Sistemi di articelle identiche 1. Princiio di indistinguibilità Due articelle si dicono identiche se hanno le stesse caratteristiche fisiche, quali massa, sin, carica elettrica, momento magnetico. Col termine di articelle ci riferiamo qui non soltanto a articelle elementari come elettroni, rotoni, ecc., ma anche a microsistemi iù comlessi, come atomi e molecole. Nella meccanica classica le articelle identiche sono semre distinguibili, oiché è ossibile, almeno in linea di rinciio, determinare univocamente la traiettoria di ognuna di esse. Pertanto se in un sistema di N articelle identiche si assegnano a un dato istante degli indici i (i = 1, 2,..., N) alle diverse articelle, ciascun indice i segue la articella i-esima nel suo moto e uò essere associato all intera traiettoria. Nella meccanica quantistica la situazione è rofondamente diversa. Infatti il rinciio di indeterminazione imedisce di misurare allo stesso istante t 0 la osizione x e la velocità v di una articella e quindi di determinare la sua traiettoria. Se al temo t 0 abbiamo determinato la osizione delle N articelle nei unti x 1, x 2,..., x N, le loro velocità rimangono del tutto indeterminate, e quindi anche le osizioni a un istante successivo risultano indeterminate. Se allora al temo t > t 0 troviamo una articella nel unto x, non ossiamo stabilire di quale articella si tratti. Questa discussione mostra che in meccanica quantistica le articelle identiche, quando entrano in interazione o comunque quando i loro acchetti d onda si sovraongono, erdono la roria individualità e diventano del tutto indistinguibili. Questo costituisce il cosiddetto rinciio di indistinguibilità, che è un nuovo rinciio fisico fondamentale, che ha conseguenze imortanti er i sistemi di molte articelle. Nella sua forma iù generale, comrendente anche il caso di articelle non interagenti o sazialmente searate, questo rinciio uò essere formulato nel modo seguente: il risultato di qualunque osservazione su un sistema di articelle identiche è indiendente dall ordine delle articelle. 2. Stati di N articelle e oeratori di ermutazione Consideriamo un sistema di N articelle identiche. Sia H lo sazio di Hilbert degli stati di una singola articella e sia { q } una base in H, dove q indica un set comleto di numeri quantici, discreti o continui, come ad es. q (x, α), dove α raresenta altri eventuali numeri quantici. Se le articelle sono distinguibili, lo sazio di Hilbert H N dell intero sistema è dato dal rodotto tensoriale degli sazi di Hilbert delle singole articelle: (2.1) H N = H (1) H (2) H (N) ed ha come base naturale i vettori (2.2) q (1) 1, q(2) 2,..., q(n) N q 1 (1) q 2 (2) q N (N), 1
dove, er ragioni di chiarezza, abbiamo introdotto due serie di indici: quelli osti in alto fra arentesi indicano le articelle qui considerate distinguibili, mentre quelli osti in basso indicano gli stati quantici occuati. Cosi ad es. q (i) k indica che la articella i si trova nello stato q k. Per studiare le rorietà dei vettori di stato e delle osservabili er ermutazioni delle articelle è utile introdurre gli oeratori di ermutazione. Sia una ermutazione di N oggetti, che ne cambia l ordine da quello fondamentale (1, 2,..., N) a ( 1, 2,..., N ). L insieme delle ermutazioni forma un gruo finito di elementi, detto gruo delle ermutazioni. Ad ogni ermutazione ossiamo associare un oeratore P () nello sazio H N, che cambia l ordine delle articelle nei vettori di stato e negli oeratori nel modo seguente: (2.3) (2.4) P () q (1) 1, q(2) 2,..., q(n) N = q( 1) 1, q ( 2) 2,..., q ( N ) N P () A(q (i), (i) ) P 1 () = A(q ( i), ( i) ) Nella (2.4) l oeratore A è considerato come funzione degli oeratori delle singole