[versione del 5 mggio 29] Teori dell integrzione elementre Andre Crpignni Diprtimento di Mtemtic Applict Università di Pis Per tre cose vle l pen vivere: l mtemtic, l music, l more. Rento Cccioppoli Introduzione Misurre le lunghezze, le ree, i volumi, le msse e le densità dei corpi, sono problemi di grnde importnz prtic che richiedono lcune conoscenze mtemtiche non del tutto bnli. L inizio dello studio mtemtico di questi problemi risle precchie miglii di nni f. Sppimo che un orfo imbroglione fu pizzicto d Archimede, che misurò con precisione il titolo dell leg con cui er stt confeziont un coron d oro, determinndone (senz smontrl) l densità. Sppimo che l estensione dei cmpi veniv misurt con grnde cur, e compriv nei contrtti di comprvendit degli Assiro Bbilonesi. Insomm gli ntichi vevno bbstnz strumentzione e conoscevno bbstnz geometri pin e dello spzio per dre definizioni precise ed ccurte delle lunghezze, delle ree e dei volumi: sufficienti comunque per tutti gli usi prtici. Mentre, per fre un confronto con un problem in un certo senso simile, per un misur ccurt del tempo, necessri per le grndi nvigzioni e per lo sviluppo dell cinemtic, si dovette spettre molto più trdi: mncvno, inftti, si gli strumenti di misur (i cronometri) che le tecniche mtemtiche (il clcolo differenzile). All inizio del secolo scorso, un serie di problemi mtemtici riproposero il problem dell misur e dell integrzione, che d ess è strettissimmente legt, in contesti più generli. D un lto l Anlisi sentiv il bisogno di costruire un definizione di integrle che si potesse pplicre vste clssi di funzioni e che poi si comportsse bene rispetto l pssggio l limite. Dll ltro lto, l nscit di nuove brnche dell Mtemtic, come il Clcolo delle Probbilità, l Sttistic Mtemtic e lo studio dei Processi Stocstici, vevno bisogno di un definizione generle di misur per costruire i loro fondmenti. Noi ci limiteremo costruire un teori dell integrzione ristrett d un clsse piuttosto pover di funzioni, m che h il vntggio di essere più molto intuitiv e priv di dimostrzioni troppo strtte. Studieremo dunque, in modo rigoroso, il clcolo delle ree delle figure pine costruite come sottogrfico di un funzione ssegnt. A questo scopo occorrerà scegliere un clsse di funzioni, si pur pover, m sufficientemente mpi d permettere di clcolre esplicitmente l re in tutti i csi che hnno un cert rilevnz nelle ppliczioni; dimostreremo quindi lcuni teoremi che permettono di clcolre effettivmente l re di quest regione pin o, equivlentemente, che ci permettno di clcolre gli integrli.
