Manuela Zarattini. Matematica. &Realtà. Figure 3. Pearson Italia spa. Edizioni Scolastiche Bruno Mondadori

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1 Manuela Zaattini M MR Matematica &Realtà & Figue 3 Edizioni Scolastiche Buno Mondadoi

2 Manuela Zaattini MR Matematica & Realtà EN m-lfgx-llo Figue 3 Edizioni Scolastiche Buno Mondadoi

3 Pogetto editoiale istina Gatti e ala Bonola ha collaboato alla pogettazione e alla evisione dei mateiali Giovanni Betoldi oodinamento editoiale Elisa Smaniotto Pogetto gafico Studio mpa di inzia Rosica Supevisione gafica e copetina Silvia Razzini Redazione Edistudio, Milano Fotocomposizione, impaginazione, disegni tecnici, fotolito Essegi Gafica, Toino Riceca iconogafica Raffaella Zavatta Illustazioni inzia Ghigliano ontollo qualità Luca Fedeico Ha collaboato alla teoia dell unità Daniela ampiotti Hanno collaboato agli esecizi Maiastella Paulon (Unità e 3) Maina Muzzani (Unità e 4) Immagini di copetina istockphoto.com Refeenze iconogafiche chivio Peason Italia, J. henikova/istockphoto.com, G. Dall Oto, P. Géy, IP online, T. Mcaig/iStockphoto.com, G. Menozzi, Photos.com, Studio Fotogafico Immaginaio, F. Yu/iStockphoto.com Il coso popone, nelle ubiche Gae di matematica, quesiti tatti dalle vaie competizioni di Giochi matematici oganizzati dal ento PRISTEM dell Univesità Bocconi di Milano La casa editice ingazia Luisiana icadi e Maa eofolini, cui si devono alcuni dei mateiali pubblicati in questo coso. MR Matematica & Realtà Il nesso ta matematica e ealtà, divenuto impescindibile nell attuale didattica della matematica, è messo limpidamente a fuoco nel quado di ifeimento PIS (aconimo di Pogamma pe la valutazione intenazionale dell allievo ). In questo ambito, la competenza matematica (liteacy) viene definita come segue. La liteacy matematica è la capacità di un individuo di identificae e compendee il uolo che la matematica gioca nel mondo eale, di opeae valutazioni fondate e di utilizzae la matematica e confontasi con essa in modi che ispondono alle esigenze della vita di quell individuo in quanto cittadino impegnato, che iflette e che esecita un uolo costuttivo. onvinti che si tatti di una impostazione vincente in temini sia individuali sia sociali, abbiamo scelto di ispiaci al quado di ifeimento PIS pe questo nuovo pogetto. Tutti i diitti isevati 0, Peason Italia, Milano Toino Pe i passi antologici, pe le citazioni, pe le ipoduzioni gafiche, catogafiche e fotogafiche appatenenti alla popietà di tezi, inseiti in quest opea, l editoe è a disposizione degli aventi diitto non potuti epeie nonché pe eventuali non volute omissioni e / o eoi di attibuzione nei ifeimenti. È vietata la ipoduzione, anche paziale o ad uso inteno didattico, con qualsiasi mezzo, non autoizzata. Le fotocopie pe uso pesonale del lettoe possono essee effettuate nei limiti del 5% di ciascun volume dieto pagamento alla SIE del compenso pevisto dall at. 68, commi 4 e 5, della legge apile 94 n Le ipoduzioni effettuate pe finalità di caattee pofessionale, economico o commeciale o comunque pe uso diveso da quello pesonale possono essee effettuate a seguito di specifica autoizzazione ilasciata da: IDRO, coso di Pota Romana n. 08, 0 Milano, segeteia@aido.og e sito web Stampato pe conto della casa editice pesso Vincenzo Bona, Toino Ristampa nno Da esso abbiamo tatto due attenzioni fondamentali: la sistematicità con cui viene esecitato il pocesso di matematizzazione; la costuzione gaduale delle competenze. questo pofilo cultuale e didattico abbiamo aggiunto il più alto aggionamento in temini di didattica multimediale, integando il coso con. Online o nella sua deivazione offline (Digipalesta), questo laboatoio digitale appesenta uno stumento fomidabile pe l appendimento e l insegnamento della matematica. La solidità del pogetto didattico e la icchezza dell appaato esecitativo, illimitatamente dilatabile gazie a MyMathLab, fanno di questo coso uno stumento pezioso pe appendee la matematica in modo attuale e coinvolgente.

4 Il pocesso della matematizzazione MR Matematica e ealtà fa popie le linee suggeite nel quado di ifeimento PIS a patie dal suo punto focale: il nesso dinamico fa matematica e ealtà. Il pocesso utilizzato pe isolvee poblemi della vita eale è chiamato, in PIS, matematizzazione. Si tatta di un ciclo che pate dalla ealtà pe aivae alla matematica e successivamente tonae alla ealtà. ttaveso questo pocesso, le stuttue matematiche pesenti nelle situazioni eali Realtà 4 Situazione eale Poblema del mondo eale c c Matematica 3 Soluzione matematica possono essee identificate e scopete, pe poi venie utilizzate nella soluzione dei poblemi. Tale pocesso pemette inolte di veificae l accettabilità delle soluzioni tovate, in appoto alla situazione da cui si è patiti. Il nesso ta matematica e ealtà non è quindi a senso unico, come spesso siamo abituati a pensae. c Poblema matematico c MR MR Matematica e ealtà aiuta a pecoee tutte le tappe del ciclo: dalla Realtà alla Matematica dalla Matematica alla Realtà MR Le ubiche specifiche che aiutano a pecoee la pima pate del ciclo ( - ) sono: L apetua di unità, che guida a scopie la stuttua matematica implicita in una situazione eale. Gli esecizi intedisciplinai, che vedono la matematica a patie dal suo sviluppo stoico o dalle sue applicazioni. Gli esecizi di poblem solving, che sviluppano la elativa competenza a patie dal livello base ( Risolvi, Poblema guidato ) fino al gado più alto ( Poblem solving tatti in pate dal epetoio PIS). Le ubiche specifiche che aiutano a pecoee la seconda pate del ciclo ( 3-4 ) sono: I box di fine paagafo Dalla matematica alla ealtà, che ichiedono di collegae o applicae a situazioni eali i concetti appesi. Gli esecizi Stima il isultato e Stima la misua, ideati dando ilievo a una delle quatto idee-chiave contenute nel quado di ifeimento PIS: l idea di quantità. Insistono paticolamente sulla fase 4 del ciclo, che compota la veifica dell attendibilità dei isultati.