articelle, di cui i q corrisondono al set che caratterizza gli stati e i sono altri oeratori non commutanti. Dalla definizione segue che anche gli oeratori P formano un gruo e che vale er essi la regola del rodotto (2.5) P ( 1 ) P ( 2 ) = P ( 1 2 ), se il rodotto 1 2 di due ermutazioni è definito eseguendo rima 2 e oi 1. Gli oeratori P devono essere unitari (2.6) P P = P P = 1l affinché il rodotto scalare sia invariante er ermutazioni delle articelle: (2.7) P ψ 1 P ψ 2 = ψ 1 P P ψ 2 = ψ 1 ψ 2, ψ 1,2 H N Ogni ermutazione uò essere esressa (in iù modi) come rodotto di scambi fra due oggetti. Per esemio la ermutazione ciclica di tre oggetti (1, 2, 3) (2, 3, 1), che viene generalmente indicata col simbolo (1 2 3), si uò esrimere come (1 3)(2 3), o anche come (2 3)(1 2), o in altri modi ancora, ma semre con un numero ari di scambi, oiché si tratta di una ermutazione ari. Una ermutazione si dice ari o disari a seconda che si ossa ottenere con un numero ari o disari di scambi e si definisce la arità η, con η = +1 se è ari e η = 1 se è disari. La arità del rodotto di due ermutazioni è il rodotto delle arità: η 1 2 = η 1 η 2. Indichiamo con P ij l oeratore di scambio delle articelle i e j. Esso gode delle rorietà (2.8) P 2 ij = 1l, P ij = P ij, di cui la rima è evidente e la seconda segue dalla rima e dalla (2.6). Dalla rima di queste rorietà segue che gli autovalori di P ij sono ±1 e gli autovettori sono gli stati ari e disari nello scambio di i e j. 2
Per i sistemi fisici hanno articolare imortanza gli oeratori (2.9) (2.10) S = 1 P () A = 1 η P () dove la sommatoria è estesa a tutte le ermutazioni delle articelle. S e A si chiamano risettivamente simmetrizzatore e antisimmetrizzatore. Infatti, alicandoli al generico vettore della (2.3), che indicheremo sinteticamente con 1, 2,..., N, si vede subito che S 1, 2,..., N è simmetrico nello scambio di una qualunque coia di articelle, mentre A 1, 2,..., N è antisimmetrico. Questo risultato si uò ottenere in modo iù formale usando la rorietà di gruo (2.5), da cui segue (2.11) P () S = S, P () A = η A. In articolare er P () = P ij, che è una ermutazione disari, si ottiene (2.12) P ij S = S, P ij A = A e da queste, alicando al vettore 1, 2,..., N, si ottiene il risultato voluto. Dalle definizioni (2.9) e (2.10), rendendo l aggiunto e sfruttando le (2.6) e (2.5), si ottiene (2.13) (2.14) S = 1 P 1 () = 1 P ( 1 ) = S A = 1 η P 1 () = 1 η 1 P ( 1 ) = A dove nell ultimo assaggio si è cambiato nella sommatoria 1 in e si è usata la relazione η = η 1. Inoltre dalle (2.11) seguono le imortanti rorietà (2.15) S 2 = S; A 2 = A; A S = S A = 0. Le (2.13-15) mostrano che S e A sono due roiettori ortogonali. Osserviamo che in generale S + A 1l, salvo nel caso di due articelle, er cui si ha S = 1 2 (1l + P 12) e A = 1 2 (1l P 12). 3. Simmetria delle osservabili e dei vettori di stato Vogliamo ora esaminare le conseguenze del rinciio di indistinguibilità sulle osservabili e sui vettori di stato. Sia B = B(q (i), (i) ) una osservabile del sistema e siano β un valore dello settro di B (discreto o continuo) e β un autovettore corrisondente (rorio o generalizzato), tali che 3
