Di cosa parleremo In questo capitolo introduttivo ci occuperemo di funzioni reali di una variabile reale; precisamente, daremo dei criteri per la determinazione del campo di esistenza delle varie tipologie di funzioni e ci occuperemo di concetti quali simmetria e periodicità. Razionali Algebriche Irrazionali Intere Fratte Intere Fratte Funzioni Logaritmiche Trascendenti Esponenziali Goniometriche 5
1) Classificazione delle funzioni Siano X e Y due sottoinsiemi dell insieme R dei numeri reali, per funzione reale di una variabile reale si intende una legge in base alla quale a ogni elemento X si associano uno o più elementi y di Y. Se a ogni valore della variabile (detta variabile indipendente) si fa corrispondere un solo valore della variabile y (detta variabile dipendente), la funzione si dice univoca (o monodroma); in caso contrario, cioè, se ad almeno un valore della si fanno corrispondere più valori della y, la funzione si dice polivoca (o polidroma). Nel seguito, si farà sempre riferimento alle funzioni univoche. A indicare la legge di corrispondenza da X verso Y descritta da una funzione, si adopera la notazione: 6 y = f() dove e y sono, rispettivamente, le variabili indipendente e dipendente, e f rappresenta la legge di corrispondenza descritta dalla funzione. L insieme X è detto dominio di definizione (o campo di esistenza) della funzione; l insieme Y prende il nome di codominio. Nell ambito delle funzioni univoche, si è soliti dare la seguente classificazione: funzioni algebriche; funzioni trascendenti. Una funzione si dice algebrica se in essa figurano soltanto operazioni algebriche, cioè, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza e radice di monomi e polinomi. Le funzioni non algebriche prendono il nome di trascendenti; a tale insieme appartengono le funzioni logaritmiche, esponenziali e goniometriche. Le funzioni algebriche possono essere: razionali (intere o fratte); irrazionali (intere o fratte). Si dicono razionali quelle funzioni algebriche nelle quali non figurano radici di monomi o polinomi; se, viceversa, in una funzione alge-
brica figura almeno un operazione di estrazione di radice di un monomio o polinomio, la funzione si dice irrazionale. L aggettivo fratta o intera sta a indicare la presenza, o meno, di monomi o polinomi al denominatore di una frazione. Esempi È algebrica razionale intera (o polinomiale) la funzione: y = 4 + 3 + 4 3 ; mentre è algebrica razionale fratta la funzione: y = 3 1 4 + ; è algebrica irrazionale intera la funzione: 3 4 y = 4 3 + 4 mentre è algebrica irrazionale fratta la funzione: y = + ; + infine, è trascendente la funzione: 1 y = ln sen ) Simmetrie e periodicità Una funzione reale di una variabile reale y = f ( ) è: dispari se è simmetrica rispetto all origine, cioè se: ( )= ( ) f f pari se è simmetrica rispetto all asse y, cioè se: ( )= ( ) f f 7
Una funzione reale di una variabile reale è periodica se esiste T > 0 tale che: 8 ( )= ( ) per ogni f + T f Le funzioni trascendenti sono periodiche. Il periodo delle funzioni seno, coseno, secante e cosecante è l intera circonferenza, ossia π radianti; il periodo della tangente e della cotangente è metà circonferenza, ossia π radianti. 