OBIETTIVI INTERMEDI DI APPRENDIMENTO (I numei e le lettee indicate a fianco contassegnano le conoscenze, le abilità finali specifiche e quelle tasvesali coelate) Una volta completata l unità, gli allievi devono essee in gado di: - enunciae e dimostae popietà delle figue piane che isultino essee conseguenza delle similitudini [C,A1,A,T1] - isolvee semplici poblemi mediante l applicazione delle similitudini [C,A1,T] - costuie sia con iga e compasso sia con stumenti infomatici la sezione auea di un segmento [A1,A,T,T] - utilizzae la geometia piana pe isolvee semplici poblemi nell ambito di alti settoi della conoscenza [A1,T].1 Teoemi di Euclide.. Teoema della bisettice.. Teoemi delle code, delle secanti e della tangente e secante..4 La sezione auea.. Raggio del cechio cicoscitto ad un tiangolo..6 Poblemi isolti. Veifiche. Una beve sintesi pe domande e isposte. Lettua. Applicazioni della similitudine Unità
Modulo Similitudini nel piano.1 TEOREMI DI EUCLIDE..1.1 Come pima applicazione della similitudine, poponiamo la dimostazione dei due teoemi di Euclide sul tiangolo ettangolo già dimostati in alto modo in passato. Consideiamo, alloa, il tiangolo ABC, ettangolo in A, e diciamo AH l altezza elativa all ipotenusa (Fig. 1). Si costata che ABC è simile al tiangolo ABH pe il 1 citeio di similitudine: i due tiangoli, infatti, hanno due angoli odinatamente conguenti. Pecisamente: BÂC AĤB peché etti e l angolo in B in comune. Ne consegue che i lati omologhi dei due tiangoli sono odinatamente popozionali. In paticolae: BC : AB AB: BH. Questo è un modo equivalente di scivee la elazione AB BC BH, che espime il pimo teoema di Euclide, che petanto può essee enunciato anche in questa maniea: In ogni tiangolo ettangolo, ciascun cateto è medio popozionale fa l ipotenusa e la poiezione del cateto stesso sull ipotenusa. FIG. 1 Con ifeimento allo stesso tiangolo ABC, ettangolo in A (Fig. 1), si osseva che i due tiangoli AHB ed AHC sono simili giacché hanno due angoli odinatamente conguenti. Pecisamente: AĤB AĤC peché angoli etti e BÂH AĈH peché angoli complementai di HÂC. Ne consegue che i lati omologhi dei due tiangoli sono diettamente popozionali. In paticolae: BH : AH AH : HC. Questo è un modo equivalente di scivee la elazione AH BH HC, che espime il secondo teoema di Euclide, che petanto può essee enunciato anche in questa maniea: In ogni tiangolo ettangolo, l altezza elativa all ipotenusa è media popozionale fa le poiezioni dei cateti sull ipotenusa. Ti poponiamo adesso, pe esecizio, di dimostae le due seguenti poposizioni: 1. Se un altezza di un tiangolo divide intenamente il lato opposto in due pati ta le quali l altezza è media popozionale alloa il tiangolo è ettangolo (la poposizione invete l enunciato del teoema di Euclide).. Se un lato di un tiangolo è medio popozionale ta un alto lato e la sua poiezione otogonale su questo -ammesso che tale poiezione sia contenuta nel lato medesimo- alloa il tiangolo è ettangolo (la poposizione invete l enunciato del 1 teoema di Euclide). Ti poponiamo inolte di costuie, sevendoti solamente di iga e compasso, la quantità, essendo a, b due numei eali positivi assegnati. a b
Unità Applicazioni della similitudine. TEOREMA DELLA BISETTRICE...1 Questo teoema si compone di due pati: una iguada la bisettice degli angoli inteni di un tiangolo e l alta la bisettice degli angoli esteni. Cominciamo con la pima pate. TEOREMA. La bisettice di ogni angolo inteno di un tiangolo divide il lato opposto in pati diettamente popozionali ai lati consecutivi. DIMOSTRAZIONE. Consideato il tiangolo ABC e tacciata la bisettice AD dell angolo in A (Fig. ), ci poponiamo di dimostae che: BD : DC = AB : AC. A questo poposito conduciamo pe C la paallela ad AD fino ad intesecae in E la etta AB. Poiché: DÂC AĈE e BÂD AÊC e poiché BÂD DÂC alloa: AĈE AÊC. Pe cui il tiangolo AEC è isoscele sulla base EC e pe questo isulta AE=AC. Oa, in vitù del teoema di Talete, ifeito al fascio di ette paallele ad AD (e ad EC) tagliate dalle tasvesali BE e BC, si ha: BD:DC=BA:AE ossia: BD:DC=AB:AC. [c.v.d.] FIG. FIG... Passiamo adesso alla pate iguadante l angolo esteno. TEOREMA. Se la bisettice di un angolo esteno di un tiangolo inteseca la etta del lato opposto, alloa il punto intesezione detemina con gli estemi di tale lato due segmenti diettamente popozionali ai lati consecutivi. DIMOSTRAZIONE. Consideato il tiangolo ABC e tacciata la bisettice del suo angolo esteno CÂM, supponiamo che questa intesechi in D la etta BC (Fig. ). Si dimosta che: BD : CD = AB : AC. Basta ipetee la dimostazione pecedente. Ne lasciamo il compito a te. Ti chiediamo inolte: quand è che la bisettice di CÂM non inteseca la etta BC?. TEOREMI DELLE CORDE, DELLE SECANTI E DELLA TANGENTE E SECANTE...1 TEOREMA DELLE CORDE: Se due code di una ciconfeenza si secano, il loo punto comune le divide in due pati tali che