(3.1) B β = β β. Il ket β raresenta uno stato del sistema er il quale la misura di B dà con certezza il risultato β. Ma anche il vettore P β, dove P = P () è un qualsiasi oeratore di ermutazione, deve avere la stessa rorietà a causa del rinciio di indistinguibilità. Deve cioè aversi (3.2) B P β = β P β = P B β ovvero [P, B] β = 0. E oiché questa deve valere er qualunque β, ne segue 1 (3.3) [ P, B ] = 0, ovvero P B P 1 = B. Quest ultima equazione, secondo la (2.4), dice che ogni osservabile B deve essere invariante er una qualunque ermutazione delle variabili delle articelle, ovvero deve essere simmetrica in queste variabili. Questa rorietà sarà resa come arte della definizione di osservabile: fra tutti gli oeratori autoaggiunti che ossiamo costruire come funzioni delle variabili q (i), (i) delle singole articelle, chiameremo osservabili solo quelli che sono invarianti er ermutazioni delle articelle. Osserviamo che artendo da un oeratore non simmetrico B ns ossiamo ottenerne uno simmetrico B s nel modo seguente (3.4) B s = λ P () B ns P 1 (), dove λ è una costante reale da scegliere caso er caso. Questa tecnica di simmetrizzazione risulta utile in articolare quando B ns diende da meno di N articelle. Discutiamo ora il caso dei vettori di stato. In meccanica quantistica uno stato uro è determinato da un osservazione massima del sistema ed è raresentato da un raggio dello sazio di Hilbert. Il sistema di N articelle identiche di cui ci stiamo occuando resenta erò un roblema. Sia B (B 1,..., B n ) un osservazione massima e β (β 1,..., β n ) un insieme di autovalori corrisondenti. Secondo il ostulato richiamato sora, a questa osservazione deve corrisondere uno stato uro raresentato da un vettore β, definito a meno di un fattore di fase. D altra arte tutte le osservabili B i sono invarianti er ermutazioni, quindi se β è un autovettore anche β, = P () β è autovettore. Se accadesse come è in linea di rinciio ossibile che i vettori β,, er diverse ermutazioni, fossero linearmente indiendenti, si avrebbe che al risultato β della nostra osservazione massima corrisonderebbe un autosazio avente non una, ma dimensioni. L indice funzionerebbe in questo caso come un indice di degenerazione e si avrebbe quella che viene chiamata degenerazione di scambio. Nessuna osservazione fisica otrebbe infatti distinguere gli stati β, di questo autosazio gli uni dagli altri. 1 La dimostrazione non è rigorosa oiché, come vedremo alla fine del aragrafo, gli stati fisici β non occuano tutto lo sazio H N, ma solo un sottosazio. La rorietà esressa dalla (3.3) dovrà quindi essere ostulata. 4
Questo fatto creerebbe un grave roblema di rinciio: da un lato un osservazione massima non sarebbe iù sufficiente a determinare il vettore di stato a un dato istante, mentre dall altro le robabilità dei risultati delle misure diendono dal vettore di stato e non sarebbero quindi iù calcolabili 2. Si avrebbe quindi una erdita della caacità redittiva della meccanica quantistica. L eserienza mostra invece che er i sistemi di articelle identiche non c è degenerazione di scambio, ma che a un osservazione massima corrisonde uno stato uro raresentato da un vettore ket. Questa affermazione, che estende ai sistemi di articelle identiche il ostulato generale sugli stati, richiede erò un ostulato a arte, oiché non uò essere dedotta in modo rigoroso dai ostulati generali. Partendo da questo rinciio, ossiamo vedere facilmente che i vettori di stato devono avere delle articolari rorietà di simmetria. Infatti se ψ raresenta uno stato uro del sistema, il vettore P () ψ, ottenuto con una ermutazione delle articelle, raresenta lo stesso stato fisico, e otrà quindi differire da ψ solo er un fattore di fase: (3.5) P () ψ = ɛ ψ dove er la (2.6) ɛ = 1. In articolare er lo scambio fra le articelle i e j si ha (3.6) P ij ψ = ɛ ij ψ dove dalla (2.8) segue ɛ ij = ±1. È facile vedere che le arità di scambio ɛ ij delle coie di articelle sono tutte uguali fra loro. Infatti dalla relazione (3.7) P ij = (P 1i P 2j ) P 12 (P 1i P 2j ), che si verifica facilmente, e dalla (3.6) segue (3.8) ɛ ij = ɛ 12 = ɛ = ±1. Si ottiene quindi l imortante risultato che gli stati fisici del sistema ossono essere o simmetrici o antisimmetrici er