Frazioni algebriche Le frazioni algebriche sono frazioni con polinomi al numeratore e al denominatore, quindi sono le frazioni più generiche possibili: studiare e capire le regole delle loro operazioni significa saper lavorare con tutti i tipi di frazione possibili. Inoltre, sono essenziali per riuscire a ridurre in forma normale le equazioni e, quindi, risolverle. Equivalenza di frazioni algebriche (semplificazioni) Per tutte le possibili operazioni faremo riferimento alle operazioni già fatte con le frazioni numeriche: ricorda infatti che i polinomi comprendono anche i numeri, quindi deve essere possibile eseguire sui polinomi le stesse operazioni che eseguiamo sui numeri. Se consideriamo una frazione, la prima cosa da fare è semplificarla (ridurla ai minimi termini) per renderla più semplice possibile. Se ad esempio ho: 10 15 scompongo numeratore e denominatore 2 5 5 divido numeratore e denominatore per 5 ed ottengo 2 Quando ho una frazione con un polinomio al numeratore ed un polinomio al denominatore devo fare la stessa cosa: scomporre in fattori numeratore e denominatore controllare se scomponendo ho ottenuto due fattori uguali se sono uguali, eliminarli scrivere la frazione con i termini restanti e cercare di fare tutte le operazioni senza nessuna abbreviazione. scomporre la frazione: x 2 4 x 2 5x 6 1) scompongo il numeratore: (x 2-4) è una differenza di quadrati e si scompone come (x - 2) (x + 2) 2) scompongo il denominatore: x 2-5x +6 è un trinomio notevole e si scompone come (x - 2) (x ) ) quindi ho: x 2 x 2 x 2 x
4) numeratore e denominatore hanno uguale il fattore (x - 2), lo tolgo sia sopra che sotto ed ottengo: x 2 x Nota bene: tra numeratore e denominatore posso semplificare solo tra fattori, cioè tra i termini delle moltiplicazioni (o divisioni). Non posso semplificare, invece, tra addendi, cioè tra i termini di somme (o differenze). x 2 x oppure x 5 x in entrambi i casi non è possibile semplificare, ad esempio, la x sopra e sotto, perché è un addendo, cioè il termine di una addizione. Somma e differenza di frazioni algebriche Anche qui seguiremo esattamente lo stesso procedimento che si usa per la somma di due frazioni numeriche. Se ad esempio si ha: 1 6 4 scompongo i denominatori: 1 2 2 2 calcolo il minimo comune multiplo x2 2 = 12, metto a denominatore comune e sommo le frazioni equivalenti con denominatore il minimo comune multiplo: 1 2 12 12 per semplicità si preferisce scrivere un'unica frazione piuttosto che più frazioni e poi svolgere le operazioni al numeratore: 1 2 = 11 12 12 ed ottengo il risultato, dopo aver controllato se numeratore e denominatore si possono semplificare (in questo caso no). Quando ho una somma di frazioni algebriche devo fare la stessa cosa: scomporre in fattori i denominatori fare il minimo comune multiplo
mettere a denominatore comune, dividere il m.c.m. per i denominatori e moltiplicare il risultato per i numeratori eseguire le operazioni ai numeratori scomporre, se possibile il numeratore per semplificarlo con il denominatore scrivere la frazione finale e cercare di fare tutte le operazioni senza nessuna abbreviazione. sommare le frazioni: x x 2 4 x 4 x 2 2x 1) scompongo i denominatori: x x 2 x 2 x 4 x x 2 2) calcolo il minimo comune multiplo m.c.m. = x (x + 2) (x - 2) ) divido il minimo comune multiplo per i denominatori e moltiplico il risultato per i numeratori: x x x 2 x 4 x x 2 x 2 4) eseguo le moltiplicazioni ai numeratori: x 2 x x 2 4x 2x 8 x x 2 x 2 5) sommo i termini simili: 2x 2 x 8 x x 2 x 2 6) provo a scomporre il numeratore ma questo non è scomponibile. La frazione finale, dunque, è quella scritta sopra. Il procedimento per la differenza tra frazioni algebriche è uguale a quello per la somma ma attenzione: qui è facile commettere un errore. Quando si ha il meno davanti ad una frazione occorre cambiare di segno tutti i termini al numeratore. : x x 1 x2 4x 2 x 1 = x x2 4x 2 x 1 = x x2 12x 6 = x2 1x 6 x 1 x 1