Modulo Similitudini nel piano quelle di una coda fomano gli estemi e quelle dell alta i medi di una popozione. DIMOSTRAZIONE. Consideate le code AB e CD di una ciconfeenza e posto che si sechino in P (Fig. 4), i due tiangoli APC e BPD isultano simili pe avee: APˆC BPˆ D e CÂP BDˆ P : i loo lati omologhi sono quindi in popozione. In paticolae: AP : PD = PC : BP. [c.v.d.] FIG. 4 FIG... TEOREMA DELLE SECANTI: Se da un punto esteno ad una ciconfeenza si conducono due secanti, un intea secante e la sua pate estena fomano gli estemi di una popozione i cui medi sono l alta secante e la sua pate estena. DIMOSTRAZIONE. 1 Consideate le secanti PA e PB condotte dal punto P ad una data ciconfeenza (Fig. ) e dette PC e PD le loo pati estene, i due tiangoli APD e BPC isultano simili pe avee l angolo Pˆ in comune e P Â D = P Bˆ C: i loo lati coispondenti sono quindi in popozione. In paticolae: AP : BP = DP : CP. [c.v.d.].. TEOREMA DELLA TANGENTE E DELLA SECANTE: Se da un punto esteno ad una ciconfeenza si conducono una tangente ed una secante, la tangente è media popozionale ta l intea secante e la sua pate estena. DIMOSTRAZIONE. Consideate la tangente PA e la secante PB condotte pe un punto P ad una data ciconfeenza (Fig. 6) e detta PC la pate estena della secante, i due tiangoli PAB e PAC isultano simili pe avee l angolo Pˆ in comune ed ABˆ P PÂC poiché angoli alla ciconfeenza che insistono sullo stesso aco AC: i loo lati coispondenti sono peciò in popozione. In paticolae: PB : PA = PA : PC. [c.v.d.] 1 È evidente che quando qui, come altove, diciamo intea secante e pate estena intendiamo ifeici a paticolai segmenti e dal contesto si capià di quali segmenti si tatta. Anche pe la tangente vale quanto pecisato nella nota pecedente. 4
Unità Applicazioni della similitudine FIG. 6.4 LA SEZIONE AUREA..4.1 Si dice sezione (o pate) auea di un segmento quella pate del segmento che è media popozionale ta l inteo segmento e la pate imanente. Pe esempio, consideato il segmento AB (Fig. 7), un suo punto C lo divide in due pati, di cui una, AC, è sezione auea del segmento se isulta: AB : AC = AC : CB. Si dice pue che C divide AB in media ed estema agione. FIG. 7 Poponiamo due pocedimenti atti a deteminae la sezione auea di un segmento: uno sintetico (costuzione geometica) ed uno analitico. Ai fini della deteminazione pe via analitica della sezione auea di un segmento, se L è la lunghezza del segmento ed x quella della sua pate auea, si ha dunque: L : x = x : ( L x), da cui si ottiene la seguente equazione di gado in x: x + L x L = 0, isolvendo la quale ed accettando la sola adice positiva si tova: L x 1. Ai fini della costuzione geometica della sezione auea di un segmento AB (con i soli stumenti iga e compasso) tacciamo la ciconfeenza di cento O e diameto uguale ad AB, tangente in B alla etta del segmento (Fig. 8). La etta AO seca la ciconfeenza nei punti P e Q: il segmento AC, uguale ad AP, è la sezione auea di AB. La dimostazione di ciò è elementae. Infatti, in vitù del teoema della tangente e della secante, isulta AQ:AB=AB:AP, da cui segue: (AQ AB) : AB = (AB AP) : AP. Da qui, essendo evidentemente: AQ AB = AQ PQ = AP = AC, AB AP = AB AC = CB, segue: AB : AC = AC : CB. Bisogna sapee ovviamente come si isolve un equazione di gado.
Modulo Similitudini nel piano [c.v.d.] FIG. 8 Un compito pe te: 1) La pate auea di un segmento è lunga a. Quant è lungo il segmento? ) Se il segmento AC è sezione auea del segmento AB, alloa la pate imanente CB è a sua volta sezione auea della sezione auea AC del segmento dato. È veo o è falso?.4. Connessi alla sezione auea, due numei hanno svolto e svolgono tuttoa un uolo impotante. Uno è il appoto fa la sezione auea di un segmento ed il segmento medesimo, ossia il numeo α tale che: 1 0,618. Il secondo numeo è il appoto inveso, ovveo il appoto fa un segmento e la sua sezione auea, vale a die il numeo φ, chiamato numeo aueo (o appoto aueo) 4, tale che: 1 1,618. 