Serie di Potenze Introducimo il concetto di convergenz puntule ed uniforme per successioni di funzioni. Definizione 1 Si I un intervllo di R. Si dt l vrire di n N l funzione f n : I R. Dicimo che l successione di funzioni {f n } n converge puntulmente ll funzione f : I R se lim f n(x) = f(x) lim xn = x I Esempio 1 Sino f n (x) = x n, queste funzioni sono definite per ogni x R, vedimo se convergono. Si vede subito che + se x > 1 1 se x = 1 0 se 1 < x < 1 se x 1 Quindi osservimo che l convergenz puntule si h nell intervllo ( 1, 1] e in questo cso l funzione limite è { 0 se 1 < x < 1 f(x) = 1 se x = 1. Nell Esempio 1 si not come un successione di funzioni molto regolri possono convergere puntulmente d un limite discontinuo. Questo signific che, con l convergenz puntule, l limite possimo perdere lcune proprietà qulittive verificte dlle funzioni dell successione di prtenz. Tornndo ll esempio precedente in modo euristico osservimo che il grfico delle f n per n grnde non tende schiccirsi in modo uniforme sul grfico dell funzione limite f. Se ndimo considerre l quntità sup f n (x) f(x) x ( 1,1] quest risulterà sempre ugule d 1. Introducimo un nuovo concetto di convergenz per successioni di funzioni. Definizione 2 Si I un intervllo di R. Si dt l vrire di n N l funzione f n : I R. Dicimo che l successione di funzioni {f n } n converge uniformemente ll funzione f : I R in I (f n f in I) se lim sup f n (x) f(x) = 0. x I 1
Evidentemente questo tipo di convergenz è più forte di quell puntule, inoltre l ide di convergenz uniforme è strettmente legt ll intervllo I che si consider, inftti nell Esempio 1 possimo osservre che in ogni intervllo del tipo ( 1 + ɛ, 1 ɛ) si h convergenz uniforme. Nel seguito enuncimo tre risultti che ci fnno cpire l importnz dell convergenz introdott nell Definizione 2. Proposizione 1 Sino f n C(I), supponimo che f n f in I, llor f C(I). Omettimo l dimostrzione di tle risultto in qunto è un po delict, comunque si può trovre nel Cournt John vol 1 (pg.536). Proposizione 2 Sino f n C([, b]), supponimo che f n f in I, llor lim Dimostrzione Osservimo che f n (x) dx f(x) dx d cui ottenimo l tesi. f n (x) dx = f(x) dx. f n (x) f(x) dx (b ) mx x [,b] f n(x) f(x) Proposizione 3 Si I un intervllo perto, sino f n C 1 (I), supponimo che le f n convergno puntulmente d f e che le f n convergno uniformemente d un funzione g in I, llor f C 1 (I) ed f = g. Dimostrzione Fissto x 0 I si h per ogni n f n (x) f n (x 0 ) = x x 0 f n(x) dx Pssndo l limite in n in quest uguglinz e utilizzndo l Proposizione precedente si ottiene f(x) f(x 0 ) = x x 0 g(x) dx Dl teorem fondmentle del clcolo segue l tesi. Esercizio 1 Sino f n (x) = sin( x n ). uniforme negli intervlli [0, 1] ed R. Studire l convergenz puntule ed 2
Esercizio 2 Sino f n (x) = e xn. Studire l convergenz puntule ed uniforme negli intervlli [0, 1] ed [1, + ). Dt un successione di funzioni f n : I R, possimo considerre l serie di funzioni ssocit f n (x) quest convergerà puntulmente o uniformemente d un funzione S(x) se l successione di funzioni dt dlle somme przili S k (x) = k f n (x) converge puntulmente o uniformemente d S(x). Dl momento che opertivmente è difficile dimostrre che un serie converge uniformemente risult utile il seguente risultto (per un dimostrzione si può vedere il Cournt John vol I pg. 535). Proposizione 4 Si {f n } un successione di funzioni definite in I, supponimo che f n (x) n x I e n < (1) llor l serie converge uniformemente in I. Se è verifict l (1) llor si dice che l serie converge totlmente. Esercizio 3 Sino f n (x) = xn n+x 2 definite in R per n 1. Dimostrre che l serie converge puntulmente nell intervllo ( 1, 1) m non converge totlmente in questo intervllo. Finlmente possimo introdurre le serie di potenze che sono delle prticolri serie di funzioni dell form n (x x 0 ) n dove x 0 è un fissto vlore in R e { n } è un successione numeric dt. L motivzione per lo studio di tli serie viene dgli sviluppi di Tylor. Inftti sppimo che un funzione che h n + 1 di derivte nell intorno 3
