Appunti di Teoria dei Segnali a.a. 00/0 L.Verdoliva La caratterizzazione nel dominio della requenza dei sistemi LTI rappresenta una soluzione alternativa a quella nel dominio del tempo, spesso molto conveniente dato che l operazione di convoluzione nel tempo diventa un prodotto in requenza. Analogamente alla risposta impulsiva è possibile introdurre la risposta in requenza di un sistema LTI, e quindi mostrare come tali sistemi presentino caratteristiche selettive in requenza, vale a dire i sistemi LTI si comportano come dei iltri, che attenuano o ampliicano le diverse requenze costituenti il segnale. In questa sezione analizzeremo i sistemi LTI tempo continuo e tempo discreto nel dominio della requenza. La risposta in requenza per sistemi tempo continuo Ricordiamo che un sistema LTI è completamente caratterizzato dalla sua risposta impulsiva h(t) e che l uscita è data proprio dalla convoluzione tra l ingresso e la risposta impulsiva. x(t) h(t) y(t) = x(t) h(t) D altra parte, ad una convoluzione nel tempo corrisponde il prodotto in requenza tra la trasormata di Fourier dell ingresso e la trasormata della risposta impulsiva: con y(t) = x(t) h(t) Y () = X()H() () H() = F[h(t)] = h(t) e jπt dt () detta anche risposta in requenza o risposta armonica. Allora, anziché realizzare la convoluzione nel tempo, è possibile: calcolare lo spettro dell ingresso X() = F[x(t)], moltiplicarla per la risposta in requenza X()H() = Y () e poi antitrasormare y(t) = F [y(t)]. x(t) FT X() H() Y () IFT y(t)
La risposta in requenza per sistemi tempo continuo Il legame tra gli spettri di ampiezza e di ase è il seguente: Y () = X() H() (3) Y () = X() + H() (4) Si noti come il atto che in requenza ci sia un prodotto tra gli spettri di ampiezza comporta che il sistema LTI abbia un comportamento selettivo nei conronti delle varie componenti requenziali che costituiscono il segnale. Inatti, in base alla orma della risposta in requenza è possibile ampliicare, attenuare o eliminare del tutto alcune componenti presenti in ingresso. Questa unzione di selettività giustiica il nome di iltro. Si noti, inoltre, come il sistema non possa introdurre requenze che non esistono nel segnale in ingresso, ma può solamente modiicarle. Un altro modo di deinire la risposta in requenza è dato dal seguente rapporto: H() = Y () X() (5) Tale relazione è sempre ormalmente valida, tuttavia non può essere applicata a quelle requenze per cui si annulla lo spettro del segnale in ingresso, poiché a tali requenze si annulla anche lo spettro dell uscita e la risposta armonica risulta indeterminata. Quindi se si vuole determinare H() mediante la (5) è necessario usare segnali in ingresso con estensione in requenza ininita e che non si annullino mai. Per esempio se si considera x(t) = δ(t), la risposta in requenza è data proprio dallo spettro del segnale in uscita..0. Esempio In questo esempio vogliamo mostrare il concetto di iltraggio in requenza. Supponiamo di considerare un segnale utile s(t) con spettro concentrato alle basse requenze S() = Λ(/B), cui si sovrappone un disturbo sinusoidale i(t) = cos(π 0 t), con requenza 0 > B: x(t) = s(t) + cos(π 0 t) Rappresentiamo graicamente lo spettro del segnale x(t). X() S() I() B 0 Figura : Spettro del segnale x(t) a.a. 00-0
La risposta in requenza per sistemi tempo continuo 3 In requenza gli spettri dei due segnali sono perettamente separati, pertanto risulta semplice eliminare il disturbo i(t), se si sceglie come iltro un sistema con risposta in requenza H() = Π(/B), che elimina il disturbo, ma lascia intatto il segnale (iltro passa-basso ideale). E charo che, se la sinusoide si osse sovrapposta allo spettro del segnale utile, sarebbe ancora stato possibile rimuovere l intererenza, ma lo spettro del segnale sarebbe risultato certamente distorto..0. Esempio L operazione di derivazione nel tempo: corrisponde al prodotto per jπ in requenza: y(t) = d dt x(t) Y () = jπx() Questa operazione può essere schematizzata in requenza come un sistema LTI con risposta armonica H() = jπ. Per comprenderne il comportamento è necessario determinare spettro di ampiezza e di ase: H() = π H() = π sign() H() H() π/ Figura : Spettro di ampiezza e di ase Dal graico si nota come il iltro tenda ad enatizzare le alte requenze del segnale, in particolare il sistema annulla la componente continua (la derivata di una costante è zero) e altera tutte le componenti requenziali secondo un attore proporzionale alla requenza stessa (più è alta la requenza tanto più essa verrà esaltata). Questo coerentemente col atto che il segnale derivato y(t) ha un andamento più rapidamente variabile rispetto al segnale x(t). a.a. 00-0