Prodotto di frazioni algebriche Vediamo ora di ripassare il prodotto fra due frazioni numeriche e poi facciamo l'equivalente con i polinomi. Se ad esempio si ha: 10 4 21 scompongo sia i numeratori che i denominatori: 2 5 22 7 semplifico i termini uguali che siano in un numeratore ed in un denominatore (nel nostro caso tolgo il con il ed il 2 al denominatore con un due del numeratore); resta: 1 5 2 7 moltiplico sopra con sopra e sotto con sotto (numeratore con numeratore e denominatore con denominatore): 2 5 Quando ho un prodotto di frazioni algebriche devo fare la stessa cosa: scomporre i numeratori ed i denominatori eliminare i termini uguali che si trovino sia al numeratore che al denominatore moltiplicare numeratore con numeratore e denominatore con denominatore moltiplicare le frazioni: x 2 4 x 2 9 x 9 x 2 2x 1) scompongo numeratori e denominatori x 2-4 = (x - 2) (x + 2) x 2-9 = (x - ) (x + ) x - 9 = (x - ) x 2-2x = x (x - 2) x 2 x 2 x 2) x x x x 2 ) elimino (x-2) ed (x - ) che si trovano contemporaneamente al numeratore ed al denominatore; resta: x 2 x x 4) moltiplico numeratore con numeratore e denominatore con denominatore x 2 x x
Quoziente di frazioni algebriche Anche per il quoziente ripassiamo l'operazione fra due frazioni numeriche e poi facciamo l'equivalente con i polinomi. Se ad esempio si ha: 10 7 18 devo moltiplicare la prima frazione per l'inverso della seconda: 10 18 7 e continuo normalmente come se fosse una moltiplicazione, cioè scompongo sia i numeratori che i denominatori e semplifico i termini uguali che siano in un numeratore ed in un denominatore e moltiplico sopra con sopra e sotto con sotto (numeratore con numeratore e denominatore con denominatore): 2 5 2 2 7 = 2 5 1 2 7 = 60 7 Quando ho un quoziente di frazioni algebriche devo fare la stessa cosa: riscrivere la prima frazione moltiplicata per l'inverso della seconda e poi procedere come per il prodotto scomporre i numeratori ed i denominatori eliminare i termini uguali che si trovino sia al numeratore che al denominatore moltiplicare numeratore con numeratore e denominatore con denominatore eseguire la seguente divisione: x 2 1 x 2 4 2 x2 2x 2 x 4 1) moltiplico la prima frazione per l'inverso della seconda: x 2 1 x 2 4 2 x 4 2 x 2 2x 2) procedo come per un prodotto, cominciando a scomporre in fattori numeratori e denominatori: x 2-1 = (x - 1) (x + 1) x 2-4 = (x - 2) (x + 2) 2x + 4 = 2 (x + 2) 2x 2-2x = 2x (x 1) x 1 x 1 2 x 2 x 2 x 2 2x x 1
) elimino (x - 1), (x + 2) ed il 2 che si trovano contemporaneamente al numeratore ed al denominatore e moltiplico numeratore con numeratore e denominatore con denominatore: x 1 x 2 1 x = x 1 x x 2 Potenza di frazioni algebriche Ripassiamo l'operazione di elevamento a potenza per frazioni numeriche e poi facciamo l'equivalente con i polinomi. Se ad esempio si ha: 5 devo fare la potenza sia al numeratore che al denominatore: 27 = 5 125 Quando ho una potenza di frazioni algebriche devo fare la stessa cosa, cioè: elevare a potenza sia il numeratore che il denominatore calcolare la seguente potenza: x 2 2 = x 9 2 x 2 2 2 2 [ x x ] = x 2 4 2 x 2 x 2