L tranformazioni canonic nlla mccanica quantistica P. Jordan a Gottinga (ricvuto il 27 april 926) Vin data una dimostrazion d una congttura avanzata da Born, Hisnbrg dall autor, c la trasformazion canonica più gn- - - ral si può rapprsntar nlla forma P = Sp S, Q = Sq S. Si mostra inoltr c pr trasformazioni dl punto l formul classic rstano immutat. Una trasformazion canonica P,Q p,q, dov l P,Q siano rapprsntat com funzioni analitic di p q, cioè dfinit con addizioni moltiplicazioni, va considrata canonica nlla 2 mccanica quantistica s dalla validità dll rgol di commutazion canonic p q - q p =, p p - p p = q q - q q = 0 () 2 i pr p,q discndono l stss rgol di commutazion pr P,Q ( 3 vicvrsa). Comunicrmo qui una dimostrazion dlla congttura c la trasformazion canonica più gnral si può scrivr nlla forma - - P = Sp S, Q = Sq S, (2) 4 c vidntmnt in snso invrso è ancora canonica. Ossrviamo prliminarmnt: s du trasformazioni (con S = S d S = S ) si 2 dvono rapprsntar nlla forma (2) è crtamnt pur dlla forma (2) (con S = S S ) la trasformazion c consist nll du 2 Zitscr. f. Pys. 37, 383 (926). 2 M. Born, W. Hisnbrg P. Jordan, ZS. f. Pys. 35, 557, 926. 3 ibidm, l.c.. 4 Wntzl a trovato un important rapprsntazion d altro tipo dll trasformazioni canonic.
trasformazioni in squnza. Prciò è sufficint dimostrar c si dv rapprsntar nlla forma (2) una trasformazion con l proprità sgunti: a) P = P (p,q) è una funzion data a piacr. b) Una dll quantità da p a p, da q a q 2 f 2 f è commutabil con P, quindi riman immutata nlla trasformazion. c) Si a P q - q P = (/2 i), quindi q rsta immutato pr la trasformazion. Ogni trasformazion canonica può ssr composta con (al più) f trasformazioni di qusto tipo. Ora P è commutabil con una dll quantità p,...,p ; 2 f q,...,q s solo s P è indipndnt dalla quantità coniugata; 2 f prciò la (2) a la proprità b) s S contin com argomnto solo qull tra qust quantità c intrvngono anc in P. Val inoltr P q - q P = s solo s 2 i P - p = R 2 i è indipndnt da p. L quazion diffrnzial S RS + = 0 (3) q può prò ssr crtamnt risolta s si assum pr S una sri di potnz c non contnga com argomnto nssuna dll quantità p,p,...,p q,...,q, c non siano contnut anc in R. La S 2 f 2 f così dtrminata produc una trasformazion con l proprità a), 5 b), c), in particolar con la proprità a) prcè sarà - S - P = Sp S =p - S = p + R, (4) 2 i p 2 i com ricisto. Qusto risultato fornisc parimnti la prova c un sistma non dgnr è dtrminato univocamnt mdiant la formulazion matricial dll quazioni di moto (a mno di costanti di fas); 5 Rammntiamo l formul c discndono dalla () f( ) - f( )= f ( ); f( ) - f( )= - f ( ). 2 i 2 i 2
infatti dall ipotsi (2) si può ottnr solo una soluzion unica dl problma (trasformazion dgli assi principali). L quazion (3) può dl rsto ssr risolta facilmnt in modo splicito nl caso c R sia indipndnt da q. Allora infatti, con la dfinizion n n x y xp(x,y) =, (5) n! n =0 vidntmnt S = xp(-r,q ) (6) è una soluzion con l proprità ricist. A partir da qust ossrvazion si possono ottnr divrsi sviluppi gnralizzazioni. Si formuli il problma di intgrazion in modo tal c la funzion amiltoniana H = H(p,q) (c non può dipndr splicitamnt dal tmpo) mdiant una trasformazion canonica p,q, si trasformi in H = H( ). Il tmpo t sarà allora dfinito com, s n può quantità coniugata ad H. Da un sistma qualsiasi = t. Pr qusto, scondo quanto dtto, basta porr nlla (6) costruir parimnti un altro,, pr il qual sia = H, R = H( ) -, q =. Tnndo conto c si ottin la trasformazion nlla forma 2 i S S R = - RS, = - S = S S - -, = S S H = X( ), = t, H =, = t + ; = 2,3,...,f. (7) C qusta sia di fatto una trasformazion canonica lo si può naturalmnt dtrminar anc con un calcolo complto dll rlazioni di commutazion di, snza utilizzar S. Si può anc modificar facilmnt la (7) in modo tal c la trasformazion 3
sia compltamnt rmitiana. Com "rmitiana" (ovvro "ral") 6 7 si indicrà scondo Born, Winr Dirac una funzion f(, ) c rsti immutata pr sostituzion di i con -i (passaggio al numro complsso coniugato) con simultana invrsion dll ordin di tutt l moltiplicazioni. Nlla toria classica una trasformazion arbitraria dl punto si scriv f v (q) Q = v (q) ; p = P. (8) q = Affrmiamo c qusta è una trasformazion canonica anc dal punto di vista dlla mccanica quantistica. Pr dimostrarlo dfiniamo la funzion con n n n n n n 2 f 2 f x x x y y y 2 f 2 f xp(x,y x,y x,y ) = (9) 2 2 f f n!n!...n! 2 f n, n,...,n =0 2 f poniamo allora Sarà prtanto risulta dalla (2): v - q = R ; 2 i S = xp(r,p R,p R,p ). (0) 2 2 f f f R S S = R S, = Sp p q q =0 S - Q = q + S = v ; 2 i p - S - P = Sp S = p - S = p - P, 2 i q 2 i q =0 c è quivalnt alla (8). Nlla mccanica quantistica si possono quindi sguir tutt l trasformazioni dl punto, pr smpio il passaggio a coordinat parabolic, llittic o polari, 6 M. Born N. Winr, ZS. f. Pys. 36, 74, 926. f R 7 P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. 0, 56, 926. 4
utilizzando l formul classic (nll quali naturalmnt si dv badar a mantnr l ordin dll moltiplicazioni). Pr v rali si rnd la (8) rmitiana, s al posto dlla prcdnt sprssion pr p si scriv f v (q) v (q) p = P + P. (8 ) 2 q q = Con ciò la trasformazion rsta crtamnt canonica, poicè il sistma di variabili p, q rsta canonico quando si aggiungono ai p funzioni di soli q. All trasformazioni canonic, la funzion S dll quali si può dar facilmnt in forma splicita, appartngono anc qull pr l quali P,Q allora sono form linari di tutti i p,q. Si ottin S = xp(l,l ), (9 ) 2 dov L, L sono di nuovo crt form linari di p q. 2 Göttingn, Institut für tortisc Pysi. 5