1 Accanto ai due numei, ugualmente impotante è una figua geometica, il cosiddetto ettangolo aueo. Si definisce in questo modo un ettangolo il cui lato minoe è sezione auea del maggioe ovveo un ettangolo in cui il appoto fa il lato maggioe ed il minoe è il numeo aueo φ..4. Una delle più impotanti popietà geometiche, la cui scopeta è da molti attibuita ai Pitagoici, è costituita dal seguente teoema. TEOREMA 1. Il lato del decagono egolae è la sezione auea del aggio del cechio cicoscitto. DIMOSTRAZIONE. La dimostazione è piuttosto elementae. Basta ifeisi al tiangolo isoscele OAB avente pe vetici il cento del cechio e gli estemi di uno dei lati del decagono (Fig. 9). Si tatta, a questo punto, di constatae anzitutto che gli angoli inteni del tiangolo sono ampi ispettivamente: 6, 7, 7. Dopo ave tacciato la bisettice AC dell angolo in A, si constata che anche il tiangolo ABC ha gli angoli inteni di ampiezza 6, 7, 7 e peciò è simile al tiangolo OAB. Ne discende che si ha: OB : AB = AB : CB. Il che è sufficiente pe itenee conclusa la dimostazione. 4 Ci coe l obbligo di pecisae che alcuni autoi chiamano numeo aueo il appoto fa la sezione auea di un segmento e lo stesso segmento, vale a die il numeo che noi abbiamo indicato con α. 6
Unità Applicazioni della similitudine FIG. 9 FIG. 10 Ai Geci, quasi cetamente ancoa ai Pitagoici, è dovuta la costuzione del pentagono egolae inscitto in un cechio, ovviamente con iga e compasso. La cosa è banale una volta che si sa costuie il decagono, ma i Geci ne poposeo una costuzione dietta, con un pocedimento che pealto icoda molto da vicino quello esposto sopa pe il decagono (Euclide, Elementi, IV, 11). Ma sopattutto i Pitagoici (Ippaso di Metaponto, secondo i più) scopiono il seguente teoema. TEOREMA. Il lato del pentagono egolae è la sezione auea della diagonale. DIMOSTRAZIONE. Pe la dimostazione, condotta sulla base delle noste conoscenze (in ealtà non sappiamo quale dimostazione abbiano poposto i Pitagoici, anche se conosciamo quella di Euclide: Elementi, XIII, 8), ifeiamoci al pentagono egolae ABCDE (Fig. 10). Una volta tacciate le sue diagonali, uguali fa loo, esta evidenziato il nuovo pentagono egolae A B C D E. Si fa pesto a giustificae che i due tiangoli ACD e AE B sono simili. Ne discende che AC : DC = AE : B E. A questo punto basta fa vedee che AE =DC e B E =E C. Ci semba utile fonie l enunciato di un inteessante teoema, ancoché non legato al concetto di sezione auea ma in stetta connessione con i poligoni egolai inscitti in un cechio (Euclide, Elementi, XIII, 10). Si tatta di un teoema cetamente al di là di ogni intuizione elementae. TEOREMA. I lati del pentagono egolae, dell esagono egolae e del decagono egolae inscitti in un cechio sono nell odine l ipotenusa e i cateti di un tiangolo ettangolo. Sulla base dei due teoemi pecedenti è possibile deteminae le lunghezze dei lati L 10 del decagono egolae ed L del pentagono egolae inscitti in un cechio di aggio assegnato. Si ha pe la pecisione: L 10 = 1, L = 10. Te ne poponiamo la dimostazione. È un buon esecizio pe veificae la tua abilità nel calcolo, in paticolae in quello con i adicali quadatici.. RAGGIO DEL CERCHIO CIRCOSCRITTO AD UN TRIANGOLO...1 Il aggio R del cechio cicoscitto ad un tiangolo di lati a,b,c ed aea A è dato dalla fomula seguente: 7
Modulo Similitudini nel piano a b c R =. 4 A Alla dimostazione accenniamo soltanto, lasciando a te il compito di completala, dopo ave disegnato la figua elativa. Consideato alloa il cechio cicoscitto al tiangolo ABC, si taccia il diameto AD del cechio e l altezza AH del tiangolo. I due tiangoli ACD e AHB sono simili peché. Quindi: AD AH AB AC, da cui segue. E infine la fomula cecata..6 PROBLEMI RISOLTI..6.1 PROBLEMA RISOLTO 1. Il appoto ta la base e l altezza di un tiangolo isoscele è 8/ e il lato obliquo è lungo a. Deteminae a quale distanza dal vetice del tiangolo occoe condue una etta paallela alla base in modo che il tiangolo ed il tapezio ottenuti abbiano lo stesso peimeto. RISOLUZIONE. Detto ABC il tiangolo assegnato (Fig. 11), pe i dati del poblema si ha: AB AC a, BC AH 8. Poi- ché BC = BH, si ha pue AH = 8 BC = 4 BH e petanto, applicando il teoema di Pitagoa al tiango- 9 lo ettangolo AHB, si ottiene: AB AH HB = BH BH = = BH ; quindi: BH a, 16 4 4 4 4 8 da cui segue: BH a, e peciò: AH a a, BC a. 4 Chiamata oa DE una coda del tiangolo ABC paallela a BC e indicato con K il punto in cui essa inteseca AH, dobbiamo deteminae AK in modo che sia: AD+DE = BD+DE+BC, cioè: AD=(AB-AD)+BC, o anche: 4AD=AB+BC, ossia: 1 1 8 9 AD AB BC a a a. 4 4 10 D altonde, pe l evidente similitudine dei tiangoli ABH e ADK si ha: AB : AD = AH : AK; 9 a a AD AH 7 da cui segue: AK 10 a. AB a 0 8 FIG. 11 FIG. 1.6. PROBLEMA RISOLTO. Un tapezio ettangolo ha le diagonali pependicolai e la sua aea e la sua altezza sono ispettivamente