. L integrle delle funzioni elementri Si A un prte non vuot di R. Si denoterà con I A e si chimerà l funzione indictrice (o, semplicemente, l indictrice) di A l funzione rele che vle su tutti i punti di A e che vle ltrove. In simboli: { se x A, I A (x) = se x / A, In prticolre, si riconosce immeditmente che l indictrice dell rett rele coincide con l funzione costnte mentre l indictrice dell insieme vuoto coincide con l funzione costnte. Se T è un intervllo dell rett rele R, i cui estremi possimo indicre con e b (con b), ponimo m(t) = b che chimeremo l misur dell intervllo T. È bbstnz evidente che l funzione m, che d ogni intervllo ssoci un numero rele (eventulmente se l intervllo è ridotto d un punto), gode dell proprietà di dditività nel senso che se T è un intervllo e se (T,...,T n ) è un prtizione finit di T costituit d intervlli, llor risult m(t) = i m(t i). (Ricordimo che un prtizione di un dto insieme è un insieme di prti di quell insieme due due disgiunte, l cui riunione coincide con l insieme dto.) L dimostrzione di questo ftto è immedit e, del resto, fcilmente intuibile dll figur sottostnte: T T 2 T Chimeremo un prtizione elementre ogni prtizione finit (T,T,...,T n ) di R costituit dgli intervlli limitti T,...,T n e dl complementre T dell loro riunione. Nel cso dell figur si trtt di un prtizione elementre pur di chimre T il complementre di T. È fcile riconoscere che, dte due prtizioni di questi tipo, ne esiste sempre un terz più fine delle ltre due, nel senso che esiste un prtizione i cui intervlli srnno tutti intervlli contenuti negli intervlli delle due prtizioni elementri di prtenz. Diremo che un funzione rele f è un funzione elementre se esiste un prtizione elementre (T,T,...,T n ) che si comptibile con l funzione f, nel senso che f risult null su T e costnte su ciscuno degli intervlli T,...,T n. T n T n b È fcile riconoscere che un sifftt funzione f si poss scrivere nell form f(x) = i I Ti (x) (.) pur di denotre con i il vlore costnte che l funzione f ssume sull intervllo T i. È evidente che se f è un funzione elementre, tli sono nche cf (qulunque si il numero rele c) e l stess cos vle per f. Se, poi, f e g sono due funzioni elementri, e se sceglimo due prtizioni elementri con esse rispettivmente comptibili, ogni prtizione elementre più fine di entrmbe le prtizioni scelte è comptibile simultnemente con l funzione f e con l funzione g, dunque nche con l funzione f + g. Ciò mostr che l clsse E costituit d tutte 2
le funzioni elementri form uno spzio vettorile. Grzie ll relzione (.) questo spzio vettorile (di dimensione infinit) può nche essere crtterizzto come lo spzio vettorile generto dlle tutte le funzioni indictrici degli intervlli limitti. Un ltr proprietà di questo spzio vettorile è che esso è reticolto nel senso che, se f e g sono due funzioni elementri, se bbimo scelto un prtizione elementre (T,T,...,T n ) comptibile con entrmbe le funzioni, e se i e b i denotno rispettivmente i vlori costnti che f e g ssumono su quest prtizione elementre, llor sono semplici nche le funzioni f g e f g definite d f g = ( i b i )I Ti, f g = ( i b i )I Ti. Assegnt or un funzione elementre f dell form (.), si chim l integrle di f il numero rele L(f) così definito: L(f) = i m(t i ). (.2) È fcile ricnoscere che l precedente definizione non è mbigu, cioè che il vlore del secondo membro dell espressione (.2) dipende soltnto d f e non dll scelt dell prtizione elementre (T,T,...,T n ). Per riconoscere questo ftto bst osservre che tle vlore non mut qundo si pssi d un prtizione più fine e ciò è