La risposta in requenza per sistemi tempo continuo 4. I iltri ideali I iltri ideali consentono di rimuovere perettamente un disturbo dal segnale utile, ornendo in uscita una versione indistorta del segnale in ingresso. In base alle caratteristiche di selettività del iltro è possibile eettuare la seguente classiicazione:. Filtro passa-basso: ( ) H LP () = Π B h LP (t) = B sinc(bt). Filtro passa-alto: H HP () = H LP () = Π ( ) B h HP (t) = δ(t) B sinc(bt) 3. Filtro passa-banda: ( ) ( ) 0 + 0 H BP () = Π + Π B B h BP (t) = B sinc(bt) cos(π 0 t) 4. Filtro elimina-banda: H BR () = H BP () h BR (t) = δ(t) B sinc(bt) cos(π 0 t) H LP () B B H HP () B B Figura 3: Risposta in requenza di un iltro passa-basso H LP () e passa-alto H HP () Tutti i iltri ideali sono caratterizzati da risposta in ampiezza costante nella banda passante (intervallo requenziale che viene atto passare) e nulla al di uori (banda oscura). Inoltre si ha una transizione brusca tra banda passante e banda oscura. Dall andamento della risposta impulsiva è acile aermare che tutti questi iltri non sono né causali (h(t) non è causale) né stabili (h(t) non è sommabile). I iltri ideali possono quindi solo essere approssimati da un sistema reale, ma non possono essere realizzati isicamente. a.a. 00-0
La risposta in requenza per sistemi tempo continuo 5 H BP () B 0 0 H BR() B Figura 4: Risposta in requenza di un iltro passa-banda H BP () e elimina-banda H BR (). I iltri reali In questa sezione mostriamo alcuni esempi di iltri reali, che approssimano quindi il comportamento dei iltri ideali... Esempio: iltro RC Si consideri il circuito mostrato in igura. R v i (t) C v u (t) Figura 5: Circuito RC Se scriviamo le equazioni che ne regolano il unzionamento, la tensione ai capi del condensatore è data dalla tensione in ingresso a cui va sottratta la caduta di tensione ai capi del resistore, risulta: v u (t) = v i (t) Ri(t) (6) a.a. 00-0
La risposta in requenza per sistemi tempo continuo 6 d altra parte: v u (t) = q(t) C andando a sostituire la (7) nella (6) si ottiene: dv u(t) dt = dq(t) C = i(t) dt C (7) v u (t) = v i (t) RC dv u(t) dt (8) Trasormando ambo i membri della (8), si ha: V u () = V i () RCjπ V u () cioè: V u ()[ + jπrc] = V i () A questo punto possiamo determinare la risposta in requenza del iltro: H() = V u() V i () = + jπrc (9) Antitrasormando la (9), si ottiene la risposta impulsiva: h(t) = RC e t RC u(t) Per quanto riguarda spettro di ampiezza e di ase del sistema: H() = + (πrc) H() = arctan(πrc) In igura 6 ne sono mostrati gli andamenti. E acile osservare che il iltro ha un comportamento di tipo passa-basso. Spettro di ampiezza Spettro di ase.5 0.8 0.5 H() 0.6 <H() 0 0.5 0.4 0..5 0 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 0 8 6 4 0 4 6 8 0 Figura 6: Spettro di ampiezza e spettro di ase a.a. 00-0
La risposta in requenza per sistemi tempo continuo 7 Dato che spesso la risposta in ampiezza può variare di molti ordini di grandezza, si preerisce rappresentarla in decibel: H() db = 0 log0 H() H( 0 ) (0) dove 0 è una requenza di rierimento. Il decibel è quindi una misura relativa ad un rierimento issato e quindi risulta adimensionale. Spesso come rierimento si sceglie il massimo valore assunto da H(). La (0) può anche essere riscritta come: H() db = 0 log 0 H() H( 0 ) = 0 log 0 H() 0 log 0 H( 0 ) = 0 log 0 H() 0 log 0 H( 0 ) Se scegliamo per il iltro RC come requenza di rierimento 0 = 0, dal momento che H( 0 ) =, si ha: H() db = 0 log 0 H() = 0 log 0 + (πrc) = 0 log 0[ + (πrc) ] Si deinisce poi requenza di taglio: Per = T, risulta e: T = πrc H() = H() db = 3 db Questa grandezza verrà spiegata in seguito quando si deinirà la banda di un sistema... Esempio: iltro CR Analizziamo adesso il circuito CR. C v i(t) R v u(t) Figura 7: Circuito CR In questo caso risulta: v u (t) = v i (t) q(t) C () a.a. 00-0
La risposta in requenza per sistemi tempo continuo 8 e: derivando ambo i menbri della () rispetto al tempo, si ottiene: ricordando poi che si ha: dv u (t) dt dv u (t) dt dq(t) dt v u (t) = Ri(t) () = dv i(t) dt C = i(t) = v u(t) R = dv i(t) dt Trasormando ambo i membri della (3), risulta: cioè: dq(t) dt jπ V u () = jπ V i () RC V u() V u ()[ + jπrc] = jπrc V i () A questo punto possiamo determinare la risposta in requenza del iltro: RC v u(t) (3) H() = V u() V i () = jπrc + jπrc (4) Si noti come risulti: H() = + jπrc cioè la risposta in requenza di un circuito CR è data da meno la risposta in requenza di un circuito RC; questo signiica che avrà un comportamento in requenza complementare: arà passare cioè le alte requenze del segnale ingresso. Antitrasormando la (5), si ottiene la risposta impulsiva: h(t) = δ(t) RC u(t) RC e t Per quanto riguarda spettro di ampiezza e di ase del sistema: (πrc) H() = + (πrc) H() = π sign() arctan(πrc) Spettro di ampiezza e di ase sono mostrati in igura 8. Il circuito CR si comporta come un iltro passa-alto. (5) a.a. 00-0
La risposta in requenza per sistemi tempo continuo 9 Spettro di ampiezza Spettro di ase 0.9.5 0.8 0.7 0.6 0.5 X() 0.5 <X() 0 0.4 0.5 0.3 0. 0..5 0 00 80 60 40 0 0 0 40 60 80 00 00 80 60 40 0 0 0 40 60 80 00 Figura 8: Spettro di ampiezza e spettro di ase.3 Banda di un segnale In modo analogo a quanto atto per i segnali nel dominio del tempo attraverso il concetto di durata, è possibile misurare l estensione requenziale di un segnale, cioè l intervallo di requenza all interno del quale il segnale assume valori non trascurabili, introducendo il concetto di banda. I segnali possono allora essere classiicati in. segnali a banda rigorosamente limitata; questi segnali si annullano identicamente al di uori di un certo intervallo requenziale;. segnali a banda illimitata; questi segnali assumono valori non trascurabili su tutto l asse requenziale; 3. segnali a banda praticamente limitata; questi segnali decadono asintoticamente a zero, per cui si possono ritenere trascurabili al di uori di un certo intervallo, che indica la misura della banda. In quest ultimo caso la deinizione di tale misura è arbitraria; nel seguito considereremo le seguenti deinizioni: a) banda nullo-nullo; b) banda all α% dell energia; c) banda a α db. La banda nullo-nullo può essere applicata a segnali a banda rigorosamente limitata come l impulso rettangolare o l impulso triangolare, il cui spettro presenta dei lobi (vedi igura, cap.4). In tal caso la banda è deinita come l estensione del lobo principale (quello centrato intorno a = 0), e misura quindi la distanza che intercorre tra i primi due nulli. La banda all α% dell energia è deinita come l intervallo spettrale B per cui è veriicata la seguente uguaglianza: B B X() d = αe x a.a. 00-0
