(gli esercizi contrassegnati con (*) non sono obbligatori) Esercizio (rumore filtrato) Dato il sistema in figura, s(t) n(t) + x(t) H(f) u(t)=u s (t)+u n (t) t=to u(to) L ingresso del filtro e il segnale x(t)=s(t)+n(t), dove s(t)=cos(2πt) e un segnale deterministico, n(t) e' un rumore casuale bianco, con valor medio nullo e densita spettrale di potenza S n (f)=mw/hz; H(f) e' la risposta in frequenza di un filtro ideale passabasso, con banda B=2Hz, e attenuazione in banda γ=3db. L uscita del filtro e il segnale u(t)= u s (t)+ u n (t), somma di una componente di segnale utile u s (t) (che corrisponde al filtraggio di s(t)) e di una componente di rumore u n (t). Si chiede di: a) rappresentare graficamente il segnale u s (t). Il segnale s(t) e stato distorto? b) calcolare la potenza di u s (t) ; c) calcolare la potenza di u n (t). d) Il segnale u(t) viene campionato nell istante to=s; se il processo casuale bianco n(t) e gaussiano, determinare la densita di probabilita del campione u(to), e e) determinare la probabilita che u(to)>0, utilizzando la funzione tabulata Q(x). f) La probabilita che il campione di rumore u n (to) sia >0 dipende dalla risposta in frequenza del filtro? Perche? Esercizio 2 (PCM) Si vuole trasmettere in formato binario una sequenza di immagini in bianco e nero al ritmo di 20 immagini al secondo. Se la dimensione di ogni immagini e 720 x 576 pixel, e ogni pixel e rappresentato con 256 livelli di grigio, determinare il ritmo di trasmissione del flusso binario Rb. Esercizio 3 Si vuole trasmettere la sequenza binaria [0,,0,0] con ritmo di trasmissione Rb=kbit/s, con un sistema binario PAM antipodale, utilizzando un filtro di trasmissione con risposta all impulso g(t)=(-cos 2πt/T)rect((t-T/2)/T), con T=ms. Rappresentare graficamente l impulso g(t). Rappresentare il segnale s(t) che viene trasmesso sul canale. Esercizio 4 Con riferimento all esercizio precedente, se il canale di propagazione introducesse un ritardo t=t/4, determinare gli istanti ottimi di sincronizzazione all uscita del filtro di ricezione (che ipotizziamo non modifichi la forma degli impulsi), e il valore dei campioni corrispondenti. Se il canale introducesse anche un attenuazione costante γ=3db, ricalcolare il valore dei campioni a valle del campionatore. Esercizio 5 (filtro adattato) Data la risposta all impulso g(t)=(-cos 2πt/T)rect((t-T/2)/T) con T=ms (come nell esercizio precedente), determinare la risposta all impulso del filtro adattato c(t). Supponendo nota la densita spettrale di potenza del rumore additivo bianco No/2, determinare il rapporto segnalerumore all uscita del filtro adattato nell istante T.
