Esercizi relativi al capitolo 4 4. Limiti di funzioni 4.. Veriche di limite Vericare utilizzando la denizione di limite che:. lim + ln(2 ) = + 2 + 2. lim = 2 3. lim e = 0 4. lim 2 + = 5. lim (2 + 3 ) = 6. lim 2 = + 7. lim 2 ( 2) = 2 + 8. lim 2 = 0 9. lim +ln( + ) = 0. lim 0 e = 0. M = e M 2. ɛ = + 2 ɛ 3. M = ln M 4. M = M + M 2 + 4 5. M = 3 M + 2 6. M = log 2 M 7. 2 M < < 2 + M 8. 2ɛ +2ɛ < < + 2ɛ 2ɛ 9. < < + e M 0. lnɛ < < 0.
4..2 Calcolo di limiti Calcolare i seguenti limiti: 3. lim 0 2 2. lim e 3 2 3. lim 3 (+) 2 4. lim (3 + sin) 5. lim 0 +( )ln 3 cos(e ) 6. lim 7. lim 3 2 3 cos 8. lim 0 2 3 9. lim 3 2 e 0. lim + +. lim 0 + 2. lim π ln sin ln 3. lim 0 + 4. lim 0 + (e + ln 2 ) 5. lim + + 2 + 2 6. lim ln(+2 ).. 2. e 3. + 4. 5. + 2
6. 7. + 8. + 9. 0 0. 0. + 2. 3. 4. + 5. + 6.. 4..3 Forme indeterminate Calcolare i seguenti limiti rimuovendo le relative forme indeterminate. 2 + + 2 +2 3. lim 2. lim 2 2 + 2 3 2 3. lim 4. lim + 5. lim 2 2 + 2 +2 2 + 3 2 + 2 + 6. lim ln e + 3 7. lim +2 2 8. lim 9. lim + ( 2 + ) 3 0. lim 2+ + 2 2 ln. lim + 3
2. lim ln 2 + + 2 2 3. lim ( 2 + ) 4. lim ln( ) ln(2 + 4) = 5. lim ( + ) 6. lim ( 3 ) 7. lim ( + 2 2 + ) 8. lim e 4 + (+) 2 9. lim + ( 4 2 + 2) 2 ( 2) 20. lim 2 2 4 2. lim + (3 e ) 2 22. lim 0 + 23. lim 3 2 24. lim + (ln + 3 ) 25. lim 2 2 + 2 26. lim 2 2 0 + 2 3 27. lim 0 e 28. lim 2 0 4 29. lim e 0 3 e 30. lim + + 3. lim ( 3 2 + 3 ) 2 ) ln( 2 32. lim 0 2 4
2+sin(3) 33. lim 0 sin5 3 ) ln(+ 34. lim 0 2 35. lim ( + )3 36. lim + (2 + ) sin( 37. lim 3 ) + 2 38. lim + ( + )2 + ln(+ 39. lim ) 0 + 40. lim 0 2sin( ) 4. lim + ( + 2 ).. 0 2. + 3. + 4. 2 5. 6. 0 7. + 8. 9. 0 0. 0. 0 2. 0 3. 4. 5. 5
6. + 7. + 8. 0 9. 0 20. 0 2. 22. ln2 23. 3 2 24. + 25. 3 26. + 27. ln3 28. 2 29. 6 30. 3. 0 32. 2 33. 34. 0 35. e 3 36. + 37. 0 38. + 39. + 40. 2 4.. 4.2 Innitesimi e inniti 4.2. Ordine di innitesimo Calcolare l'ordine di innitesimo delle seguenti funzioni: 6
. f() = ln( + 2 ) 2. f() = e 2 3. f() = (e ) 2 4. f() = 2 + ln( + ) 5. f() = e 3 2 6. f() = sin 2 (3) 7. f() = 3.. 2 2. 2 3. 4. 5. 5 2 3 2 5 3 6. 2 7. 2. 4.2.2 Teorema di cancellazione Calcolare i seguenti limiti utilizzando i teoremi di cancellazione: 2+e 2 0 3sin+ = 2 3 3. lim ln+3 2. lim + 2 + = 3 + 3. lim +2 +ln( 2 3 ) = 0 +e 4. lim ln(+) 0 sin = 0 2 ln()+ + 3 = + e + 3 ln 2 0 ()+ 4 5. lim sin+2 6. lim + 6 +ln() = + + 2 ln(+3) 0 7. lim 8. lim 2 + 5 = e +e 2 + e 3 + 4 ln() = 0. 7