lo scambio di una qualunque coia di articelle. E oiché la arità di scambio non diende dalla coia, si caisce facilmente che non uò diendere né dagli stati quantici occuati, né dall interazione relativa, né dal numero N delle articelle, né dallo stato ψ del sistema. Essa uò quindi diendere solo dal tio di articelle e si uò dimostrare (nella teoria quantistica dei cami) che ɛ diende unicamente dallo sin. Si hanno recisamente i seguenti due casi: (3.9) { sin intero: ɛ = +1, bosoni sin semi-intero: ɛ = 1, fermioni 2 Consideriamo come esemio il caso di due articelle non interagenti, che occuano gli stati quantici distinti q 1 e q 2. Il vettore di stato è dato dalla combinazione ψ = α q 1, q 2 + β q 2, q 1, dove α e β obbediscono alla condizione α 2 + β 2 = 1, ma sono er il resto arbitrari. Se facciamo la misura di una osservabile F, la robabilità di ottenere un valore f è data da w(f) = ψ Q f ψ, dove Q f è il roiettore sull autosazio di f. Poiché Q f è simmetrico er lo scambio di 1 con 2, si ottiene w(f) = q 1, q 2 Q f q 1, q 2 + 2 Re (α β) q 1, q 2 Q f q 2, q 1. Se F non è diagonale in questa base, neanche Q f lo è e sarà quindi q 1, q 2 Q f q 2, q 1 = 0. Ne segue che w(f) rimane indeterminato. 5
dove la denominazione di bosoni e fermioni deriva dalla statistica a cui obbediscono le due classi di articelle. In definitiva gli stati fisici di un sistema di articelle identiche ossono essere solo dei due tii seguenti: (3.10) { ψb = λ S ψ, bosoni ψ f = λ A ψ, fermioni dove λ è una costante di normalizzazione e il vettore ψ = ψ(1, 2,..., N) uò anche non avere una simmetria definita. I risultati esosti in questo aragrafo sono esressi dal seguente ostulato, detto ostulato di simmetrizzazione: Postulato. Le osservabili di un sistema di N articelle identiche sono raresentate da oeratori autoaggiunti invarianti er qualunque ermutazione delle articelle. Gli stati uri del sistema sono raresentati da vettori dello sazio di Hilbert che sono simmetrici (bosoni) o antisimmetrici (fermioni) er lo scambio di una qualunque coia di articelle. Da questo ostulato si ricavano in articolare le seguenti imortanti conseguenze. 1. La arità di scambio degli stati si mantiene nel temo. Si ha infatti: ψ(t) = U(t, t 0 ) ψ(t 0 ), dove l oeratore di evoluzione U è funzione (o iù in generale un funzionale) della hamiltoniana H. Ma H è una osservabile e ertanto commuta con qualunque P. Allora anche U commuta in articolare con P ij e quindi, alicando P ij alla recedente equazione, si ottiene il risultato voluto. 2. Lo sazio di Hilbert degli stati fisici è ristretto a H Nb = S H N er i bosoni e a H Nf = A H N er i fermioni, dove S e A sono i roiettori dati dalle (2.9) e (2.10). Infatti se ψ è un arbitrario vettore di H N, dalle (2.12) seguono le relazioni (3.11) P ij S ψ = S ψ S ψ = ψ b H Nb S H N H Nb P ij A ψ = A ψ A ψ = ψ f H Nf A H N H Nf D altra arte se ψ b H Nb H N è un qualsiasi stato bosonico e ψ f H Nf H N è un qualsiasi stato fermionico si ha (3.12) S ψ b = ψ b S H N H Nb A ψ f = ψ f A H N H Nf Il confronto delle recedenti disuguaglianze dimostra la rorietà enunciata. 4. Funzioni d onda di articelle non interagenti. Princiio di esclusione Consideriamo un sistema di N articelle in un camo esterno e non interagenti fra loro. Se le articelle fossero distinguibili, la funzione d onda del sistema sarebbe il rodotto delle 6