dovuto ll proprietà di dditività di m. Se, in prticolre, T è un intervllo limitto di R, pplicndo l precedente definizione ll funzione indictrice di T, per l qule un prtizione elementre comptibile è l prtizione (T,T c ), si trov: L(I T ) = m(t). Geometricmente, questo signific che il numero L(I T ) rppresent l re del rettngolo vente come bse T ed ltezz egule d. Quest osservzione può essere generlizzt d un qulsisi funzione elementre positiv: il numero L(f) rppresent l re dell regione delimitt dll sse rele e dll funzione elementre f. L figur sottostnte evidenzi proprio quest crtteristic geometric. L(f) L integrle di un funzione elementre gode delle proprietà seguenti: (.) Per ogni funzione elementre f, risult f L(f). (.2) Per ogni numero rele c e ogni funzione elementre f, si h L(cf) = cl(f). (.3) Per ogni coppi f, g di funzioni elementri, si h L(f + g) = L(f) + L(g). Le prime due di queste proprietà sono ovvie. Per dimostrre l terz, bst considerre un prtizione elementre (T,T,...,T n ) che si simultnemente comptibile con f e con g in modo d poter fre l somm su ciscun intervllo dell prtizione elementre. Osservimo che, dlle proprietà ppen elencte, discende l seguente proprietà di isotoni dell integrle, dll qule si può considerre l (.) come cso prticolre: f g L(f) L(g). 3
2. L integrle superiore e l integrle inferiore Ciscun delle funzioni f considerte nel seguito s intenderà, oltre che essere definit su tutt l rett rele R, nche limitt e null l di fuori di un opportuno intervllo limitto T (dipendente d f). È chiro che un sifftt funzione è compres tr due funzioni dell form I T, e quindi tr due funzioni dell clsse E delle funzioni elementri. Dt un funzione f l estremo inferiore dei numeri dell form L(g), l vrire di g nell insieme di tutte le funzioni dell clsse E mggiornti l funzione f, si chimerà l integrle superiore di f e si denoterà con L (f). Anlogmente, si chimerà l integrle inferiore di f, e si denoterà con L (f), l estremo superiore dei numeri dell form L(g), l vrire di g nell insieme delle funzioni dell clsse E minornti f. In simboli: L (f) = inf { L(g) : g E f g }, L (f) = sup { L(g) : g E g f }. Dll proprietà di isotoni dell integrle per le funzioni elementri discende l diseguglinz: L (f) L (f). Sussiste inoltre l relzione L (f) = L ( f) (2.) l qule consente di ricondurre le proprietà dell integrle inferiore quelle dell integrle superiore. Per dimostrrl, bst osservre che, l vrire di g nell insieme delle funzioni dell clsse E minornti f, l funzione g descrive l insieme delle funzioni, sempre dell clsse E, mggiornti f, e che, per ogni funzione g dell clsse E, risult L( g) = L(g). Proprietà dell integrle superiore. Sino f, g due funzioni, e c un numero rele positivo. Vlgono llor le seguenti relzioni: () f g L (f) L (g) (b) L (cf) = cl (f) (c) L (f + g) L (f) + L (g) Proprietà dell integrle inferiore. Sino f,g due funzioni, e c un numero rele positivo. Vlgono llor le seguenti relzioni: () f g L (f) L (g) (b) L (cf) = cl (f) (c) L (f + g) L (f) + L (g) Dimostrzione. Grzie ll eguglinz (2.), bsterà dimostrre le proprietà soltnto per l integrle superiore. È un verific semplicissim, inftti, notre che le proprietà dell integrle inferiore si deducono d quelle dell integrle superiore pplicndo l (2.). Incomincimo dunque con l osservre che l proprietà () (dett di isotoni) è un conseguenz immedit dell definizione di integrle superiore. Qunto ll proprietà (b), ess è evidente nel cso in cui si c =. Supposto dunque che si c >, bst osservre che, l vrire di φ nell insieme delle funzioni dell clsse E