3) Campo di esistenza Sia data una funzione reale di una variabile reale y = f(), il campo di esistenza, o dominio, della funzione è l intervallo dei valori di per i quali la funzione assume significato. Per determinare il campo di esistenza di una funzione è utile tener conto delle seguenti regole o indicazioni: a) nelle funzioni fratte tutti i denominatori delle frazioni devono essere diversi da 0; b) nelle funzioni irrazionali i radicandi delle radici con indice pari devono essere 0; c) nelle funzioni trascendenti logaritmiche gli argomenti dei logaritmi devono essere > 0; d) nelle funzioni trascendenti goniometriche si distingue: gli argomenti delle funzioni circolari inverse arcoseno e arcocoseno devono appartenere all intervallo [-1, 1]; gli argomenti della funzione tangente devono essere diversi da ( ) π, con k N k + 1 ; gli argomenti della funzione cotangente devono essere diversi da kπ con k N. Nell ambito della determinazione del campo di esistenza di una stessa funzione, è possibile che alcune delle condizioni sopra descritte vadano imposte contemporaneamente; ciò, tradotto in termini algebrici,
equivale a risolvere un sistema di disequazioni, ciascuna delle quali corrisponde a una delle condizioni imposte. 4) Funzioni limitate Una funzione y = f() definita in un dato intervallo [a, b] si dice ivi limitata, se, per ogni valore di appartenente al suddetto intervallo, esiste un numero P positivo tale che: La funzione è: f ( ) P limitata superiormente se, nell intervallo [a, b] esiste un punto in cui la funzione assume valore M che è non minore dei valori assunti negli altri punti; limitata inferiormente se, nell intervallo [a, b] esiste un punto in cui la funzione assume valore m che è non maggiore dei valori assunti negli altri punti. 5) Funzioni crescenti e decrescenti Sia data una funzione y = f(), considerati due punti qualsiasi 1 e di un dato intervallo [a, b], essa si dice: crescente se 1 < f( 1 ) f( ); costante se 1 < f( 1 ) = f( ); decrescente se 1 < f( 1 ) f( ); strettamente crescente se 1 < f( 1 ) < f( ); strettamente decrescente se 1 < f( 1 ) > f( ). Si dicono monotòne le funzioni crescenti, decrescenti, non decrescenti o non crescenti, ossia le funzioni che variano sempre in uno stesso verso. 6) Funzioni composte Sia data la funzione: y = f (z) 9
dove z non è variabile indipendente, ma a sua volta funzione z = g() della variabile indipendente, si ha che la funzione: 10 ( ) y = f g( ) si dice funzione composta di f e di g. Esercizio n. 1 Determinare l espressione analitica della funzione composta f g( ) f( ) = e g( ) = sen ( ) delle due funzioni: Entrambe le funzioni hanno dominio e codominio coincidente con l insieme dei numeri reali. La funzione composta è la funzione: f( g( ) )=( sen ) = sen Esercizio n. Determinare le espressioni analitiche delle funzioni composte f( g( ) ) e g( f( ) ) delle due funzioni: f( ) = + g( ) = 1e e Le due funzioni hanno entrambe dominio coincidente con l insieme dei numeri reali. La funzione composta di f su g è: La funzione composta di g su f è: ( )=( ) + = + f g( ) e 1 e 1 g f( ) ( ( + ) )= e = e 7) Funzioni invertibili Sia data una funzione: y = f() 1 1 essa si dice invertibile in un intervallo chiuso [a, b] se a ogni valore della in [a, b] corrisponde uno e un solo valore di y in [a', b'], dove a' e b' sono il minimo e il massimo della funzione nell intervallo [a, b], e
viceversa a ogni valore di y in [a', b'] corrisponde uno e un solo valore di in [a, b]. La funzione è, pertanto, invertibile nell intervallo [a, b], se è continua in [a, b] ed è sempre crescente o sempre decrescente in detto intervallo. La funzione inversa si indica in questo modo: = f 1 (y) Negli esercizi che seguono si chiederà di determinare il campo di esistenza della funzione data e/o le coordinate degli eventuali punti di intersezione con gli assi. Queste ultime si determinano risolvendo i due sistemi: = 0 y f = ( ) e y = 0 y f = ( ) Un cenno a parte meritano le funzioni iperboliche che, più volte, saranno trattate nel volume. Funzioni iperboliche Le funzioni iperboliche sono così definite: e e e + e e e senh = ; cosh = ; tanh = e + e La funzione senh è strettamente crescente e quindi invertibile. La funzione inversa è chiamata settsenh (settore-seno iperbolico), ovvero senh 1 o anche arcsenh. Essa può e ricavarsi esplicitando rispetto a y l equazione: = y e ; ricavando e y dalla prece- dente espressione si ha: y y 1 e 1 y y y y = e = e = e 1 e e 1= 0 y y e e ponendo e y = z si ottiene l equazione di secondo grado: z z 1= 0 z, = ± + 1 1 y 11