(*) Esercizio 6 (tx 2-PAM on-off) Calcolare la formula per il calcolo del BER nel caso di trasmissione di tipo on-off, in cui al bit 0 si assegna un ampiezza nulla e al bit un ampiezza positiva. a) Evidenziare la dipendenza dal parametro Eb/No, dove Eb in questo caso viene definito come l energia media spesa per la trasmissione di un bit. b) Se un sistema antipodale garantisce una probabilita di errore media Pb=0-8 con un rapporto Eb/No=2 db (vedi grafico della funzione Q), per avere la stessa probabilita di errore su un sistema on-off quale rapporto Eb/No e richiesto? Esercizio 7 (tx 2-PAM on-off) Si consideri la trasmissione di un solo simbolo a 0 (trasmissione one shot) che può assumere i valori + o 0 con la stessa probabilità. L impulso trasmesso è rappresentato in figura. g ()[ t mv ] / 2 s ()[ t mv ] / 2 - /2 0 2 t [ msec] La trasmissione avviene su un canale ideale. Si chiede di determinare, nel caso di trasmissione di a 0 =:. la risposta impulsiva del filtro adattato al segnale trasmesso e di disegnarne il suo andamento; 2. il valore di picco del segnale d uscita; 3. il rapporto segnale rumore all uscita del filtro adattato se al suo ingresso è presente un rumore additivo gaussiano N / 2 = 2 0 W / Hz ; bianco con densità spettrale di potenza 0 [ ] 4. la probabilità d errore P ( E) ; 0 2 t [ msec] Figura Figura 2 5. come cambia il rapporto segnale rumore se al posto di usare il segnale rappresentato in figura si usa quello rappresentato in figura 2. Esercizio 8 (ISI) Dato l impulso p(t) (risposta all impulso globale di un sistema di trasmissione numerica) p(t)=(- t /τ)rect(t/(2 τ)) con τ=0.25 s, si trasmette in formato antipodale la sequenza dei bit [0,,,0,0] con ritmo di trasmissione R=0 bit/s. Determinare il contributo di interferenza intersimbolica negli istanti di campionamento. Esercizio 9 (Nyquist) La funzione H(f), riportata in figura, rappresenta la risposta in frequenza globale di un sistema di trasmissione digitale..2 0.8 H(f) 0.6 0.4 0.2 0-0 -5 0 5 0 f [KHz] La trasmissione puo' avvenire con interferenza intersimbolica nulla? Perche'?
Se la risposta e' si', con quale velocita' di trasmissione dei simboli. Determinare la banda in eccesso rispetto ad un canale ideale di Nyquist. Esercizio 0 (progetto filtri di tx e rx) La forma d onda dell impulso p(t) all uscita di un filtro adattato ha trasformata di Fourier P(f) con forma triangolare tra le frequenze B e B, con B=50Hz. Determinare il ritmo di trasmissione dei dati per avere ISI nulla. Nota la densita spettrale di potenza del rumore additivo bianco, No/2, determinare il massimo rapporto segnale rumore all uscita del campionatore, e specificare come deve essere suddiviso il filtraggio tra trasmissione e ricezione, per ottenere tale massimo valore di rapporto segnale-rumore. Esercizio (tx 2-PAM antipodale) Si vuole trasmettere una sequenza binaria con ritmo di trasmissione R=0 Mbit/s. Si utilizzano degli impulsi antipodali che valgono +/-Ag(t), dove g(t) e un rettangolo, con ampiezza unitaria, che si estende da t=0 a t=t/2 secondi (il tempo T[s] e l inverso di R, cioe T=/R). a) Rappresentare il segnale che viene trasmesso sul canale, se la sequenza binaria vale [0 0 0] ; b) ipotizzando un filtro adattato in ricezione, determinare il valore di Eb/No che garantisce una probabilita di errore sul bit P(e)=0-9. c) Data la probabilita di errore P(e)=0-9, quanti bit saranno sbagliati in media in un ora. d) Se il canale introduce un attenuazione di 20 db, e l ampiezza A vale A=0.2 Volt, calcolare l energia Eb, all ingresso del ricevitore, e la potenza di trasmissione; e) disegnare la risposta all impulso c(t) del filtro adattato (deve risultare nulla per t<0) ; f) disegnare l impulso p(t) all uscita del filtro adattato: il sistema introduce interferenza intersimbolica? Esercizio 2 (tx 2-PAM antipodale) Un sistema di trasmissione binario antipodale trasmette gli impulsi +/-Ag(t), l andamento di g(t) e dato da: dove T>0 (costante) e l intervallo di simbolo. g(t) =( -cos( 2π t / T )) rect( (t-t/2) / T) a) Disegnare l impulso Ag(t). Disegnare la risposta all impulso h(t) del filtro adattato a g(t). 2 b) Calcolare l energia degli impulsi per A=. 