funzioni d onda delle singole articelle, mentre nel caso di articelle identiche questo rodotto deve essere simmetrizzato secondo la (3.10). Questo corrisonde al fatto che lo stato fisico del sistema deve essere una sovraosizione con uguale amiezza di tutti gli stati in cui le articelle occuano i vari stati singoli in tutte le ermutazioni ossibili, come è richiesto dal rinciio di indistinguibilità. Siano α 1, α 2,..., α N gli stati quantici, non necessariamente distinti, occuati dalle articelle e sia ψ αk (i) ψ αk (x (i), s (i) z,...) la funzione d onda normalizzata della articella i nello stato α k. Per un sistema di bosoni la funzione d onda comlessiva è data dalla combinazione simmetrica (4.1) Ψ(1, 2,..., N) = λ S ψ α1 (1)ψ α2 (2)... ψ αn (N). dove S è il simmetrizzatore (2.9). Per calcolare la la costante λ suoniamo che le articelle occuino m N stati quantici distinti e ce ne siano n 1 nel rimo stato, n 2 nel secondo,..., n m nell m-esimo. Una ermutazione delle n i articelle che occuano lo stesso stato lascia inalterato il rodotto delle ψ αi e quindi il rodotto scalare fra il rodotto di artenza e quello ermutato risulta uguale a 1. Invece una ermutazione che scambia le articelle fra stati diversi cambia il rodotto delle ψ αi in una funzione ad esso ortogonale. Usando la rorietà S 2 = S ed eslicitando S si ottiene allora ( 1 = Ψ 2 = λ 2 1 N ) N (4.2) ψ αi (i), P () ψ αi (i) i=1 = λ 2 n 1! n 2!... n m! Risulta ertanto, a meno di un fattore di fase: (4.3) λ = n 1! n 2!... n m!. Per un sistema di fermioni la funzione d onda è data dalla combinazione antisimmetrica (4.4) Ψ(1, 2,..., N) = λ A. N ψ αi (i). Si vede subito che gli stati α 1, α 2,..., α N devono essere tutti distinti, altrimenti la Ψ è identicamente nulla. In altre arole ogni stato quantico uò essere occuato al iù da un solo fermione. Questo corrisonde al rinciio di esclusione, enunciato da Pauli nel 1925 er siegare il sistema eriodico degli elementi. La costante λ nella (4.4) è data ancora dalla (4.3), dove ora erò n i = 1, er cui risulta λ =. Si uò osservare che la (4.4) ha la forma del determinante della matrice che ha er elementi ψ αi (j) e dove gli indici i e j numerano, er esemio, le righe e le colonne. La Ψ si uò allora scrivere nel modo seguente, noto come determinante di Slater: ψ α1 (1) ψ α1 (2)... ψ α1 (N) (4.5) Ψ(1, 2,..., N) = 1 ψ α2 (1) ψ α2 (2)... ψ α2 (N) det....... ψ αn (1) ψ αn (2)... ψ αn (N) In questa esressione il rinciio di esclusione trasare dal fatto che, se due stati quantici sono uguali, la matrice ha due righe uguali e quindi il determinante è nullo. 7 i=1 i=1
5. Effetti di scambio Vogliamo discutere brevemente due effetti fisici che seguono direttamente dal ostulato di simmetrizzazione delle funzioni d onda. Consideriamo il caso di due articelle identiche dotate di sin e interagenti con l esterno e fra loro tramite otenziali indiendenti dallo sin. La funzione d onda del sistema si uò allora scrivere come il rodotto di una funzione delle coordinate er una funzione dello sin: (5.1) Ψ(1, 2) = φ(x 1, x 2 ) χ(µ 1, µ 2 ). L equazione di Schrödinger determina soltanto la funzione φ, mentre la χ rimane arbitraria. Tuttavia la simmetria di scambio della Ψ(1, 2) stabilisce una relazione fra le funzioni φ e χ e quindi una diendenza della funzione delle coordinate φ dallo stato di sin delle articelle. Prendiamo come esemio un sistema isolato di due elettroni, soggetti solo alla reciroca interazione coulombiana. Nel sistema del centro di massa, φ diende solo dalle coordinate relative x = x 1 x 2 e sarà in articolare della forma φ(x) = R(r) Yl m (θ, ϕ). Lo scambio dei due elettroni cambia x in x. Allora, dalla condizione Ψ(2, 1) = Ψ(1, 2), segue che se χ è uno stato di singoletto (S = 0), ed è quindi antisimmetrico nello scambio delle variabili di sin, φ(x) deve essere una funzione ari di x, e quindi l deve essere ari. Invece se χ è uno stato di triletto (S = 1), ed è quindi simmetrico nelle variabili di sin, φ(x) deve essere una funzione disari, e quindi l deve essere