Unità Applicazioni della similitudine 0 a² e 4a, essendo a una lunghezza assegnata. Dopo ave mostato che l altezza del tapezio è media popozionale ta le basi, calcolane il peimeto. RISOLUZIONE. Consideato il tapezio ettangolo ABCD in cui le diagonali AC e BD sono pependicolai (Fig. 1), i due tiangoli ettangoli ABD e CDA isultano simili poiché hanno gli angoli A Dˆ B e ĈA D conguenti B Dˆ C ; i loo lati omologhi sono peciò in popozione. In paticola- peché complementai dell angolo e: AB : AD = AD : DC. 1 0 Pe i dati del poblema si ha: AD 4a e AB DC AD a, da cui segue: AB DC a. Inolte, pe la popozione pecedente: AB DC 16a. Si tatta peciò di isolvee il seguente sistema nelle incognite AB e DC : AB DC a AB DC 16a 16 Si tova abbastanza facilmente: AB = a, DC = a. Detta adesso H la poiezione otogonale di B su DC e ossevato che: BH = AD =4a, 7 HC DC AB a, applicando il teoema di Pitagoa al tiangolo ettangolo BHC si tova: 49 a BC BH HC 16a a 19. 9 Infine, detto P il peimeto del tapezio, si ottiene: a 16 a P = AB BC CD DA a 19 a 4a 7 19..6. PROBLEMA RISOLTO. Consideata una semiciconfeenza di diameto AB, lungo, sia C il punto della semietta di oigine A passante pe B tale che AC sia lungo. Condotta pe C la secante s alla semiciconfeenza in modo che su di essa venga intecettata la coda MN lunga, calcolae l aea del quadilateo convesso ABNM. RISOLUZIONE 6. Con ifeimento alla figua 1, si ha evidentemente: 1 1 A(ABNM) = A(ACM) A(BCN) = AC MH CN BK. Pe cui occoe conoscee le misue dei segmenti AC, MH, CN, BK. Bisogna sape isolvee equazioni e sistemi di gado. 6 Vedi nota pecedente. 9
Modulo Similitudini nel piano 10 FIG. 1 In base ai dati del poblema isulta: CM CN MN e BC AC AB. Pe il teoema delle secanti si ha: CA : CM = CN : CB, da cui: CM CN CA CB. Risolvendo alloa il seguente sistema: CM CN CM CN si tova: CN 1 1, CM 1 1. Indicato adesso con O il cento della semiciconfeenza, detta D la sua poiezione otogonale su MN e ossevato che MD DN, applicando il teoema di Pitagoa al tiangolo ettangolo ODN, si ottie- ne: OD ON DN. 4 Poiché i due tiangoli ettangoli MHC e ODC sono simili pe avee l angolo di vetice C in comune, i loo lati omologhi sono in popozione. In paticolae: MH : OD = CM : OC, 1 1 OD CM da cui, essendo OC =, segue: MH 9. OC 8 Paimenti isultano simili i due tiangoli ettangoli BKC e ODC; peciò: BK : OD = BC : OC, OD BC da cui segue: BK. Infine, a conti fatti: A(ABNM) = 9 OC 4 8..6.4 PROBLEMA RISOLTO 4. Due ciconfeenze, di centi H ed O, sono tangenti estenamente nel punto T. La ciconfeenza di cento H ha aggio, quella di cento O ha aggio /. Una etta s pe T, fomante un angolo di 0 con la etta OH, seca la ciconfeenza maggioe in A e la minoe in R. Consideati il diameto AB della ciconfeenza maggioe ed il diameto RS della minoe: 1) dimostae che il quadilateo ABRS è un tapezio; ) di esso calcolae peimeto ed aea. RISOLUZIONE. La ciconfeenza maggioe può essee pensata come la tasfomata della minoe mediante l omotetia di cento T e di caatteistica -/ (Fig. 14). Questa omotetia associa il punto O al punto H e il punto A al punto R; di conseguenza associa la etta AO (cioè AB) alla etta RH (cioè RS) ed il punto B al pun-
Unità Applicazioni della similitudine to S. FIG. 14 Siccome un omotetia tasfoma una etta in una etta paallela, possiamo concludee che AB RS e, petanto, che il quadilateo ABRS è un tapezio di basi AB e RS. In tale tapezio si ha: AB, RS. Osseviamo, poi, che gli angoli B Tˆ R pependicolai AR e BS. A Tˆ B ed Tˆ S R sono etti, peciò sono pue etti gli angoli A Tˆ S e. Ai fini del calcolo dell aea del tapezio, è sufficiente conoscee le lunghezze delle diagonali Intanto, in vitù dell omotetia suddetta, isulta: AT = TR, BT = TS. Calcoliamo alloa TR e TS. Pe questo consideiamo il tiangolo HTS: esso è isoscele sulla base TS, con l angolo H Tˆ S di 60 ; quindi è equilateo. Petanto TS è lungo. Di conseguenza, pe il teoema di Pitagoa applicato al tiangolo ettangolo RTS, si tova: TR. Dunque: AT, BT. Cosicché: AR AT TR, BS BT TS. In definitiva, l aea A del tapezio -pensato, l abbiamo già detto, come quadilateo con le diagonali pependicolai- è: A = 1 1 AR BS. 8 Pe calcolae il peimeto del tapezio, bisogna conoscee le lunghezze dei suoi lati obliqui AS e BR. Questo si ottiene facilmente. Ne lasciamo il compito a te. Si tova: AS 1, BR 1. In conclusione, il peimeto P del tapezio è:. VERIFICHE Poblemi di dimostazione (nn. 1-) 1. Siano c e c due ciconfeenze secanti. Pe un punto della etta dei loo punti comuni, peso e- stenamente alle due ciconfeenze, si conducano due segmenti, uno tangente a c ed uno tangente a c. Si dimosti che tali segmenti sono conguenti. 11