3T c) Calcolare l ampiezza massima del segnale r(t) in uscita dal filtro adattato quando al suo ingresso e applicato Ag(t) (si ricordi che l ampiezza massima si ottiene per t=t). Calcolare la probabilita di errore in ricezione nell ipotesi che si utilizzi un decisore con soglia λ=0 e che il segnale all ingresso del filtro adattato sia y(t)=+/-ag(t)+n(t), con n(t) rumore termico con densita spettrale di potenza S n (f)=n 0 /2=0.06 [V 2 /Hz]. Esercizio 3 (progetto filtri di tx e rx) In un sistema di trasmissione in banda base sono inviati simboli binari a k = ± ad un rate R b = 200 kbit / s su un canale avente risposta in frequenza C( f ) =, f + j f t dove ft = 00 khz rappresenta la frequenza di taglio. Il filtro di ricezione H R ( f ) è adattato agli impulsi in uscita dal canale. Dimensionare il filtro di trasmissione G ( f ) in modo che la funzione di trasferimento del sistema P ( f ) (filtro di trasmissione+canale+filtro di ricezione) soddisfi il criterio di Nyquist. La risposta in frequenza P ( f ) sia del tipo con arrotondamento a coseno rialzato avente rolloff α = 0. 5. Determinare, inoltre, il valore dell ampiezza del campione all uscita del filtro di ricezione nell istante in cui esso assume il valore massimo.
Esercizio 4 (PCM e tx 2-PAM antipodale) Il segnale x(t) in ingresso ad un sistema PCM ha ampiezza casuale con densità di probabilità delle ampiezze uniforme e compresa tra -Volt e +Volt. a) Progettare il quantizzatore per il segnale x(t) tale che il rapporto segnale/rumore di quantizzazione (SQNR) sia non inferiore a 48dB e che il numero di livelli di quantizzazione L sia una potenza di 2. b) Il segnale x(t) è a banda limitata compresa fra 0 e 4kHz; determinare la banda di canale necessaria nell ipotesi di trasmissione binaria antipodale con impulsi aventi spettro a coseno rialzato con fattore di roll-off α=0.5. c) Da misure effettuate risulta che il canale utilizzato per la trasmissione introduce un disturbo con densità spettrale di potenza uniforme pari a S n (f)=n 0 /2 con N 0 =0-6 W/Hz. Sapendo che viene utilizzata la trasmissione binaria antipodale con filtro adattato in ricezione, calcolare l energia minima E b degli impulsi trasmessi, tale da garantire che il sistema di trasmissione garantisca una probabilita di errore P(e)=2 0-4. Esercizio 5 (tx 2-PAM antipodale) Un sistema di trasmissione binario antipodale trasmette degli impulsi A g(t), l andamento di g(t) è dato da: t T /4 t 3 T /4 gt ( ) = rect rect 2T T /2 T /2 dove T>0 (costante) è l intervallo di simbolo, A=+ per i bit a e A=- per i bit a 0, e il ritmo di trasmissione è R=/(2T). a) Disegnare l impulso g(t). b) Disegnare la risposta all impulso h(t) del filtro adattato a g(t). c) Disegnare il segnale trasmesso in corrispondenza alla sequenza di bit [ 0 0]. d) Calcolare l ampiezza massima del segnale r(t) in uscita dal filtro adattato quando al suo ingresso è applicato g(t); e) Calcolare la potenza media ricevuta; f) Calcolare la probabilità di errore in ricezione nell ipotesi che si utilizzi un decisore con soglia λ=0 e che il segnale all ingresso del filtro adattato sia y(t)=+/-g(t)+n(t), con n(t) rumore termico avente densità spettrale di potenza S n (f) = N 0 /2 = 0.022 [V 2 /Hz]. Esercizio 6 (PCM e tx 2-PAM antipodale) Si vuole trasmettere un segnale analogico s(t) musicale monofonico, con banda W=20 khz, e distribuzione uniforme delle ampiezze tra -V e +V, con un sistema PCM che utilizza per la trasmissione in banda base una modulazione binaria antipodale 2-PAM. P se si richiede un rapporto tra potenza del segnale e potenza del rumore di quantizzazione s > 60dB, PQ a) dimensionare il sistema PCM (determinare il numero n di bit per campione richiesti); supponendo di utilizzare nel sistema di trasmissione un filtraggio di Nyquist, con risposta in frequenza a coseno rialzato e fattore di arrotondamento α=0.5, b) determinare la banda B c necessaria sul canale per la trasmissione del segnale digitale; Ipotizzando di : tollerare una probabilita di errore del sistema di trasmissione P b (e)<2.4 0-8; trasmettere su un canale ideale che introduce un' attenuazione γ=40 db, utilizzando in ricezione un filtro adattato, 2 conoscere la densita' spettrale unilatera del rumore bianco gaussiano N0 = 5 0 W / Hz, c) determinare la potenza trasmessa P tx sul canale.
