Progettzione strutturle per elementi finiti Sergio Brgetti Fcoltà di Ingegneri Università degli Studi di Bergmo
Il metodo degli Elementi Finiti permette di risolvere il problem dell determinzione dello stto di sforzo e deformzione in elementi in condizioni di crico per le quli non è reperibile o ricvbile l soluzione nlitic. In questo metodo si discretizz il continuo, che h infiniti grdi di libertà, con un insieme di elementi di dimensioni finite, tr loro interconnessi in punti predefiniti (nodi). v 3 u 3 v v v u u u
Funzioni di form Legno gli spostmenti nel generico punto dell elemento finito gli spostmenti nodli Funzioni di form lineri: u 3 v 4 5 6,,,, 5 6 sono coefficienti costnti
L scelt dell funzione di form influenz l fse di suddivisione in elementi finiti. L utilizzo di elementi finiti con funzioni di form lineri permette di modellre l ndmento degli spostmenti ll interno dei singoli elementi finiti ttrverso funzioni lineri. L utilizzo di elementi finiti con funzioni di form lineri richiede perciò suddivisioni molto fitte in corrispondenz delle zone del componente in nlisi in cui si prevede vi si un elevto grdiente degli sforzi. s F F s
L introduzione di elementi finiti che prevedno l utilizzo di funzioni di form di grdo superiore l primo, permette di degure il grdo dell funzione di form ll prticolre ppliczione (si pss d polinomi interpolnti semplici polinomi più complessi). E il progrmm di clcolo che, fissto il tipo di suddivisione in elementi finiti, utilizz funzioni di form di grdo deguto (in mnier gerrchic, prtendo d polinomi di grdo inferiore). ) Funzioni di form di grdo superiore l primo b) Funzioni di form lineri
Criteri di modellzione Elementi finiti contigui devono vere nodi coincidenti sulle superfici di confine. SI NO
Alcuni softwre consentono di ristbilire l congruenz degli spostmenti per superfici con nodi non coincidenti sulle superfici di confine. Tuttvi i risultti, in termini di sforzi, spesso in tli zone non sono ccurti.
Solutori che dottno elementi finiti con funzioni di form di grdo superiore l primo Utilizzndo i solutori in commercio non si incontrno problemi di convergenz d un soluzione ccettbile dl punto di vist ingegneristico. L utilizzo di funzioni di form di grdo crescente, nelle zone in cui sino presenti grdienti di sforzi ccentuti, permette di degure l funzione di form ll precisione volut.
Solutori che dottno elementi finiti con funzioni di form lineri Solo per le zone del modello in cui si vogliono risultti ccurti: ) Gli elementi finiti, bidimensionli o tridimensionli, devono vere rpporto tr i lti, ASPECT RATIO, prossimo ll unità. ) Gli ngoli i vertici degli elementi finiti, bidimensionli o tridimensionli, dovrebbero ssumere lo stesso vlore (d es. 90 per elementi finiti qudrngolri e 60 per elementi finiti tringolri). 3) E necessrio infittire l suddivisione in elementi finiti nelle zone in cui sono previsti elevti grdienti di sforzo (intgli o brusche vrizioni di sezione).
Tensione Principle Mssim [MP 4) L correttezz dell suddivisione in elementi finiti, in nlisi strutturli sttiche con comportmento del mterile linere elstico, può essere verifict relizzndo modelli d infittimento crescente. 00 80 60 40 0 00 80 0 3 4 5 6 N Modello
Soluzione di problemi strutturli pini in cmpo linere elstico s F F Dto che l struttur è piccolo spessore possimo ritenere che lo stto di sforzo si pino.
Schemtizzzione d elementi finiti dell lstr fort
Schem dell struttur semplifict in bse lle condizioni di simmetri F/6 F/6 F/6
Crtteristiche degli elementi finiti Rppresentzione di un elemento finito v 3 u 3 Funzioni di form lineri u 3 v 4 5 6 v u v u v u u v 0 0 0 0 0 0 3 4 5 6
Quindi: f A f u v A 0 0 0 0 0 0 3 4 5 6 Con: Possimo imporre gli spostmenti per i tre vertici di un elemento tringolre: Crtteristiche degli elementi finiti 3 6 3 5 4 3 6 5 4 6 5 4 3 3 3 3 3 3 v v v u u u
Crtteristiche degli elementi finiti u u u v v v 3 3 In form mtricile si h: 0 0 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f C n C f n 3 3 3 4 5 6 N il vettore spostmento generico si può scrivere in funzione degli spostmenti dei nodi: f A f AC f f L mtrice [ ] è dett mtrice delle funzioni di form. N N N 0 0 0 3 n n 0 0 0 N N N 3 3 3
Supposti quindi noti i generici spostmenti possimo pssre lle deformzioni; come noto, esse son dte dlle derivte degli spostmenti secondo le vribili e. Clcolo dello stto di deformzione u v v u ; ; Con scrittur mtricile: B f n n N N N N N N N N N N N N f 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 3 3 N
Clcolo dello stto di sforzo Simo desso in grdo di ricvre lo stto di sforzo note le deformzioni: E 0 0 0 0 D Quindi, sfruttndo il legme deformzioni-spostmenti nodli: D B f n
Legme crichi pplicti-sforzi indotti Per pssre dgli sforzi lle forze e quindi giungere d un'equzione che leghi le forze gli spostmenti nodli, possimo utilizzre il principio dei lvori virtuli Ff n V dv In form mtricile, se con F indichimo il vettore delle forze esterne, si h: T T T f n F f n B D B f n dv V F K f n
L mtrice di rigidezz dell elemento finito L mtrice [ K ] è un mtrice 66 di costnti, e ssume il significto di: Mtrice di rigidezz dell elemento T K B D B s K k k k k k k k, k, k, k3, k3,,,,,, 3, 3 L elemento generico k i,j rppresent l rezione che nsce nel nodo i nell direzione per effetto di uno spostmento unitrio impresso l nodo j in direzione.
Procedur di ssemblggio Il psso successivo è l determinzione dell mtrice di rigidezz globle reltiv l sistem di riferimento globle (nel sistem locle i nodi hnno sempre i numeri,, 3). Prov v 3 u 3 4 3 v v v u u u A questo scopo si compil un tbell nell qule si riportno, per ogni tringolo, i numeri dei vertici, che per convenzione si leggono in senso ntiorrio (così si costruisce l tbell delle incidenze): nodo nodo 3 nodo Tringolo (EF) 4 Tringolo (EF) 3 4
Procedur di ssemblggio Il nodo pprtiene l tringolo (dove è il nodo nell numerzione intern) e l tringolo (dove è il nodo nell numerzione intern) Or è fcile osservre come, d esempio, il K,, coefficiente di rigidezz del nodo in direzione si dto d: k k k,,, Il pedice fuori prentesi si riferisce l numero del tringolo. nodo nodo 3 nodo Tringolo (EF) 4 Tringolo (EF) 3 4
L mtrice di rigidezz dell struttur Ricvndo per ogni nodo il coefficiente di rigidezz, ttrverso l procedur di ssemblggio si può ricvre l mtrice globle di rigidezz. F K f g g n g A questo punto simo in grdo di ricvre gli spostmenti in funzione delle forze pplicte invertendo l'espressione precedente. Dgli spostmenti si possono ricvre gli sforzi ripercorrendo qunto ftto ll'inizio. B f n D B f n
Simulzione numeric dell pllintur
Simulzione del serrggio di connessioni filettte
Il conttto su superfici infinitesime: le cricche
Il conttto su superfici infinitesime: le cricche
Simulzione imptto utoveicolo
Modello di struttur nvle