Modulo Similitudini nel piano. In un tiangolo ettangolo un cateto è lungo il doppio dell alto. Condotta la bisettice del maggioe dei due angoli acuti del tiangolo, dimostae, con un pocedimento analitico, che il minoe dei segmenti in cui detta bisettice divide il cateto maggioe è sezione auea del cateto minoe. Povae inolte a condue anche una dimostazione esclusivamente con consideazioni di geometia sintetica.. Sia ABCD un quadilateo convesso tale che i tiangoli DAC e DBC sono conguenti in modo D A C che i loo vetici si coispondano secondo la seguente tabella: C B D. Indicata con E l intesezione delle sue diagonali, dimostae che: 1) i tiangoli AED e BEC sono simili; ) lo sono pue i tiangoli AEB e DEC. 4. Consideato un paallelogamma ABCD, si tacci una ciconfeenza che passi pe A ed intesechi ulteiomente i segmenti AB, AC, AD ispettivamente nei punti B, C, D. Giustificae che i due tiangoli ABC e B C D sono simili.. Consideato il tiangolo ABC, ettangolo in A, si chiami P un punto del cateto AC ed M il punto medio di BC. Si conduca pe M la pependicolae alla etta PM e si supponga che il punto Q, in cui essa inteseca la etta AB, sia inteno al cateto AB. Dopo ave dimostato che il quadilateo APMQ è inscivibile in un cechio, dimostae che il tiangolo MPQ è simile al tiangolo ABC. Poblemi di deteminazione 7 (nn. 6-40): 6. I cateti di un tiangolo ettangolo sono lunghi a e 4a, essendo a una lunghezza assegnata. Calcolae le lunghezze delle due pati in cui la bisettice dell angolo etto divide l ipotenusa. [R. 1a/7, 0a/7] 7. La base popiamente detta di un tiangolo isoscele e l altezza elativa ad essa misuano ispettivamente 66 cm e 44 cm. Deteminae: a) l altezza del tiangolo elativa ad uno dei lati uguali; b) le due pati in cui la bisettice di uno degli angoli alla base divide il lato opposto; c) la misua di tale bisettice. [R..8 cm; cm, 0 cm; 001 cm] 8. Il segmento che unisce i punti medi dei lati maggioi di un ettangolo divide il ettangolo medesimo in due ettangoli simili ad esso. Sapendo che il peimeto del ettangolo dato è p, essendo p una lunghezza assegnata, calcolae la sua aea. [R. p 1 4 ] 9. Una coda di un cechio, lunga 10a, essendo a una lunghezza assegnata, ne inteseca un alta dividendola in due pati, una lunga a e l alta 1a. Calcolae le lunghezze delle due pati in cui esta divisa la pima coda dal punto intesezione. [R. 4a, 6a] 10. Da un punto P esteno ad un cechio si conducono una tangente PT ed una secante PA, lunghe ispettivamente 4 cm e 8 cm. La secante inteseca il cechio secondo una coda AB. Calcolane la lunghezza. Successivamente, posto che il aggio del cechio misui cm, calcolae l aea del quadilateo convesso PBOT, dove O il cento del cechio. [R. 6 cm; 14 cm ] 7 NOTA BENE. Qualche poblema ha come isolvente un equazione di gado. In tal caso ci sono due possibilità: a) l agomento è già stato studiato e la isoluzione del poblema non pesenta difficoltà; b) l agomento non è stato ancoa studiato e peciò la isoluzione deve essee povvisoiamente accantonata. 1
Unità Applicazioni della similitudine 11. Consideata una ciconfeenza c di cento O e aggio, sia t la tangente ad essa in un suo punto T. Detto P un punto di c la cui distanza da t sia /, si chiami R l intesezione delle ette PO e t. Si calcoli il peimeto e l aea del tiangolo PTR. [R., ] 4 1. Il peimeto del tiangolo ettangolo ABC ed il cateto AB sono lunghi ispettivamente 1a e a, essendo a una lunghezza assegnata. Detti M ed N due punti ispettivamente del cateto AB e del cateto AC tali che AM ed AN siano due lati consecutivi di un quadato inscitto nel tiangolo, 1 calcolae il peimeto e l aea del quadilateo MBCN. [R. a, a ] 7 49 1. L ipotenusa e l altezza ad essa elativa di un tiangolo ettangolo sono lunghe ispettivamente a, b. Dimostae che il quadato inscitto nel tiangolo in modo che un suo lato sia contenuto 1 1 1 nell ipotenusa ha lato lungo c tale che:. c a b Dimostae che la medesima elazione vale se a, b sono le lunghezze dei cateti di un tiangolo ettangolo e c è la lunghezza del lato del quadato inscitto in esso in modo che un suo angolo coincida con l angolo etto del tiangolo. 