mggiornti f, l funzione cφ descrive l insieme delle funzioni dell clsse E mggiornti cf e che, per ogni funzione φ dell clsse E, risult L(cφ) = cl(φ). Dimostrimo infine l proprietà (c). Per questo, fissimo rbitrrimente due numeri reli, dicimo e b, con L (f) < e L (g) < b, e provimo che risult L (f +g) < +b. Inftti, per l definizione d integrle superiore, esistono due funzioni φ e ψ entrmbe pprtenenti ll clsse E, mggiornti f e g rispettivmente, e verificnti l relzione L(φ) < e L(ψ) < b. Poiché l funzione φ+ψ pprtiene ll clsse E e mggior f +g, si h L (f + g) L(φ + ψ) = L(φ) + L(ψ) < + b. L rbitrrietà di e di b, permette llor di concludere. 4
3. Le funzioni integrbili Rimnimo nelle ipotesi del prgrfo precedente e considerimo un funzione f, definit su tutto R, limitt e null l di fuori di un opportuno intervllo limitto. Diremo che f è integrbile se ccde che il suo integrle superiore coincide con il suo integrle inferiore, ossi se ccde che L (f) = L (f). In tl cso, il comune vlore dell integrle superiore e dell integrle inferiore si chim l integrle di f e si denot con uno dei simboli seguenti: L(f), f(x)dx, f(x)dx. R Osservimo subito che, nell scrittur f(x)dx, l vribile x è mut, nel senso che può essere scelt libermente ed, eventulmente, sostituit con un simbolo più pproprito l contesto in esme. L prim di queste notzioni è coerente con quell dottt per l integrle delle funzioni elementri (cioè dell clsse E), inftti, è chiro che ogni funzione elementre f è integrbile e che il comune vlore del suo integrle superiore e del suo integrle inferiore è null ltro che l integrle di f definito d (.2). Adotteremo quindi l notzione più comune f(x)dx nche per le funzioni di quest clsse non correndo ssolutmente il rischio d incorrere in mbiguità. Dlle proprietà dell integrle superiore e dell integrle inferiore discendono semplicemente le proprietà delle funzioni integrbili e dell integrle. Proprietà dell integrle. Se f, g sono due funzioni integrbili, tli sono cf (per ogni numero rele c) e f + g. Inoltre, risult: () L(cf) = cl(f) (b) L(f + g) = L(f) + L(g) (c) f g L(f) L(g) Dimostrzione. Dll proprietà (b) dell integrle superiore e dell integrle inferiore discende subito che, per ogni numero rele c positivo si h L (cf) = cl(f) = L (cf). D quest relzione, unit ll eguglinz L ( f) = L(f) = L ( f) discende che, qulunque si il numero rele c, l funzione cf è integrbile ed h come integrle cl(f). Dll proprietà (c) dell integrle superiore e dll stess per l integrle inferiore discende poi immeditmente l diseguglinz L (f + g) L(f) + L(g) L (f + g) che dimostr che l funzione f + g è integrbile ed h, come si volev, integrle egule L(f + g) = L(f) + L(g). Infine, l proprietà (c) discende semplicemente dll nlog proprietà di isotoni dell integrle superiore e dell integrle inferiore. Geometricmente, l definizione di funzione integrbile h un interpretzione interessnte in termini di re. Supponimo che f si un funzione integrbile positiv. Ciò vuol dire che il suo integrle f(x)dx è pprossimto dll lto dll integrle di un opportun funzione elementre ψ, e dl bsso dll integrle di un ltr funzione elementre φ. Senz ledere l generlità, possimo supporre che le due funzioni elementri in esme sino simultnemente comptibili con un prtizione elementre dell intervllo in cui f è generlmente non null e che esse sino positive. Gli integrli di queste due funzioni elementri, come bbimo già detto, rppresentno l re sottes dl loro grfico e quindi pprossimno per eccesso e per difetto l re sottes dll funzione positiv f. L figur seguente dovrebbe chirire quest interpretzione. f Z L(ψ) = ψ(x) dx Z L(φ) = φ(x) dx 5