5 La costuzione delle competenze diffeenza di quanto accade in alti cosi di matematica, MR Matematica e ealtà pone le basi pe la costuzione delle competenze fin dal livello della pima conoscenza e applicazione dei concetti teoici. Tutta la pate infeioe di ogni pagina di teoia è infatti occupata da esecizi che guidano all acquisizione delle competenze a livello di base. Le competenze vengono poi ipese e sviluppate a un livello più alto nel bacino esecitativo che occupa la seconda pate di ogni unità. In questa tabella, le competenze del quado di ifeimento PIS vengono messe in elazione con le ubiche didattiche contenute nel coso. ompetenze (dal famewok PIS) Pensieo e agionamento ome si chiamano Fissa i concetti Rifletti Rubiche in MR Matematica e Realtà che cosa sevono Facilitano la compensione e l appofondimento dei concetti matematici. gomentazione Impaa a dimostae Richiede di completae semplici dimostazioni geometiche, in vista del biennio supeioe. omunicazione Usa il linguaggio matematico Insegna gadualmente a utilizzae tutti gli stumenti pe comunicae in matematica. Modellizzazione Dalla ealtà alla matematica Dalla matematica alla ealtà Fai un modello Stima la misua Stima il isultato iutano a: tadue la ealtà in stuttue matematiche; intepetae i modelli matematici in temini di ealtà ; lavoae con modelli matematici, valutali e validali. Fomulazione e isoluzione di poblemi Risolvi Poblema guidato Poblem solving Insegnano a isolvee poblemi, dai più semplici ai più complessi. Richiede di isolvee poblemi agomentando e motivando le popie scelte. Rappesentazione Rappesenta ostuisci Richiedono di utilizzae e confontae divese fome di appesentazione gafica. Uso del linguaggio simbolico, fomale e tecnico e delle opeazioni Uso di sussidi e stumenti Fomalizza Usa il linguaggio matematico alcola alcola apidamente Matematica con Excel Matematica con GeoGeba MyMathLab / Digipalesta Insegnano a: decodificae e intepetae il linguaggio simbolico e fomale; lavoae con enunciati ed espessioni che contengono simboli e fomule; usae vaiabili, isolvee equazioni ed effettuae calcoli. Guidano all utilizzo di sussidi e stumenti infomatici volti a facilitae l attività matematica.

6 Il laboatoio digitale MyMathLab si pesenta come un pogamma online con due canali: lato docente e lato studente. he cosa offe al docente Un bacino illimitato di esecizi inteattivi da assegnae in modo patico e flessibile Il docente può scegliee gli esecizi a patie da un indice confome al libo di testo MR Matematica e Realtà, oganizzali secondo il pecoso che itiene più oppotuno, integali con esecizi di popia invenzione, assegnali all intea classe, a guppi o a singoli studenti, divesificando i pecosi di appendimento. Il numeo degli esecizi a disposizione è vitualmente illimitato, peché i valoi numeici di ogni esecizio vengono automaticamente innovati a ogni utilizzo. Un monitoaggio continuo dell attività dei singoli studenti La piattafoma egista l attività di ogni studente passo dopo passo, tasmettendo al docente le infomazioni elative non solo al numeo di esecizi svolti coettamente, ma anche al tempo impiegato pe ognuno di essi e al tipo di aiuti ichiesti. he cosa offe allo studente Un aiuto, passo dopo passo, nella isoluzione degli esecizi Svolgendo gli esecizi assegnati dal popio docente, lo studente iceve feedback specifici: quando negativi, sono infatti elativi al tipo di eoe commesso. Inolte, se non sa svolgee un esecizio, lo studente può: visualizzae un esempio simile; completae la isoluzione guidata dell esecizio di patenza, icevendo feedback passo dopo passo; al temine, itoveà l esecizio di patenza con i paameti numeici mutati. ome si accede a MyMathLab? dottando MR Matematica e Realtà nella vesione con MyMathLab llegato ai volumi in vendita, pe ogni anno di coso, ogni studente toveà un codice pe entae nella piattafoma. Il docente che avà adottato il coso nella vesione con MyMathLab iceveà dal popio consulente pesonale il codice di accesso al canale docente. Digipalesta Gli esecizi di MyMathLab su DVD-Rom La Digipalesta è un laboatoio digitale contenente tutti gli esecizi MyMathLab suddivisi in te DVD-Rom, uno pe ogni anno di coso. Nella Digipalesta sono pesenti tutte le funzionalità MyMathLab attivabili offline: gli esecizi sono inteattivi, si innovano a ogni utilizzo e sono dotati di isoluzioni guidate e di esecizi svolti.

7 INDIE L IRONFERENZ, IL ERHIO E LE LORO MISURE 08 Esecizi Misua di una ciconfeenza e delle sue pati 0 09 Misua di un cechio e delle sue pati 3 08 RIEPILOGO 044 RIPSSO OPERTIVO 048 TEST DI UTOVERIFI 049 REUPERO GUIDTO 05 ZON POTENZIMENTO 054 MTEMTI ON GEOGEBR 056 Sintesi visiva Esecizi aggiuntivi e di collegamento Esecitazioni con GeoGeba L GEOMETRI DELLO SPZIO 58 Esecizi Punti, ette e piani nello spazio I solidi I solidi e la misua delle gandezze Solidi equivalenti 80 0 RIEPILOGO 06 RIPSSO OPERTIVO 0 TEST DI UTOVERIFI REUPERO GUIDTO 3 ZON POTENZIMENTO 6 Sintesi visiva Esecizi aggiuntivi e di collegamento Esecitazioni con GeoGeba

8 3 I POLIEDRI E LE LORO MISURE 8 Esecizi Paallelepipedo 0 4 ubo Pisma Piamide Tonco di piamide Poliedi egolai 39 9 RIEPILOGO 95 RIPSSO OPERTIVO 99 TEST DI UTOVERIFI 00 REUPERO GUIDTO 0 ZON POTENZIMENTO 06 MTEMTI ON GEOGEBR 07 Sintesi visiva Esecizi aggiuntivi e di collegamento Esecitazioni con GeoGeba 4 I SOLIDI DI ROTZIONE E LE LORO MISURE 08 Esecizi ilindo 0 8 ono Tonco di cono Sfea 57 5 lti solidi di otazione 5 65 RIEPILOGO 73 RIPSSO OPERTIVO 77 TEST DI UTOVERIFI 78 REUPERO GUIDTO 80 ZON POTENZIMENTO 85 MTEMTI ON GEOGEBR 86 SOLUZIONI 87 TBELLE DEI PESI SPEIFII E DELLE OSTNTI DEI POLIEDRI 88 Sintesi visiva Esecizi aggiuntivi e di collegamento Esecitazioni con GeoGeba Glossaio matematico Tavole numeiche

9 Unità La ciconfeenza, il cechio e le loo misue Dalla ealtà... Una gionata al luna pak con gli amici è un espeienza popio divetente! Sopattutto poi quando si vince la paua e si decide di fae un gio sulla uota panoamica... Pova a ossevae la foma di una moneta pe pagae il biglietto e quella della gande uota: è la stessa, pefettamente cicolae, anche se le dimensioni sono sicuamente divese.