di un punto dto x 0 si puo scrivere nell intorno di x 0 come un polinomio di grdo n (il polinomio di Tylor) più un resto (in form di Lgrnge o in form integrle) che è un quntità che v zero più velocemente di (x x 0 ) n qundo x tende d x 0. Or supponimo che l funzione dt mmett infinite derivte, llor h senso considerre un serie di potenze del tipo f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n, dove con f (n) (x 0 ) indichimo l derivt n-esim di f in x 0 e chiedersi se quest serie coincid proprio con l funzione f lmeno in un intorno piccolo di x 0. Questo è uno dei quesiti che ci chiederemo per le serie di potenze. Un funzione per cui vle questo risultto è l funzione esponenzile e x che spesso viene proprio definit prtire dll serie e x = x n. Un ulteriore motivzione per lo studio delle serie di potenze è dt dl ftto che ttrverso queste è possibile risolvere equzioni differenzili ttrverso l scrittur dell soluzione in serie di potenze. Esempio 2 Risolvere il seguente problem di Cuchy { f (x) = 2f(x) f(0) = 1. Cerchimo un soluzione dell form f(x) = n x n ottenimo subito dll condizione inizile che 0 = 1. Derivndo formlmente termine termine possimo spettrci il seguente sviluppo per l derivt di f (in seguito si cpirà perché questo è lecito) f (x) = n n x n 1. n=1 Imponendo che si soddisftt l equzione differenzile ed uguglindo i coefficienti dei monomi dello stesso grdo, si ottiene per ogni n fisst, l 4
relzione (n + 1) n+1 = 2 n d cui si dimostr fcilmente per induzione che perciò f(x) = n = 2n (2x) n = e 2x risultto che potevmo ottenere utilizzndo l teori delle equzioni differenzili lineri. Bisogn fre molt ttenzione nell usre il metodo di sopr. Tutto h funzionto perché l serie ottenut er effettivmente sommbile, se cosí non fosse stto tutto il conto vrebbe ssunto solo un vlore formle. In effetti è possibile che un serie di potenze converg solo in un punto. Esercizio 4 Osservre che l serie di potenze converge solo per x = 0. n n x n Esercizio 5 Verificre che l serie di potenze converge per ogni x R. x n Esercizio 6 Verificre che l serie di potenze converge se e solo se x ( 3, 3). n 2 + 1 3 n + 1 xn Voglimo studire in generle l convergenz di un serie di potenze n (x x 0 ) n, (2) 5
meno di fre un cmbio di vribile possimo sempre ridurci l cso in cui x 0 = 0. Negli esempi visti l insieme di convergenz è venuto sempre un intervllo di centro x 0, questo potev essere nche ugule tutto R oppure essere ridotto l solo punto x 0. Il seguente risultto ci illumin su questo ftto. Proposizione 5 Supponimo che l serie di potenze nx n converg in un punto y 0 llor i) ess converge ssolutmente in tutto un intervllo del tipo ( y, y ); ii) ess converge totlmente e quindi uniformemente (Proposizione 4) in ogni intervllo del tipo [ y + ɛ, y ɛ], ɛ (0, y ). Dimostrzione Si x ( y, y ). Se l serie ny n converge llor il termine n y n deve essere infinitesimo, in prticolre esiste un costnte positiv M tle che n y n M, llor vle l seguente stim n x n = n y n x y n M x y L serie ottenut d ultimo membro delle precedenti disuguglinze è un serie geometric convergente dl momento che x < y, in prticolre si h x y n = 1 1 x y d cui segue l prim prte. Per qunto rigurd l second prte osservimo che per il termine generico dell serie si h n x n M y ɛ n y x [ y + ɛ, y ɛ]. Dl momento che y ɛ y n <, bbimo l convergenz totle e quindi uniforme. Come conseguenz del risultto precedente bbimo che se un serie non converge in un punto y, llor ess non converge per ogni x > y. D queste considerzioni deducimo che necessrimente l serie converge in un intervllo di centro 0 (in generle x 0 ). n. 6