(*) Esercizio 7 (tx binaria con segnali ortogonali) Un sistema di trasmissione binario utilizza i due impulsi gli impulsi g (t) e g 2 (t),rispettivamente, per la trasmissione del simbolo 0 e del simbolo, dove T e il tempo di bit g (t) = (2/T) /2 rect((t-t/4)/(t/2)) g 2 (t) = (2/T) /2 rect((t-3/4t)/(t/2) a) Disegnare gli impulsi g (t) e g 2 (t) e calcolarne l energia. b) Disegnare l andamento delle risposte all impulso c (t) e c 2 (t) dei filtri adattati rispettivamente a g (t) e g 2 (t). c) Indicato con y 2, (t)=c (t) * g 2 (t) il segnale ottenuto in uscita dal filtro c (t) quando in ingresso è applicato il segnale g 2 (t), e analogamente y,2 (t)=c 2 (t) * g (t), verificare che i segnali g (t) e g 2 (t) sono perfettamente distinguibili in ricezione calcolando y,2 (t) e y 2, (t) per t=t. d) Definire la regola seguita dal decisore in ricezione. (*) Esercizio 8 (tx binaria con segnali ortogonali) Un sistema di trasmissione binario ortogonale trasmette gli impulsi g (t) e g 2 (t) il cui andamento è dato da: g (t) = (2/T) /2 sin(2πt/t) rect((t-t/2)/t) g 2 (t) = (2/T) /2 cos(2πt/t) rect((t-t/2)/t) a) Disegnare gli impulsi g (t) e g 2 (t) e calcolarne l energia. b) Disegnare l andamento delle risposte all impulso h (t) ed h 2 (t) dei filtri adattati rispettivamente a g (t) e g 2 (t). c) Indicato con y,2 (t)=h (t) * g 2 (t) il segnale ottenuto in uscita dal filtro h (t) quando in ingresso è applicato il segnale g 2 (t), verificare che i segnali g (t) e g 2 (t) sono ortogonali calcolando y,2 (t) per t=t. d) Tracciare lo schema del ricevitore e definire la regola seguita dal decisore in ricezione. (*) Esercizio 9 (PCM e bit di parita ) Il CD Audio è un sistema PCM il cui standard prevede che il segnale musicale venga campionato alla frequenza di 44.kHz e quantizzato a 6 bit. Il rapporto segnale rumore di quantizzazione risultante è attorno a 96dB (assumendo l ampiezza del segnale uniformemente distribuita fra -Volt e +Volt). a) Calcolare la probabilità di errore P(e) necessaria affinché il rapporto segnale rumore all uscita del sistema, dovuto agli errori di trasmissione, sia non inferiore a 96dB, sapendo che la potenza del rumore dovuta agli errori di trasmissione e data dalla formula 3 V 2 P( ) 4 e, dove con V si e indicato il valore massimo del segnale. b) Calcolare la banda del canale di trasmissione necessaria nell ipotesi di canale ideale. c) Un CD Audio consente di registrare 74 minuti di musica (si tenga presente che il sistema è stereofonico per cui vengono registrati sia canale destro che canale sinistro). Per garantire la probabilità di errore calcolata al punto a), che garantisce una buona qualita del servizio, vengono utilizzati degli appositi codici. Sapendo che la quantità totale di bit registrata sul supporto ottico (che ha una superficie utile di 86cm 2 ) è circa 20.4Gbit (Gbit=0 9 bit) calcolare quanti bit di parità vengono utilizzati per ogni campione audio (si approssimi all intero superiore se necessario). d) Considerando che in 74 minuti vengono letti 20.4Gbit calcolare la banda effettiva del canale di trasmissione nell ipotesi di trasmissione binaria antipodale con canale ideale. Esercizio 20 (tx multilivello) Dato un flusso binario con velocita' di trasmissione R b =64 kbit/s, determinare ) la banda di canale nelle due ipotesi di: a) trasmissione binaria; b) trasmissione a M livelli, con M=4 e M=6; Esercizio 2 (tx multilivello)