10 ... alla matematica MR In geometia le fome pefettamente cicolai hanno tutte una caatteistica comune che non dipende dalle loo dimensioni. ompleta la seguente tabella. Moneta da euo Il numeo che hai tovato è solo un appossimazione, che può essee sempe più accuata a seconda della pecisione con cui si è fatta la misua; questo numeo è: 3, Ruota panoamica Misua della ciconfeenza 80,855 millimeti 57 meti Misua del diameto 5,75 millimeti 50 meti Valoe appossimato del appoto ta la misua della ciconfeenza e quella del diameto I matematici hanno stabilito che si tatta di un numeo con infinite cife decimali non peiodiche e lo hanno indicato con il simbolo π, cioè pi geco. Il pi geco è uno dei numei più famosi della matematica e, intuitivamente, espime il fatto che ogni ciconfeenza è lunga poco più di te volte la lunghezza del popio diameto. Nelle pagine che seguono impaeai le impotanti applicazioni di questo numeo. Studiando questa unità: ti saà utile sapee... che cosa sono i numei iazionali come numei decimali infiniti non peiodici quali sono le popietà della ciconfeenza, del cechio e delle loo pati le caatteistiche dei poligoni egolai e le loo costanti utilizzae le popozioni e le gandezze diettamente popozionali impaeai... il significato geometico del numeo pi geco a calcolae la lunghezza della ciconfeenza e di un aco di ciconfeenza a calcolae l aea del cechio, di un settoe, di un segmento cicolae e di una coona cicolae on il tuo tuto digitale potai: calcolae la lunghezza di una ciconfeenza calcolae l aea di un cechio calcolae l aea di settoi e segmenti cicolai isolvee poblemi sulle misue di ciconfeenze e achi di ciconfeenza isolvee poblemi sulle misue di cechi, settoi e segmenti cicolai 9

11 Unità La ciconfeenza, il cechio e le loo misue Misua di una ciconfeenza e delle sue pati Lunghezza di una ciconfeenza Il ighello è lo stumento adatto pe misuae un tatto ettilineo, ma non lo è più se il tatto è cuvo. ome possiamo alloa misuae, ad esempio, la ciconfeenza di una lattina? Un metodo dietto, patico, è questo: si pende un filo, lo si avvolge pe un gio completo attono alla lattina; quindi si taglia il tatto utilizzato che, disteso, coisponde al contono della lattina e si chiama ciconfeenza ettificata. Da questo pocedimento vogliamo oa dedue un metodo indietto di misuazione, basato su fomule oppotune con le quali opeae più apidamente. Misuiamo quindi anche il diameto della lattina e calcoliamo il valoe del appoto ta la misua della lunghezza della ciconfeenza e quella del diameto. nche cambiando oggetto toveemo sempe lo stesso isultato, peché il valoe di tale appoto è costante ed è, se appossimato al centesimo, 3,4. Se la misua è più accuata, possiamo tovae che il isultato ha alte cife decimali in più (3,459...); ma, in geneale, diciamo che: d 5 cm Il appoto ta la lunghezza di una ciconfeenza e la lunghezza di un suo diameto è costante. Il numeo costante che espime questo appoto si indica con la lettea π (pi geco) ed è un numeo decimale illimitato non peiodico quindi è un numeo iazionale assoluto. Si usa toncalo al centesimo e poe π 3,4. Indicando con la misua di una ciconfeenza e con d la misua del suo diameto sciviamo che: π da cui: π d d oppue, icodando che d è il doppio della misua del aggio: π π 5,7 cm OMPETENZE 3 ompleta scegliendo ta le paole: punto, segmento, poligono, aea, lunghezza. Una ciconfeenza ettificata è un... con la stessa... della ciconfeenza. π è un numeo: decimale illimitato peiodico decimale limitato non peiodico decimale illimitato non peiodico Scivi un appossimazione di π toncato al: decimo:... centesimo:... millesimo: Fomalizza- Quali ta i seguenti appoti espimono il numeo π? d d Stabilisci se le seguenti scittue sono vee o false. V F d d d d d d d d 0

12 Misua di una ciconfeenza e delle sue pati Esecizi a pagg. 9-8 < Quindi: La misua della lunghezza di una ciconfeenza si ottiene moltiplicando la misua del diameto pe π, oppue la misua del aggio pe π. Le fomule diette sono: π d o anche π TEORI Le fomule invese sono: d π oppue π d Esempi. Qual è la lunghezza di una ciconfeenza che ha il aggio lungo 5 cm? Sappiamo che 5 cm e quindi la misua della ciconfeenza è: lasciando indicato π: π ( π 5) cm 0π cm ponendo π 3,4: π ( 3,4 5) cm 3,4 cm. Qual è la lunghezza del aggio di una ciconfeenza lunga 4π cm? Sappiamo che 4π cm e quindi la misua del aggio è: 4 π lasciando indicato π: cm cm π π 4 3,4 ponendo π 3,4: cm cm π 3,4 -Fissa i concetti- -Rappesenta- 6 ompleta con i temini oppotuni. La misua della ciconfeenza è uguale al podotto della misua del... e π oppue è uguale al podotto della misua del... e il doppio di π. 0 Disegna una ciconfeenza lunga 6,8 cm. Rifletti: pima calcola la misua del suo aggio con la fomula oppotuna e poi taccia la ciconfeenza alcola- Se 0 cm alloa d... e... Se = 0π cm alloa d... e... alcola la misua della ciconfeenza (in millimeti) pendendo con un ighello le misue necessaie. Rifletti: misua il aggio o il diameto dopo aveli tacciati e poi applica la fomula oppotuna. -Stima la misua- Osseva la piantina che affigua un isola e in cui il lato di un quadetto coisponde a 0 km. ppossimando la sua foma alla ciconfeenza tacciata, qual è una stima della misua del suo contono?... ESERIZI

13 Unità La ciconfeenza, il cechio e le loo misue Lunghezza di un aco di ciconfeenza Osseviamo la figua a fianco: addoppiando, tiplicando,... la lunghezza dell aco anche l ampiezza dell angolo al cento che insiste su di esso addoppia, tiplica,... Possiamo affemae che le due gandezze sono diettamente popozionali. Quindi se, in geneale, indichiamo con l la misua di un aco e con α la misua in gadi del coispondente angolo al cento, possiamo impostae la tabella seguente: Misua dell aco l Misua dell angolo α 360 α l Sciviamo alloa la popozione: l a 360 da cui icaviamo la misua della lunghezza di un aco di ciconfeenza conoscendo la misua α dell angolo coispondente e la misua della ciconfeenza: l a 360 Dalla popozione icaviamo anche: l 360 a l 360 a Osseviamo che l ampiezza dell angolo al cento che insiste su un aco viene anche chiamata semplicemente ampiezza dell aco. Esempio Qual è la lunghezza di un aco di ciconfeenza che ha il aggio lungo cm e il cui angolo al cento misua 60? Sappiamo che cm e α 60 ; quindi, icodando che π, la misua l dell aco è: α π α π 60 l cm 4π cm (4 3,4) cm,56 cm OMPETENZE 3 Qual è l ampiezza di un quato di ciconfeenza? Fomalizza- -alcola- Qual è la lunghezza di un aco di ciconfeenza che ha aggio lungo 6 cm e il cui angolo al cento misua 48? π α Dalla matematica... ompleta la fomula pe il calcolo della misua della ciconfeenza conoscendo la misua d del suo diameto: Utilizzala pe isolvee questa situazione.... alla ealtà Il diameto della uota della bici di Davide è lungo 65 cm. Dopo mille gii iesce a pecoee più o meno di km? MR