La risposta in requenza per sistemi tempo continuo 0 con 0 < α <. Ricordiamo inatti che per Parseval risulta: E x = x(t) dt = X() d quindi si determina la banda del segnale imponendo che l energia nell intervallo B sia pari ad una razione α dell energia complessiva. Per esempio, per α = 0.9 si deinisce la banda al 90% dell energia, mentre per α = 0.99 si deinisce la banda al 99% dell energia. Inine, la banda a α db considera trascurabili tutti queli valori che si trovano al di sotto di una issata soglia, quando lo spettro è rappresentato in db (su scala logaritmica). Si deinisce per esempio la banda a 3 db l intervallo di requenza nel quale lo spettro del segnale assume valori maggiori o uguali a -3 db. Deiniamo adesso la banda per alcuni dei sistemi LTI descritti in precedenza. Il iltro ideale passa-basso (H() = Π(/B)) è un sistema a banda rigorosamente limitata. In tal caso è possibile deinire una banda monolatera pari a B o bilatera pari a B (igura 9). Il circuito RC, invece, è un iltro passa-basso reale per cui la banda a 3 db è deinita proprio dalla requenza di taglio T = /(πrc). H() B B Figura 9: Banda monolatera e bilatera Un ultima, ma importante considerazione, va atta riguardo il concetto di banda e durata. E possibile, inatti, dimostrare che nessun segnale a banda rigorosamente limitata può avere durata rigorosamente limitata. Questo esprime il principio di indeterminazione per cui non è possibile avere contemporaneamente banda e durata inite. Anche se in modo non rigoroso è possibile intuire questa aermazione, tenendo presente che un segnale a banda rigorosamente limitata B può essere riscritto, senza essere alterato, moltiplicandolo per un impulso rettangolare opportuno X() X() Π(/B). Dal momento che ad un prodotto in requenza corrisponde una convoluzione nel tempo si ha: x(t) Bsinc(Bt), il cui risultato ha durata non limitata. a.a. 00-0
La risposta in requenza per sistemi tempo discreto La risposta in requenza per sistemi tempo discreto Anche nel caso tempo discreto è possibile aermare che: con ma anche: y(n) = x(n) h(n) Y (ν) = X(ν)H(ν) (6) H(ν) = F[h(n)] = + n= H(ν) = Y (ν) X(ν) Il legame tra gli spettri di ampiezza e di ase è il seguente: h(n) e jπνn (7) (8) Y (ν) = X(ν) H(ν) (9) Y (ν) = X(ν) + H(ν) (0) per cui è possibile ripetere esattamente le stesse considerazioni del caso tempo continuo. E bene, tuttavia, osservare che tutti i iltri a tempo discreto hanno banda limitata.. Filtri ideali Nel caso tempo discreto nel deinire i iltri ideali, bisogna ricordare che tutti i segnali discreti sono periodici di periodo e che la massima requenza di oscillazione è ±/. Di seguito sono mostrati i iltri ideali passa-basso e passa-alto (igura 0) e passa-banda e elimina-banda (igura ). Si ricordi che comunque nell elaborazione basta limitarsi al range di requenze: ( /, /), in tal caso le cosniderazioni sono analoghe al caso continuo. H LP (ν) - - B B ν H HP (ν) - B B ν Figura 0: Risposta in requenza di un iltro passa-basso H LP (ν) e passa-alto H HP (ν) a.a. 00-0
La risposta in requenza per sistemi tempo discreto H BP (ν) - ν 0 - ν 0 ν H BR(ν) - B ν Figura : Risposta in requenza di un iltro passa-banda H BP (ν) e elimina-banda H BR (ν). Dierenza prima Consideriamo il sistema dierenza prima: y(n) = x(n) x(n ) e calcoliamone la risposta in requenza con la (8): H(ν) = Y (ν) X(ν) = e jπν () Per stabilire il comportamento in requenza del sistema, bisogna determinare spettro di ampiezza e di ase. Riscriviamo quindi la () come: da cui: H(ν) = je jπν sin(πν) H(ν) = sin(πν) H(ν) = πν + π sign[sin(πν)] Lo spettro di ampiezza e ase sono mostrati in igura (a sinistra) nell intervallo (, ). Il iltro ha un comportamento di tipo passa-alto..3 Media aritmetica Si consideri adesso il sistema che realizza la media aritmetica: y(n) = x(n) + x(n ) a.a. 00-0
La risposta in requenza per sistemi tempo discreto 3 Spettro di ampiezza Spettro di ampiezza.5 0.8 X() 0.5 X(ν) 0.6 0.4 0. 0 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 0 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Spettro di ase Spettro di ase <X() 0 <X(ν) 0 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Figura : Dierenza prima e media aritmetica In questo caso determiniamo la risposta in requenza con la (7), in cui la risposta impulsiva è: h(n) = δ(n) + δ(n ) Pertanto: H(ν) = + e jπν Procedendo in modo analogo all esempio precedente: da cui: H(ν) = e jπν cos(πν) H(ν) = cos(πν) H(ν) = πν + π sign[cos(πν)] In questo caso, invece, il iltro ha un comportamento di tipo passa-basso e lo spettro di ampiezza e ase sono mostrati in igura (a destra) nell intervallo (, )..4 Sistemi ARMA Consideriamo nuovamente i sistemi ARMA, cioè i sistemi che sono descritti dalla seguente equazione ingresso-uscita: y(n) = N a k y(n k) k= } {{ } AR Trasormando primo e secondo membro si ha: Y (ν) = N k= b m x(n m), M + m=0 } {{ } MA M a k Y (ν) e jπνk + b m X(ν) e jπνm m=0 a.a. 00-0
