Fondament d meccanca classca: smmetre e legg d conservazone d Marco Tulu A. A. 2005/2006 1 Introduzone Un corpo s dce omogeneo se ha n ogn suo punto ugual propretà fsche e chmche, ed è sotropo se n ogn punto una stessa propretà (vettorale) vale ndpendentemente dalla drezone lungo cu s guarda. Ad esempo un gas contenuto n un recpente n condzon d equlbro (temperatura, pressone e volume costant), è omogeneo ed sotropo: la sua denstà è n ogn punto costante, e un raggo d luce o un onda sonora che n qualunque drezone lo attraversno, procedono secondo lnee rette, e mpegano lo stesso tempo a percorrere la stessa dstanza. Da corp allo spazo La fsca, s sa, tende a generalzzare ed estendere l sgnfcato d cert termn, e non fanno eccezone quest appena ctat: l omogenetà e sotropa vene attrbuta anche allo spazo. L estensone d sgnfcato però non è banale. Non basta nfatt dre che tutt punt dello spazo sono ugual, o che tutte le drezon sono ugual. Pù precsamente, supporre lo spazo omogeneo sgnfca supporre che le legg del moto, per un dato sstema fsco solato, non dpendono dalla poszone dello stesso sstema nello spazo. Ovvero v è, come s dce, una smmetra traslazonale. Questo sgnfca che per un qualsas sstema fsco solato d n punt, le forze nterne n goco F j che l punto ndvduato dal vettore r esercta sul punto j ndvduato da r j, sono tal che b, F j (r + b, r j + b) = F j (r, r j ). Il che equvale a rchedere che F j (r, r j ) dpenda solo dal vettore r r j, che dà la poszone relatva de due punt. Analogamente, rchedere che lo spazo sa sotropo ( tutte le drezon sono ugual ) sgnfca rchedere che le legg del moto sano nvarant per rotazon, ovvero se no ruotamo tutto l sstema fsco rspetto ad uno o pù ass del nostro sstema d rfermento, dobbamo rtrovarc colle stesse equazon. Questa smmetra rotazonale formalmente s esprme così: R(F j (r, r j )) = F j (Rr, Rr j ), dove con R ndchamo l operazone d rotazone eseguta su un qualsas vettore. 1
2 SISTEMA DI RIFERIMENTO INERZIALE 2 Ipotes verfcate Che lo spazo present queste caratterstche d omogenetà ed sotropa, come vedremo pù avant, non è solo un potes. A patto d essere nel gusto sstema d rfermento... 2 Sstema d rfermento nerzale In fsca sstem d rfermento da cu s osservano fenomen s scelgono, d consueto, nerzal. E propro un sstema d rfermento rspetto a cu lo spazo sa omogeneo, sotropo, e n pù l tempo omogeneo 1, s dce nerzale. Questa è una dversa e pù generale defnzone d sstema d rfermento nerzale, ed è pù coerente col formalsmo lagrangano. La Lagrangana Se samo n un s. d. r. rspetto a cu lo spazo è omogeneo ed sotropo, e l tempo omogeneo, la lagrangana che descrverà l nostro sstema fsco costtuto da un punto materale lbero 2, dpenderà soltanto dal valore 1 ovvero l nostro sstema fsco è governato dalle stesse legg se rpetamo l nostro espermento n un altro momento; n vertà l omogenetà del tempo vene prma della smmetra traslazonale e rotazonale dello spazo, poché quando mmagnamo d passare n un altro sstema d rfermento, ruoto-traslato rspetto al prmo, lo faccamo senza chamare n causa la varable temporale 2 per lbero nvochamo sempre l prncpo zero della dnamca, ovvero supponamo un corpo lbero se suffcentemente lontano da tutt gl altr. Rcordamo nfatt l crcolo vzoso a cu è soggetta la consueta defnzone d s. d. r. nerzale, e con essa quella d corpo lbero: un sstema d rfermento è nerzale se rspetto ad esso un corpo lbero vene vsto muovers d moto rettlneo unforme. Ma cosa sgnfca lbero, cosa sgnfca non soggetto a forze? Be, sgnfcherebbe propro che compe un moto rettlneo unforme, e qund avremmo che un sstema d rfermento è nerzale se rspetto ad esso un assoluto della veloctà del punto, coè dal suo quadrato v 2 = v 2 : L = L(v 2 ). E ovvo: per l omogenetà dello spazo L non