14 Misua di un cechio e delle sue pati Esecizi a pagg < Misua di un cechio e delle sue pati ea di un cechio Osseviamo la figua: i poligoni egolai, inscitti in ciconfeenze conguenti, hanno un numeo di lati sempe maggioe e tendono a iempie il cechio. TEORI a a a a a a 3 lati 4 lati 5 lati 6 lati ll aumentae del numeo dei lati del poligono egolae inscitto: il peimeto p del poligono si appossima sempe di più alla misua della ciconfeenza; la misua a dell apotema del poligono si appossima sempe di più alla misua del aggio della ciconfeenza; l aea del poligono si appossima sempe di più all aea del cechio. Possiamo alloa calcolae l aea di un cechio come pe un poligono egolae sostituendo al peimeto p del poligono la misua della ciconfeenza e alla misua a dell apotema del poligono la misua del aggio. p a ea di un poligono egolae: π ea di un cechio: π 5 lati -Stima la misua- Osseva la figua: è la misua del lato del quadato cicoscitto alla ciconfeenza e della diagonale del quadato inscitto. ea del quadato cicoscitto: (...)... ea del quadato inscitto: (...)... Quindi:... ea cechio... La stima pe difetto dell aea del cechio è... La stima pe eccesso dell aea del cechio è... 3 Osseva la piantina che affigua un isola e in cui il lato di un quadetto coisponde a 0 km. ppossimando la sua foma al cechio tacciato, qual è una stima della sua aea? -Fomalizza- Quali ta i seguenti appoti espime il numeo π? ESERIZI 3

15 Unità La ciconfeenza, il cechio e le loo misue Quindi: L aea di un cechio si ottiene moltiplicando il quadato della misua del aggio pe π. La fomula dietta è: π La fomula invesa è: B π Esempio ( ) π Qual è l aea di un cechio che ha il aggio lungo 0 cm? Sappiamo che 0 cm e quindi l aea del cechio è: lasciando indicato π: π (π 0 ) cm (00 π) cm 00π cm ponendo π 3,4: π (3,4 0 ) cm 34 cm π ea di un settoe cicolae Note l aea di un cechio e la misua dell angolo al cento Osseviamo la figua: addoppiando, tiplicando,... l ampiezza dell angolo al cento, alloa addoppia, tiplica,... anche l estensione della supeficie del settoe cicolae coispondente. Possiamo affemae che le due gandezze sono diettamente popozionali e quindi se, in geneale, indichiamo con S l aea di un settoe e con α la misua in gadi del coispondente angolo al cento, possiamo impostae la seguente tabella: ea Misua dell angolo S α 360 α S OMPETENZE -Fissa i concetti- -Risolvi È possibile calcolae l aea di un cechio conoscendo: solo la misua della distanza del cento dalla ciconfeenza? Sì No solo la misua della distanza del cento da una coda? Sì No solo la misua del suo diameto? Sì No -alcola- Se 0 cm alloa... Se 6π cm alloa Il baccio di una gu è lungo 8 m. Qual è l aea della supeficie massima su cui può lavoae la gu facendo un gio completo?... -Rappesenta- Disegna un cechio di aea 3,4 cm. Rifletti: pima calcola la misua del suo aggio con la fomula oppotuna e poi taccia il cechio. 4

16 Misua di un cechio e delle sue pati Esecizi a pagg < Sciviamo alloa la popozione: S α 360 da cui icaviamo l aea di un settoe cicolae conoscendo l aea di un cechio e la misua α del coispondente angolo al cento: S α 360 Dalla popozione icaviamo anche: S 360 α S 360 α Osseviamo che l ampiezza dell angolo al cento che delimita un settoe cicolae viene anche chiamata semplicemente ampiezza del settoe cicolae. TEORI Esempio Qual è l aea di un settoe cicolae il cui angolo al cento è ampio 7 e che è pate di un cechio che ha aea 60π cm? Sappiamo che α 7 e che 60π cm, quindi l aea S del settoe è: α 60π 7 S cm π cm ( 3,4) cm 37,68 cm Note le misue del aggio e dell aco Dalle due popozioni S α 360 e l α 360, deduciamo facilmente la popozione S = l. E quindi: l l π l S π In geneale: S l L aea di un settoe cicolae si ottiene moltiplicando la misua della lunghezza dell aco pe quella del aggio e dividendo il podotto pe due. 9 0 L aea di un settoe cicolae non è diettamente popozionale: all aea del cechio a 360 alla sua ampiezza α Qual è l aea di un semicechio? π π π 4 Qual è l ampiezza di un quato di un semicechio? Fissa i concetti- -Fomalizza- -alcola- Qual è l aea di un settoe cicolae il cui angolo al cento è ampio 36 e che è pate di un cechio di aea 50π cm? ompleta inseendo i dati e i calcoli oppotuni.... α... S... ESERIZI 5

17 Unità La ciconfeenza, il cechio e le loo misue La fomula dietta è: S l Le fomule invese sono: S l l S Esempio Qual è l aea di un settoe cicolae il cui aco è lungo,5 cm e che ha aggio lungo 5 cm? Sappiamo che l,5 cm e che 5 cm, quindi l aea S del settoe è: l,5 5 S cm 35 cm ea di un segmento cicolae i limiteemo al calcolo dell aea dei segmenti cicolai a una base. Pe falo, occoe consideae due casi. caso: il cento O del cechio è esteno al segmento cicolae. L aea sg si ottiene sottaendo all aea S del settoe cicolae con aco B l aea T del tiangolo isoscele OB: O T sg S B sg S T caso: il cento O del cechio è inteno al segmento cicolae. L aea sg si ottiene addizionando all aea S del settoe cicolae con aco B l aea T del tiangolo isoscele OB: sg S T T B O S sg OMPETENZE -Fissa i concetti- Osseva e completa, lasciando indicato π. 3 4 ome si calcola l aea di un settoe cicolae conoscendo solo la misua della lunghezza del suo aco e di quella del aggio?... -alcola- Qual è l aea di un settoe cicolae il cui aco è lungo 5π cm e che è pate di un cechio di aggio lungo 0 cm? S T 00π cm S 300π cm sg... T 00π cm S 800π cm sg... T T S S 6