disari. Si vede allora che, nonostante che la hamiltoniana non dienda dallo sin, le autofunzioni φ(x) vengono a diendere dallo sin totale degli elettroni. Si uò dunque arlare di un interazione che è in qualche modo analoga all interazione sin-orbita, ma che è solo una conseguenza dell identità delle articelle. Tale interazione si chiama interazione di scambio. Suoniamo ora che le due articelle considerate rima siano ancora soggette a un otenziale esterno indiendente dallo sin, ma che la loro interazione mutua sia trascurabile. La funzione φ(x 1, x 2 ) della (5.1) sarà allora esrimibile con i rodotti delle funzioni d onda u(x) e v(x) che suorremo ortogonali delle due articelle nel modo seguente: (5.2) φ(x 1, x 2 ) = 1 2 [ u(x 1 ) v(x 2 ) + ɛ u(x 2 ) v(x 1 ) ], dove ɛ = +1 er una funzione simmetrica e ɛ = 1 er una funzione antisimmetrica. Per quanto visto rima, i due casi ossono verificarsi entrambi, sia er i bosoni che er i fermioni, a seconda della arità di scambio della funzione degli sin χ(µ 1, µ 2 ). Per fare un caso concreto, consideriamo ancora il caso dei due elettroni, er cui avremo ɛ = +1 er lo stato di singoletto e ɛ = 1 er gli stati di triletto. Indicando con w(x 1, x 2 ) d 3 x 1 d 3 x 2 la robabilità di trovare un elettrone nell elemento di volume d 3 x 1 e l altro elettrone nell elemento di volume d 3 x 2, si ha (5.3) w(x 1, x 2 ) = φ(x 1, x 2 ) 2 = 1 2 u(x 1) 2 v(x 2 ) 2 + 1 2 u(x 2) 2 v(x 1 ) 2 + ɛ Re [ u(x 1 ) v(x 1 ) v(x 2 ) u(x 2 ) ]. I rimi due termini di questa esressione hanno una semlice interretazione in termini di articelle distinguibili. Il rimo termine raresenta la densità di robabilità che un elettrone si 8
trovi in un intorno di x 1 nello stato corrisondente alla funzione u e l altro si trovi in un intorno di x 2 nello stato corrisondente a v, il tutto con robabilità integrata uguale a 1 2. Il secondo termine è analogo al rimo, con i due elettroni scambiati. Il terzo termine invece è un termine di interferenza, che sarebbe assente se i due elettroni fossero distinguibili e che nasce rorio dalla simmetrizzazione della φ richiesta dall indistinguibilità. Esso rende il nome di densità di scambio. Vediamo alcune caratteristiche di quest ultimo termine. Poiché l integrale su x 1 e/o su x 2 è nullo, esso sarà ositivo in certe regioni e negativo in altre e localmente uò avere effetti imortanti. Se ad esemio rendiamo x 2 = x 1 = x, la (5.3) diventa (5.4) w(x) = (1 + ɛ) u(x) 2 v(x) 2. Vediamo quindi in rimo luogo che il termine di scambio dà lo stesso contributo degli altri due termini. Inoltre se ɛ = 1 (stato di triletto) si ha w(x) = 0, cioè la robabilità di trovare gli elettroni nello stesso unto si annulla. In altre arole la densità di scambio è negativa e grande quando gli elettroni sono vicini, e al contrario sarà ositiva quando gli elettroni sono iù lontani. L effetto del termine di scambio è quindi quello di simulare una reulsione fra gli elettroni, risetto al caso di articelle distinguibili. Viceversa se ɛ = +1 (stato di singoletto) la densità di scambio è ositiva e grande quando gli elettroni sono vicini, mentre sarà negativa quando sono lontani. L effetto corrisonde in questo caso a un attrazione, risetto al caso di articelle diverse. L effetto dell identità delle articelle sarà tanto iù imortante quanto iù è grande la densità di scambio e viceversa sarà trascurabile se questa densità è semre iccola. In articolare si vede dalla (5.3) che se le funzioni d onda u(x) e v(x) dei due elettroni hanno suorti disgiunti (cioè sono diverse da zero in regioni distinte dello sazio), la densità di scambio è semre nulla, e quindi in questo caso non è necessario antisimmetrizzare la funzione d onda. 9