potrà contenere n forma esplcta l raggo vettore r del punto, così come per l sotropa dello spazo non potrà dpendere nemmeno dalla drezone del vettore v, mentre per l omogenetà del tempo nemmeno dal tempo t. A questo punto, po, dato che la funzone d Lagrange non dpende da r, abbamo r = 0, e le equazon d Lagrange 3 assumono percò la forma d dt v = 0, da cu v = costante. E sccome v è funzone soltanto della veloctà, segue anche che v = costante. Concludamo qund che n un sstema d rfermento nerzale, ogn moto lbero avvene con veloctà costante n grandezza e n drezone 4. moto rettlneo unforme è un moto rettlneo unforme. Invocando allora l prncpo zero della dnamca, ovvero che l nterazone dmnusca al crescere della dstanza, come abbamo detto poco prma dcamo che un corpo è lbero se suffcentemente dstante da tutt gl altr 3 d = dt v r 4 la consueta defnzone d s. d. r. nerzale, sembra dscendere da questa pù generale qu ntrodotta
3 INTEGRALI DEL MOTO 3 3 Integral del moto C è d pù. L omogenetà e l sotropa non servono soltanto per ottenere una mglore defnzone d s. d. r., ma sono anche strettamente legate ad alcun ntegral del moto della meccanca. 3.1 Quanttà d moto La legge d conservazone della quanttà d moto, nfatt, per un sstema solato d uno o pù punt materal, s può dedurre drettamente dall potes d omogenetà dello spazo. In quest potes le propretà meccanche d un sstema solato non cambano n una sua traslazone parallela qualsas nello spazo omogeneo. Consderamo allora una traslazone nfntesma ε, del s. d. r. o equvalentemente del sstema fsco, per la quale la funzone d Lagrange rest mmutata. Se r è l raggo vettore del punto -esmo del sstema, sgnfca qund che, r r + ε, e la varazone della funzone L rspetto a questa traslazone nfntesma è nulla: δl = δr = ε = 0. r r In vrtù dell arbtraretà d ε, la condzone δl = 0 è equvalente a r = 0. (#) Qund, pensando alle equazon d Lagrange 5, ottenamo: d = d = 0. dt v dt v E gungamo qund alla conclusone che n un sstema meccanco solato la grandezza vettorale P = v resta nvarata nel tempo. Il vettore P è detto quanttà d moto o mpulso del sstema. Dalla dervazone della funzone d Lagrange (L = T V ) rsulta po che questa grandezza s esprme medante le veloctà de punt n questo modo: P = m v. (#) Osservazone: l uguaglanza nzale r fsco: la dervata r = 0 ha un semplce ma mportante sgnfcato = U r rappresenta la forza F agente sulla -esma partcella. Qund 5 ovvero d dt v = r
3 INTEGRALI DEL MOTO 4 quest uguaglanza comporta che la somma delle forze (nterne) agent su tutte le partcelle d un sstema solato sa uguale a zero: F = 0 6. 3.2 Momento angolare Passamo ora alla deduzone della legge d conservazone che derva dall sotropa dello spazo. Quest potes comporta che le propretà meccanche d un sstema fsco solato non cambano, qualunque sa la rotazone nello spazo d tutto l sstema medesmo. Consderamo, analogamente a quanto fatto prma, l caso d una rotazone nfntesma del sstema fsco, ponendo la condzone che la funzone d Lagrange rest nvarata rspetto ad essa. Come ndcato n fgura qu sotto, supponamo che l punto -esmo del sstema, ndvduato dal vettore r, ruot attorno all asse z d un angolo δφ, per portars n r : Chamamo vettore della rotazone nfntesma δφ l vettore d modulo par all angolo d rotazone δφ e dretto come l asse d rotazone (l verso della rotazone rspetto al verso d δφ rsponde alla regola della vte). 6 e n partcolare, se l nostro sstema è composto da sol due punt materal, abbamo F 1 + F 2 = 0, ovvero (r)trovamo la legge (o prncpo?) d uguaglanza d azone e reazone