Più precismente esisterá un vlore ρ = sup{y 0 tle che n y n < } per cui l serie converge in ( ρ, ρ) non converge (, ρ) (ρ, ), in tutti gli intervlli chiusi e limitti contenuti in ( ρ, ρ) l convergenz srà uniforme, qundo ρ è un vlore rele diverso d zero in generle non si può dire null dell convergenz per i due vlori ±ρ. Riepilogndo vle il seguente risultto Proposizione 6 Dt un serie di potenze n (x x 0 ) n, esiste ρ [0, ], detto rggio di convergenz, tle che l serie converge in vlore ssoluto in tutti i punti contenuti nell intervllo perto (x 0 ρ, x 0 + ρ) e tle covergenz è uniforme in ogni intervllo chiuso e limitto di (x 0 ρ, x 0 + ρ). L serie non converge se x / [x 0 ρ, x 0 + ρ]. Esercizio 7 Verificre che il rggio di convergenz delle serie (n + 1)x n, n=1 1 n xn è ugule d 1. A questo punto è spontneo chiedersi se c è un modo per determinre il rggio di convergenz ρ. Supponimo che esist il lim n n = L [0, ], or pplichimo il metodo dell rdice per l serie di potenze quindi considerimo lim n x n n n x n = L x llor bbimo convergenz se L x < 1. D questo deducimo il seguente risultto 7
Proposizione 7 Dt un generic serie di potenze se esiste n n = L, lim llor il rggio di convergenz è dto d + se L = 0 1 ρ = L se L (0, ) 0 se L =. (3) Un risultto nlogo si dimostr se esiste n+1 lim = L. n In generle si può provre che L è dto d n lim sup n := inf n N sup k>n k k (vedi Giusti vol.2). Quest quntità coincide con il limite dell successione { n n } n qundo questo esiste. Abbimo visto nell Esempio 1 che formlmente l derivt di un serie di potenze (2) è dt d n n (x x 0 ) n 1. (4) n=1 Anlogmente, in modo formle, un serie primitiv è dt meno di un costnte d n n + 1 (x x 0) n+1. (5) n=1 Considerimo l solito per semplificre le notzioni il cso x 0 = 0. Ripetendo l dimostrzione dell Proposizione 5 ed utilizzndo l Esercizio 1 ottenimo che se l serie nx n converge in un punto y 0 llor le reltive serie derivt e serie primitiv convergono in tutto l intervllo ( y, y ). D ciò deducimo l seguente Proposizione 8 Le serie (2),(4),(5) hnno tutte lo stesso rggio di convergenz ρ e quindi tutte convergono uniformemente negli intervlli chiusi e limitti contenuti in (x 0 ρ, x 0 + ρ). 8
Supponimo che ρ 0 e indichimo le tre serie nel seguente modo F (x) = n=1 n n + 1 (x x 0) n+1, f(x) = n (x x 0 ) n, g(x) = n n (x x 0 ) n 1, llor si h che F (x) = f(x) e f (x) = g(x). Inftti se S k (x) è l successione di funzioni dt dlle somme przili dell f(x), llor l successione S k (x) corrisponderà lle somme przili dell funzione g(x), poiché le due serie convergono uniformemente in tutti gli intervlli chiusi e limitti di ( ρ, ρ), dll Proposizione 3 segue l uguglinz f = g. In modo del tutto nlogo si mostr l ltr uguglinz. A questo punto è evidente che possimo iterre il procedimento di derivzione fino ll ordine che voglimo ottenendo per l generic derivt k-sim f (k) (x) = n=1 n(n 1) (n k + 1) n k (x x 0 ) n k (6) n=k quest vrà lo stesso rggio di convergenz ρ dell serie di prtenz (2). Dll uguglinz (6) ottenimo l vrire di k k = f (k) (x 0 ) k! che fornisce il legme tr i coefficienti dell serie di potenze e le derivte dell somm dell serie nel punto x 0. Esercizio 8 Studire l convergenz delle seguenti serie di potenze (7) ( 1) n 3 n n 2 + 2 (x 2)n, (2) n (3n + 2)! n 4 (x 1) n. + 1 D qunto detto in precedenz segue che se l serie di potenze n(x x 0 ) n converge in un intervllo (quindi ρ 0)), llor possimo definire in questo intervllo l funzione f(x) che è l somm dell serie, quest funzione è C ((x 0 ρ, x 0 + ρ)) ed esiste un legme tr i coefficienti dell serie e le derivte dell funzione nel punto x 0 dto dll (7). Dto un intervllo perto I. Dt un funzione f C (I) e fissto x 0 I. Possimo sempre scrivere l serie di potenze f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n 9