La risposta in requenza per sistemi tempo discreto 4 d altra parte risulta: [ + ] N a k e jπνk Y (ν) = k= M m=0 b m e jπνm X(ν) ricordando poi che H(ν) = Y (ν)/x(ν), si ha: H(ν) = M m=0 b m e jπνm + N k= a k e jπνk Per sistemi MA la risposta in requenza è rappresentata dal solo numeratore: H(ν) = mentre per iltri AR dal solo denominatore: M m=0 b m e jπνm H(ν) = + N k= a k e jπνk.4. Filtro AR Si consideri il seguente sistema AR del primo ordine: y(n) = ay(n ) + bx(n) () Determiniamo la risposta in requenza del sistema, trasormando ambo i membri della : da cui: Y (ν) = ay (ν)e jπν + bx(ν) H(ν) = Y (ν) X(ν) = b a e jπν antitrasormando è possibile determinare anche la risposta impulsiva: h(n) = b a n u(n) Il comportamento del sistema dipende dal valore di a: se 0 < a < il comportamento è di tipo passa-basso, se invece se < a < 0 il comportamento è di tipo passa-alto (ig., cap.4)..4. Filtro ARMA Consideriamo adesso un esmpio di iltro ARMA e determiniamo anche in questo caso prima H(ν) e poi h(n) = F [H(ν)]. Sia: y(n) = 3 y(n ) + x(n) + x(n ) a.a. 00-0
Sistemi LTI e segnali periodici 5 risulta: Y (ν) = 3 Y (ν)e jπν + X(ν) + X(ν)e jπν da cui: H(ν) = Y (ν) X(ν) = e jπν 3 e jπν la risposta impulsiva può essere determinata acilmente se si interpreta la risposta in requenza come il prodotto delle quantità: H(ν) = ( ) e jπν 3 e jπν A questo punto si ha: h(n) = F [( e jπν )] F ( = = [δ(n) δ(n ) ] ( ) n u(n) 3 ( 3 ( ) n u(n) 3 ) n u(n ) 3 e jπν In igura 3 sono mostrati spettro di ampiezza e di ase, il iltro si comporta come un passa-basso. ).5 Spettro di ampiezza.4.3 X(ν).. 0.9 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 0.3 Spettro di ase 0. 0. <X(ν) 0 0. 0. 0.3 0.4 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Figura 3: Spettro di ampiezza e di ase del iltro ARMA 3 Sistemi LTI e segnali periodici In questo paragrao ci vogliamo occupare del iltraggio dei segnali periodici. In particolare, dato che un segnale periodico si può esprimere come sovrapposizione di sinusoidi ed essendo il sistema LTI possiamo determinare la risposta del sistema ad un segnale periodico, conoscendo la risposta ai singoli segnali sinusoidali o esponenziali complessi. a.a. 00-0
Sistemi LTI e segnali periodici 6 3. Sistemi tempo continuo In eetti possiamo dire che, detto x p (t) un segnale periodico di periodo T 0 = / 0, esso può essere espresso in serie di Fourier: x p (t) = k X k e jπk 0t (3) Essendo per ipotesi il sistema lineare, vale il principio di sovrapposizione degli eetti, quindi: y(t) = k X k T [e jπk 0t ] (4) 3.. Fasore E interessante allora determinare la risposta di un sistema LTI quando in ingresso è presente un asore x(t) = e jπ0t : y(t) = x(t) h(t) = = = e jπ 0t l uscita risulta essere ancora un asore: h(α)x(t α) dα h(α) e jπ 0(t α) dα h(α) e jπ 0α dα = e jπ 0t H( 0 ) y(t) = H( 0 ) e j(π 0t+ H( 0 )) (5) con ampiezza e ase modiicate secondo le quantità H( 0 ) e H( 0 ), rispettivamente. Questo concetto si esprime dicendo che i asori sono autounzioni dei sistemi LTI. In eetti questo stesso discorso poteva anche essere eettuato nel dominio della requenza, ottenendo lo stesso risultato, inatti: Y () = X()H() = δ( 0 )H() = δ( 0 )H( 0 ) antitrasormando: y(t) = e jπ 0t H( 0 ) 3.. Sinusoide A questo punto, prima di passare ai segnali periodici, estendiamo questo concetto anche ad una sinusoide x(t) = cos(π 0 t) che è data dalla somma di due asori: Per la (5) risulta: x(t) = cos(π 0 t) = ejπ 0t + e jπ 0t y(t) = H( 0) e j(π 0t+ H( 0 )) + H( 0) e j(π 0t H( 0 )) (6) a.a. 00-0
Sistemi LTI e segnali periodici 7 D altra parte, per sistemi reali lo spettro di ampiezza di H() è pari, mentre quello di ase è dispari, quindi la (6) diventa: y(t) = H( 0) e j(π 0t+ H( 0 )) + H( 0) e j(π 0t+ H( 0 )) = H( 0 ) cos(π 0 t + H( 0 )) (7) La (7) ci dice che se in ingresso ad un sistema LTI poniamo un segnale sinusoidale alla requenza 0 in uscita avremo ancora un segnale sinusoidale alla stessa requenza con spettro di ampiezza e di ase modiicati secondo H( 0 ) e H( 0 ), rispettivamente. 3..3 Esempio Si consideri la sinusoide: x(t) = cos(πt/t ) posta in ingresso ad un sistema con risposta impulsiva: h(t) = δ(t) + δ(t T ) Determiniamo il segnale in uscita, applicando la (7). E necessario prima determinare H( 0 ) e H( 0 ), alla requenza 0 = /T, valutiamo allora la risposta in requenza del sistema: per cui: In conclusione: H() = + e jπt = e jπt cos(πt ) (8) H(/T ) = cos(π/) = 0 H(/T ) = π/ + cos(π/) = π/ y(t) = H(/T ) cos(πt/t + H(/T )) = 0 A questo risultato si poteva pervenire anche graicamente osservando che gli impulsi della sinusoide sono collocati proprio in corrispondenza del primo nullo del modulo della risposta in requenza, per cui nel prodotto vengono annullati (igura 4). Inine, è importante ar notare che per questo speciico esempio era possibile operare acilmente anche nel dominio del tempo, a causa del atto che la risposta impulsiva è data da somma di impulsi, inatti: [ y(t) = x(t) δ(t) + ] δ(t T ) = x(t) + x(t T ) = cos(πt/t ) + cos[π(t T )/T ] = 0 a.a. 00-0