3 INTEGRALI DEL MOTO 5 Lo spostamento lneare dell estremo del raggo vettore è dato da δr = r senθ δφ, (ved fgura sopra), mentre la drezone del vettore è perpendcolare al pano passante per r e δφ. E charo qund che δr = δφ r. Nella rotazone del sstema fsco, po, camba non solo la drezone de ragg vettor de punt materal, ma anche quella delle loro veloctà; e anche vettor veloctà s trasformano tutt secondo una stessa legge. Del tutto analogamente a prma, l vettore ncremento veloctà per l punto -esmo sarà dato da δv = δφ v. Rportando queste espresson nella condzone d nvaranza per rotazone della funzone lagrangana e sosttuendo le dervate v δl = ( δr + ) δv = 0, r v = p, r = ṗ, ottenamo: [ṗ (δφ r ) + p (δφ v )] = 0. Ora, sfruttando la propretà d prodotto msto (a b) c = a (b c), da
3 INTEGRALI DEL MOTO 6 s ottene [(δφ r )ṗ + (δφ v )p ] = 0. [δφ(r ṗ ) + δφ(v p )] = 0, da cu trando fuor δφ dal segno d sommatora, s ha δφ (r ṗ + v p ) = δφ d dt Essendo δφ arbtraro, segue che d dt r p = 0. a r p = 0. Ovvero, n altr termn, samo gunt alla conclusone che nel moto d un sstema solato s conserva la grandezza vettorale M = r p, detta momento della quanttà d moto (o semplcemente momento) del sstema. comunemente momento angolare. O pù 3.3 L omogenetà del tempo Se per no l tempo è omogeneo, la funzone lagrangana L = L(q, q, t) d un sstema solato non può dpendere esplctamente dal tempo. Possamo percò scrvere la dervata totale rspetto al tempo della lagrangana n questa forma: dl dt = q q + q. q Sosttuendo le dervate q ovvero dl dt = con d dt q, s ottene: d q dt + q q q = ( ) d q L = 0. dt q ( ) d q, dt q
3 INTEGRALI DEL MOTO 7 La grandezza E = q L q resta qund nvarata nel tempo. Ad essa vene dato l nome d energa meccanca del sstema 7, e sstem meccanc la cu energa s conserva sono dett, talvolta, conservatv. 7 questa legge d conservazone dell energa è valda tra l altro non soltanto per sstem solat, ma anche per quell che s trovano n un campo esterno costante (coè non dpendente dal tempo); nfatt, la sola propretà della funzone d Lagrange che abbamo utlzzato n questa dmostrazone, ossa la mancanza d una dpendenza esplcta dal tempo, sussste anche n questo caso
4 IL TEOREMA DI NOETHER 8 4 Il teorema d Noether Abbamo vsto come da cert tp d smmetre (traslazonale, rotazonale e temporale) dscendano delle legg d conservazone. Ebbene, potremmo chederc se vale anche l vceversa. Per esempo, se l nvaranza temporale mplca la conservazone dell energa, la conservazone dell energa a sua volta mplca l nvaranza temporale? Verfcare questo equvale a verfcare che se non vale l nvaranza temporale allora non deve valere nemmeno la conservazone dell energa 8. Consderamo un caso n cu cò avvenga, ad esempo che l accelerazone d gravtà g sa funzone del tempo, per cu ogg ha l valore g e doman g g, magar g < g. Portamo una massa M d acqua all altezza h, per po da questa lascarla cadere n una turbna collegata ad una battera: avremo mmagazznato energa elettrca par ad M gh. Il gorno dopo mmagnamo d usare quest energa per rportare l acqua all altezza h. Adesso l accelerazone d gravtà sarà g < g, e dunque l lavoro fatto sarà Mg h < Mgh, e così potremo usare la dfferenza (postva) d energa M(g g )h che c sarà avanzata per qualche altra cosa: avremmo realzzato l moto perpetuo, n palese contraddzone colla legge d conservazone dell energa. E questo non è possble, perché che l energa meccanca d un sstema solato s conserv è un fatto spermentalmente assodato, ndpendentemente da quest ragonament. Come detto prma questo è solo un (contro)esempo, non basta per dmostrare l se e solo se tra nvaranza temporale e conservazone dell energa. La dmostrazone completa, e generale, d questo come d altr legam tra smmetre e legg d conservazone è stata data dalla matematca Emmy Noether. Teorema d Emmy Noether. Consderamo una partcella (o punto materale) su una retta, con data lagrangana L = L(q, q). Il momento della partcella sarà allora p = q, così come la forza agente sulla stessa F = q. Le equazon d Lagrange 9 c dcono che la varazone del momento lneare nel tempo eguagla la forza: ṗ = F. Allora, supponamo che la lagrangana L abba una smmetra (o nvaranza), nel senso che non var quando s applch una qualche trasformazone contnua ad un parametro s, che mand q n una nuova poszone q(s). Coscché Allora la quanttà d L(q(s), q(s)) = 0. ds C = p dq(s) ds s conserva, coè Ċ = 0. 8 se la logca non è un opnone, s ha dfatt A B no A no B 9 d = dt q q
