Media Mobile di ampiezza k (k pari) Esempio: Vendie mensili di shampoo Mese y 1 266,0 2 145,9 3 183,1 4 119,3 5 180,3 6 168,5 7 231,8 8 224,5 9 192,8 10 122,9 11 336,5 12 185,9 1 194,3 2 149,5 3 210,1 4 273,3 5 191,4 6 287,0 7 226,0 8 303,6 9 289,9 10 421,6 11 264,5 12 342,3 1 339,7 2 440,4 3 315,9 4 439,3 5 401,3 6 437,4 7 575,5 8 407,6 9 682,0 10 475,3 11 581,3 12 646,9
Le medie mobili inrodoe in precedenza hanno un numero dispari di ermini e perciò risulano auomaicamene cenrae su un puno di osservazione. Tali medie sono dee semplici poiché ui i ermini della media hanno associao lo sesso peso. Supponiamo che si voglia calcolare una media mobile con numero pari di ermini. Ad esempio, poso k=4, sui dai Vendie di Shampoo si ha: T =(y 1 +y 2 +y 3 +y 4 )/4= (266,0+145,9+183,1+119,3)/4 T = (y 2 +y 3 +y 4 +y 5 )/4= (145,9+183,1+119,3+180,3)/4 La prima media sarebbe cenraa fra il secondo e il erzo ermine; la seconda media cenraa fra il erzo e il quaro. Per risolvere la quesione della cenraura, si effeua una media mobile a 2 ermini sulle due successive medie mobili a ermini pari. Con queso procedimeno la media arimeica delle due medie mobili a 4 ermini sopra calcolae, viene ad essere cenraa nel puno =3. Quindi: T 3 =(T +T )/2 Sosiuendo a T e T le espressioni precedeni, la formula di T 3 divena: (3.4) T 3 =(y 1 +2y 2 +2y 3 +2y 4 +y 5 )/8 che è una media ponderaa: i ermini cenrali hanno peso 2, i ermini esremi peso 1; il denominaore è, ovviamene, la somma dei pesi. Essa è dea media mobile cenraa a k ermini (k pari). Medie mobili con numero pari di ermini sono usae per eliminare l oscillazione sagionale. Su dai mensili si userà k=12; k=4 su dai rimesrali e k=2 su dai semesrali. Ovviamene, con k pari, si perdono k/2 ermini all inizio e alla fine della serie.
Scomposizione classica: il modello addiivo Esempio: Vendie mensili di boiglie di bibia XXX (da ½ liro) Anno Mese Nr. Anno Mese Nr. Anno Mese Nr. 1999 1 1 189 2000 1 13 244 2001 1 25 298 1999 2 2 229 2000 2 14 296 2001 2 26 378 1999 3 3 249 2000 3 15 319 2001 3 27 373 1999 4 4 289 2000 4 16 370 2001 4 28 443 1999 5 5 260 2000 5 17 313 2001 5 29 374 1999 6 6 431 2000 6 18 556 2001 6 30 660 1999 7 7 660 2000 7 19 831 2001 7 31 1004 1999 8 8 777 2000 8 20 960 2001 8 32 1153 1999 9 9 915 2000 9 21 1152 2001 9 33 1388 1999 10 10 613 2000 10 22 759 2001 10 34 904 1999 11 11 485 2000 11 23 607 2001 11 35 715 1999 12 12 277 2000 12 24 371 2001 12 36 441
Scomposizione classica: il modello addiivo La scomposizione classica viene condoa svolgendo le fasi segueni. 1. Calcolo del rend-ciclo di prima approssimazione. 2. Calcolo della componene (SE) : serie della sagionalià misa e errore. 3. Sima della componene sagionale 4. Derivazione della serie desagionalizzaa D 5. Sima del ciclo-rend 6. Sima dell inera componene sisemaica della serie. 7. Calcolo del residuo del modello.
1. Calcolo del rend-ciclo di prima approssimazione Si raa di una fase srumenale che non produce una sima definiiva della componene rend-ciclo. Il rend-ciclo di prima approssimazione viene calcolao con una media mobile cenraa a 12 ermini. Indichiamo con MM il valore di dea media, dove =7,,n-6 a causa della perdia di dai all inizio e al ermine della serie. 2. Calcolo della componene (SE) Anche quesa è una fase srumenale. La serie (SE) è calcolaa soraendo dalla serie originale, la grandezza MM : (SE) =y MM
3. Sima della componene sagionale Dalla componene (SE) si elimina il disurbo e si perviene alla sima di S. Nell approccio classico si ipoizza che l oscillazione sagionale sia cosane da anno in anno, per cui, con dai mensili, S =S +12 =S +24 =. Si parla di modello di sagionalià cosane. Il coefficiene di sagionalià S m per il mese m (m=1,,12) viene calcolao effeuando la media arimeica dei ermini (SE) dove =m, m+12, m+24,. In alre parole la sima della sagionalià per gennaio è daa dalla media arimeica dei valori (SE) riferii a gennaio. Il risulao di quesa operazione produce 12 coefficieni di sagionalià m Ŝ, m=1,..,12 (dove m indica il mese), che si ripeono per ogni anno.