Sistemi LTI e segnali periodici 8 X() H()... T T... Figura 4: Filtraggio di un segnale sinusoidale 3..4 Segnale periodico I risultati ottenuti nei paragrai precedenti ci permettono di calcolare l uscita di un sistema LTI quando in ingresso al sistema si considera un generico segnale periodico: x p (t) = rep T0 [x(t)] = n x(t nt 0 ) Mettendo assieme la (4) e la (5) l uscita risulta essere: y(t) = k X k H(k 0 ) e j(πk 0t+ H(k 0 )) (9) =... + X H( 0 ) e j(π 0t H( 0 )) + X(0)H(0) + X H( 0 ) e j(π 0t+ H( 0 )) +... Ma allora in uscita ad un sistema LTI si ha ancora un segnale periodico, in cui ad ogni componente sinusoidale è stata modiicata ampiezza e ase in base allo spettro della risposta in requenza del sistema. Notate come la componente continua del segnale in ingresso venga moltiplicata per H(0). Dato che anche i coeicienti di Fourier possono essere complessi, riesprimiamo la (9) come: y(t) = X k H(k 0 ) e j(πk 0t+ H(k 0 )+ X k ) k In realtà, risulta più comodo esprimere il segnale mediante sinusoidi: + x p (t) = A 0 + A k cos(πk 0 t + θ k ) (30) k= dove A 0 = X 0, A k = X k e θ k = X k per cui: + y(t) = A 0 H(0) + A k H(k 0 ) cos(πk 0 t + θ k + H(k 0 )) (3) k= a.a. 00-0
Sistemi LTI e segnali periodici 9 X p () X 0... T 0 T 0 X X T 0 T 0... 3 T 0 3 T 0 Figura 5: Filtraggio di un segnale periodico 3..5 Esempio Consideriamo il seguente segnale periodico x p (t) = rep T0 [x(t)] = rep T0 [Λ(t/T 0 )] in ingresso al iltro passa-basso ideale con risposta in requenza: H() = Π(/3 0 ) Graicamente è acile prevedere che dal iltraggio di x p (t) si ottiene in uscita la componente continua del segnale periodico e la sinusoide alla requenza ondamentale 0 = /T 0. Inatti, il iltro passa-basso lascia passare solo queste componenti e annulla tutte le altre. Applicando la (3) si ha: y(t) = A 0 H(0) + A H( 0 ) cos(π 0 t + θ + H( 0 )) (3) E necessario allora determinare i coeicienti dello sviluppo in serie di x p (t). A tal ine, applichiamo la ormula del campionamento in requenza: X k = ( ) k X = ( ) T 0 k T 0 T 0 T 0 sinc = ( ) k T 0 sinc T 0 Per cui A 0 = /, mentre A = (/) sinc (/) = /π e θ = 0. Inoltre, poichè risulta H(0) = H( 0 ) = e H( 0 ) = 0, la (3) diventa: y(t) = + 4 π cos(π 0t) a.a. 00-0
Sistemi LTI e segnali periodici 0 3. Sistemi tempo discreto I risultati ottenuti nei paragrai precedenti possono essere estesi anche ai sistemi tempo discreto LTI, per cui se in ingresso ad un sistema discreto si pone un asore è possibile aermare che in uscita si ha ancora un asore alla stessa requenza: x(n) = e jπν 0n se, invece, si considera un segnale sinusoidale: y(n) = H(ν 0 ) e j(πν 0n+ H(ν 0 )) (33) x(n) = cos(πν 0 n) y(n) = H(ν 0 ) cos(πν 0 n + H(ν 0 )) (34) Inine per un segnale periodico: x(n) = N 0 k=0 X k e jπkn/n 0 y(n) = N 0 k=0 Facciamo alcuni esempi in cui vengono applicati tali risultati. 3.. Esempio H(k/N 0 )X k e jπkn/n 0 (35) Si consideri un iltro con risposta impulsiva h(n) = a δ(n) + b δ(n ) e risposta in requenza H(ν), con a e b coeicienti reali e a > b. Calcolare i coeicienti del iltro, a e b, in modo che:. il guadagno in continua del iltro, H(0), sia uguale a ;. la potenza di un segnale sinusoidale di ampiezza A, ase ψ e requenza ν 0 = / sia attenuata di 6 db. Per determinare i coeicienti del iltro è necessario quindi imporre due condizioni:. H(0) = ;. P y [db] = P x [db] 6 equivalente a P x /P y 4. La risposta armonica del iltro H(ν) è data dalla trasormata di Fourier della risposta impulsiva h(n), quindi: H(ν) = a + b e jπν Dovendo risultare H(0) =, la prima equazione da imporre è: a + b = (36) Per quanto riguarda invece la seconda condizione, teniamo presente che vale la (34) per cui se in ingresso si pone x(n) = A cos(πn + ψ) il segnale in uscita è: y(n) = A H(/) cos(πn + ψ + H(/)) Allora se la potenza del segnale in ingresso è P x = A /, quella del segnale in uscita risulta essere P y = H(/) A /, dove H(/) = a + b e jπ = a b. La seconda condizione equivale a imporre pertanto la seguente equazione: (a b) = /4 (37) Risolvendo il sistema delle due equazioni (36) e (37) nelle incognite a e b e ricordando che deve essere a > b si trova a = 3/4 e b = /4. a.a. 00-0
Sistemi in cascata e in parallelo 3.. Esempio Il seguente segnale periodico: x(n) = rep N0 [x g (n)] = rep 9 [R 5 (n + )] è posto in ingresso ad un iltro passa-alto ideale con H(ν) = rep [Π(ν)], si determini il segnale in uscita y(n) Per calcolare il segnale in uscita possiamo applicare la (35) tenendo conto che i coeicienti dello sviluppo in serie di Fourier sono stati già calcolati nel capitolo 3 (esempio.4) e che il iltro lascia passare solo le componenti X 3, X 4, X 5 e X 6, per cui la (35) diventa: y(n) = 8 H(k/9)X k e jπkn/9 k=0 = X 3 e j6πn/9 + X 4 e j8πn/9 + X 5 e j0πn/9 + X 6 e jπn/9 A questo punto riconosciamo che X 5 = X 4 = 0.07, X 6 = X 3 = 0. e che ej0πn/9 = e jπn e j8πn/9 = e j8πn/9, inine e jπn/9 = e jπn e j6πn/9 = e j6πn/9, per cui: y(n) = 0. cos(πn/3) + 0.4 cos(8πn/9) 4 Sistemi in cascata e in parallelo Nel capitolo abbiamo mostrato come due sistemi LTI in cascata sono equivalenti ad un unico sistema con risposta impulsiva data dalla convoluzione delle due risposte impulsive, h( ) = h ( ) h ( ) (risultato valido sia per sistemi tempo continuo che tempo discreto). Poiché la convoluzione nel tempo equivale al prodotto in requenza, è possibile aermare che due sistemi LTI in cascata con risposta armonica rispettivamente, H ( ) e H ( ), sono equivalenti ad un unico sistema con risposta in requenza data da H( ) = H ( )H ( ). x( ) H ( ) z( ) H ( ) y( ) x( ) H ( )H ( ) y( ) Analogamente due sistemi LTI in parallelo sono equivalenti ad un unico sistema con risposta impulsiva data dalla somma delle due risposte impulsive, h( ) = h ( ) + h ( ). Questa proprietà è identica anche nel dominio della requenza. x( ) H ( ) H ( ) y ( ) y ( ) y( ) x( ) H ( ) + H ( ) y( ) a.a. 00-0