18 Misua di un cechio e delle sue pati Esecizi a pagg < Esempio Qual è l aea del segmento cicolae disegnato a fianco sapendo che O B misua 60 e il aggio del cechio è lungo 8 cm? Sappiamo che 8 cm, α 60 e O è esteno al segmento. O alcoliamo l aea S del settoe cicolae: 60 α π 8 60 S cm 54π cm (54 3,4) cm 69,56 cm alcoliamo l aea T del tiangolo OB, in questo caso equilateo, utilizzando la costante N dei poligoni egolai con te lati e cioè 0,433: T B 0,433 (8 0,433) cm 40,9 cm (toncato al centesimo) Quindi l aea sg del segmento cicolae è: sg S T (69,56 40,9) cm 9,7 cm B TEORI ea di una coona cicolae L aea co di una coona cicolae si ottiene sottaendo all aea del cechio con aggio maggioe, di misua, l aea del cechio con aggio minoe, di misua : co π π π ( ) co π( ) co Esempio Qual è l aea della coona cicolae disegnata a fianco sapendo che i aggi delle due ciconfeenze sono lunghi cm e 8 cm? Sappiamo che cm e 8 cm, quindi l aea co della coona cicolae è: co π ( ) π( 8 ) cm π(44 64) cm 80π cm O 7 -alcola- onsidea il cechio e il cechio che hanno lo stesso cento. ompleta calcolando le misue oppotune, lasciando indicato π. 8 cm cechio... cechio co... Dalla matematica... ompleta con i numei oppotuni la fomula pe il calcolo dell aea di un cechio, conoscendo la misua d del suo diameto. Dato che d, alloa: π (d...)... Utilizza la fomula pe isolvee la seguente situazione.... alla ealtà Questo ondò (o otonda) pe la cicolazione del taffico ha un diameto lungo 36 m. La sua supeficie supea i mille meti quadati? MR ESERIZI 7

19 Unità 0 La ciconfeenza, il cechio e le loo misue MPP Pi geco Misua della ciconfeenza d ea del cechio p d p 3, p Misua della ciconfeenza: lte misue p ea del cechio: α S l l a 360 S a 360 l S ea del settoe cicolae: S Misua della lunghezza dell aco: l ea del settoe cicolae l S l 8

20 Misua di una ciconfeenza e delle sue pati Teoia a pagg. 0- ESERIZI Misua di una ciconfeenza e delle sue pati Pe fae alti esecizi puoi utilizzae il tuo tuto digitale ESERIZI onoscenze -Usa il linguaggio matematico- Significato di paole e simboli ompleta ciascuna fase collegando la pate nella colonna di sinista a quella nella colonna di desta. Il numeo pi geco è uguale al podotto della misua del diameto e π La misua della lunghezza di una ciconfeenza è uguale... La misua del aggio di una ciconfeenza è uguale al quoziente ta la misua della ciconfeenza e il doppio di π... al appoto ta la misua della ciconfeenza e la misua del diameto 3 Dalle paole ai simboli Taduci in scittue matematiche le seguenti fasi ifeite a una ciconfeenza. Il appoto ta la misua della ciconfeenza e la misua del aggio è uguale al doppio di pi geco:... Il appoto ta la misua l di un aco e la misua della ciconfeenza è uguale al appoto ta l ampiezza α dell aco e 360 :... Dai simboli alle paole Taduci in fase la seguente scittua matematica ifeita a una ciconfeenza. d :... π 4 Rappesentazioni e simboli Rappesenta una ciconfeenza la cui misua è indicata nel dato.,56 cm ompleta il dato elativo alla ciconfeenza appesentata (pendi con il ighello la misua necessaia ed esegui il calcolo oppotuno).... 9

21 Unità La ciconfeenza, il cechio e le loo misue 5 6 Indica quali delle seguenti affemazioni sono vee e quali false. Pi geco è la lunghezza della ciconfeenza. Pi geco è un numeo iazionale. Pi geco si misua in centimeti. 3,4 è un appossimazione del valoe di pi geco. Pi geco è il appoto ta la lunghezza di una qualsiasi ciconfeenza e quella del suo diameto. TROV L ERRORE Dopo la lezione di geometia, Ei, Susi e Lalla si scambiano le loo opinioni. Ei sostiene che la lunghezza di una ciconfeenza è all incica il tiplo di quella del suo aggio; Susi affema che la lunghezza del diameto è all incica la metà di quella della ciconfeenza; Lalla infine pensa che la lunghezza della ciconfeenza sia all incica il tiplo di quella del diameto. Uno solo dei te agazzi ha agione. hi? Motiva la tua isposta. V F 7 QULE DELLE DUE? Paolo ha misuato due volte con il meto a nasto la ciconfeenza di un disco con un diameto di 5 cm. Ha tovato queste misue: a. 47 cm b. 49 cm In quale delle due misuazioni ha commesso l eoe minoe? 8 QULE DELLE DUE? Una ciconfeenza ha il aggio di 0 cm. Una seconda ciconfeenza ha il aggio di 5 cm. La seconda ciconfeenza ha una lunghezza pai a: 3 a. volte la pima b. della pima 9 0 RIPSS Peché si può affemae che la lunghezza di un aco e l ampiezza dell angolo al cento che insiste su di esso sono due gandezze diettamente popozionali? Rispondi sul quadeno facendo anche un disegno. RIPSS Data una ciconfeenza, se l aco B è della ciconfenza, alloa l angolo al cento che insiste su B 4 è ampio.... PENSI SU! Queste sono alcune cife del numeo pi geco: 3, Qualcuno, pe necessità o solo pe divetimento, si è messo in testa di impaae a memoia molte (alcuni anche mille!) cife di pi geco. osì sono state inventate tecniche pe memoizzane le cife. ve o Roma o Made gagliada di latine vitù Quale legame c è ta questa fase e pi geco? Pova a contae le lettee di ogni paola pplicazione Lunghezza di una ciconfeenza ompleta le seguenti tabelle ifeite a una ciconfeenza di misua e aggio di misua. Esegui i calcoli lasciando indicato π. 3 Esegui i calcoli ponendo π 3,4. d 30 cm cm 48 cm 0π cm d cm 7,5 cm cm 40 cm 0

22 Misua di una ciconfeenza e delle sue pati Teoia a pagg. 0- -alcola apidamente- Svolgendo gli esecizi di questa unità spesso dovai opeae con misue in cui il numeo p è espesso come lettea. In questi casi si usa lascialo indicato pe endee più semplici e apidi i calcoli. onsidea pe esempio le seguenti misue, espesse in centimeti, ifeite alle lunghezze di due ciconfeenze: 4π 5π Puoi ossevae che i numei 4 e 5 appesentano le misue dei ispettivi diameti. Pe calcolae le seguenti misue: + devi applicae le oppotune popietà delle opeazioni nel modo seguente: : moltiplichi pe la misua del diameto in : 4π (4 )π 48π; : dividi pe la misua del diameto in : 4π (4 )π π; : addizioni le misue dei diameti in e : 4π 5π (4 5)π 39π. ESERIZI Esegui le seguenti opeazioni ta le misue, in centimeti, ifeite alle lunghezze di ciconfeenze. 4 8π 5π π 0π π 3π Lunghezza di un aco di ciconfeenza Esegui, come nell esempio, le seguenti opeazioni ta le misue (in centimeti) ifeite alle lunghezze di achi di ciconfeenza. 9 8p 8p l 8p l 8p l 9p l 9p l p 9 9 l 9p 7 l 4π l π l... l l 5π l 50π l... l ompleta le seguenti tabelle lasciando indicato p nei calcoli. l l l l 9 0 a l 8 π cm 4π cm π cm 7π cm 40 a l 70π cm 4π cm 3π cm 45 8,34π cm α l