Si vuole trasmettere un flusso di bit a velocita' R b [bit/s] con un sistema di trasmissione digitale M-PAM che utilizza un filtraggio globale di canale a coseno rialzato con fattore di roll-off α=0.5 e un filtro adattato in ricezione; supponendo un canale ideale che introduce un'attenuazione γ=40db, una densita' spettrale di potenza unilatera del 5 rumore additivo gaussiano bianco N0 = 5 0 W / Hz : a) per una velocita' R b = 2Mbit / s, e una potenza di trasmissione sul canale Ptx = 0dBm, determinare la dbm banda B c necessaria sul canale e la probabilita' di errore sul bit P b (E) per la trasmissione binaria antipodale (M=2); b) se si aumenta la velocita' di trasmissione della sorgente, cioe' considerando R b 2 = 4Mbit / s; R b3 = 8Mbit / s, determinare le potenze di trasmissione P tx2; Ptx3 necessarie per garantire la stessa probabilita' di errore P b (E) calcolata al punto a), mantenendo una modulazione a 2 livelli; cambiano anche i requisiti sulla banda? c) fissata la banda B c di canale del punto a), determinare il numero di livelli che si devono utilizzare in modulazione per trasmettere il flusso binario di sorgente con velocita' R b 2 = 4Mbit / s; R b3 = 8Mbit / s e determinare le potenze di trasmissione P tx2; Ptx3 necessarie per garantire la stessa probabilita' di errore sul bit P b (E) calcolata al punto a), trascurando nel calcolo i fattori moltiplicativi della funzione Q(x); Esercizi senza soluzione Esercizio (PCM e tx multilivello) È dato un segnale x(t) che ha ampiezza distribuita uniformemente tra V e +V e spettro triangolare compreso tra 0Hz e +0Hz. Il segnale viene campionato con frequenza fc=250 campioni al secondo e poi convertito in formato binario utilizzando N=8 bit per campione. a) determinare il rapporto tra la potenza del segnale e la potenza del rumore di quantizzazione. Il segnale convertito in binario viene trasmesso in banda base. Determinare la banda minima di canale nei due casi di b) trasmissione binaria ; c) trasmissione a 8 livelli. In ricezione il segnale viene riconvertito in analogico. d) rappresentare il filtro interpolatore che permette di ricostruire il segnale dati i suoi campioni. Esercizio (tx multilivello) Una sorgente numerica emette un flusso binario con bit rate Rb=20 Mbit/s. La sequenza viene trasmessa con un sistema in banda base che utilizza M=4 livelli antipodali (+/-A,+/-3A), e un filtro di trasmissione con risposta all impulso g(t) rettangolare, con ampiezza unitaria e base uguale al tempo di simbolo. g) Rappresentare lo schema a blocchi del sistema di trasmissione; h) rappresentare il segnale che viene trasmesso sul canale, se la sequenza binaria vale [0000] e la codifica adottata e quella naturale; i) disegnare la risposta all impulso c(t) del filtro adattato; j) disegnare la forma dell impulso in uscita al ricevitore nel caso in cui venga trasmesso l impulso -Ag(t), e indicare l istante di campionamento; k) noti il valore Eb (energia media per bit all ingresso del ricevitore) e l attenuazione del canale γ=23 db, calcolare la potenza trasmessa; l) fissato il valore Eb, tale da garantire una probabilita di errore sul bit P(e)=0-9, quanto vale la probabilita di errore se Eb diminuisce di 4 volte; m) variando il numero di livelli di trasmissione, cioe passando da M=4 a M=8 livelli, varia il numero di bit che arrivano al destinatario in un ora di trasmissione? Esercizio (PCM) Un sistema PCM utilizza un canale di trasmissione con caratteristica passa-basso ideale e un filtro di ricostruzione con risposta in frequenza avente il seguente andamento (la fase varia in modo lineare):