Proprietà dei sistemi LTI 5 Proprietà dei sistemi LTI Dal momento che le proprietà di un sistema LTI sono legate alla sua risposta impulsiva (cap., par..), in questo paragrao vogliamo vedere come sia possibile individuare le proprietà del sistema dalla conoscenza della sua risposta armonica, che caratterizza in modo equivalente un sistema LTI. Anche in questo caso la trattazione risulta valida per sistemi tempo continuo e tempo discreto. 5. Dispersività Un sistema è non dispersivo se la sua risposta impulsiva ha la orma h( ) = kδ( ). Trasormando ambo i membri secondo Fourier: H( ) = k (38) Allora un sistema LTI è non dispersivo se e solo se la risposta armonica è costante in requenza. 5. Causalità Ricordiamo che la risposta impulsiva di un sistema LTI causale deve essere anch essa causale, cioè nulla per n < 0 per sistemi tempo discreto, per t < 0 per sistemi tempo continuo. Purtroppo non esiste una condizione necessaria e suiciente su H(), a meno che non si impongano alcune restrizioni. In particolare, per sistemi a quadrato sommabile vale la condizione di Paley-Wiener: log H() + d < + +/ / log H(ν) dν < + (39) Questa è una condizione necessaria per la causalità di un sistema LTI. Tale condizione è anche suiciente per l esistenza di un sistema LTI causale, nel senso che se la risposta in ampiezza del sistema veriica la (39), allora esiste una risposta in ase θ( ), tale che: H( ) = H( ) e jθ( ) è la risposta armonica di un sistema LTI causale. E bene notare che tutti i iltri ideali non soddisano la (39), dal momento che la risposta in ampiezza si annulla identicamente in un intervallo (in quello stesso intervallo la unzione integranda assume valore + per cui l integrale non converge). Per questo motivo i iltri ideali risultano non causali. 5.3 Stabilità Un sistema è stabile se e solo se la sua risposta impulsiva è sommabile. Per la risposta armonica è possibile derivare solo condizioni necessarie, ma non suicienti. Inatti, la trasormata di Fourier di un segnale tempo continuo sommabile è continua e ininitesima all ininito, per cui una condizione necessaria per la stabilità di un sistema è che H() sia continua e ininitesima all ininito. Per segnali tempo discreto, invece, H(ν) deve essere solo continua, dato che la trasormata di Fourier di un segnale tempo discreto sommabile è continua. Fate attenzione al atto che questa proprietà può essere usata solo per dimostrare che un sistema non è stabile, essendo condizione necessaria, ma non suiciente. Poiché tutti i iltri ideali presentano discontinuità, essi sono instabili. a.a. 00-0
La distorsione 3 6 La distorsione I sistemi LTI sono particolarmente utili sia nell elaborazione dei segnali sia per modellare sistemi isici, come i canali usati nella trasmissione dell inormazione. Quando si elabora un segnale per eliminare un disturbo, a meno che il iltro non sia ideale, è inevitabile che il segnale sia alterato dal sistema. Lo stesso accade quando si trasmette un segnale su di un canale. E importante allora stabilire quando il segnale in uscita ad un sistema LTI può essere considerato una replica edele di ciò che è stato trasmesso. Certe dierenze sono inatti tollerabili e non vanno considerate distorsione, se non modiicano il contenuto inormativo di un segnale. Un segnale y(t), in uscita ad un sistema LTI, è considerato una versione non distorta di un segnale in ingresso x(t) se ne dierisce solo per una costante moltiplicativa e un ritardo: y(t) = kx(t t 0 ) (40) La condizione di non distorsione equivale a dire che nel dominio della requenza deve accadere: cioè il sistema deve avere risposta in requenza Y () = kx() e jπt 0 In termini di spettro di ampiezza e di ase risulta: H() = Y () X() = k e jπt 0 (4) A() = H() = k θ() = πt 0 + mπ (4) dove il termine mπ tiene conto del segno di k. Quindi, ainché un sistema non introduca distorsione, deve avere risposta in ampiezza costante e ase proporzionale alla requenza. Questo equivale a dire che le componenti sinusoidali che compongono il segnale devono essere ampliicate o attenuate allo stesso modo e ritardate della stessa quantità. Evidentemente non è necessario che queste condizioni siano veriicate per qualsiasi valore della requenza, ma basta che siano soddisatte solo alle requenze in cui è presente lo spettro del segnale in ingresso o almeno laddove il segnale presenta componenti spettrali signiicative. Se non si riesce a garantire che le condizioni siano soddisatte all interno della banda del segnale, allora il segnale subisce distorsioni lineari. In particolare, se la risposta in ampiezza non è costante nella banda del segnale, esso subisce distorsione di ampiezza, se invece la risposta in ase non è lineare si avrà distorsione di ase. 6. Esempio Si consideri il seguente segnale sinusoidale: x(t) = cos(πbt) in ingresso ad un sistema LTI con risposta in ampiezza e ase mostrate in igura 6. Il segnale in uscita per la (7) è dato da: ( y(t) = H(B) cos(πbt + H(B)) = cos πbt + π ) a.a. 00-0
