INTEGRALI. Intgrli indiniti Si un unzion ontinu in [, ]. Un unzion F dinit ontinu in [, ], drivil in ], [, disi primitiv di in [, ] s F, ], [. Tormi. S F è un primitiv di in [, ] llor nh G F, on R, è un primitiv di in [, ] Intti, st ossrvr h G è un unzion dinit ontinu in [, ], drivil in ], [ h G [ F ] F, ], [.. S F G sono du primitiv qulsisi di in [, ] llor ss dirisono pr un tnt, ioè sist un tnt R tl h risulti G F, [, ]. Intti posto H G F si h H [G F] G F 0, ] [. Pr un orollrio dl torm di Lgrng sgu h H tnt in [, ], ioè sist un tnt R tl h H G F, ossi G F Disi intgrl indinito di in [, ] l insim di tutt l su primitiv in [, ] si indi ol simolo d. L intgrzion, in simoli d, è l oprzion invrs dll drivzion. Un importnt torm i ssiur h ogni unzion ontinu è intgril, ioè possid un primitiv, tuttvi l dtrminzion di un primitiv di un unzion ompost non smpr risult gvol. Dll tll dll drivt dll rgol di drivzion di un unzion ompost sgu ilmnt: d α d α α - Intgrli -
- Intgrli - d log d d tg d g d ot d log d r d rtg d d d tg d g d ot d log d r d rtg d α α α d d log
. Rgol di intgrzion Dll rgol di drivzion dll somm dirnz di du unzioni sgu: g d d ± ± g d Dll rgol di drivzion dl prodotto di un tnt pr un unzion sgu: d d Dll rgol di drivzion dl prodotto di du unzioni, vndosi: D[uv] u v uv, ossi u v D[uv] uv sgu v d D[ u v ] u d u v d ossi * u v d u v u v d Posto u h l * divnt: ** h v d P[ h ] v P[ h v d sdo P[h] un primitiv di h. L * ovvro l ** disi rgol di intgrzion pr prti. Ess risult prtiolrmnt util qundo si d lolr l intgrl dl prodotto di du unzioni. Poihé nl sondo mmro dll ** ompiono l drivt di un dll du unzioni un primitiv dll ltr hiro h nll pplir tl rgol onvin sglir om unzion h qull di ui si onos già un primitiv pr v qull unzion l ui drivt i un sprssion più smpli di v. - Intgrli -
- Intgrli - Esmpi: d d d h u v ponimo d d d h u v ponimo d d ossi s d sgu d d do s d d d d d d d h u v ponimo
. Intgrli diniti Anor d insrir Vdi tsti suggriti - Intgrli - 5
. Rgol proprità dgli intgrli diniti Torm ondmntl dl lolo intgrl: S è un unzion ontinu 0, l r A dl sottogrio di nll intrvllo [, ] trpzoid è dt d: [ F ] A d F F dov il simolo d è dtto intgrl dinito dll unzion nll intrvllo [, ] F è un qulsisi primitiv di. Nl so in ui è un unzion ontinu nll intrvllo [, ] risult ssr 0, ioè il suo grio in dtto intrvllo st nl smipino ngtivo dll y, l r dl sottogrio di rltivo ll intrvllo [, ] è dt d: A d F F [ F ] sti pnsr h in tl so srà 0 h i sottogrii di nll intrvllo [, ] hnno l stss r. S y y g sono du unzioni tli h in tutti i punti dll intrvllo [, ] è g nh s g è in prt 0 l r dll rgion pin dlimitt supriormnt dl grio di y inriormnt dl grio di y g dll rtt è dt dll ormul: g d [ F G ] A sdo F G du qulsisi primitiv rispttivmnt di di g. y y y g - Intgrli - 6
E possiil spzzr l intrvllo di intgrzion in du o più prti. Più prismnt s è un punto intrno d [, ] è Esmpio: d d d pr dovndosi lolr 7 d, poihé è pr < < si h: 7 7 d d d... Si ossrvi h tl proprità è util qundo è nssrio lolr intgrli dl tipo d on disontinu in un numro inito di punti intrni ll intrvllo [, ]. S d smpio d, on < d, sono punti di disontinuità dll ll intrno di [, ] vin spontno porr: d d d d E hiro h gli intgrli sondo mmro sistono purhé possid limit sinistro limit dstro initi in isuno di suoi punti di disontinuità. d d 7 hirmnt s l unzion è simmtri risptto ll origin, ioè è un unzion dispri, si h: d 0 Esmpio: 0 d - Intgrli - 7
Volum di un solido di rotzion. Fndo ruotr ttorno ll ss il grio di nll intrvllo [, ], si ottin un solido di rotzion il ui volum è: V π d Esmpio. L unzion y r, dinit nll intrvllo [-r, r] ruotndo ttorno ll ss gnr l sr di ntro l origin rggio r il suo volum è: V r r r r r r d π r d π r π r r πr π r r r Intgrli gnrlizzti. L nozion di intgrl dinito può ssr sts i si di intrvlli non limitti dl tipo [,, illimitto dstr, oppur -, ], illimitto sinistr, o inin -,, illimitto d ntrmi i lti. Si prl llor di intgrli gnrlizzti. Pr dinizion è: d lim d d lim d ovvimnt tli dinizioni hnno so solo qundo il limit sondo mmro sist inito. Nl so di intgrl stso d un intrvllo illimitto d ntrmi i lti -, st spzzrlo ngli intrvlli -, ], [, on un ritrrio punto dll ss rl pr riondursi i du si prdnti. E dunqu d lim d lim d - Intgrli - 8
Esmpi. 0 d sist poihè è lim 0 d lim 0 [ ] lim d inv non sist poihè è lim d lim [ log ] lim log - Intgrli - 9