. 2 3 2. + 3. 4. 0 5. 0 6. + 7. 8. 0. 4.3 Asintoti Determinare dominio ed eventuali asintoti verticali, orizzonatali o obliqui delle seguenti funzioni:. f() = 3 +4 3 +5 2. f() = 3 +2 3. f() = e 2 2 3 4. f() = 33 2 +4 5. f() = e + e 6. f() = ln 3 7. f() = 2 4 2 2 9 8. f() = 2 e.. D f = R \ 5}. Asintoto verticale = 5 2. D f = R \ 2}. Asintoto verticale = 2 e asintoto orizzontale = 3 3. D f = R \ } 3 2. Asintoto verticale sinistro = 3 2 e asintoto orizzontale destro y = 0 4. D f = R. Asintoto obliquo y = 3 5. D f = R \ 0}. Asintoto verticale = 0 e asintoto orizzontale y = 8
6. D f = ( 2, ) (2, + ). Asintoti verticali = 2 e = 2 e asintoto orizzontale y = 7. D f = (, 3) (3, + ). Asintoti verticali = 3 e = 3 8. D f = R. Asintoto obliquo y = 2. 4.4 Continuità 4.4. Classicazione dei punti di discontinuità Stabilire se le seguenti funzioni siano continue nel loro dominio e classicarne gli eventuali punti di discontinuità:. f() = 2 +2 ln 2. f() = 2 + 3. f() = 2 4. f() = cos 3 < 0 e + 2 0.. = 0 discontinuità eliminabile, = ±punti di innito 2. = ± discontinuità eliminabili 3. = π 2 + kπ, punti di innito 4. = 0 discontinuità di salto. 4.4.2 Continuità Si determini il valore di k per cui le seguenti funzioni risultino continue: e +k. f() = + < 2. f() = 3. f() = 4. f() = 2 sin 0 k = 0 k 2 2 k < e k > 0 0 9
5. f() = 6. f() = 7. f() = 8. f() = 9. f() = 0. f() = ln( + k) > 0 2 + 0 + k > 2 ln( 2k) > 0 3 + 2 0 +2 > k 2 k ksin 0 3 = 0 k e k 2 <.. k = 2. k = 0 3. k = 3 2 4. k = 5. k = e 6. k = ± 7. k = 8. k = ± 3 9. k = 3 0. k = 0 e k =. Determinare i valori di k per cui le seguenti funzioni risultino continue ed in corrispondenza di tali valori si stabilisca, utilizzando il graco se esse risultano iniettive, suriettive, invertibili: k + 2 >. f() = 2k 3 0
2. f() = 3. f() = 4. f() = + > ln( + k) + k 2 > k 3 e k > 0 ln( + ) 0 5.0 0.5 0.5.0.5 2.0 5. 0 Per k = 4 la funzione è continua, suriettiva, iniettiva quindi invertibile..5.0 0.5 2. 2 Per k = e la funzione è continua, non suriettiva, non iniettiva quindi non invertibile. 3 2 2 3 2 3 4 3. 5 Per k = la funzione è continua, è suriettiva, non iniettiva quindi non invertibile.
5 0 5 3 2 2 3 5 4. Per k = la funzione è continua, è suriettiva, iniettiva quindi invertibile. 2