Fino questo momento bbimo soltnto definito qundo un funzione è integrbile. Adesso però occorre costruire dei criteri per riconoscere qundo un funzione è integrbile senz dover clcolre gli estremi superiori ed inferiori degli integrli di funzioni elementri. A questo proposito è utile il seguente risultto che, perltro, fornisce come corollrio l integrbilità di un clsse bbstnz vst di funzioni integrbili. Criterio fondmentle d integrbilità. Si f un funzione rele, limitt e null l di fuori di un intervllo T. Condizione necessri e sufficiente ffinché f si integrbile è che, per ogni numero rele ε strettmente positivo esistno due funzioni elementri ψ e φ, con φ f ψ tli che risulti L(ψ) L(φ) < ε. Dimostrzione. Che l condizione si necessri è evidente: inftti, per definizione di estremo superiore e di estremo inferiore, se risult L (f) = L (f), comunque si scelg un numero rele ε strettmente positivo, esistono due funzioni elementri φ e ψ, con φ f ψ e tli che si L(ψ) ε/2 < L(f) < L(φ) + ε/2. Vicevers, se sussiste l condizione del teorem, llor, fissto un numero rele ε strettmente positivo, per le proprietà di isotoni dell integrle superiore e dell integrle inferiore, si h L (f) L(φ) e L (f) L(ψ). D ltro cnto, sottrendo membro membro si ottiene L (f) L (f) < L(ψ) L(φ) < ε e dunque, per l rbitrrietà di ε, si ottiene L (f) = L (f) cioè che f è integrbile. Il criterio è così dimostrto. Possimo or utilizzre questo criterio per dimostrre che ogni funzione continu definit su un intervllo limitto e chiuso è integrbile. Nturlmente, per le ipotesi che bbimo ftto, supporremo che l funzione si in reltà definit su tutt l rett rele, prolungndol zero l di fuori dell intervllo di definizione (e ciò ne distrugge l continuità globle). Teorem sull integrbilità delle funzioni continue. Si f un funzione rele, definit su R, continu su un intervllo limitto e chiuso T e null l di fuori di tle intervllo. Allor f è integrbile. Dimostrzione. Fissimo un numero rele ε strettmente positivo. Poiché f è continu in un intervllo limitto e chiuso ess è, in prticolre, uniformemente continu. Esiste dunque un numero rele δ strettmente positivo tle che, per ogni coppi x, y di elementi dell intervllo T, con x y < δ, si f(x) f(y) < ε. Sfruttimo quest proprietà per costruire due funzioni elementri che soddisfino l criterio fondmentle d integrbilità. A questo scopo, fissimo un prtizione di R con T = T c e tle che gli elementi dell prtizione T,...,T n bbino misur m(t i ) egule l minimo tr δ e /n. Per ciscun indice i denotimo con i il mssimo vlore di f su T i e con b i il minimo vlore di f su T i. Per l proprietà di uniforme continuità, llor, si può scegliere δ in mnier tle che si i b i < ε. Definimo dunque le funzioni elementri ψ = i I Ti, φ = b i I Ti. L differenz degli integrli, llor, è tle che risulti L(ψ) L(φ) = n ( i b i )m(t i ) < ε. Il criterio fondmentle d integrbilità ci permette llor di concludere che f è integrbile. Concludimo il prgrfo osservndo che, se f è un funzione rele, definit su R, l qule si divers d zero soltnto in un numero finito di punti, llor ess è combinzione linere finit di indictrici di intervlli degeneri (ridotti d un sol punto); pertnto f è un funzione elementre ed h integrle nullo. Come conseguenz di questo ftto, due funzioni che differiscono soltnto in un numero finito di punti hnno lo stesso integrle. 6