14. Nel tapezio ABCD il lato AD e la diagonale AC, fa loo pependicolai, sono diettamente popozionali ai numei e 4. Sapendo che il peimeto e l altezza del tapezio misuano ispettivamente 18 cm e 4 cm, calcolae le misue della base minoe AB e del lato obliquo BC del tapezio. Calcolae inolte le misue dei segmenti in cui si dividono ecipocamente le sue diagonali. [R. AB = cm, BC = 6 cm;... ] 1. L altezza elativa all ipotenusa di un tiangolo ettangolo misua 1 m. Una coda del tiangolo, paallela all ipotenusa, lo divide in due poligoni equivalenti. Die se i dati assegnati sono sufficienti o no pe isolvee la seguente questione: 1) Calcolae le due pati in cui l altezza elativa all ipotenusa è divisa dalla coda. ) Calcolae la lunghezza della coda. 16. Il lato obliquo di un tapezio ettangolo è lungo a e l angolo che esso foma con la base maggioe misua 60. Deteminae le lunghezze delle basi del tapezio sapendo che il tiangolo avente pe vetici gli estemi della base maggioe e il punto intesezione delle ette dei lati non paalleli ha peimeto a. Calcolae inolte le aee dei quatto tiangoli in cui il tapezio esta diviso dalle sue diagonali. [R. a/, a;... ] 17. Il peimeto del tiangolo ettangolo ABC è 4a e il cateto AB è lungo 6a, essendo a una lunghezza assegnata. Detto P il punto dell ipotenusa BC tale che PC sia lungo 4a, condue pe P la pependicolae a BC fino ad intesecae in Q la etta AB. Calcolae il peimeto e l aea del 8 18 quadilateo AQCP. [R. a 4, a² ] 18. Nel tapezio ABCD il lato obliquo AD, lungo a, essendo a una lunghezza assegnata, è pependicolae alla diagonale AC, lunga 0a/. Calcolae l aea e il peimeto del tapezio. Inolte, condotta pe A la pependicolae alla etta BD fino ad intesecae la etta DC in E, calcolae la lunghezza del segmento AE. [R. 8 a 68 ; ], a 19. I lati obliqui di un tapezio cicoscitto ad un semicechio sono lunghi 10h e 17h e il peimeto del tapezio è 60h, essendo h una lunghezza assegnata. Calcolae il peimeto e l aea del quadilateo convesso avente pe vetici i punti di contatto del semicechio con i lati obliqui del 1
Modulo Similitudini nel piano 14 tapezio, il cento del semicechio e il punto intesezione dei polungamenti dei suddetti lati o- 08 84 bliqui. [R. h, h ] 7 7 0. L ipotenusa BC del tiangolo ettangolo ABC è lunga a. Condotta pe C la paallela t ad AB, si dicano M la poiezione otogonale di B su t ed N l intesezione di t con la paallela a BC condotta pe A. Si calcoli il peimeto del tiangolo ABC sapendo che il quadilateo convesso a ABMN è equivalente ad un ettangolo avente pe dimensioni ed una lunghezza uguale a a quella di AB. [R. ] 1. Il cateto AC del tiangolo ABC, ettangolo in A, è lungo h. Detto D il punto dell ipotenusa tale che CÂD = 0, si sa che AD = DB. Tovae i lati incogniti del tiangolo. Calcolae inolte il peimeto di un secondo tiangolo di aea h, sapendo che è simile al pimo. [R. h, h ; h 6 ]. Un tapezio ettangolo ha le diagonali pependicolai e le sue basi sono lunghe b e 8b, essendo b una lunghezza assegnata. Dopo ave dimostato che il quadilateo convesso avente pe vetici i punti medi dei lati del tapezio è un ettangolo, calcolane aea e peimeto. [R. 10b, 6b ]. La somma dei lati obliqui di un tapezio cicoscivibile ad un cechio è 189a, essendo a una lunghezza assegnata, e le poiezioni otogonali di tali lati sulla base maggioe del tapezio sono 4a e 10a. Consideato il tiangolo avente pe vetici gli estemi della base minoe e l intesezione dei polungamenti dei lati obliqui del tapezio, calcolane peimeto ed aea. [R. 48 a, 84 a ] 4. Consideata una semiciconfeenza di diameto AB lungo, essendo una lunghezza assegnata, si penda sul polungamento di AB, dalla pate di B, un punto P e si conduca pe esso la tangente alla semiciconfeenza, indicando con C il punto di contatto e con H la poiezione di C su 16 AB. Sapendo che 4 CH = HP, si calcoli peimeto ed aea del tiangolo PCH. [R., ] 7. Consideata una ciconfeenza di diameto AB lungo e cento O, sia C un punto della etta tangente ad essa in B tale che AC = OC 7. Deteminae sulla semiciconfeenza che si tova nel semipiano di oigine AB e non contenente C, un punto D in modo che il quadilateo ACBD sia un tapezio e di esso calcolae l aea. Inolte, detto E l ulteioe punto in cui la etta AC inteseca la ciconfeenza, calcolae le aee delle due pati in cui il tapezio suddetto è diviso dalla etta ED. [R. AD 1, A(ACBD) = 11 7 7 ; A(AED) = 4 7, ] 6. La base maggioe AB e l altezza AD del tapezio ettangolo ABCD sono lunghe a ed a ispettivamente; inolte la base minoe è conguente al lato obliquo. Detto E il punto i cui si intesecano le ette dei lati non paalleli del tapezio, calcolae il peimeto del tiangolo EDC. [R. a 1 ] 7. Nel tiangolo ettangolo ABC i cateti AB e AC sono lunghi ispettivamente 1b e 16b, dove b è una lunghezza assegnata. Indicato con P il punto del cateto AC tale che AP è lungo b e chiamato M il punto medio dell ipotenusa, sia Q l intesezione del cateto AB con la pependicolae a PM condotta pe M. 1) Povae che il quadilateo APMQ è inscivibile in una ciconfeenza c.
