ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE AA 2016/2017 1 Esercz 2 Regme d sconto commercale Eserczo 1 Per quale durata una somma a scadenza S garantsce lo stesso valore attuale, adoperando ndfferentemente l regme dello sconto semplce, a tu = 5%, e quello dello sconto commercale a tus d = 4%? Soluzone L equazone da mpostare è S 1 d t = C 1 1 + t 1 d t 1 + t = 1 da cu, dopo avere nserto dat n d e, ottenamo l equazone 0, 002 t 2 0, 01 t = 0 che ammette un unca soluzone accettable, ossa t = 5 ann Eserczo 2 Una somma S a scadenza tra 10 ann vene rscattata ogg nel regme dello sconto commercale a tasso d sconto d = 6% e mmedatamente nvestta a regme semplce per la stessa durata Quant è l tasso mnmo d mpego affnché l montante non sa nferore alla somma precedentemente rscattata? Soluzone Il montante ottenuto dall nvestmento a regme semplce al tasso per 10 ann del rscatto della somma S nel regme dello sconto commercale a tasso d sconto d = 6% è par a M = S 1 d t 1 + t = S 1 0, 06 10 1 + 10 = 0, 4 1 + 10 S Poché deve essere M S, ottenamo 0, 4 1 + 10 S S, da cu, essendo S > 0, s ha Qund 15% 0, 4 1 + 10 1 1 0, 4 4 1 = 0, 15
2 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Regm arbtrar Eserczo 3 Il valore d un bene che ogg vale 160e cresce lnearmente nel tempo secondo la formula vt = 10t + 160 Detto At l attualzzazone dall epoca t ad ogg del valore vt d quel bene, supposto che l regme per l attualzzazone sa quello dello sconto commercale a tasso d sconto d = 5%, determnare l epoca t n corrspondenza alla quale l valore attuale At sa massmo Soluzone L attualzzazone nel regme d sconto commercale è data da A = C 1 d t, qund nel nostro caso At = vt 1 d t, da cu, sosttuendo vt = 10t + 160 e d = 0, 05, s ottene At = 10t + 160 1 0, 05t ossa At = 0, 5t 2 + 2t + 160 Possamo procedere n due mod 1 La funzone At = 0, 5t 2 + 2t + 160 ha come grafco una parabola con concavtà rvolta verso l basso l coeffcente d t 2 è 0, 5 < 0, qund l epoca t n corrspondenza alla quale l valore attuale At è massmo concde con l ascssa del vertce della parabola, ossa t = b 2a = 2 2 0, 5 = 2 2 Calcolamo la dervata prma della funzone At ed ottenamo: A t = t + 2 Ponendo A t 0, ossa t + 2 2, da cu t 2 Dunque la funzone At è strettamente crescente per t < 2 e strettamente decrescente per t > 2, qund t = 2 è un punto d massmo assoluto per la funzone At Concludamo che t = 2 è l epoca n corrspondenza alla quale l valore attuale At è massmo Rendmento d un BOT Eserczo 4 Supponendo d acqustare un BOT d durata 18 mes e valore nomnale par a 1200e determnare: a l rendmento nel regme semplce, sapendo che l nvestmento nzale è 1000e; b l rendmento netto nel caso che dobbate pagare subto un alquota fscale del 10% sul plusvalore tra nomnale e prezzo d acqusto;