4. Derivazione della serie desagionalizzaa D. Il dao desagionalizzao D è calcolao nel modello addiivo come: D = y Ŝ e Ŝ = Ŝ m se si riferisce al mese m. La serie D coniene dunque il paern del ciclo-rend e l effeo del disurbo. Essa è perano uile per lo sudio del ciclo-rend. 5. Sima del ciclo-rend La sima Tˆ del ciclo-rend è oenua mediane una media mobile a 3 ermini sui dai D. ( con eccezione del primo e ulimo ermine, oenui con una media a 2 ermini)
6. Sima dell inera componene sisemaica della serie Mediane le sime della sagionalià e del rend-ciclo si oiene la sima ŷ che coniene solo il paern sisemaico della serie, dove: ŷ = Tˆ + Ŝ 7. Calcolo del residuo del modello Il residuo del modello Ê = y ŷ Ê è, infine:
Scomposizione classica: il modello moliplicaivo Modello Moliplicaivo y =S x T x E La scomposizione classica viene condoa svolgendo le fasi segueni. 1. Calcolo del rend-ciclo di prima approssimazione. 2. Calcolo della componene (SE) : serie della sagionalià misa e errore. 3. Sima della componene sagionale. 4. Derivazione della serie desagionalizzaa D. 5. Sima del ciclo-rend. 6. Sima dell inera componene sisemaica della serie. 7. Calcolo del residuo del modello
1. Calcolo del rend-ciclo di prima approssimazione Viene calcolao con una media mobile cenraa a 12 ermini. (sesso procedimeno del modello addiivo). 2. Calcolo della componene (SE) La serie (SE), composa da sagionalià ed errore, è calcolaa dividendo la serie y per MM : (SE) =y /MM
3. Sima della componene sagionale Dalla serie (SE) si elimina il disurbo e si perviene alla sima di S. Si ipoizza, anche qui, che l oscillazione sagionale sia cosane di anno in anno per cui, con dai mensili, S =S +12 =S +24 =. Il coefficiene di sagionalià S m per il mese m (m=1,,12) viene calcolao effeuando la media arimeica dei ermini (SE) dove =m, m+12, m+24,. Ancora, la sima della sagionalià per gennaio è daa dalla media arimeica dei valori (SE) riferii a gennaio. 4. Derivazione della serie desagionalizzaa. Il dao desagionalizzao D si ricava come: D = y / Ŝ Quesa grandezza coniene il paern del ciclo-rend e l effeo del disurbo. Essa è uile per il successivo sudio del ciclo-rend.
5. Sima del ciclo-rend La sima del ciclo-rend Tˆ è oenua mediane una media mobile a 3 ermini sui dai D. 6. Sima della componene sisemaica della serie Mediane le sime della sagionalià e del rend-ciclo, si ricava la sima ŷ che coniene solo il paern sisemaico della serie, dove: ŷ = Tˆ Ŝ 7. Calcolo del residuo del modello Si ricava, infine, il residuo del modello Ê come: Ê = y / ŷ Tuavia, per consenire un confrono con l adaameno del modello addiivo, ai fini del calcolo degli indici MAPE, MAE, ecc., conviene uilizzare i residui calcolai nel modo consueo: Res = y ŷ
Valuazione della scomposizione oenua La valuazione dell adaameno oenuo mediane il modello di scomposizione può essere condoa mediane indici quali MSE, MAE, MAPE, riferii alla serie sorica disponibile. Olre al calcolo di ali indici, è buona norma condurre anche delle analisi grafiche dei residui Ê. L idea che sa alla base di quesi conrolli è la seguene: se la scomposizione è valida allora il residuo non dovrebbe evidenziare oscillazioni sisemaiche di nessun ipo e il suo line plo dovrebbe oscillare inorno al valore neurale (0 per il residuo del modello addiivo, 1 per il residuo del modello moliplicaivo), in modo accidenale. Vediamo il caso del modello addiivo dove il residuo è: Ê = y ŷ Può essere uile rappresenare graficamene l Andameno di Ê rispeo al empo. L ideale è che non si presenino oscillazioni sisemaiche, come avviene in Fig. 3.7. Siuazione dubbia è quella di Fig. 3.8 (la scomposizione oenua è più valida per periodi più remoi). La Fig. 3.9, infine, evidenzia che non siamo sai in grado di individuare un andameno ciclico (o comunque curvilineo)