La distorsione 4 A() θ() B B B Figura 6: Risposta in ampiezza e ase quindi un segnale sinusoidale si propaga sempre indistorto attraverso un sistema LTI, dato che risulterà ampliicato o attenuato e ritardato di una certa quantità, e queste equivalgono alle condizioni di non distorsione. Se invece consideriamo in ingresso al sistema il seguente segnale: allora l uscita risulta essere: ( y(t) = cos πbt + π [ = cos πb x(t) = cos(πbt) + cos(3πbt/) ( t + B ) + ( 3πBt cos ) + π )] + [ ( 3 cos πb t + 3B quindi il segnale subisce sia distorsione di ampiezza che di ase. Consideriamo adesso le distorsioni introdotte da sistemi non lineari senza memoria, per i quali la relazione ingresso/uscita è del tipo: y(t) = g[x(t)], con g( ) opportuna unzione non lineare. Supponiamo per esempio di considerare il seguente sistema istantaneo non lineare: y(t) = x (t) Se consideriamo un segnale sinusoidale x(t) = cos(π 0 t) il segnale in uscita è: y(t) = cos (π 0 t) = + cos(4π 0t) quindi in uscita troviamo componenti armoniche che non sono presenti nel segnale in ingresso. Inatti, se acciamo rierimento allo spettro dell uscita, si ha: Y () = X() X() Se allora il segnale in ingresso ha componenti spettrali per B, il segnale in uscita avrà componenti spettrali per B, cioè la banda si raddoppia. )] a.a. 00-0
Caratterizzazione energetica dei segnali 5 7 Caratterizzazione energetica dei segnali In questo paragrao i segnali di energia e di potenza vengono caratterizzati nel dominio della requenza attraverso la densità spettrale. La trattazione che segue è stata sviluppata solo per i segnali tempo continuo, in realtà è possibile estendere tutti i concetti in modo molto semplice anche ai segnali tempo discreto. 7. Densità spettrale di energia Nel capitolo precedente abbiamo dimostrato la relazione di Parseval, utile per calcolare l energia di un segnale anche nel dominio trasormato, dato che risulta: E x = x(t) dt = X() d Al di là dell utilità di tale relazione come strumento di calcolo, è interessante mostrare cosa rappresenti la quantità X(). Tale unzione ornisce inatti indicazioni sulla distribuzione in requenza dell energia, vale a dire l energia del segnale x(t) nell intervallo requenziale (, + d) è pari a X() d, per questo motivo si deinisce densità spettrale di energia o spettro di energia: S x () = X() (43) Per comprendere quanto detto consideriamo un segnale in ingresso ad un sistema passabanda ideale con banda, centrato alla requenza 0, e calcoliamo l energia del segnale in uscita: E y = Y () d = = = = 0 + / 0 / X()H() d X() H() d S x () H() d S x ()d + 0 + / 0 / S x ()d Per sistemi reali H() è una unzione pari e tale sarà anche H(), per cui: E y = 0 + / 0 / S x ()d (44) Se si considera un iltro passa-banda con banda molto stretta (iltro estremamente selettivo), allora è possibile ritenere costante in tale intervallo lo spettro di energia e approssimare il valore dell integrale (44) con S x ( 0 ), cioè: E y S x ( 0 ) da cui: E y S x ( 0 ) = E x ( 0 ) (45) a.a. 00-0
Caratterizzazione energetica dei segnali 6 L energia in uscita non è altro che il contributo energetico ornito dalle componenti del segnale nell intorno di ± 0, per questo motivo è stata indicata con E x ( 0 ). La quantità S x ( 0 ), quindi, non è altro che il rapporto tra il contributo dovuto alle componenti appartenenti ad un intorno di 0 e l ampiezza di tale intorno, da qui il nome di densità spettrale. Dalla deinizione di densità spettrale di energia seguono le seguenti proprietà:. S x () 0, assume sempre valori non negativi;. S x () = S x ( ), è una unzione pari; 3. S x ()d = E x, l integrale della densità spettrale di energia coincide con l energia del segnale; 4. la densità spettrale di un segnale in uscita ad un sistema LTI con risposta in requenza H() è: S y () = S x () H() Proviamo adesso a calcolare l anti-trasormata di Fourier di S x () nell ipotesi in cui x(t) sia un segnale reale: S x () = X() = X()X () = X()X( ) x(t) x( t) = R x (t) (46) Scopriamo allora che F [S x ()] = R x (t) ovvero la densità spettrale di energia di un segnale x(t) è data dalla trasormata di Fourier della sua unzione di autocorrelazione (Teorema di Wiener-Kintchine). 7.. Esempio Consideriamo il segnale di energia x(t) = AΠ(t/T ) e valutiamone lo spettro di energia: S x () = X() = AT sinc(t ) = A T sinc (T ) (47) In igura... si mostra l andamento per A = T =. Si noti come per l impulso rettangolare un elevata percentuale di energia è contenuta nel lobo principale. Densità spettrale 0.9 0.8 0.7 0.6 S x () 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 4 3 0 3 4 Figura 7: Densità spettrale dell impulso rettangolare a.a. 00-0