4. Integrle esteso d un insieme Si f un funzione rele, definit in un prte non vuot T di R e si A un insieme contenuto in T. L funzione I A f si potrà dunque pensre come d un funzione definit su tutt l rett rele, generlmente non null nell insieme A e null ltrove. Se quest nuov funzione è integrbile, si dice che f è integrbile sull intervllo A. In tl cso, l integrle dell funzione I A f si denot con f(x)dx e si chim l integrle di f esteso ll insieme A. È A chiro che, per le proprietà dell funzione indictrice, se A e B sono due insiemi disgiunti entrmbi contenuti nell insieme T di definizione di f, llor risult I A B f = I A f + I B f. Pertnto se l funzione è integrbile su ciscuno dei due insiemi A e B, ess è integrbile sull loro riunione e risult f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. B A B A In prticolre, se A è un intervllo limitto, e se e b (con b) ne designno gli estremi, in luogo dell notzione A f(x)dx, si us di preferenz l notzione più comod e usule f(x)dx. Quest ultim notzione potrebbe pprire mbigu, non permettendo d esempio di distinguere tr l integrle esteso ll intervllo chiuso [, b] d quello esteso ll intervllo perto (, b). M poiché le funzioni I [,b] f e I (,b) f differiscono l più in due punti, nessun confusione è in reltà possibile. Si or f un funzione rele definit su un intervllo T di R, e integrbile su ogni intervllo limitto e chiuso contenuto in T. Se, b, c sono tre elementi di T, con c b, si h (per le proprietà dell funzione indictrice) f(x)dx = c f(x)dx + Se,b sono elementi di T, con > b, ponimo per definizione f(x)dx = b c f(x)dx. (4.) f(x)dx. (4.2) Si riconosce fcilmente che, con quest definizione, l (4.) sussiste per ogni tern,b,c di elementi di T. 5. Il teorem fondmentle del clcolo integrle Dt un funzione rele f, definit su un intervllo T di R, si chim un su primitiv ogni funzione rele, definit sullo stesso intervllo, che l mmett come propri derivt. Si riconosce immeditmente che, se F è un primitiv per f, tle è nche ogni funzione dell form F + c con c R. (Bst per questo ricordre che l derivt di un funzione costnte è null.) Vicevers, il teorem del vlor medio di Lgrnge permette di ffermre che, se F e G sono due primitive di f, esse differiscono per un costnte. Inftti, posto H = G F, si riconosce immeditmente che l derivt di H è identicmente null. Applicndo or il teorem di Lgrnge ll funzione H nel sottointervllo [x,x ] di T, si tre H(x) H(x ) x x = H (ξ) = con x < ξ < x, e tnto bst per concludere che H(x) = H(x ). Per l rbitrrietà di x e di x ne consegue che H(x) è un costnte. In ltri termini: l ppliczione derivt d/dx vist come un ppliczione di C (T) in C (T) non è iniettiv ed il suo nucleo ker(d/dx), essendo costituito dlle funzioni costnti, è isomorfo l corpo dei numeri reli. Pssndo dunque llo spzio quoziente C (T)/R l derivt può essere definit ssocindo ll clsse d equivlenz [F] l derivt di un su rppresentnte d df [F] =. In questo cso, mmesso che l derivt si dx dx 7
suriettiv (cos che dimostreremo tr poco) si può invertire nello spzio quoziente. L clsse d equivlenz [F] le cui rppresentnti soddisfno ll equzione df/dx = f si chim tlvolt l integrle indefinito di f e si denot, seppur con un buso di notzione, con f(x)dx. Qundo si eseguono i clcoli, dunque, occorre stre ben ttenti cos s intende con il simbolo f(x)dx perché second dei csi esso può voler dire l integrle f(x)dx oppure l R clsse d equivlenz di tutte le primitive di f. Ciò premesso, simo in grdo di dimostrre questo celebre risultto. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Si f un funzione rele definit su un intervllo T (non ridotto d un sol punto) ed ivi continu. Si x un qulsisi elemento di T e ponimo F(x) = x x f(t)dt. Allor l funzione F è un primitiv di f. Dimostrzione. Si x un elemento di T. Dimostrimo che F è derivbile in x ed h per derivt il numero f(x). A questo scopo osservimo che il rpporto incrementle di F nel punto x si può scrivere, grzie ll definizione (4.2) e ll proprietà (4.), nell form F(x + h) F(x) h = h x+h x f(t)dt. (5.) Siccome f è per ipotesi continu nel punto x, comunque si prend un numero rele ε strettmente positivo, esiste un numero rele δ nch esso strettmente positivo, tle che, per ogni numero rele t, con < t x < δ si bbi f(x) ε < f(t) < f(x) + ε. (5.2) Ne segue che, per ogni numero rele h, con < h < δ, se t è compreso tr x e x + h, si h nche < t x < h < δ e dunque vle l (5.2). Per l isotoni dell integrle, llor, risult f(x) ε < h x+h x f(t)dt < f(x) + ε o, ciò ch è lo stesso, per definizione di limite, il rpporto incrementle (5.) converge verso il numero f(x) l tendere di h verso zero. Ciò bst per concludere che F è derivbile nel punto x ed h il numero f(x) come derivt, proprio come volevmo dimostrre. L importnz del teorem fondmentle del clcolo integrle è che esso mette in relzione due concetti pprentemente distnti (quello di integrle e quello di primitiv) e mostr, tr l ltro, l esistenz (per ogni funzione rele, continu su un intervllo di R) di un primitiv. In ltri termini il teorem fondmentle del clcolo integrle fferm che l ppliczione d/dx di C (T) in C (T) è suriettiv. Nell prtic, comunque, il teorem fondmentle è utilizzto soprttutto per clcolre un integrle qundo si conosc già un primitiv dell funzione d integrre. Il modo con cui esso viene usto è riposto nel seguente corollrio di dimostrzione immedit. Corollrio. Nelle stesse ipotesi del teorem fondmentle del clcolo integrle, sino e b due punti pprtenenti ll intervllo T. Si poi G un qulsisi primitiv di f. Si h llor f(x)dx = G(b) G(). Nell pplicre questo corollrio, l differenz G(b) G() si suole indicre un l notzione seguente (dove, l solito, l letter x h l ufficio di un vribile mut): [ G(x) ] x=b x=. 8
Inoltre, l insieme di tutte le primitive dell funzione f, come bbimo già osservto, è l clsse d equivlenz di un primitiv modulo R. Or, per il teorem fondmentle del clcolo esiste un primitiv privilegit cioè quell scritt come integrle dell funzione f(x). Si h dunque che il cosiddetto integrle indefinito è l insieme delle funzioni F c (x) = x x f(t)dt + c con c R. È utile, questo punto riportre in un tbell un primitiv delle funzioni di uso più comune. Il metodo con cui si ricv l tbell è semplicissimo: si utilizz l già not tbell delle derivte d uso comune, e si cerc di risolvere l equzione df/dx = f(x) tenendo conto del ftto che l funzione d/dx è linere. Tbell rissuntiv delle primitive più importnti f(x) F(x) c x n con n intero x con rele x n+ n + x + + /x ln x e x sen x e x cos x cos x sen x + x 2 rctg x senhx cosh x cosh x senh x 6. Teorem di integrzione per prti e teorem d integrzione per sostituzione Dl teorem fondmentle del clcolo discendono l regol di integrzione dett per prti e l regol di integrzione per sostituzione (o per cmbimento di vribili ) che risultno molto utili nel clcolo prtico degli integrli e che sono espresse di due teoremi seguenti. Teorem d integrzione per prti. Sino f e g due funzioni reli, continue, definite nell intervllo T, mmettenti rispettivmente F e G come primitive. Per ogni coppi, b di elementi di T, si h llor f(x)g(x)dx + F(x)g(x)dx = [ F(x)G(x) ] x=b x=. (6.) Dimostrzione. Dll regol di derivzione di un prodotto (regol di Leibniz) discende: (FG) = fg + Fg. L funzione continu fg + Fg mmette dunque come primitiv l funzione FG. L tesi si ottiene llor pplicndo il corollrio del teorem fondmentle del clcolo. 9