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 3 c l rendmento netto nel caso che, oltre alla tassa cu c s rfersce nel punto precedente, n seguto a mutamento della normatva fscale, all epoca fnale l valore nomnale ncassato sa ulterormente sottoposto ad alquota del 5% Soluzone a Denotando l nvestmento nzale con A e l valore nomnale corrsposto alla fne con N, s ha che: N = A 1 + 3 2 r da cu s rcava r = 2 3 N A A = 2 3 dunque r = 13, 33% b L equazone base da cu rcavare r è ora 1200 1000 1000 N = A + 0, 1N A 0, 1333 1 + 3 2 r, perché, a causa dell alquota pagata al momento dell acqusto, non nvestamo pù A, ma A + 10%N A, dove N A rappresenta l plusvalore orgnaro Allora, abbamo che N = A + 0, 1N A 1 + 3 2 r = 0, 9 A + 0, 1N 1 + 3 2 r da cu s rcava: r = 2 3 0, 9 N A 0, 9 A + 0, 1 N = 2 3 0, 9 200 0, 1176 900 + 120 dunque r = 11, 76% c L equazone base da cu rcavare r è ora N 0, 05 N = A + 0, 10, 95 N A 1 + 3 2 r, dove l unca dfferenza rspetto a prma è che, a scadenza d contratto, non ncassamo pù l nomnale N, ma l nomnale decurtato d un 5% Allora, abbamo che 0, 95 N = A + 0, 10, 95 N A 1 + 3 2 r = 0, 9 A + 0, 095N 1 + 3 2 r da cu s rcava: r = 2 3 dunque r = 8, 28% 0, 855 N 0, 9 A 0, 9 A + 0, 095 N = 2 1026 900 0, 0828 3 900 + 114
4 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Eserczo 5 A quale prezzo mnmo deve essere venduto un BOT a metá scadenza, per essere scur d ottenere un rendmento almeno par a quello che s avrebbe avuto se s fosse portato a scadenza l ttolo, supponendo come dat l prezzo d acqusto nzale e l nomnale? Soluzone Il rendmento r d un ttolo a zero-coupon come l BOT, acqustato all epoca t 0 = 0 al prezzo A e portato a scadenza T, d nomnale N, é dato da r = N A AT Se vendessmo l ttolo a metá scadenza, ossa a t = T/2, ad un prezzo V T/2, avremmo, secondo l regme semplce: T V T/2 = A 1 + r 0 2 ove abbamo ndcato con r 0 l rendmento n caso d vendta Il problema chede per qual V T/2 s abba che r 0 r, ossa, rcavando r 0 dalla precedente formula, 2 VT/2 A AT Con un pó d semplce algebra, s gunge a V T/2 N A 2 ossa l prezzo mnmo rchesto é N A 2 + A, N A AT + A, Eserczo 6 Supponamo che vo voglate acqustare un BOT trmestrale d nomnale N = 1000e La tassazone vgente n Itala prevede che al momento dell acqusto del ttolo, l cu valore sa detto A > 0, vo dobbate pagare una mposta par a 1 max{αn A, 0}, dove l coeffcente α é par al 12, 5% Calcolare l rendmento netto r n ne due cas: a A = 998 euro b A = 1000, 15 euro Infne, supposto A < N, é possble che r n dvenga negatvo? Soluzone Caso a In tal caso, é facle vedere che αn A = 0, 25 > 0, qund l mposta, come defnta nella formula 1, é par a 0, 25 euro Pertanto, la cfra pagata effettvamente é par a A + αn A = 998, 25 euro La formula che governa tale operazone d captalzzazone é qund data da: N = A + αn A da cu, dopo qualche calcolo, s arrva a r n = 4 1 + r n 4, N A1 α A + αn A = 0, 70%
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 5 Caso b In tal caso, é facle vedere che αn A < 0, qund l mposta, come defnta nella formula 1, é nulla Pertanto, la cfra pagata effettvamente concde con A e la formula che governa tale operazone d captalzzazone é ora data da: da cu N = A 1 + r n 4, r n = 4 N A 1 = 0, 06%, ossa ho un rendmento negatvo Infne, se A < N, é facle vedere che A + αn A < N: nfatt, dopo qualche passaggo algebrco, la precedente dseguaglanza corrsponde a A1 α < N1 α, ossa A < N che era l potes nzale Allora, se l nomnale fnale é sempre maggore del prezzo nzale pur non comprensvo della rtenuta d acconto, l rendmento non sará ma negatvo Rendte nel regme composto