DERIVATA Sia y f() una funzione reale definita in un intorno di. Si consideri un incremento (positivo o negativo) di : h; la funzione passerà allora dal valore f( ) a quello di f( +h), subendo così un incremento y f( +h) - f( ). Si definisce rapporto incrementale della funzione f( ) il rapporto tra l'incremento della funzione e l' incremento corrispondente della variabile indipendente, cioè: SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL RAPPORTO INCREMENTALE Sia P(,f( )) un punto nel piano cartesiano appartenente alla curva di equazione yf(). Si consideri inoltre un nuovo punto Q( +h,f( +h)) sul grafico di f, distinto da P, la cui ascissa appartenga ancora all'insieme di definizione di f. Per come abbiamo scelto le cose la retta s passante per P e Q è una secante del grafico di f. Il rapporto incrementale
è il coefficiente angolare della retta PQ, cioè il valore della tangente dell angolo che la retta PQ forma con l asse delle (per il secondo teorema sui triangoli rettangoli). DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO X DEFINIZIONE La derivata di una funzione rappresenta la variazione che subisce la funzione f rispetto alla variabile. Si definisce derivata della funzione reale y f() in un punto (e si indica con f'( ) ), il ite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale: cioè Si parlerà di derivata destra (sinistra) se esiste ed è finito il ite destro (sinistro)del rapporto incrementale. Una funzione è derivabile in un punto se la derivata destra coincide con la derivata sinistra.
SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA Quando h tende a zero, il punto P si avvicina sempre più al punto Q: la retta PQ allora, che dapprima era secante la curva, non diventa altro che la retta tangente alla curva nel punto e l'angolo α tende all'angolo β. Perciò la f ( ) non rappresenta altro che il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto. Applicazioni delle Derivate ) Equazione della tangente a una curva in un punto: Consideriamo una curva generica yf(). La retta tangente alla curva in un punto P di ascissa ha come coefficiente angolare m la derivata della funzione calcolata nello stesso punto di ascissa, ossia f ( ) [significato geometrico della derivata] [Fig. ]. Quindi possiamo scrivere: m f '( )
L equazione della tangente a una curva yf() in un punto P (,y ), è data dalla formula [ottenuta sostituendo al posto di m, f ( )]: y y f '( ) ( ) Uso dei iti per il calcolo delle derivate PREMESSA : Teorema del Confronto Siano tre funzioni definite su un dominio X di. Se ed esiste un intorno U di tale che allora ESEMPIO. Sfruttando il fatto che per vale Per i reciproci vale: ora si moltiplica per sin :
Ma cos tende all'unità per che tende a zero, quindi per il teorema del confronto il ite in mezzo dovrà avere lo stesso valore degli altri due Esempio. Moltiplicando il denominatore e il numeratore per + cos() abbiamo che: Ma poiché sin () cos (): Quindi Moltiplicando il denominatore e il numeratore per + cos() abbiamo che: Ma poiché sin () cos (): Quindi
Applichiamo i iti notevoli per calcolare la derivata di y sen f() sen f(+h) sen (+h) faccio il ite del rapporto incrementale: sen (+h) - sen h-> ------------- --------- h applico la regola della somma per sen (+h) sen cos h + cos sen h Per il teorema sulla somma dei iti h-> (sen cos h - sen ) / h + h-> cos sen h/ h h-> sen (cos h - ) / h + h-> cos (sen h/ h) (sen ) h-> (cos h - ) / h + (cos ) h-> sen h/ h h-> (sen ) (/)h + (cos ) cos quindi la derivata di y sen e' y' cos La derivata di y f() f(+h) (+h) faccio il ite del rapporto incrementale: (+h) - h-> --------------- h sviluppo il quadrato +h+h - h-> ------------ ------- h h-> (h+h ) / h Per il teorema sulla somma dei iti h-> h / h + h-> h / h h-> + h-> h
Regole di derivazione: Per la derivata di una funzione somma di più funzioni derivabili vale il seguente teorema: La derivata della somma di due (o più) funzioni derivabili, esiste ed è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni. teorema: Se è: y f + g con f e g funzioni derivabili in, sarà per il teorema enunciato: y f + g. Per la derivata di una funzione prodotto di due funzioni derivabili vale, invece, il seguente La derivata del prodotto di due funzioni derivabili, esiste ed è uguale al prodotto della derivata del primo fattore per il secondo, più il prodotto del primo fattore per la derivata del secondo. teorema: Se è: y f g con f e g funzioni derivabili in, sarà per il teorema enunciato: y f g + f g. Per la derivata di una funzione quoziente di due funzioni derivabili vale, infine, il seguente La derivata del quoziente di due funzioni derivabili, esiste ed è uguale a una frazione avente al denominatore il quadrato del denominatore e al numeratore la differenza tra il prodotto del denominatore per la derivata del numeratore e il prodotto del numeratore per la derivata del denominatore. Se è: f y --- g con f e g funzioni derivabili in, sarà per il teorema enunciato: f g - f g y -------------- g Tabella di derivate Per semplificare il calcolo della derivata di una funzione, è stata predisposta una tabella di facile consultazione. Si riporta a sinistra la funzione yf() e, a destra, la derivata y f () in un generico punto, dove la funzione è derivabile:
yf() y f () y k y ' Funzione potenza: α y y ' α α In particolare: y y ' y y' sgn se < + se > quindi in non è derivabile(derivata destra diversa dalla derivata sinistra) y y y n y' n y' Funzioni trigonometriche: n n y' y sen y' cos y cos y' sen y tg y ctg y' + tg cos y ' ( + ctg sen ) Funzione logaritmica: y loga y' loga e ln a In particolare: y ln y' Funzione esponenziale: y a y' a a ln
Principali regole di derivazione: y k f () (k costante) y' k f '( ) y f ( ) + g( ) y ' f '( ) + g'( ) y f ( ) g( ) y' f '( ) g( ) + f ( ) g'( ) f ( ) f '( ) g( ) f ( ) g'( ) y y' g( ) [ g( )] Esempio : Calcolare l equazione della retta tangente alla curva f() cos(/4) nel punto corrispondente a π f () 4 ' sen, m f 4 ( π) - 4 4 f(π), quindi y ( π) + 4 LIMITI DI FORME INDETERMINATE-Teorema di De L Hospital La conoscenza delle derivate e delle principali regole di derivazione è utile, fra l altro, per il calcolo di certi iti che si presentano sotto forma indeterminata quali il quoziente di due funzioni che tendono simultaneamente a zero o all infinito A tale scopo, lo strumento fondamentale è fornito dal seguente teorema: Siano f() e g() due funzioni derivabili in un intorno H del punto c (escluso eventualmente c), con g (). Se è: oppure Se esiste il f () g(), c c g c oppure f e g continue con ( ) ( ), f '( ) c g '( ), allora esiste anche il f () g(c). c c f ( ) c g( ) f ( ) c g ( ), e si ha: f '( ) c g'( ). f c
Se il quoziente f '( ) g'( ) nel punto c presenta di nuovo una indeterminazione del tipo, o, e se le funzioni soddisfano le condizioni del teorema, conviene allora passare alle derivate seconde, ecc. Esempio: Supponiamo di voler calcolare il valore del ite della seguente funzione: + 5 6 + Se sostituissi al posto della il valore a cui essa tende, ossia, otterrei: + 5 6 () + 5() 6 + () + (). L espressione, come è noto, è una forma indeterminata. Applichiamo il teorema di De L Hospital. Derivando numeratore e denominatore si ha: + 5 6 + 5 + + Se provo a rifare la sostituzione, stavolta, ottengo: + 5 () + 5 + () + 7 3