quest viene dett serie di Tylor dell funzione f di centro x 0. Ci chiedimo se nell intervllo di convergenz dell serie l funzione f coincide con l su serie di Tylor. Se ciò ccde si dice che l serie è sviluppbile in serie di Tylor di centro x 0. D qunto osservto prim un funzione scritt come serie di potenze è utomticmente sviluppbile in serie di Tylor. Il seguente esempio mostr che non tutte le funzioni sono sviluppbili in serie di Tylor (vedi nche Cournt John vol I pg 462). Esempio 3 Considerimo l funzione { f(x) = e 1 x 2 se x 0 0 se x = 0. Si può dimostrre che quest è un funzione derivbile infinite volte ed h tutte le derivte nulle nell origine, perciò non è sviluppbile in serie di Tylor di centro 0. Il risultto che segue ci fornisce un condizione sufficiente per lo sviluppo in serie di Tylor. Proposizione 9 Dt un funzione f C (I) e fissto x 0 I. Supponimo che esistno due costnti positive M ed N tli che f (n) (x) NM n x I, n. (8) Allor f è sviluppbile in serie di Tylor (in I) di centro un qulsisi punto interno d I. A lezione bbimo trlscito quest dimostrzione, qui l riportimo per completezz ed nche perché è utile per ripssre il Teorem di Tylor ( Cournt John Vol. I pg 445). Dimostrzione Dimostre l uguglinz equivle dimostrre che f(x) = k lim f(x) k f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n, f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n = 0. 10
Utilizzndo l formul di Tylor con resto in form di Lgrnge, bbimo che per ogni k ed ogni x 0 I l funzione f si può scrivere come f(x) = k f (k) (x 0 ) (x x 0 ) n + f (k+1) (ξ) k! (k + 1)! (x x 0) k+1, dove ξ è un vlore opportuno che si trov tr x ed x 0, dipendente d x. Utilizzndo lo sviluppo precedente e l ipotesi (8) bbimo che f(x) k f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n NMk+1 x x 0 k+1. (k + 1)! Perciò ottenimo l tesi pssndo l limite nel secondo membro dell disuguglinz precedente ed utilizzndo il limite notevole lim k k + k! l = 0 vlido per ogni l R. Possimo osservre che le funzioni trigonometriche sin(x) e cos(x) verificno in tutto R le ipotesi dell proposizione precedente perciò sono sviluppbili. Se considerimo x 0 = 0 si h sin(x) = ( 1) n x 2n+1, cos(x) = (2n + 1)! ( 1) n x 2n. (2n)! Esercizio 9 A prtire d sviluppi noti scrivere l serie di Tylor delle seguenti funzioni 1 1 + x, 1 1 + x 2, 2x (1 + x 2 ) 2, log(1 + x), rctn(x), xe3x, x sin(x 2 ). Esercizio 10 Dt l funzione f(x) = log(1 + x) clcolre f (8) (0). Or vedimo come sotto l ipotesi di uniforme convergenz di un serie di funzioni si possibile scmbire l operzione di serie con quell di integrle. Proposizione 10 Sino f n C([, b]). Supponimo che l serie S(x) = f n(x) si convergente uniformente in [, b], llor si h f n (x) dx = f n (x) dx. (9) 11