23 Unità La ciconfeenza, il cechio e le loo misue matematica e stoia Le appossimazioni di p Fin dai tempi più emoti l espeienza patica acquisita effettuando misuazioni di oggetti otondi aveva potato l uomo a capie che esisteva un legame ta la lunghezza del diameto di una ciconfeenza e quella della ciconfeenza stessa. La misua di una ciconfeenza avveniva ettificandola: si avvolgeva un filo attono all oggetto e poi si misuava il filo teso. E fu così che si scopì che, pe qualsiasi oggetto pefettamente tondo, la ciconfeenza è te volte e un pezzettino il suo diameto chimede in un dipinto. 3,4... E quel te volte e un pezzettino ea popio il numeo π che, nei secoli, fu appossimato in tanti modi; pe esempio così: nel XX secolo a.. i Babilonesi utilizzavano 3 e gli Egizi 3 pe appossimae π: sono stime pe difetto o pe eccesso? nel V secolo d.. i inesi utilizzavano 3 : è una stima pe difetto o pe eccesso? nel III secolo a.. chimede scopì che π è compeso ta 3 e 3 : veificalo ompleta oa questa pocedua pe appossimae il valoe di π, che consiste nell inscivee e cicoscivee a una ciconfeenza di aggio (ispetto a una unità u) due poligoni egolai con lo stesso numeo di lati e calcolae il loo peimeto. onsidea pe esempio questi due esagoni egolai. l peimeto esagono inscitto l 6... misua ciconfeenza π... l 0,866,5 (aotondato al centesimo) N peimeto esagono cicoscitto l 6... l Quindi:... π... Dividendo pe :... π l... La stima pe difetto di π è... e la stima pe eccesso è... Poblemi Risolvi i seguenti poblemi sulla lunghezza della ciconfeenza utilizzando la fomula dietta: data la misua del aggio, tova quella della ciconfeenza. Poblema guidato Il aggio di una ciconfeenza è lungo 3 cm. alcola la lunghezza della ciconfeenza. [8,64 cm] L idea Se moltiplichi la misua del diameto pe π ottieni la misua della ciconfeenza. La isoluzione Qual è la misua d del diameto? (......) cm... cm o anche, se π 3,4, (......) cm... cm La figua O?

24 Misua di una ciconfeenza e delle sue pati Teoia a pagg. 0-3 Il aggio di una ciconfeenza è lungo 5 cm, calcola la lunghezza della ciconfeenza. [30p cm o 94, cm] 4 alcola la diffeenza di lunghezza ta due ciconfeenze di aggio 5 cm e 3 cm. Poblema 5 guidato [4p cm] Quanti meti di stada ha pecoso una uota che ha il aggio di 5 cm, dopo ave compiuto 5 gii? [3,55 m] ESERIZI L idea La lunghezza della stada pecosa dalla uota in un gio è data dalla lunghezza della ciconfeenza della uota. La isoluzione Qual è la misua della ciconfeenza della uota? (... 3,4) cm... Qual è la lunghezza, in meti, della stada pecosa dalla uota in un gio?... cm... m La lunghezza, in meti, della stada pecosa dalla uota in 5 gii è: Quanti meti di stada ha pecoso una uota che ha il aggio di 0 cm, dopo ave compiuto 30 gii? [37,68 m] 3 Una uota ha il diameto lungo 5 dm. alcola quanti gii ha compiuto dopo ave pecoso 570 m. [00 gii] alcola la lunghezza della ciconfeenza il cui aggio è lungo 7 cm. [44p cm o 45,6 cm] Il diameto di una ciconfeenza misua 35 dm. alcola la lunghezza della ciconfeenza. [09,9 dm] alcola la lunghezza della ciconfeenza il cui diameto misua 48,5 dm. [5,505 dm] Quanti gii ha compiuto una uota che ha il aggio lungo 50 cm dopo un pecoso di 94 m? [300 gii] 3 33 In un oologio la lancetta dei minuti è lunga 8 cm e quella delle oe 6,4 cm. alcola la misua della diffeenza dei tagitti pecosi dalle punte delle lancette in 5 gii. [50,4 cm] Si vuole ecintae con ete metallica un aiuola cicolae che ha il aggio di 4 m. alcola la spesa, sapendo che la ete costa,50 al meto. [376,80 ] 34 Poblema guidato Sapendo che la distanza fa i centi di due ciconfeenze tangenti estenamente è di 33 cm e che 5 il aggio di una è conguente a del aggio dell alta, calcola la lunghezza delle due ciconfeenze. 6 [30p cm; 36p cm] La lettua del testo Sai che: La misua della distanza ta i due centi è: OO 33 cm 5 5 Il aggio OT di una ciconfeenza è del aggio O T dell alta: OT L idea La figua La misua di OO isulta divisa in 5 6 pati uguali. La isoluzione OT TO O Le misue delle due ciconfeenze sono quindi: T O 3

25 Unità La ciconfeenza, il cechio e le loo misue 35 3 I aggi di due ciconfeenze tangenti intenamente sono l uno dell alto e la distanza ta i centi è lunga 7 cm. alcola la lunghezza delle due ciconfeenze. 4 [56p cm ; 4p cm] Una coda di una ciconfeenza misua cm e la sua distanza dal cento è di,5 cm. alcola la lunghezza della ciconfeenza. (Ricoda: il aggio pependicolae alla coda la divide in due pati conguenti; puoi quindi applicae il teoema di Pitagoa.) [3p cm] Una coda di una ciconfeenza misua 8 cm e la sua distanza dal cento è della coda stessa. alcola la lunghezza della ciconfeenza. 3 [30p cm] 38 La somma di una coda di una ciconfeenza e della sua distanza dal cento misua 44 cm e la distanza 3 è conguente a della coda. alcola la lunghezza della ciconfeenza. [40p cm] 8 Risolvi i seguenti poblemi sulla ciconfeenza utilizzando le fomule invese. 39 Poblema guidato alcola la lunghezza del aggio di una ciconfeenza lunga 37,68 cm. [6 cm] L idea Se dividi la misua della ciconfeenza pe il numeo π 3,4 ottieni la misua del diameto. La isoluzione Qual è la misua d del diameto della ciconfeenza? d cm cm... La figua O? 40 alcola la lunghezza del aggio di una ciconfeenza lunga 43,96 cm. [7 cm] 4 Due ciconfeenze tangenti estenamente hanno lunghezze ispettivamente di 4π cm e 4π cm. alcola la distanza ta i loo centi. [9 cm] 4 Poblema guidato La uota di una bicicletta compie 500 gii pe pecoee 570 m di stada. Quanto è lungo il aggio della bicicletta? [50 cm] L idea Se dividi la lunghezza totale del pecoso pe il numeo di gii ottieni la lunghezza pecosa in un gio, cioè quella della ciconfeenza della uota. La isoluzione Qual è la misua della ciconfeenza della uota? m... m... cm Qual è la misua d del diameto della uota? d... : 3,4 cm... La misua della lunghezza del aggio della uota è: cm... La figua? 4