4 IL TEOREMA DI NOETHER 9 Dmostrazone. Consderamo la dervata temporale della nostra supposta quanttà conservata usando la nota regola del prodotto: Ċ = ṗ dq(s) ds + p d q(s) ds. Ora usamo l equazone del moto della nostra partcella pù la defnzone del momento per rscrvere ṗ e p n quest ultma equazone: Ċ = dq(s) q ds + d q(s) q ds. A questo punto è mmedato rconoscere nel termne d destra d quest equazone la dervata d L rspetto ad s: dq(s) q ds + d q(s) = d L(q(s), q(s)), q ds ds d ed essendo per potes dsl(q(s), q(s)) = 0, abbamo pertanto Ċ = 0. Precsazon Va detto che se non avessmo assunto che la nostra ( smmetra ) fosse ndpendente dal tempo, non avremmo potuto scrvere nella dmostrazone d dq(s) dt ds = d q(s) ds. Questo non sgnfca che l teorema non valga nel caso d smmetre dpendent dal tempo: esste una versone pù elaborata del teorema, così come ne esste una versone pù generale e sofstcata anche per altr ambt, per sstem d pù punt materal, sstem contnu, etc. Ma l dea d fondo resta sempre la stessa, come è stata data n questa semplce formulazone. C è semma un aspetto che camba sgnfcatvamente nelle successve generalzzazon, e val qu la pena d accennare: l teorema nfatt può essere esteso e mmerso anche n un formalsmo hamltonano, e n questo modo c s può affrancare dalla rchesta che la trasformazone d coordnate, ovvero la smmetra consderata, sa necessaramente contnua, ruscendo così ad estendere la valdtà del teorema alla meccanca quantstca. Ambto quest ultmo dove forse l teorema s rvela pù utle e prezoso. Non sarà po superfluo precsare anche che, quando abbamo parlato d smmetra per un sstema fsco, e ntendavamo quest ultmo solato, non abbamo però specfcato quanto dovesse essere solato. E un dscorso analogo a quello per cu, quando s defnsce n una delle prme lezon d un corso d fsca generale l punto materale 10, non s dce come a pror poter gustamente semplfcare un sstema fsco a punto materale, e quando nvece a sstema d punt, o a corpo contnuo: va analzzato caso per caso, e fondamentalmente la certezza d aver scelto la schematzzazone gusta sta nella conferma spermentale delle equazon che sono state scrtte. 10 come un sstema fsco le cu dmenson lnear sano trascurabl rspetto alla precsone con cu voglamo determnarne la poszone
4 IL TEOREMA DI NOETHER 10 Nel caso delle smmetre n questone, quando dcamo che l nostro sstema fsco gode ad esempo della smmetra rotazonale rspetto ad una certa nterazone, questo deve sgnfcare che possamo ruotarlo asseme ad un certo selezonato numero d cose che lo nfluenzano, ma non tutte le cose che gl stano attorno (panet, stelle, tutto), perché altrment avremmo lo stesso dentco fenomeno, per la banale ragone che samo tornat esattamente al punto d partenza. Osservazon Cò detto, una prma osservazone da fars è che questo teorema, che pone come poch altr n una poszone così rlevante la formulazone lagrangana, dà una precsa ndcazone su dove andare a scovare altre legg d conservazone, oltre a quelle gà note: basta scoprre un altra smmetra possble. Ora, l fatto che n meccanca classca non sano not altr ntegral del moto oltre a tre dscuss n queste pagne, sgnfca qund due sole cose: o non è ancora stata scoperta un altra smmetra fondamentale, oppure semplcemente questa non esste 11. Per esempo, contraramente a