1 scartando la radice negativa (z è non negativo): ( ) e y = + + 1 y= senh 1 = ln + + 1 L insieme di definizione della precedente funzione è tutto l insieme dei numeri reali R. Allo stesso modo si ricava l inversa della funzione cosh. Essendo questa strettamente decrescente per valori negativi della variabile, strettamente crescente per valori positivi, non è invertibile. È però invertibile la sua restrizione ai valori positivi della variabile. Ripetendo il procedimento precedente si ricava: ( ) cosh 1 = ln + 1 La funzione cosh 1 o arcosh è definita per 1. La funzione tanh è strettamente crescente in tutto R, quindi invertibile. Sempre con procedimento analogo a quello usato per ricavare l inversa del senh, si ottiene: tanh 1+ = ln 1 1 1 La funzione è definita per 1 < < 1. Esercizio n. 1 Determinare il campo di esistenza della funzione: f( )= 3 Si tratta di una funzione irrazionale in cui per il polinomio sotto radice deve essere: 3 0 Risolvendo si ha che la disuguaglianza è verificata per: per cui, il campo di esistenza è: 1e 3 CE.. =, 1 3, +
Esercizio n. Sia data la funzione: determinarne: f( )= 1 il campo di esistenza; le coordinate degli eventuali punti di intersezione con gli assi. La funzione è irrazionale fratta. 1. Per quanto concerne il campo di esistenza, deve aversi: 1> 0 < 1 > 1 quindi: C. E. = ], 1] [1, + [. Per le intersezioni con gli assi si ha che l origine è esclusa dal campo di esistenza, quindi la curva non interseca l asse y; inoltre, il numeratore della funzione si annulla solo per = 0, punto escluso dal campo di esistenza. Ne consegue che non vi sono intersezioni con gli assi cartesiani. Esercizio n. 3 Sia data la funzione: determinarne: -1 f( ) = 3 3 il campo di esistenza; le coordinate degli eventuali punti di intersezione con gli assi. Si tratta di una funzione trascendente. 1. Per quanto concerne il campo di esistenza, deve aversi: 3 1 3 0 3 1 3 1 1 quindi: C. E. = [1, + [ 13
. Per le intersezioni con gli assi si ha che l origine è esclusa dal campo di esistenza, quindi la curva non interseca l asse y; per y = 0, si ha: 14 3 1 3 = 0 = 1 ne consegue che la curva interseca l asse nel punto di coordinate (1; 0). Esercizio n. 4 Sia data la funzione: determinarne: f( )= e 1 il campo di esistenza; le coordinate degli eventuali punti di intersezione con gli assi. Si tratta di una funzione trascendente. 1. Per quanto concerne il campo di esistenza, essendo f( ) funzione fratta affinché non si annulli il denominatore deve essere: In definitiva, si ha: e 0 e ln CE.. R ln. Per le intersezioni con gli assi si distingue: Per = 0 si ha: = { } 1 y = = 1 1 La funzione interseca l asse delle y nel punto di coordinate (0,-1). Per y = 0 si ha: impossibile. Non c è intersezione con l asse delle. 1 e 0 =
Test di verifica 1. Stabilire qual è il campo di esistenza della funzione: e 1 f ( )= e + 1 considerando che la funzione e 1 per ogni R. a) ], 1] [ 1, + [ b) R c) ], 1] d) 1, + [ [. Stabilire qual è il campo di esistenza della funzione: f ( )= a) ], 0] [, + [ b) ], ] [, + [ c) R d), ] ] 8 3. Stabilire qual è il punto di intersezione della funzione di cui al quesito precedente con uno degli assi. ( ) ( ; ) ( ; ) a) 0 ; b) 00 c) 0 d) la funzione non presenta intersezioni con gli assi. 15