26 Misua di una ciconfeenza e delle sue pati Teoia a pagg La uota di una moto compie 350 gii mente la moto pecoe 857, m. Qual è il aggio della uota? [39 cm] Una moto pecoe 954,56 m. Sapendo che la sua uota anteioe ha compiuto 400 gii, detemina la lunghezza del suo diameto. [76 cm] alcola la lunghezza del aggio di una ciconfeenza lunga 75π cm. [37,5 cm] alcola la lunghezza del aggio di una ciconfeenza che misua 00,96 dm. [3 dm] alcola la misua del aggio di una ciconfeenza di 703,36 dm. [ dm] alcola la lunghezza del diameto di una ciconfeenza di 8,896 dm. [6,4 dm] alcola la lunghezza del diameto di una ciconfeenza che misua 75,84 cm. [56 cm] La somma delle lunghezze di due ciconfeenze è 30,44 dm e una è tipla dell alta. alcola la lunghezza dei ispettivi aggi. [ dm; 36 dm] La diffeenza delle lunghezze di due ciconfeenze 3 è 75,84 dm e una è dell alta. alcola la misua 7 dei due aggi. [49 dm; dm] La lunghezza di una ciconfeenza è 4,6π dm. alcola la lunghezza della distanza dal cento di una coda che misua 5,4 dm. [ dm] alcola la lunghezza di una coda che dista 6,3 dm dal cento di una ciconfeenza che misua 57,4π dm. [56 dm] Il segmento di tangenza condotto da un punto esteno P a una ciconfeenza misua 7 cm. Se la ciconfeenza misua 08π cm, quanto dista il punto P dal cento della ciconfeenza? [90 cm] Da un catoncino ettangolae avente le dimensioni di, m e 0,80 m si devono icavae dei dischetti otondi aventi il aggio di 0 cm. Quanti dischetti si icavano al massimo? [6] ESERIZI Risolvi i seguenti poblemi calcolando la lunghezza del contono evidenziato di ogni figua e utilizzando i dati ipotati. Poblema 56 guidato B B D D 8 cm Svolgimento Innanzi tutto devi calcolae la lunghezza dei te achi conguenti: B B D Lasciando indicato il numeo π : B (8π ) cm... Osseva. La figua ha un contono mistilineo, cioè composto sia da achi di ciconfeenza sia da segmenti. Quindi pe calcolae la misua del suo contono non puoi lasciae π espesso come lettea ma devi poe π 3,4. La lunghezza del contono è: (8 4π 4π 4π) cm... La figua D O O B 57 O B D B B D D 6 cm O B 58 O O O 5 cm OO 38 cm 5

27 Unità La ciconfeenza, il cechio e le loo misue O B O O O B B cm O 4 cm BO O OO OB D O B O 6 B O D O 8 cm O O O 5 cm BO B 3 Risolvi i seguenti poblemi sulle ciconfeenze inscitte e cicoscitte a tiangoli e quadilatei. 63 Poblema svolto Detemina la lunghezza della ciconfeenza cicoscitta al tiangolo ettangolo avente i cateti lunghi 54 cm e 7 cm. D Dati D 54 cm DB 7 cm Richiesta (misua della ciconfeenza cicoscitta) O B Risoluzione Se la ciconfeenza è cicoscitta al tiangolo ettangolo DB, etto in D, alloa il tiangolo è inscitto nella ciconfeenza e la sua ipotenusa B coincide con il diameto. Pe calcolae la sua misua puoi alloa applicae il teoema di Pitagoa: B 3BD + D cm cm 800 cm 90 cm B π 90π cm o anche, ponendo π 3,4: B π (90 3,4) cm 8,6 cm Risposta La ciconfeenza cicoscitta al tiangolo è lunga 90π cm oppue 8,6 cm Detemina la lunghezza della ciconfeenza cicoscitta al tiangolo ettangolo avente i cateti lunghi 8 cm e 4 cm. [30p cm o 94, cm] alcola la lunghezza della ciconfeenza inscitta in un quadato la cui aea è 56 dm. 6 [34p dm] alcola la lunghezza della ciconfeenza cicoscitta a un ettangolo le cui dimensioni sono lunghe 8 dm e 5 dm. [7p dm] Detemina la lunghezza della ciconfeenza cicoscitta a un tiangolo ettangolo avente i cateti di 7 cm e 4 cm. [5p cm] alcola la lunghezza della ciconfeenza cicoscitta a un tiangolo ettangolo avente la mediana elativa all ipotenusa che misua 7, cm. [4,4p cm]

28 Misua di una ciconfeenza e delle sue pati Teoia a pagg Un ettangolo è inscitto in una ciconfeenza il cui aggio è di 5 cm. Sapendo che la base è lunga 48 cm, detemina peimeto e aea del ettangolo. [4 cm; 67 cm ] Un ombo è cicoscitto a una ciconfeenza. Le diagonali del ombo misuano 4 cm e 3 cm. alcola la misua del aggio della ciconfeenza e la sua lunghezza. [9,6 cm; 9,p cm] 7 7 Un tapezio isoscele è inscitto in una ciconfeenza di lunghezza 00π cm. Si sa che la base minoe del tapezio misua 8 cm e che la base maggioe coincide con il diameto. alcola il peimeto e l aea del tapezio. [48 cm; 307 cm ] Un tapezio ettangolo è cicoscitto a una ciconfeenza di lunghezza 36π cm. Sapendo che il lato obliquo è lungo 45 cm e che la base maggioe è il doppio della minoe, calcola l aea e il peimeto del tapezio. [458 cm ; 6 cm] ESERIZI Risolvi i seguenti poblemi sulla lunghezza di un aco o di una ciconfeenza. (L ampiezza dell angolo al cento che insiste su un aco viene anche chiamata semplicemente ampiezza dell aco.) 73 Poblema guidato Detemina la lunghezza di un aco di ciconfeenza ampio 48, sapendo che il aggio della ciconfeenza è lungo 6 dm. [,6p dm] La lettua del testo Sai che: La misua del aggio è: La misua dell ampiezza dell aco è: α... L idea α Dalla popozione l α 360 puoi icavae l ; 360 quindi pe deteminae l devi conoscee. La figua O α l? La isoluzione Qual è la misua della ciconfeenza?... π ( π) dm... π dm l dm dm... π dm......π Detemina la lunghezza di un aco di ciconfeenza ampio 54, sapendo che il aggio della ciconfeenza è lungo 8 dm. [,4p dm] Un aco ampio 90 appatiene a una ciconfeenza che misua 3,4 dm. alcola la lunghezza dell aco. [7,85 dm] Una ciconfeenza misua 48π dm. alcola la lunghezza di un suo aco ampio 8. [,4p dm] alcola la lunghezza di un aco ampio 4 e appatenente a una ciconfeenza di 4π cm. [,8p cm] Una ciconfeenza misua 43,96 m. alcola la lunghezza di un suo aco ampio 45. [5,495 m] alcola la lunghezza di un aco ampio 60 appatenente alla ciconfeenza il cui diameto misua 4 m. [,56 m] Una ciconfeenza ha il aggio di 3 cm. alcola la lunghezza di un suo aco ampio 30. [4p cm] Una ciconfeenza ha il diameto di 70 mm. alcola la lunghezza di un aco di ampiezza [30,5p mm] In una ciconfeenza un aco è lungo 7,85 dm e l angolo al cento coispondente è di 30. Quanto è lunga la ciconfeenza? [94, dm] Un aco ampio 84 misua 35π cm. alcola la lunghezza del aggio della ciconfeenza alla quale appatiene. [75 cm] Un aco ampio 44 misua 40π cm. alcola la lunghezza del aggio della ciconfeenza alla quale appatiene. [50 cm] Un aco ampio 3 30 misua π cm. alcola la lunghezza della ciconfeenza alla quale appatiene. [40p cm] 7