Dimostrzione. Questo si prov semplicemente pplicndo l Proposizione 2 ll successione di funzioni dt dlle somme przili S k (x) = k f n (x). Queste per ipotesi convergono uniformemente ll somm dell serie che bbimo indicto con S(x). Quindi f n (x) dx = S(x) dx = lim S k (x) dx k = lim k k f n (x) dx = f n (x) dx. Come ppliczione del precedente risultto considerimo il seguente Esempio 4 Voglimo clcolre 1 0 e x2 dx. In questo cso non possimo pplicre il teorem fondmentle del clcolo perchè non conoscimo un primitiv dell funzione e x2. Utilizzndo lo sviluppo in serie dell funzione esponenzile bbimo e x2 = questo sviluppo è vlido in tutto R, in questo cso il rggio di convergenz dell serie è. In prticolre bbimo convvergenz uniforme nell intervllo [0, 1] e quindi possimo clcolre l integrle come 1 0 x 2n = 1 1 0 x 2n x 2n dx = 1 (2n + 1) Non simo riusciti clcolre esplicitmente l integrle m comunque l bbimo riscritto come serie numeric e questo ci permette di pprossimre il risultto. Concludimo l esempio osservndo che l funzione x 2n+1 (2n + 1) ci fornisce in form di serie di potenze un primitiv dell funzione e x2. 12
Utilizzndo l teori vlid per le serie di potenze possimo trttre lcune serie di funzioni riconducibili serie di potenze. Esempio 5 Voglimo studire l covergenz dell seguente serie di funzioni ( 1) n (n + 2) n 2 + 1 log n (x). Osservimo che quest h senso per x > 0, inoltre ponendo y = log(x) possimo ricondurci studire l serie di potenze Osservimo che lim ( 1) n (n + 2) n 2 y n. (10) + 1 n n = lim n n + 2 n 2 + 1 = 1. Perciò il rggio di convergenz dell serie (10) è ugule d 1. Quindi utilizzndo l Proposizione 5 bbimo che l serie converge ssolutmente nell intervllo ( 1, 1) e uniformemente negli intervlli chiusi di ( 1, 1). Vedimo cos succede gli estermi. Per y = 1 ottenimo l serie n + 2 n 2 + 1 che è un serie termini positivi che si comport come l serie rmonic 1 n ed è quindi divergente. Per y = 1 bbimo l serie ( 1) n (n + 2) n 2 + 1 quest è un serie segni lterni, utilizzndo il criterio di Leibnitz (Cournt John vol I pg 514) ottenimo che è convergente. Or tornimo ll serie di funzioni inizile, vremo che quest risulterà essere convergente qundo 1 < log(x) 1, ovvero nell intervllo (e 1, e] e srà uniformemente convergente in tutti gli intervlli chiusi contenuti in (e 1, e). Esercizio 11 Dopo ver studito l convergenz dell seguente serie di funzioni f(x) = ne nx, 13
si clcoli 2 f(x) dx. 1 Esercizio 12 Si determini esplicitmente l funzione f(x) dt dll serie di potenze nx2n. Esercizio 13 Si determini sotto form di serie di potenze l soluzione del problem di Cuchy y x 2 y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1. Prim si proced in modo formle e poi si provi che l serie ottenut converge in tutto R. Ultim osservzione il concetto di serie di potenze si può estendere d oggetti che non sono necessrimente numeri reli. Dti n numeri reli (o complessi), l quntità k nx n può essere definit ogni qulvolt bbimo che fre con oggetti x X, su cui è definito il concetto di somm e di prodotto con un rele (o complesso), d esempio gli spzi vettorili, m non bst deve essere definito nche il prodotto tr elementi di X, in prticolre deve ver senso x k = x x x. Ad esempio si può scegliere X = C lo spzio dei numeri complessi e quindi considerre serie in cmpo complesso. Si può scegliere X nche come lo spzio delle mtrici n n in cui è definit l somm il prodotto con un rele e il prodotto tr mtrici. In questo cso dt l mtrice A si può considerre k n A n, se quest quntità converge per k che tende + (serve un metric su X!) llor scrivimo l serie + n A n, che srà un nuov mtrice dipendente dll mtrice A inizile. Un esempio interessnte si h per i coefficienti n = 1, in tl cso viene spontneo scrivere + e A A n = certo v sempre provto che l serie converge e quindi il senso d dre tle convergenz. L esponenzile di mtrice h notevoli ppliczioni nell risoluzione di sistemi lineri di equzioni differenzili (vedi d esempio ppunti Lmberti equzioni differenzili second prte pg 27). 14