Corso di Motori Aeronautici

Corso di Motori Aeronautici Mauro Valorani Laurea Magistrale in Ingegneria Aeronautica (MAER) Sapienza, Università di Roma Anno Accademico 011-1

Sett. 8: Turbomacchine (II) 1 Rendimenti Turbomacchine Classificazione Rendimento Turbine Lavoro Turbine total-total e total-static Rendimento adiabatico total to total e total to static di turbine Rendimento, rapporto di espansione, e lavoro estratto di turbine Confronto rendimento total-to-total/total-to-static di turbine Relazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico diturbine Divergenza isobare Rendimento di una turbina pluristadio Rendimento di una macchina a infiniti stadi Relazione tra Rendimento politropico e Indice della politropica Fattore di recupero politropico Analisi delle prestazioni con l ausilio dell analisi dimensionale Turbomacchine termiche Parametri di prestazione adimensionali Espressioni equivalenti dei parametri adimensionali Parametri adimensionali per macchine a flusso compressibile Curve caratteristiche per compressori e turbine Condizione di massimo rendimento Numero di giri e diametro specifici Classificazione macchine tramite numero di giri e diametro specifici Applicazioni dell analisi dimensionale 3 Compressori e Turbine Assiali Tipologie di triangoli di velocità Compressore assiale Turbina assiale Cifre adimensionali Triangoli di velocità di compressore assiale Triangoli di velocità di turbina assiale Relazioni cinematiche Lavoro di stadio Lavoro di stadio adimensionale Schiere di pale per compressori e turbine Rendimento di stadio Rapporto delle pressioni Grado di Reazione Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Compressori Assiali Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Turbine Assiali

Lez. 16: Rendimenti delle Turbomacchine

Rendimenti Turbomacchine Figure: Schematizzazione del flusso energetico in un compressore. Figure: Schematizzazione del flusso energetico in una turbina.

Classificazione Rendimento Turbine Classificazione Rendimento Turbine Rendimento adiabatico (o isentropico) di macchina: Rendimento total-to-total; Rendimento total-to-static; Rendimento pluri-stadio Numero finito di stadi; Numero infinito di stadi: rendimento politropico. Figure: Evoluzione del flusso in turbina riportata nel piano entalpico.

Lavoro Turbine total-total e total-static Lavoro Turbine total-total e total-static Espansione adiabatica ideale Q = 0 attraverso uno statore ed un rotore: s Stator = s Rotor =0 Ėv 0 Se l energia cinetica del flusso in uscita è utile allora il lavoro utile ideale estraibile dalla turbina è detto total to total e vale: Ẇ id tt ṁ = [h 0] id tt = h 01 h 03s (s 1,p 03s ) (19) Se l energia cinetica residua non è utile si definisce il lavoro utile ideale estraibile dalla turbina è detto total to static e vale: Ẇ id ts ṁ = [h 0] id ts = h 01 h 3s (s 1,p 3 ) (0) Entrambe le forme sono funzione delle sole condizioni a monte e del rapporto di espansione della turbina.

Rendimento adiabatico total to total e total to static di turbine Rendimento adiabatico total to total e total to static di turbine Espansione adiabatica reale Q =0attraversounostatoreedunrotore. Perdite non nulle: vanno sottratte al lavoro ideale per avere ilvalorerealeestratto. Ẇ re ṁ = [h0]re = [h 0] id tt Ėv ṁ + Ėrec Ėv = h01 h03s (s1,p03s) ṁ ṁ + Ėrec ṁ Ẇ re ṁ = [h0]re = [h 0] id ts V ( 3 Ėv ṁ + Ėrec Ėv = h01 h3s (s1,p3s) ṁ ṁ Ėrec ṁ + V ) 3 Introduciamo quindi il rendimento adiabatico total to total: η tt = Ẇ re h01 h03 Ė v Wtt id = =1 Ėrec h 01 h 03s ṁ (h 01 h 03s) eilrendimento adiabatico total to static: η ts = Ẇ re = Ẇts id Il lavoro estratto sarà : Ẇ re = h01 h03 h 01 h 3s =1 Ėv Ėrec + ṁv 3 / ṁ (h 01 h 3s) η tt ( h 03s, Ėv, Ėrec ) Ẇ id tt (h03s) η ts ( h 3s, Ėv, Ėrec, V 3 ) Ẇ id ts (h3s)