29 Unità La ciconfeenza, il cechio e le loo misue Risolvi i seguenti poblemi sull ampiezza degli achi di ciconfeenza. 86 alcola l ampiezza di un aco lungo 5π cm che è pate di una ciconfeenza lunga 80π cm. [ 30 ] L idea Dalla popozione l α 360 puoi icavae l 360 α quindi pe deteminae α devi conoscee l e. La isoluzione Qual è la misua dell ampiezza dell aco? α a La misua dell ampiezza ottenuta è una fazione di gado che va espessa anche in pimi e secondi seguendo le egole della divisione di un ampiezza pe un numeo Quindi l ampiezza dell aco è Poblema guidato b = a b = a b alcola l ampiezza di un aco lungo 5π cm che è pate di una ciconfeenza lunga 40π cm. [ 30 ] alcola l ampiezza dell aco di 4,7 cm che appatiene alla ciconfeenza il cui aggio misua 7,5 cm. [36 ] alcola l ampiezza di un aco di,5π m che appatiene alla ciconfeenza il cui diameto misua 9,6 m. [56 5 ] alcola l ampiezza dell angolo al cento che insiste su un aco lungo,8π cm, sapendo che appatiene a una ciconfeenza di aggio lungo,4 cm. [0 ] 5 alcola l ampiezza di un aco che è della ciconfeenza a cui appatiene. [50 ] alcola l ampiezza dell angolo alla ciconfeenza che insiste su un aco lungo di ciconfeenza. 5 [36 ] alcola l ampiezza di uno degli angoli alla ciconfeenza coispondente all aco di 4,8π dm nella ciconfeenza di aggio 6 dm. [7 ] alcola l ampiezza di uno degli angoli alla ciconfeenza coispondente all aco di 40π dm nella ciconfeenza di aggio 9 m. [40 ] In una ciconfeenza di lunghezza 6π cm un aco è lungo 8,5π cm. alcola l ampiezza dell aco. [40 0 ] Misua di un cechio e delle sue pati onoscenze 96 -Usa il linguaggio matematico- Significato di paole e simboli ompleta ciascuna fase collegando la pate nella colonna di sinista a quella nella colonna di desta. L aea di un cechio è uguale... L aea di un settoe cicolae è uguale... L aea di una coona cicolae è uguale al podotto della diffeenza dei quadati delle misue dei due aggi pe π... al podotto del quadato della misua del aggio pe π... al semipodotto della misua della lunghezza dell aco pe quella del aggio 8

30 Misua di un cechio e delle sue pati Teoia a pagg Dalle paole ai simboli Taduci in scittua matematica la seguente fase ifeita a un cechio. La misua del aggio è uguale alla adice quadata del quoziente ta l aea e pi geco:... Dai simboli alle paole Taduci in fase la seguente scittua matematica ifeita a un cechio. π :... Rappesentazioni e simboli Rappesenta un cechio la cui aea è indicata nel dato.,56 cm ompleta il dato elativo al cechio appesentato (pendi con il ighello la misua necessaia ed esegui il calcolo oppotuno). ESERIZI... QULE DELLE DUE? Pe ogni coppia di fasi cancella la fase falsa a. Il appoto ta l aea di un cechio e la misua del suo aggio è π. b. Il appoto ta l aea di un cechio e il quadato della misua del suo aggio è π. a. L aea di un quadato di lato è maggioe di quella di un cechio di aggio con misua. b. L aea di un cechio di aggio è maggioe di quella di un quadato di lato con misua. VERO O FLSO? Indica quali delle seguenti affemazioni sono vee e quali false. L aea del cechio è diettamente popozionale al quadato del aggio. L aea del settoe cicolae è diettamente popozionale al quadato della sua ampiezza. L aea del settoe cicolae è diettamente popozionale alla sua ampiezza. L aea del cechio è diettamente popozionale alla misua del aggio. V F QULE DELLE DUE? Pe ogni coppia di fasi cancella la fase falsa. 03 a. L aea di un segmento cicolae è sempe maggioe di quella del settoe cicolae che ha la stessa ampiezza dell aco che delimita il segmento cicolae. b. L aea di un segmento cicolae è maggioe di quella del settoe cicolae che ha la stessa ampiezza dell aco che delimita il segmento cicolae solo se il cento della ciconfeenza appatiene al segmento. RIPSS Rispondi alle seguenti ichieste Spiega sul quadeno peché è possibile scivee la seguente popozione: S l. ome si detemina l aea di un segmento cicolae a una base a seconda che il cento del cechio appatenga o non appatenga a esso? Descivi i due casi anche con due disegni. Se l aea del cechio è 6 π cm e quella del cechio è 4 π cm, alloa l aea della coona cicolae che si genea endendo concentici i due cechi è... cm. 9 O cechio O cechio

31 Unità La ciconfeenza, il cechio e le loo misue pplicazione ea di un cechio ompleta le seguenti tabelle ifeite a un cechio con aea e in cui, d, e sono le misue, ispettivamente, del aggio, del diameto e della ciconfeenza. 07 Esegui lasciando indicato π. 08 Esegui i calcoli lasciando indicato π. d 49π cm 8 cm cm 0 cm 65π cm 30 cm 30 cm 9 cm 09 0 Esegui i calcoli lasciando indicato π. d 4π cm 64π cm 4 cm 70 cm Esegui i calcoli ponendo π 3,4. d 0 cm 0 cm 3,4 cm 3,4π cm Se 00π cm π alloa 00 cm quindi 0 cm Risolvi i seguenti esecizi elativi all aea di un cechio sul piano catesiano. Esecizio svolto alcola l aea del cechio di cento B(8; 9), sapendo che il punto (4; 6) appatiene alla ciconfeenza. y u Svolgimento Taccia sul piano catesiano i due punti B e : dato che B è il cento e appatiene alla ciconfeenza alloa B è il aggio. Taccia con il compasso la ciconfeenza: ossevando la figua puoi capie che il aggio B è anche ipotenusa del tiangolo ettangolo HB, quindi pe calcolae la sua misua puoi applicae il teoema di Pitagoa. H (8 4) u 4u BH (9 6) u 3u Quindi: B H + BH u 5 u 5u lloa: B π (5 π) u 5π u. 9 6 O B H 4 8 x 30