Unità Applicazioni della similitudine ) Detto N l ulteioe punto in cui c inteseca BC, calcolae l aea del pentagono APNMQ. ) Calcolae infine l aea del pentagono tasfomato di quello suddetto nell omotetia di cento A e di caatteistica. 1 [R. 1) ; ) A(APNMQ) = b ; ) ] 8. Calcolae il peimeto e l aea di un decagono egolae inscitto in un cechio di aggio. Calcolae inolte l aea di un decagono egolae di lato lungo L. [R. 1, 10 ; 4 L ] 9. Calcolae il peimeto e l aea di un pentagono egolae inscitto in un cechio di aggio. Calcolae inolte l aea di un pentagono egolae di lato lungo L. [R. 10, 10 ; 8 1 L 10 ] 4 0. Un televisoe di 17 pollici ha la foma di un ettangolo aueo. Tova le misue dei suoi lati, appossimate al millimeto. [Ricoda che: a) 1 pollice =.4 cm; b) die che un televisoe è di 17 pollici significa che la diagonale del suo schemo è lunga 17 pollici. R. 6.7 cm,.7 cm] 1. Un tapezio ettangolo ha l altezza uguale a 4a e l aea uguale a 984a², dove a è una lunghezza data; inolte il suo lato obliquo è pependicolae alla diagonale minoe ed è maggioe di essa. Un alto tapezio, simile al pimo, ha il peimeto uguale a 17a. Calcolae l aea di questo secondo tapezio. [R. 1 a /8]. Una coda di un tiangolo, paallela ad un lato, divide il tiangolo in due poligoni equivalenti. Calcolae il appoto ta il maggioe ed il minoe dei due segmenti in cui è divisa, da quella coda, l altezza del tiangolo pependicolae ad essa. [R. 1]. In un cechio di cento O e aggio sono assegnate due code, AB lunga 6/ e CD lunga /, in modo che i loo polungamenti s intesechino nel punto E tale che il segmento DE sia lungo, essendo B l estemo di AB più vicino ad E e D l estemo di CD più vicino ad E. Detto M il punto medio della coda AB, calcolae il peimeto e l aea del tiangolo EOM. [R. 11 6, 14 ] 4. Da un punto P esteno ad un cechio si conducono una tangente PT ed una secante PA: la tangente è lunga 1 cm e la secante inteseca il cechio secondo una coda AB lunga 6 cm. Calcola- 17 1 cm] e la lunghezza della pate estena della secante. [R. ] 8. Consideata una ciconfeenza K di cento O e aggio, pe un punto A, distante / da O, si conduca una secante che la intesechi nei punti B, C tali che BC sia il lato di un tiangolo equilateo inscitto in K. Si calcolino le aee dei due tiangoli AOB ed AOC. [R. 6 6. Il cateto OB e l altezza OH elativa all ipotenusa del tiangolo ettangolo AOB sono lunghi ispettivamente 4a e 1a/. Deteminae sull'ipotenusa AB un punto P in modo che, detti M ed N i punti in cui la pependicolae ad AB condotta pe esso inteseca ispettivamente il cateto OA e il 1
Modulo Similitudini nel piano 4 polungamento del cateto OB, la somma dei tiangoli APM ed MON abbia aea uguale a a². 41 [R. AP = 4a/41] 7. I cateti OA ed OB del tiangolo ettangolo AOB sono lunghi ispettivamente 4a e a, essendo a una lunghezza assegnata. Condotta pe O la paallela ad AB, deteminae sul segmento OA un punto P tale che, detta Q l intesezione della paallela suddetta con la etta BP, sia uguale a /4 il appoto ta l aea del tiangolo BOQ e quella del tiangolo ABP. [R. OP = 4a/] 8. Il cateto AC e l ipotenusa BC del tiangolo ettangolo ABC sono lunghi ispettivamente a e a, essendo a una lunghezza assegnata. Sulla semiciconfeenza di diameto BC, costuita da pate opposta del tiangolo, deteminae un punto P in modo che, detta M l intesezione di AP con BC, il ettangolo di dimensioni uguali alle lunghezze dei segmenti AM e PM abbia aea u- 9 guale a di quella del tiangolo ABC. [R. soluzioni: BM 1 =a/4, BM =9a/4] 16 9. La base e l altezza di un tiangolo isoscele sono lunghe ispettivamente a ed a. Inscivee nel tiangolo un ettangolo con un lato sulla base del tiangolo, in modo che la sua aea sia a e 1 calcolane il peimeto. [R sol.: 16a/, 8a/] 40. In un tiangolo ettangolo il cateto AB è lungo il doppio del cateto AC. Si penda sull ipotenusa BC il punto D tale che CD = CA. Sapendo che la bisettice CE del tiangolo è lunga a, dove a è una lunghezza assegnata, calcolae la lunghezza del segmento BD. Dopo ave veificato che BD è sezione auea di AB, fonie una dimostazione sintetica di questo fatto. UNA BREVE SINTESI PER DOMANDE E RISPOSTE DOMANDE. 1. Quale significato bisogna attibuie al fatto che il segmento AB è medio popozionale fa i segmenti CD ed EF?. Nel tiangolo ABC il lato BC è il più lungo e l altezza elativa al esso, lunga cm, lo divide in due pati lunghe cm e 4 cm. È possibile che il tiangolo sia ettangolo?. I lati CA e CB del tiangolo ABC misuano ispettivamente 1 cm e 0 cm. È possibile che sul lato AB ci sia un punto P che, a patie da A, lo divida intenamente in due pati diettamente popozionali ai numei e, in modo che la etta CP bisechi l angolo A ĈB? 4. Qual è l enunciato del teoema cosiddetto della tangente e della secante?. Cosa s intende pe pate auea di un segmento? 6. Cos è il numeo aueo? È maggioe o minoe di 1? 7. Quale elazione sussiste fa il lato del decagono egolae inscitto in un cechio e il aggio del cechio? 16