H(f) -2f -f f 2f f [Hz] a) Se il segnale x(t) da trasmettere ha banda pari a f determinare la minima frequenza di campionamento per la quale è ancora possibile ricostruire esattamente x(t) dai suoi campioni utilizzando H(f) come filtro di ricostruzione. b) Se i campioni di x(t) vengono quantizzati mediante un quantizzatore con L=2 M livelli e poi trasmessi in formato binario, quale deve essere la banda minima del canale ideale affinché in ricezione non si abbia interferenza intersimbolica? Esercizio (tx 2-PAM antipodale) Si vuole trasmettere una sequenza binaria con ritmo di trasmissione R=0 Mbit/s. Si utilizzano degli impulsi antipodali che valgono +/-Ag(t), dove g(t) e un rettangolo, con ampiezza unitaria, che si estende da t=0 a t=t/2 secondi (il tempo T[s] e l inverso di R, cioe T=/R). n) Rappresentare il segnale che viene trasmesso sul canale, se la sequenza binaria vale [0 0 0] ; o) ipotizzando un filtro adattato in ricezione, determinare il valore di Eb/No che garantisce una probabilita di errore sul bit P(e)=0-9. p) Data la probabilita di errore P(e)=0-9, quanti bit saranno sbagliati in media in un ora. q) Se il canale introduce un attenuazione di 20 db, e l ampiezza A vale A=0.2 Volt, calcolare l energia Eb, all ingresso del ricevitore, e la potenza di trasmissione; r) disegnare la risposta all impulso c(t) del filtro adattato (deve risultare nulla per t<0); s) disegnare l impulso p(t) all uscita del filtro adattato: il sistema introduce interferenza intersimbolica? Esercizio (PCM e Nyquist) La trasformata di Fourier del segnale s(t) ha solo parte reale con il seguente andamento: Re{S(f)} 2-0 0 f [Hz] a) Rappresentare graficamente lo spettro dei seguenti segnali: a) s (t) ottenuto campionando s(t) alla frequenza di campionamento f c =20Hz] b) s 2 (t) ottenuto campionando s(t) alla frequenza di campionamento f c =0Hz Qualora S(f) rappresentasse la funzione di trasferimento di un canale di trasmissione, qual è il ritmo di trasmissione con cui si potrebbero trasmettere degli impulsi ideali su tale canale senza che in ricezione si generi interferenza intersimbolica? Giustificare la risposta. Esercizio (tx multilivello) Un segnale analogico (in banda base) con banda Ba=25kHz, e distribuzione dell ampiezza uniformemente distribuita tra 2Volt e +2Volt, viene convertito in formato binario utilizzando N=6 bit per campione. e) Verificare se la frequenza di campionamento fc=45khz permette di ricostruire il segnale analogico dai suoi campioni, e in caso contrario scegliere opportunamente fc; f) determinare il bit rate Rb della sequenza binaria; g) determinare la potenza del rumore di quantizzazione. La sequenza binaria viene trasmessa in banda base. Determinare il numero di livelli da usare in trasmissione se la banda del canale vale Bc=250kHz.