Rendimento, rapporto di espansione, e lavoro estratto di turbine Rendimento, rapporto di espansione, e lavoro estratto di turbine Il rendimento adiabatico total to static è esprimibile in funzione del rapporto di espansione e il lavoro estratto: η ts = 1 T03 cp (T01 T03) c p (T 01 T = T 01 3s) 1 T3s T 01 = 1 T03 T 01 ( p3 1 p 01 ) γ 1 γ = c pt 01 Ẇ/ṁ ( ) γ 1 p3 γ 1 p 01 (1) visto che nel caso ideale l espansione è isentropica; per il rendimentototaltototal: 1 T03 T η tt = 01 ( ) γ 1 p03 γ 1 p 01 = c pt 01 Ẇ/ṁ ( ) γ 1 p03 γ 1 p 01 () eillavoroperunitàdimassapuòesserequindiespressocome: ( ) γ 1 Ẇ ṁ = p3 γ ηtscpt01 1 (3) p 01 oppure Ẇ ṁ = ηttcpt01 1 ( p03 p 01 ) γ 1 γ (4)

Confronto rendimento total-to-total/total-to-static di turbine Confronto rendimento total-to-total/total-to-static di turbine Se le differenze tra le energie cinetiche residue nel caso ideale e reale sono piccole: V3 V 3s allora sussiste una semplice relazione tra i due rendimenti: η ts η tt = V3 1 [c p (T 01 T 3s )] (5) e risulta subito: η tt >η ts

Relazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico diturbine Relazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico di turbine Dalla relazione: η ts = 1 T03 T 01 ( p3 1 p 01 ) γ 1 γ epoichèlostato(03)e(03s)hannolastessapressionetotale Inoltre: equindi: ed analogamente: s c p T 03 T 01 =ln T03 R p03 ln =ln T03 T 03s cp p 03s T 03s = T03 T 03s T 03s T 01 ( p03 1 p η ts = 01 s = e cp ( p3 1 p 01 ( p03 1 p η tt = 01 ( p03 1 p 01 ) γ 1 γ ( p03 p 01 ) γ 1 γ ) γ 1 γ ) γ 1 γ s e cp s e cp ) γ 1 γ

Divergenza isobare Divergenza isobare Dalla definizione di entropia e dal I principio si ha: ds = c p dt 0 T 0 R dp 0 p 0 ma per un isobara (dp 0 = 0) si ha che la pendenza aumenta all aumentare della temperatura (e quindi dell entalpia): dt 0 ds = T 0 p0 =cost. c p

Rendimento di una turbina pluristadio Rendimento di una turbina pluristadio Fattore di recupero Consideriamo una macchina a tre stadi; ogni stadio ha lo stesso rendimento adiabatico η st definito come: h01 h0 h0 h03 h03 h04 η st = = = h 01 h 0s h 0 h 03ss h 03 h 04sss mentre il rendimento totale sarà definito come: h01 h04 η T = h 01 h 04s = η st (h 01 h 0s) +(h 0 h 03ss) +(h 03 h 04sss) h 01 h 04s Esplicitando le perdite entalpiche si ottiene: h 0 = h 0s + h ; h 03 = h 03ss + h 3 ; h 04sss = h 04s + h 4 + h 4 esostituendo: η T = η st h 01 h 0s + ossia: (h 0s + h ) h03ss + [h 03ss + h 3 (h 04s + h )] 4 + h 4 h 01 h 04s h ( η T = η st 1 + h 3 h ) 4 + h 4 + h 01 h 04s con η T >η st vista la divergenza delle isobare.

