Misura del periodo di oscillazione e della costante elastica della molla di un oscillatore armonico semplice Crisafulli Paride Curseri Federica Raia Salvatore Torregrossa M. Roberto Valerio Alessia Zarcone Dario 1-1 Dicembre 17 Indice 1 Scopo Strumentazione 3 Analisi dell esperimento 3.1 Prima parte............................... 3 3. Seconda parte.............................. Svolgimento 5.1 Prima parte............................... 5. Seconda parte.............................. 7..1 Grafico log-log.......................... 9.. Linearizzazione......................... 5 Conclusione 11 5.1 Prima parte............................... 11 5. Seconda parte.............................. 11 1
1. Scopo Lo scopo della prima parte dell esperimento è determinare il periodo di oscillazione dell oscillatore armonico a una data massa m ( g). Di tale periodo devono essere calcolate il valore medio e la deviazione standard, sia analiticamente che graficamente. Lo scopo della seconda parte è invece, avendo compiuto misure a masse diverse, determinare la costante elastica k della molla vista come coefficiente di proporzionalità nella relazione ω = k/m, sia attraverso linearizzazione che utilizzando il grafico log-log e confrontare entrambi i risultati ottenuti.. Strumentazione La strumentazione di entrambe le parti dell esperimento è ovviamente la stessa. Le masse utilizzate consistono in pesi cilindrici, la cui incertezza sul peso è supposta nulla data la presenza di errori casuali nettamente superiori. I cilindri, eccetto uno fisso fungente da supporto ( g), sono stati combinati alternatamente per ottenere le masse necessarie alle misure. Come oscillatore è stata utilizzata una molla dotata di un gancio alle estremità, in modo tale da poter essere sospesa e sostenere i pesi con relativo supporto. Il peso della molla è di circa,1 g, ma, come dimostrato più avanti, non è rilevante ai fini dell esperimento. I periodi sono stati infine misurati con un cronometro digitale attivato manualmente, il cui errore di lettura corrisponde a un unità su LSD pari a,1 s. 3. Analisi dell esperimento Il moto della molla, data l influenza relativamente bassa che le forze di attrito hanno sul suo moto nelle prime oscillazioni, può essere considerato un moto armonico, descritto dall equazione: mẍ = kx + mg
Essa è un equazione differenziale non omogenea di secondo ordine, la cui soluzione può essere trovata semplicemente sostituendo x = x + mg k e da cui, essendo mg k costante, e sostituendo la x alla precedente mẍ = m d dt (x + mg k ) = x md dt mẍ = kx + mg = kx mg + mg = kx la cui soluzione è ovviamente x = cos (ωt + φ ) Da essa si ricava infine x: x = cos (ωt + φ ) + mg/k (1) che mostra chiaramente come ω, e quindi T, sia indipendente dall azione dell accelerazione di gravità. Se la massa della molla M non è trascurabile, la m dell equazione non costituisce semplicemente la massa appesa e ω diviene: k ω = () m + M 3 in cui m è la massa del peso. Tale massa nel caso in esame si dimostrerà però trascurabile. 3.1. Prima parte Nella prima parte dell esperimento, data la massa costante, l unica grandezza da determinare è il periodo. Esso è misurato indirettamente con il cronometro dai 3
diversi membri del gruppo, effettuando diverse misure dirette di periodi (T): infatti l errore assoluto sul singolo periodo è, applicando la propagazione degli errori δt = δ T e dunque minore rispetto a una misura effettuata direttamente su un solo periodo. Di ogni set di misure vengono disegnati gli istogrammi e vengono calcolate media e deviazione standard, e infine, considerato il set di tutte le misure, viene data la migliore misura del periodo di oscillazione. Dalla teoria degli errori, le formule della media, della deviazione standard e della deviazione standard della media per un set di N misure sono: x = 1 N (3) N x i () i=1 σ x = 1 N (x i x) N 1 (5) i=1 σ x = σ x N () Come valore best della misura si considera il valore medio del set di tutte le misure; l errore assoluto della misura su periodi è pari alla somma dell errore strumentale con l errore statistico (la deviazione standard della media), e quindi δ T = δ str + δ stat = σ x +, 1 (7) 3.. Seconda parte Nella seconda parte, le masse sono state impiegate utilizzando il rispettivo peso dichiarato e supponendo la loro incertezza trascurabile rispetto agli errori casuali. ω è misurato indirettamente mediante il periodo ω = π T = π T ()