Eserczo 7 Se prendete n afftto un appartamento con contratto d 4 ann e se l canone mensle, pagato all nzo d ogn mese, è d 400e, determnare l valore attuale A del contratto d afftto complessvo, sapendo che l tasso annuo d rfermento, a regme composto, è = 5% Se voleste pagare canon mensl alla fne d ogn mese, determnare l canone mensle R equvalente, tenendo come rfermento del valore attuale quello trovato nel prmo caso Soluzone S può vedere tale flusso d pagament come una rendta, ovvamente per l vostro padrone d casa, perodca, costante e antcpata d 48 termn Qund, l valore attuale complessvo è dato da A = R ä 48 m = R a 48 1 + m = R 1 1 + m 48 Tenendo conto del fatto che l tasso mensle è par a s ha che e, nserendo dat, s ottene A = R m = 12 1 + 1, 1 1 + 4 12 1 + 1 12 1 +, A = 17478, 10e m 1 + m Nel secondo caso, l flusso d pagament s può vedere come una rendta sempre per l vostro padrone d casa perodca, a rata costante mensle, postcpata e
6 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA costtuta da 48 termn, qund basta usare la formula classca, sempre con l tasso mensle: A = R 1 1 + m 48 m, da cu, con la conversone del tasso data sopra, s trova R = A 12 1 + 1 1 1 + 4 = 401, 64e Eserczo 8 Un debto d 4800e è rmborsato n 2 rate costant corrsposte rspettvamente dopo uno e tre ann Determnare la rata R, nel regme composto, supponendo che tass sano 1 = 10% nel prmo anno e 2 = 3 = 8% nel secondo e nel terzo anno Soluzone Poché samo nel regme composto a tass varabl, abbamo che A = R 1 + 1 1 + R 1 + 2 2 1 + 1 1 = R R + 1 + 1 1 + 1 1 + 2 2 da cu R = A 1 + 1 1 + 2 2 1 + 2 2 + 1 = 2842, 78e Eserczo 9 Calcolare la rata, al tasso annuo del 6, 25%, d una rendta d valore attuale A = 8202, 09125e costtuta da 8 rate annual costant postcpate la cu prma rata verrà pagata fra 5 ann Soluzone Poché la prma rata della rendta postcpata verrà pagata fra 5 ann, abbamo rendta perodca, annuale, postcpata dfferta d m = 4 perod attenzone: non 5 perod, l cu valore attuale è par a: da cu s rcava R = A A = R a n 1 + m = R 1 1 + n 1 + m, 1 1 + n 1 + 0, 0625 m = 8202, 09125 1 1, 0625 8 1, 06254 1700e Eserczo 10 Un bene vene venduto a rate al prezzo d 100000e La rateazone è così descrtta: antcpo mmedato del 30% del valore del bene; un numero n d rate costant postcpate annual par a 8000e; tasso d nteresse annuo, a regme composto, par a = 10% Stablre: a l numero n d ann necessaro per dfetto; b a quanto ammonta l resduo, potzzando d pagarlo nell anno n + 1;
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 7 c l motvo per cu, anche volendo abbassare la rata costante da 8000 a R, per un qualunque numero d ann, tale R non può scendere a 7000 Soluzone Abbamo che l valore attuale della rendta è a Impostando l equazone S = 100000 0, 3 100000 = 70000e S = R a n = R 1 1 + n con S, e R not e n ncognta, s rcava n attraverso l logartmo, ossa R ln n = R S ln1 + e s trova n = 21, 82 Per semplctà, ndchamo ancora con n la parte ntera per dfetto d 21, 82, dunque n = 21 b Possamo vedere l resduo rferto all n + 1 esmo anno n due mod equvalent Prmo Modo Il resduo rferto all n + 1 esmo anno è la dfferenza d due valor attual S e S captalzzata d n + 1 perod: Res n+1 = S S 1 + n+1, dove S è l valore attuale della rendta consderata, mentre S è l valore attuale d una rendta annua, postcpata, a rata costante R, costtuta da n termn, ossa Dunque S = R a n = R 2 Res n+1 = S R 1 1 + n 1 1 + n 1 + n+1 Secondo Modo Il resduo rferto all n + 1 esmo anno è la dfferenza d due montant M 1 e M 2, rfert all epoca n, captalzzata d un perodo: Res n+1 = M 1 M 2 1 + Abbamo che M 1 è l valore della rendta rferto all epoca n, qund M 1 = S 1 + n,
