LE FUNZIONI GONIOMETRICHE La misura degli angoli Si chiama angolo la porzione di piano racchiusa tra due semirette. Angolo convesso Angolo concavo Le unità di misura degli angoli sono: il grado sessagesimale che si indica con (DEG sulla calcolatrice) il radiante che si indica con (RAD sulla calcolatrice) il grado centesimale che si indica con c (GRAD sulla calcolatrice) Noi useremo il grado sessagesimale ed il radiante. Il grado sessagesimale è la trecentosessantesima parte dell angolo giro. In tal modo un quarto dell angolo giro viene diviso in 90 parti e corrisponde a 90. Ogni grado viene diviso ulteriormente in 60 parti, i primi o minuti d arco ( per distinguerli dall omonima misura di tempo ) p.es. 34. Ogni primo viene diviso in altre 60 parti, i secondi d arco p.es. 27. Allora l angolo = 27 15 45,8 si legge 27 gradi 15 primi (o minuti) e 45 secondi virgola otto La nostra calcolatrice in genere fornisce, nel calcolo di un angolo, la notazione sessagesimale. Il passaggio dalla notazione sessagesimale alla notazione decimale si effettua così: ' '' partiamo dall'angolo 27 15 45. 8, 27 gradi corrisponde alla parte intera del decimale, 1 primo = 1 primo 1 grado = 1 primo 60 primi 1 grado = 1 primo 60 primi 1 grado = 1 60 grado analogamente 1 secondo = 1 60 primo = 1 3600 grado quindi ' '' 15 45. 8 27 15 45. 8 27 27. 26272 60 3600 La trasformazione inversa si effettua così: 27. 26272 27 0. 26272 60 27 15. 7632 27 15 0. 7632 60 27 15 45. 792 27 15 45. 8 ' ' ' ''
Esercizio: ' '' ' eseguire la somma di 34 56 32. 4 e 93 38 54. 9 prima si esegue la somma naturalmente 34 56 32. 4 93 38 54. 9 127 94 87. 3 ' '' ' '' ' '' a partire dai secondi si riduce, se è il caso, ad archi minori di 60 riportando il resto ' '' ' '' ' '' ' '' ' '' 34 56 32. 4 93 38 54. 9 127 94 87. 3 127 95 27. 3 128 35 27. 3 '' + 1 60 + 1 60 Il grado centesimale è la quattrocentesima parte dell angolo giro. In tal modo un quarto dell angolo giro viene diviso in 100 parti. Tuttavia tale tipo di grado non verrà utilizzato. Il radiante (simbolo rad) è l'unità di misura degli angoli del Sistema Internazionale. Viene definito come l angolo sotteso da un arco di circonferenza congruente al raggio della circonferenza stessa. 1 rad Vista la proporzionalità diretta tra arco ed angolo sotteso, allora C : 2 = l :, quindi l = R. R l = R Ricordando che la lunghezza della circonferenza è: C2 R allora lungo la circonferenza sono contenuti 2 raggi e l angolo giro corrisponde quindi a 2 radianti. Segue la tabella di conversione: gradi radianti gradi Per trasformare un angolo da gradi a radianti e viceversa è sufficiente applicare la proporzione: 180 : = 180 : quindi ed 180 radianti 0 0 180 π 15 1/12 π 210 7/6 π 30 1/6 π 225 5/4 π 45 1/4 π 240 4/3 π 60 1/3 π 270 3/2 π 90 1/2 π 300 5/3 π 120 2/3 π 315 7/4 π 135 3/4 π 330 11/6 π 150 5/6 π 360 2π
Definizione di seno coseno e tangente N Definiamo innanzitutto il cerchio goniometrico, semplicemente come un cerchio di raggio unitario. B P tan Sia P un punto sulla circonferenza, il raggio = 1 individua un angolo che per definizione è contato positivamente nel verso antiorario. Definiamo seno dell angolo il rapporto tra i segmenti: sen O cos A M 1 OB sen OB È bene sottolineare che sen non è uguale al segmento OB, ma coincide numericamente con tale segmento, infatti sen, essendo un rapporto tra segmenti è un numero adimensionale. Definiamo coseno dell angolo il rapporto tra i segmenti: OA cos OA Definiamo tangente dell angolo il rapporto tra i segmenti: MN tan MN Una prima relazione importante è data dal teorema di Pitagora applicato al triangolo OAP, si ha: 2 2 sen cos 1 che rappresenta l equazione fondamentale della goniometria. Inoltre dalla similitudine dei triangoli OAP e OMN si ha: MN : AP = OM : OA da cui sen tan cos che esprime la tangente goniometrica in funzione di seno e coseno.
Di seguito sono rappresentate le variazioni di seno coseno e tangente. y sen x sinusoide x cos y cosinusoide
tan y x tangentoide Si nota che il seno ed il coseno si ripetono dopo un giro completo, mentre la tangente si ripete dopo mezzo giro. Queste funzioni sono quindi periodiche di periodo T. Il periodo del seno e del coseno è T = 2, mentre il periodo della tangente è T =.
Risoluzione del triangolo rettangolo Ricordando la figura precedente, abbiamo definito: OB AP sen OA cos MN MN tan OM Dalla similitudine dei triangoli OAP e OMN si deduce che: AP : = MN : ON = sen Questo rapporto si mantiene costante per ogni triangolo rettangolo simile ad OAP, cioè in generale dato il triangolo rettangolo ABC in figura si ha: B sen O cos P A N tan M 1 a c c sen o c a sen a b ovvero in un triangolo rettangolo il seno di un angolo è uguale al rapporto tra il cateto opposto all'angolo e l ipotenusa. Considerando la proporzione OA : = OM : ON = cos Con considerazioni analoghe si ha: b cos o b acos a ovvero in un triangolo rettangolo il coseno di un angolo è uguale al rapporto tra il cateto adiacente all'angolo e l ipotenusa. Infine dal rapporto sen tan cos c b o c btan si ricava che in un triangolo rettangolo la tangente di un angolo è uguale al rapporto tra il cateto opposto ed il cateto adiacente all'angolo.