Unità Applicazioni della similitudine 8. Cos è un ettangolo aueo? RISPOSTE. 1. Significa semplicemente che vale la popozione CD : AB AB: EF.. No. Infatti il podotto delle misue delle due pati in cui l altezza divide il lato BC è diveso dal quadato dell altezza stessa. Pe cui il tiangolo non può essee ettangolo in A. D altonde BC è il lato maggioe, pe cui non può essee ettangolo in alcun alto vetice.. A toppe condizioni deve sottostae il punto P, ese incompatibili dal teoema della bisettice dell angolo inteno di un tiangolo: o le due pati AP e PB sono diettamente popozionali ai numei e, ma senza che la etta CP sia bisettice dell angolo AĈB; oppue questa etta è bisettice di quell angolo, ma senza che quelle due pati siano diettamente popozionali ai numei e, dal momento che, popio in vitù del teoema della bisettice, devono essee diettamente popozionali ai numei 1 e 0, che è come die ai numei e 4. 4. Se da un punto esteno ad una ciconfeenza si conducono una tangente ed una secante, la tangente è media popozionale fa l intea secante e la sua pate estena.. È la pate del segmento che isulta essee media popozionale fa l inteo segmento e la pate imanente. 6. È il appoto fa un segmento e la sua pate auea. Evidentemente è maggioe di 1. 7. Il lato del decagono egolae inscitto in un cechio è la pate auea del aggio. 8. È un ettangolo in cui il lato minoe è pate auea del maggioe. LETTURA Sezione auea e numeo aueo. Il matematico e astonomo tedesco Johannes Keple (171-160), famoso pe ave enunciato le te leggi sui moti dei pianeti, ebbe a fae la seguente suggestiva affemazione: «La Geometia ha due gandi tesoi: uno è il teoema di Pitagoa; l alto è la sezione auea di un segmento. Il pimo lo possiamo paagonae ad un oggetto d oo; il secondo lo possiamo definie un pezioso gioiello». Ad ono del veo Keple non usò il temine sezione auea ma divisione di un segmento in media ed estema agione. In effetti, la denominazione di sezione auea è abbastanza ecente e comunque posteioe a Keple. Compae infatti pe la pima volta nel 186 in una nota di un opea del matematico tedesco Matin Ohm (179-187) 8, anche se nella nota stessa egli dichiaa che il temine non è stato coniato da lui. Il concetto peò e ciò che ne discende isalgono ai Pitagoici e tovano collocazione negli Elementi di Euclide, il quale isolse il poblema della divisione di un segmento in media ed estema agione con due pocedimenti, uno basato sulla teoia dell equivalenza (Elementi, II, 11) ed uno sulla teoia delle popozioni (Elementi, VI, 0). 8 Il fatello, Geog Simon Ohm (1787-184), è noto pe le famose leggi sulla esistenza elettica. 17
Modulo Similitudini nel piano Anche il temine numeo aueo compae nell opea di Ohm, ma il simbolo φ (o, scitto in maiuscolo: Φ) è stato intodotto 9 solo agli inizi del XX secolo, semba in onoe dello scultoe geco Fidia, che si saebbe sevito del appoto aueo nella pogettazione delle sue opee ed in paticolae del Patenone di Atene. In effetti, in tale opea, isalente al IV sec. a.c., la facciata del tempio ed il pavimento sono ettangoli in cui il appoto fa il lato maggioe e quello minoe è, con buona appossimazione, il numeo aueo. Nel XV sec. la denominazione più usata pe questo numeo, in paticolae da Luca Pacioli, fu quella di divina popozione, poiché si cedette di individuae qualcosa di veamente divino nel appoto fa un segmento e la sua sezione auea. In effetti, nel 1496 Luca Pacioli compose un opea dal titolo De divina popotione, pubblicata nel 109, con una sessantina di illustazioni di Leonado da Vinci, di cui Pacioli ea amico. La sezione auea ed il numeo aueo compaiono, olte che in geometia, nell ate, nella natua e nella vita di tutti i gioni in misua piuttosto fequente e, comunque, più spesso di quanto si possa immaginae. Olte al citato Patenone, ci limitiamo ad alcuni esempi. - Nella pittua inascimentale vi sono molte opee d ate in cui il numeo aueo è pesente. Fa esse alcune opee di Leonado da Vinci (14-119) ed in paticolae: l Uomo di Vituvio (Venezia, Galleie dell Accademia. Compae su una faccia della moneta italiana di 1 euo), la Gioconda (Paigi, Museo del Louve) e l Ultima Cena (Milano, Santa Maia delle Gazie). E poi la Venee di Sando Botticelli (veo nome: Alessando di Maiano Filipepi, 144-110), allocata a Fienze nella Galleia degli Uffizi. - Oggigiono a ipova del fatto che la sezione auea ispia un senso estetico non indiffeente esistono numeosi oggetti che hanno, con buona appossimazione, la foma di un ettangolo aueo, come, pe esempio: gli schemi di molti televisoi, le cate di cedito, le tessee sanitaie, le tessee telefoniche 10, la maggio pate dei biglietti da visita e dei manifesti pubblicitai, molte catoline illustate. - Il appoto aueo è pesente anche nelle ati modene. Ne è un esempio l opea di Salvado Dalì (1904-1989), Il Sacamento dell Ultima Cena, dipinta dento un ettangolo aueo e consevata a Washington (National Galley of At). In effetti le dimensioni del quado sono 68 cm e 167 cm e, come si può calcolae, il loo appoto è all incica 1.60, pessoché uguale al numeo aueo. È evidente, sulla base della definizione di ettangolo aueo e di una nota popietà della sezione auea (quale?), che se un ettangolo aueo viene diviso in due pati, di cui una è il quadato costuito sul lato minoe, la pate imanente è ancoa un ettangolo aueo. Suddividendo alloa un ettangolo aueo in un quadato e in un ettangolo aueo e ipetendo la costuzione pe il nuovo ettangolo aueo e pe quelli che ne conseguono successivamente, si ottiene una figua inteessante (Fig. 1). L aspetto inteessante, in ealtà, non è esattamente la figua, ma il fatto che, se si tacciano oppotuni achi cicolai nei vai quadati che man mano si ottengono, ne scatuisce una paticolae cuva chiamata spiale logaitmica (Fig. 16). 18 FIG. 1 FIG. 16 FIG. 17 9 L inglese Theodoe Andea Cook (1867-198), citico d ate, attibuisce la patenità del simbolo ad un matematico ameicano di nome Mak Ba. 10 Nelle cate di cedito e nelle tessee sanitaie e telefoniche il appoto fa la dimensione maggioe e la minoe è cica 1,90. Molto possimo al numeo aueo.
Unità Applicazioni della similitudine Ebbene in natua esiste un mollusco cefalopode dei mai topicali, il Nautilo, oggi quasi estinto, la cui conchiglia icoda in sezione popio la spiale logaitmica (Fig. 17). Ricodano la spiale logaitmica anche cete scale a chiocciola, ossevate veticalmente dal basso o dall alto. 19