e la sua incertezza, applicando la propagazione degli errori: δ ω = π δ T (T ) (9) k, essendo ininfluente dall accelerazione di gravità, è ricavata dalla relazione ω = km 1 () sia calcolando l intercetta della retta risultante in un grafico log-log, sia come coefficiente angolare di una retta frutto della linearizzazione della relazione. La costante k ricavata attraverso entrambi i metodi dovrà ovviamente risultare la stessa.. Svolgimento.1. Prima parte Le misure sono state effettuate direttamente su un tempo di T, volte da ogni membro del gruppo. Tali misure sono riportate nella tabella 1 con i rispettivi nominativi. 5
Paride (s) Alessia (s) Salvatore (s) Federica (s) Dario (s) Roberto (s) 7.3 7.3 7.3 7.3 7.31 7.1 7.3 7.3 7.31 7.31 7.1 7. 7.5 7.31 7. 7.5 7.1 7.9 7. 7. 7.31 7. 7.35 7. 7.31 7. 7.3 7. 7.31 7. 7.19 7.3 7.5 7.31 7. 7.9 7.35 7.7 7.3 7.3 7.3 7. 7.31 7.31 7.35 7.3 7.31 7. 7.3 7. 7. 7. 7. 7. 7.1 7.3 7. 7. 7. 7.3 7.31 7. 7.9 7.5 7.31 7. 7. 7.19 7.3 7.1 7.3 7. 7. 7.35 7.31 7.31 7.31 7. 7. 7.3 7.35 7.1 7.3 7.5 7. 7.3 7.9 7.7 7.3 7.5 7.3 7.31 7.31 7.19 7.31 7. 7.3 7.3 7.3 7.19 7.3 7. 7.3 7.5 7. 7. 7. 7.31 7.31 7.3 7.3 7.3 7.31 7.31 7.35 7.31 7.9 7. 7.31 7.5 Tabella 1: Tempo di periodi per una massa di g, in secondi Ogni set di misure è riportato in un istogramma normalizzato e infine sono stati realizzati due istogrammi complessivi, di cui il primo la semplice sovrapposizione dei, mentre il secondo è l istogramma di tutte le misure. L istogramma è stato costruito considerando la densità di frequenza relativa f i = n i N i in cui n i è la frequenza assoluta (il numero di misure che cadono nel bin i-esimo), N è il numero di misure rappresentate e i è la grandezza di un bin. I due istogrammi sono strutturalmente simili, in quanto l unica differenza sta nel fatto
che nel primo le misure uguali di membri diversi sono appunto sovrapposte e non distese lungo l asse delle ordinate, ma in entrambi è evidente che le misure sono distribuite secondo distribuzione normale. La media e la deviazione standard sono stati ricavati graficamente dagli istogrammi, ottenendo i valori riportati nelle colonne media stimata e σ stimata ; gli stessi valori sono poi stati calcolati usando le formule () e (5) e riportati nelle colonne media e σ. Per T i valori sono quindi: Media T (stima) σ T (stima) Media T σ T N Paride 7.3.1 7.3. Alessia 7.3-7.35.1 7.3.7 Salvatore 7.3.1 7.3. Federica 7.3.1 7.3.9 Dario 7.3.3 7.31. Roberto 7.. 7.. Complessivo 7.3.5 7.3. Tabella : Media e deviazione standard delle misure di periodi, in secondi Il valore medio sulle misure risulta così essere il valore best di T, mentre l indeterminazione dalla (7). Il valore per periodi ottenuto è T = T ± δ T = (7.3 ±.15)s (11) e la migliore stima del periodo è quindi T = (.73 ±.15)s (1).. Seconda parte Nella seconda parte dell esperimento, sono state effettuate misure dirette su un tempo di T, volte da ogni membro del gruppo, al variare della massa m. 7
3 g (s) g (s) 5 g (s) 5 g (s) 7 g (s) g (s) 5.19 5.91.7 7.59 7.79.3 5.3 5.7.3 7. 7..19.9 5.93.57 7. 7.5. 5.13 5.93.5 7.7 7.5.3 5.1 5.9. 7.3 7.7.1 5.1 5.97.5 7.3 7.7.31.95.. 7.5 7.7.1 5. 5.91.57 7.59 7.1.19 5.1..59 7.53 7.. 5.7 5.97. 7.57 7.. 5.1 5.9. 7. 7.. 5.13 5.7.59 7.7 7.. 5.19 5.9.57 7.5 7..3. 5.7. 7.5 7..3 5. 5.9.5 7.5 7.5.3 5.1.3.71 7.5 7..1 5.9 5.9.1 7.53 7..5 5...59 7.9 7.. 5. 5.97.75 7.53 7.91.1 5.13 5.97.5 7.7 7..37 Tabella 3: Misura di periodi Dai valori delle masse utilizzati, risulta evidente che la massa della molla (,1 g), che nella relazione vale come M/3 (vedere ()) può essere trascurata. I valori medi sono stati calcolati usando la formula () e l indeterminazione come visto nella (7); da questi è stato ricavato ω con la rispettiva indeterminazione usando la () e la (9). I risultati sono riportati nella tabella:
Massa (g) T (s) δ T (s) ω (rad/s) δ ω (rad/s) N 3 5..3 1.31. 5.9..5. 5..3 9.9. 5 7.5.3..3 7 7.5..1.1.3.3 7.51.3 A partire da tali valori, è stata calcolata la costante elastica k della molla sia utilizzando un grafico log-log che attraverso linearizzazione...1. Grafico log-log Usando il programma di analisi e visualizzazione dati SciDAVis è stato realizzato il grafico ω-m in scala log-log, è stata tracciata la retta che passa per (1,) e (,1), ovvero la retta che ha larghezza di due decadi e altezza di una decade, e quindi che ha coefficiente angolare - 1, ed è stata spostata sui punti sperimentali. Dal grafico è evidente che le misure sono allineate lungo una retta di coefficiente angolare - 1, essendo infatti vero dalla relazione () che: log ω = log k 1 log m (13) L intercetta ad ascissa 1 sarà quindi k, e l intercetta ad ascissa, dalla (13), sarà ( k/). Utilizzando il metodo delle rette di massima e minima intercetta su, k best / corrisponde al valore della semisomma delle ordinate delle rette e la sua indeterminazione alla semidifferenza, per cui kbest / =.1 +. =.735 g/s δ k/ =.1. =.75 g/s (1) Da cui subito si ottiene il valore k = kbest / ± δ k/ = (7.35 ±.75) g/s (15) 9
e, applicando la propagazione degli errori, k = k best ±δ k = ( k best ) ± k best δ k = (5±)g/s = (.5±.1)N/m (1)... Linearizzazione Al fine di ottenere una funzione lineare, effettuiamo la sostituzione: z = m 1 (17) Da cui la relazione: ω = z k (1) Come si vede dal grafico, i punti sono disposti lungo una retta e, applicando il metodo delle rette di massima e minima pendenza, si ottengono valore best e incertezza di k: Si individuano k best come semisomma delle pendenze delle rette e δ k come semidifferenza. La retta di minima pendenza, nel grafico analizzato al computer, passa per i punti (.111; 7.51) e (.1; 1.1) per cui kmin = 5.1 g/s La retta di massima pendenza, nel grafico analizzato al computer, passa per i punti (.111; 7.) e (.1; 1.1) per cui kmax = 9. g/s Dalle due pendenze kbest = kmax + k min = 7.3 g/s δ k = kmax k min = 3.3 g/s (19)
E, allo stesso modo della (1): k = k best ± δ k = (5 ± 5)g/s = (.5 ±.5)N/m () 5. Conclusione 5.1. Prima parte Le misure del periodo ottenute dai membri del gruppo seguono una distribuzione normale di probabilità e il valore di T, con massa costante pari a g, è: T = (.73 ±.15)s 5.. Seconda parte La costante k ricavata in entrambi i metodi è identica, seppur con intervalli di dispersione leggermente diversi (ma confrontabili): k best (N/m) δ k (N/m) log-log.5.1 linearizzazione.5.5 In questo particolare caso la discrepanza tra le misure best è nulla e perciò sicuramente minore della somma degli errori, e quindi le due misure sono sicuramente consistenti. 11
1 1 1 Paride N = 1 Alessia N = 7 7.1 7. 7.3 7. 7.5 7. periodi (s) 7 7.1 7. 7.3 7. 7.5 7. periodi (s) 1 1 1 Salvatore N = 1 Federica N = 7 7.1 7. 7.3 7. 7.5 7. periodi (s) 7 7.1 7. 7.3 7. 7.5 7. periodi (s) 1 1 1 Dario N = 1 Roberto N = 7 7.1 7. 7.3 7. 7.5 7. periodi (s) 7 7.1 7. 7.3 7. 7.5 7. periodi (s)
1 1 Paride Alessia Salvatore Federica Dario Roberto N = Istogrammi normalizzati delle misure di periodi 7 7.5 7.1 7.15 7. 7.5 7.3 7.35 7. 7.5 7.5 7.55 7. periodi (s) 1 13 1 11 Complessivo N = Istogramma normalizzato delle misure di periodi 9 7 5 3 1 7 7.5 7.1 7.15 7. 7.5 7.3 7.35 7. 7.5 7.5 7.55 7. periodi (s)
Frequenza angolare ω (rad/s) 1 13 1 11 9 7 Grafico log-log ω-m 3 5 7 9 1 Massa (g)
Frequenza angolare ω (rad/s) 13 1 11 9 7 Grafico linearizzato.1.1.1.1 z = m -1/ (1/g)