Rendimento di una macchina a infiniti stadi Rendimento di una macchina a infiniti stadi Rendimento politropico Per una turbina formata da infiniti stadi, attraverso ognuno dei quali si verifica un salto di pressione infinitesimo, si definisce rendimento politropico: η p := dh0 dh id 0 Dall espressione dell entropia si ha: Nel caso isoentropico ds = 0 e quindi: per cui il rendimento politropico diventa: Tds = dh 0 1 ρ 0 dp 0 η p = ρ0cpdt0 dp 0 dh id 0 = 1 ρ 0 dp 0 = p0 T 0 γ dt 0 γ 1 dp 0 Considerando η p = cost tra due stati (01) e (0) e integrando per separazione delle variabili si ha: ( ) γ 1 T 0 p0 γ ηp = T 01 p 01

Relazione tra Rendimento politropico e Indice della politropica Relazione tra Rendimento politropico e Indice della politropica Per una trasformazione politropica di indice n rappresentata dall espressione Differenziando si ha: p 0 ρ n 0 = cost. dp 0 p 0 n dρ 0 ρ 0 =0 (6) Differenziando l equazione di stato per un gas ideale e sostituendo la precedente si ottiene: dt 0 = dp 0 dρ 0 = n 1 dp 0 (7) T 0 p 0 ρ 0 n p 0 Integrando la precedente e confrontando con il risultato scritto in funzione di η p si ha ( ) n 1 ( ) γ 1 T 0 p0 n p0 γ ηp = = (8) T 01 p 01 p 01 da cui si ricava la relazione fra η p e indice della politropica n: η p = γ n 1 γ 1 n (9)

Fattore di recupero politropico Fattore di recupero politropico Il rendimento della turbina si può esprimere in funzione del rendimento politropico e del rapporto di espansione: [ η t η p ] 0 p, = h 01 h 0 = p 01 h 01 h 0s 1 T 0 T 01 1 T 0s T 01 ( p0 1 p = 01 ( p0 1 p 01 ) γ 1 γ ηp ) γ 1 γ Si dimostra che il rapporto (fattore di recupero) F R := η t [η p, p 0 p 01 ] /η p, è sempre maggiore di uno a causa della divergenza delle isobare

Fattore di recupero politropico Lez. 17: Analisi Dimensionale per le Turbomacchine

Analisi delle prestazioni con l ausilio dell analisi dimensionale L analisi e il confronto tra le turbomacchine è reso più agevole dall analisi dimensionale: con l ausilio del Teorema Π di Buckingham possiamo ridurre il numero dei parametri che caratterizzano il sistema in esame. Possiamo distinguere: parametri di funzionamento velocità angolare ω (o numero di giri N); portata massica ṁ (o volumetrica Q ); coppia applicata M a; variazione caratteristiche fluidodinamiche del fluido (pressione p, temperatura T,volumespecificov); parametri di prestazione variazione di entalpia totale [h 0]; rendimento η; potenza trasmessa o ricevuta dall asse Ẇ ; proprietà del fluido densità del flusso entrante ρ ; viscosità dinamica µ; peso molecolare M; calore specifico c p; geometria del sistema dimensione caratteristica della turbomacchina D (tipicamente un diametro); altre lunghezze caratteristiche, l i (sezioni di ingresso/uscita, giochi, ecc... )

Turbomacchine termiche Turbomacchine termiche Nei flussi non isotermi si nota la presenza della temperatura tra le grandezze fondamentali; dalla sperimentazione si ottengono delle relazioni del tipo: h 0 = h (ṁ, N, D, ρ 01,µ 01,a 01,γ,l i ) η = η (ṁ, N, D, ρ 01,µ 01,a 01,γ,l i ) Ẇ = Ẇ (ṁ, N, D, ρ 01,µ 01,a 01,γ,l i ) ove il pedice () 01 indica la grandezza alla condizione di ristagno nella sezione di ingresso