8 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA mentre M 2 è l ncasso reale della rendta fno all n esmo anno, dunque è l montante d una rendta annua, postcpata, a rata costante R, costtuta da n termn, ossa Allora 3 Res n+1 = M 2 = R s n = R 1 + n 1 S 1 + n R 1 + n 1 1 + Osservamo che le formule 2 e 3 sono ugual: nfatt, se raccoglamo 1+ n nel secondo membro d 3 ottenamo Res n+1 = 1 1 S 1 + n R 1 + n 1 + n 1 + = = 1 + n S R = S R Nel nostro caso, Res 22 = S R = 70000 8000 1 1 + n 1 1 + n c Abbamo vsto che R ln n = R S = ln1 + 1 + = 1 + n+1 1 1 + 21 1 + 22 = 1 1, 1 21 1, 1 22 = 6597, 25e 0, 1 ln R lnr S ln1 + Poché tutt logartm devono essere ben defnt, essendo R > 0, 1 + > 0, dobbamo avere R S > 0, ossa R > 7000 Eserczo 11 Godete d una rendta postcpata, mmedata che sgnfca: non dfferta, che v garantsce R 1 al prmo anno e R 2 al secondo, con R 1 R 2, a regme composto e tasso annuo Qual è la rata costante R che v garantrebbe una rendta con valore attuale par a quella con rate R 1 e R 2? Problema letterale con formula fnale che dpende da dat R 1, R 2 e
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 9 Soluzone Il valore attuale della rendta con rate R 1 e R 2 è par a: S 1 = R 1 1 + 1 + R 2 1 + 2 = R 1 1 + + R 2 1 + 2 = R 11 + + R 2 1 + 2 Il valore attuale della rendta con rata costante R è : S 2 = R 1 + 1 + R 1 + 2 = R 1 + + R 1 + 2 = R 2 + 1 + 2 Poché deve essere S 2 = S 1, allora dunque R 2 + 1 + 2 = R 11 + + R 2 1 + 2 R = R 11 + + R 2 2 + Eserczo 12 Un debto d 2000e vene rmborsato con 6 rate semestral Le 2 rate del secondo anno sono doppe del prmo e quelle del terzo trple del prmo Se le 2 rate del prmo anno sono par a R cascuna e l tasso semestrale è s = 4%, calcolare la rata R del prmo anno Soluzone S tratta d tre rendte ncollate tra loro a rata costante cascuno, prma d rata R, po 2 R, nfne 3 R Se l debto nzale è A = 2000e, attualzzando le prme 2 rate s ha 4 A 1 = R 1 1 + s 2 s Se ora calcolass l valore attuale delle sole rate del secondo anno, ponendom all epoca t = 1 qund qu attuale vuole dre rportato all epoca t = 1 posso contnuare ad usare la stessa formula, ossa 5 2 R 1 1 + s 2 s Per portare po questa somma dall epoca t = 1 all epoca zero, s attualzza d nuovo questa volta attuale sgnfca veramente all epoca zero la 5 d 1 anno o d 2 semestr, ossa 6 A 2 = 2 R 1 1 + s 2 s 1 + s 2 Ragonando allo stesso modo per l terzo anno, s trova che 7 A 3 = 3 R 1 1 + s 2 s 1 + s 4
10 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Infne, essendo A = A 1 + A 2 + A 3, tenendo conto della 4, 6, 7, s ha che A = R 1 1 + s 2 2 1 + s 1 + s 2 + 3 1 + s 4 da cu, solando e rcavando l ncognta R, s ha che R = A s 1 1 + s 2 1 + s 4 1 + s 4 + 2 1 + s 2 195, 88e + 3