Osservimo che, nell prtic, l relzione (6.), scritt nell form F(x)g(x)dx = [ F(x)G(x) ] x=b x= f(x)g(x)dx consente di clcolre l integrle dell funzione Fg qulor: ) si conosc un primitiv G dell funzione g; 2) si sppi clcolre l integrle dell funzione fg; sostituendo il primo fttore con l su derivt f ed il secondo fttore con l su primitiv G. Esempio. Si vogli clcolre l integrle 2 ln xdx. Esso si può mettere nell form richiest dl teorem d integrzione per prti, ovvero nell form 2 F(x)g(x)dx, pur di porre: F(x) = ln x e g(x) =. Poiché l derivt dell funzione F è l funzione f(x) = /x, mentre un primitiv dell funzione g è l funzione G(x) = x, l integrle proposto è fcilmente clcolbile, in qunto riconducibile ll integrle dell funzione f(x)g(x) = x /x =. Fcendo i debiti conti, si trov, precismente: 2 ln xdx = [ xln x ] 2 x=2 x= dx = 2ln 2. Teorem d integrzione per sostituzione. Sino T e S due intervlli dell rett rele R, e si ϕ un ppliczione di S in T, derivbile, con derivt continu. Per ogni funzione rele f, definit su T, continu, e per ogni coppi α,β di elementi di S risult f(x)dx = β dove bbimo posto = ϕ(α) e b = ϕ(β). α f(ϕ(t))ϕ (t)dt (6.2) Dimostrzione. Si F un primitiv dell funzione continu f. L funzione F ϕ è llor un primitiv dell funzione continu (f ϕ)ϕ. Applicndo due volte il corollrio del teorem fondmentle si ottiene dunque: β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt = [ (F ϕ)(t) ] t=β t=α = F(b) F() = f(x)dx. Tnto bst per concludere. Osservimo che, nell prtic, l relzione (6.2) si pplic in entrmbi i sensi: cioè per clcolre il primo membro riconducendolo l secondo, oppure, vicevers, per clcolre il secondo membro riconducendolo l primo. Esempio. Si vogli clcolre l integrle x2 dx. Ponimo ϕ(t) = sen t, quindi risult ϕ (t) = cos t. Inoltre, per gli estremi d integrzione, bbimo = sen = e b = sen(π/2). Dunque risult x2 dx = = 2 π/2 π/2 π/2 sen2 t cos t dt = cos 2 t dt ( cos 2t)dt = [t ] t=π/2 2 2 sen2t = π t= 4
Esempio. Si vogli clcolre l integrle π/2 sen 3 t cos t dt. Ponimo ϕ(t) = sent e quindi ϕ (t) = cos t. Ne ricvimo π/2 sen 3 t cos t dt = sen π/2 sen x 3 dx = [ x x 3 4 dx = 4 Giov forse fr notre l lettore un form, si pur errt formlmente, molto semplice per ricordrsi il cmbimento di vribili. Se si conviene di porre x = ϕ(t), llor si potrà scrivere nche dx = ϕ (t)dt. Inoltre, ricordimolo, le vribili x e t sono mute e possono essere rimpizzte con ltre vribili qulsisi purché stndo ttenti non utilizzre delle vribili che non sono mute e che, d ltr prte, fnno già prte dell formul. A prtire dl teorem d integrzione per sostituzione, si può crere un ltr formul piuttosto utile qundo si h che fre con gli integrli delle funzioni inverse delle funzioni note. A questo scopo, supponimo che f si un funzione rele definit e derivbile su T e supponimo che ess si invertibile nell intervllo [,b]. Ponimo nche = f(α) e b = f(β). Per sostituzione, llor, ponendo ϕ(t) = f(t), si dimostr immeditmente l formul: f (x)dx = β α tf (t)dt. ] x= x= = 4. Quest formul può essere ulteriormente migliort se utilizzimo nche il teorem d integrzione per prti: f (x)dx = [ tf(t) ] t=β t=α β Si vogli clcolre l integrle α f(t)dt. rctg xdx Evidentemente si trtt di clcolre l integrle dell funzione invers di f(x) = tg x. Per questo scopo, volendo utilizzre l formul ppen scritt, osservimo che si h = tg(π/4) e = tg, dunque rctg xdx = [ t tg t ] t=π/4 t= = π 4 π/4 π/4 sen t cos t dt tg t dt = π 4 + [ ln cos t ] t=π/4 t= = π 4 + ln = π 2 4 ln 2. 2