo completamente interno, a seconda delle versioni). Nei nodi esterni alla mesh, si impone n sistema di forze o spomenti che corrispondono ad no to di deformazione conte. Si fa girare l esempio e si verifica che lo to di deformazione nell elemento interno sia effettivamente conte e pari a qello atteso (oppre che lo spomento del nodo interno sia qello atteso). (rev. 9//28) Capitolo : 27/29 Patch test: esempio Esempi di ti di deformazione conte ottenti imponendo gli spomenti dei nodi esterni della mesh. Si verifica qindi lo to di deformazione nell elemento interno. deformazione normale conte scorrimento conte (rev. 9//28) Capitolo : 28/29 4
Nel prossimo capitolo Libreria di elementi (rev. 9//28) Capitolo : 29/29 5