quanto un certo ntuto potrebbe ndurc a pensare, le legg fsche non sono nvarant per cambamento d scala: se no costruamo un certo appareccho, e po lo rproducamo un certo numero d volte pù grande n ogn sua parte, non funzonerà pù nello stesso modo 12. Come pure le legg fsche non sono reversbl rspetto al tempo (almeno a lvello d fsca classca). C è po un aspetto d carattere flosofco che questo dscorso lasca ntravvedere: essendo quello d Noether un utle strumento per studare e addentrarc meglo nelle legg d conservazone, come abbamo rbadto pù volte, potremmo domandarc se c possa aprre le porte a domande d carattere pù generale. L dea che certe quanttà restno nvarate attraverso l evoluzone dell unverso ha stmolato flosof e scenzat per molto tempo. Le quanttà che s conservano, gl nvarant, sembrano conservare cò che qualcuno chama una sorta d realtà fsca e sembrano avere un esstenza pù sgnfcatva d molte altre grandezze fsche. Come se dalla smmetra delle legg fsche s possa po passare a dscutere d quella degl oggett n senso pù lato, usando l potes d fondo che se le equazon d un sstema fsco sono le stesse per una data smmetra, l fenomeno (sstema fsco) dev essere lo stesso. Ma al d là se quello d Noether possa o meno essere un ponte tra fsca e flosofa, dscorso troppo lungo da ntraprendere n questa sede e forse nemmeno partcolarmente fruttuoso, cò che pù mporta è che legg d conservazone qual quelle dell energa, della quanttà d moto, etc portano una grande semplctà nella struttura d una teora fsca, oltre ad essere la base prma (o ultma) per molte soluzon d concrete equazon fsche. 11 o banalmente non è stata scoperta d per sé una nuova legge d conservazone, ma vabe... 12 per gl amant della cronaca, questa asmmetra era gà stata presagta da Galleo: egl s rese conto che le resstenze de materal non erano esattamente nella proporzone gusta rspetto alle loro dmenson, ed llustrò questa propretà dsegnando due ossa, l osso d un cane, nella corretta proporzone per sostenere l suo peso, e l osso mmagnaro d un super cane che sarebbe stato, dcamo, dec o cento volte pù grosso. Ebbene, quell osso era anch esso un oggetto d generose dmenson, soldo, ma con proporzon completamente dverse.
4 IL TEOREMA DI NOETHER 11 Ultma nota a conclusone d questo breve documento: se l lettore non se fosse ma accorto, le smmetre qu dscusse le ha usate e supposte fn dal prmo o secondo gorno del suo prmo corso d fsca generale. L omogenetà ed sotropa dello spazo nfatt sono gà mplcte nell uso de vettor e nella conseguente scrttura vettorale delle equazon. Uno stesso vettore r nfatt può essere ndvduato da dverse coordnate (x, y, z) K, rspetto ad un s.d.r. K, puttosto che (x, y, z ) K rspetto ad un s.d.r. K ruoto-traslato rspetto al prmo. La forma delle equazon nel passaggo da K a K resta sempre la stessa, perché l vettore r contnua ad essere scrtto nello stesso modo. Usamo lo stesso smbolo ( r) per tre lettere che corrspondono allo stesso oggetto, vsto da dfferent ass. Il fatto stesso tra l altro che possamo dre lo stesso oggetto mplca una ntuzone fsca sulla realtà d uno spostamento nello spazo che è ndpendente dalle component n funzone delle qual lo msuramo, e l fatto che una relazone fsca possa essere espressa medante un equazone vettorale c asscura che la relazone non vara per una semplce roto-traslazone del sstema d coordnate. E questa una delle prncpal utltà de vettor n fsca.
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI 12 Rferment bblografc [1] Antono Sparzan, Relatvtà, quante store, Bollat Borngher 2003 [2] Landau - Lfšts, Meccanca: fsca teorca volume 1, Edtor Runt 1999 [3] http://t.wkpeda.org e http://en.wkpeda.org [4] http://math.ucr.edu/home/baez/noether.html [5] La fsca d Feynman: volume 1, Zanchell 2001