Caratterizzazione energetica dei segnali 7 In alternativa è possibile valutare la densità spettrale dell impulso rettangolare calcolando la trasormata di Fourier della unzione di auttocorrelazione. Ricordiamo che per x(t) = AΠ(t/T ) l autocorrelazione è un impulso triangolare di durata T (cap., esempio 6..): R x (τ) = A T Λ(t/T ) la cui trasormata di Fourier è data proprio dalla (47). 7. Densità spettrale di potenza Vogliamo adesso estendere il concetto di densità spettrale anche ai segnali di potenza, per i quali risulta inita la quantità: T/ P x = lim x(t) dt T T T/ Per introdurre lo spettro di potenza che porta in conto la distribuzione di potenza in requenza bisogna ar rierimento al segnale troncato: x T (t) = x(t) Π(t/T ) tale segnale ha, inatti, sicuramente energia inita e quindi è possibile applicare l uguaglianza di Parseval. Quindi: T/ P x = lim T T = lim = T T T/ lim T x T (t) dt = lim T T x T (t) dt (48) X T () d (49) T X T () d (50) Si deinisce allora la densità spettrale di potenza come limite dello spettro di energia del segnale troncato nell intervallo ( T/, T/): S x () = lim T T X T () (5) Le proprietò della densità spettrale di potenza sono analoghe a quelle della densità spettrale di energia e sono riassunte di seguito:. assume sempre valori non negativi;. è una unzione pari; 3. l integrale della densità spettrale di potenza coincide con la potenza del segnale; 4. la densità spettrale di un segnale in uscita ad un sistema LTI con risposta in requenza H() è: S y () = S x () H() a.a. 00-0
Caratterizzazione energetica dei segnali 8 5. vale il teorema di Wiener-Kintchine, per cui: S x () = F[R x (τ)] 6. S x ( 0 ) d rappresenta il contributo della potenza del segnale ornito dalle componenti requenziali prossime a 0. 7.. Esempio Calcoliamo la densità spettrale di potenza del gradino unitario x(t) = u(t). Bisogna innanzitutto considerare il segnale troncato x T (t), quindi valutarne la trasormata di Fourier e poi passare al limite. Si ha: ( ) ( ) t t T/4 x T (t) = u(t)π = Π T T/ la cui trasormata di Fourier è: pertanto la densità spettrale è data da: X T () = T sinc ( T ) T S x () = lim T 4 sinc Osserviamo il comportamento della quantità T 4 sinc ( T e jπt/ ( ) T ). Al crescere di T notiamo che:. l area di tale unzione è costante, indipendentemente dal valore di T, inatti, ricordando che risulta X()d = x(0), si ha: ( ) T T 4 sinc = ( ) t Λ t=0 = T. la successione di unzioni tende ad un impulso di Dirac. In conclusione: S x () = δ() Ricordiamo che nel capitolo (esempio 6..3) avevamo calcolato la unzione di autocorrelazione del gradino: R x (τ) = /, che è pari proprio all anti-trasormata di Fourier di S x (). 7.. Densità spettrale per segnali periodici Per i segnale periodici la densità spettrale e la unzione di autocorrelazione possono essere espresse mediante i coeicienti dello sviluppo in serie del segnale. Consideriamo, inatti, un segnale periodico x(t) di periodo T 0, la sua unzione di autocorrelazione è periodica dello stesso periodo e può essere espressa come: R x (τ) = T 0 T 0 x(t)x (t τ)dt a.a. 00-0
Caratterizzazione energetica dei segnali 9 S x () X 0... T 0 T 0 X X T 0 T 0... Figura 8: Densità spettrale di un segnale periodico A questo punto sostituiamo al segnale x (t τ) il relativo sviluppo in serie di Fourier, ottenendo: R x (τ) = x(t) Xk T e jπk(t τ)/t 0 dt 0 T 0 k Scambiando le operazioni di sommatoria e integrazione, si ha: R x (τ) = k X k ejπkτ/t 0 T 0 T 0 x(t)e jπkt/t 0 dt = k X k ejπkτ/t 0 X k = k X k e jπkτ/t 0 (5) Scopriamo in questo modo che la unzione di autocorrelazione, essendo periodica, ammette espansione in serie di Fourier con coeicienti dati proprio dal modulo quadro dei coeicienti di Fourier del segnale x(t). Per determinare, invece, la densità spettrale basta calcolare la trasormata di Fourier di R x (τ): S x () = ) X k δ ( kt0 (53) k Un segnale periodico ha dunque uno spettro di potenza a righe (igura 8): ogni riga ornisce il contributo alla potenza del segnale dato dalla relativa armonica. La potenza di x(t) può anche essere ottenuta integrando S x (): P x = = k S x () d = ) X k δ ( kt0 d = k k ) X k δ ( kt0 d La (54) non esprime altro che la relazione di Parseval per segnali periodici. X k (54) a.a. 00-0
Caratterizzazione energetica dei segnali 30 7..3 Esempio Calcoliamo la unzione di autocorrelazione e la densità spettrale del segnale periodico: x(t) = cos (π 0 t) Ricordiamo che tale segnale ha coeicienti di Fourier diversi da zero: X 0 =, X = 4, X = 4 Quindi la sua unzione di autocorrelazione è data da: mentre la densità spettrale è: R x (τ) = 4 + 6 ej4π 0τ + 6 e j4π 0τ = 4 + 8 cos(4π 0τ) S x () = 4 δ() + 6 δ( 0) + 6 δ( + 0) 7.3 Densità spettrale mutua di energia e di potenza In modo analogo all energia e alla potenza mutua è possibile introdurre i concetti di densità spettrale di energia e potenza mutua, tenendo presente che sussiste anche la seguente uguaglianza di Parseval: x(t)y (t)dt = X()Y ()d (55) Dal momento che il primo membro della (55) rappresenta proprio l energia mutua tra due segnali, si deinisce densità spettrale di energia mutua o spettro di energia mutua la quantità: S xy () = X()Y () Analogamente per i segnali di potenza è possibile deinire lo spettro di potenza mutua: S xy () = lim T T X T ()YT () Se allora si considera un segnale z(t) = x(t) + y(t) la densità spettrale di z(t) è data da: S z () = S x () + S y () + S xy () + S yx () = S x () + S y () + Re[S xy ()] a.a. 00-0