Parametri di prestazione adimensionali Parametri di prestazione adimensionali Grandezze fondamentali: densità ρ, diametro caratteristico D, numero di giri N temperatura T : cifra di flusso ṁ ϕ = ρ 01 ND 3 numero di Reynolds di macchina numero di Mach di pala cifra di pressione Re D = ρ 01ND µ 01 Ma D = ND a 01 ψ = [ h 0 ] is (ND) cifra di potenza Ẇ λ = ρ 01 N 3 D 5 Le prestazioni della macchina potranno essere quindi espresse da funzionali del tipo: ψ = ψ (ϕ, Re D,Ma D,γ) ; η = η (ϕ, Re D,Ma D,γ) ; λ = λ (ϕ, Re D,Ma D,γ)

Espressioni equivalenti dei parametri adimensionali Espressioni equivalenti dei parametri adimensionali Espressioni equivalenti: cifra di flusso in funzione del numero di Mach di pala ϕ = ṁ ρ 01 ND 3 = ṁ ρ 01 a 01 D a 01 ND = ṁ 1 ρ 01 a 01 D = ṁ RT01 Ma D p 01 D γ cifra di pressione in funzione del rapporto tra le pressioni: ψ = cp (T 01 T 0s ) (ND) = cpt ( ) γ 1 01 p0 γ 1 (ND) p 01 = γrt 01 (γ 1) (ND) 1 ( p0 p 01 ) γ 1 γ 1 = (γ 1) Ma D cifra di potenza in funzione del salto di temperature totali λ = Ẇ ρ 01 N 3 D 5 = ṁc p T 0 a 01 ρ 01 (ND)(ND) a = ϕ c p T 0 01 MD = γrt 01 1 ( p0 p 01 ϕ (γ 1) M D 1 Ma D ) γ 1 γ ( ) T0 T 01

Parametri adimensionali per macchine a flusso compressibile Parametri adimensionali per macchine a flusso compressibile Definizioni alternative: portata ridotta ṁ RT 01 p 01 D γ cifra di pressione espressa come rapporto tra le pressioni: p 0 = p ( ) 0 ṁ RT01 p 01 p 01 p 01 D γ,re D,Ma D,γ cifra di potenza espressa come salto di temperature totali T 0 = T ( ) 0 ṁ RT01 T 01 T 01 p 01 D γ,re D,Ma D,γ rendimento ( ) ṁ RT01 η = η p 01 D γ,re D,Ma D,γ Con le ipotesi: stesso fluido per tutte le macchine in esame: medesimi γ ed R; le macchine con lo stesso diametro D; allora si possono definire una portata e numero di giri ridotti come segue ṁ T 01 p 01 N T01

Curve caratteristiche per compressori e turbine Curve caratteristiche per compressori e turbine Le prestazioni delle turbomacchine in condizioni di fuori progetto (curve caratteristiche) possono essere sintetizzate utilizzando ad esempio un piano ( portata ridotta, rapporto delle pressioni totali ) Figure: Curve caratteristiche per compressori e turbine

Condizione di massimo rendimento Condizione di massimo rendimento Le curve caratteristiche descrivono le prestazioni in condizioni di fuori progetto di una macchina in termini di cifra di pressione e rendimento in funzione della cifra di flusso. Come si può invece caratterizzare una macchina in base ad un solo punto di funzionamento? Si considera la condizione di massimo rendimento a cui corrisponde la cifra di flusso ϕ : η ϕ =0 ϕ ovvero ϕ = η 1 (η max) e quindi si trova il valore della cifra di pressione corrispondente La coppia caratterizza univocamente una macchina ψ = ψ [ η 1 (η max) ] = ψ (η max) (ϕ (η max),ψ (η max))

Numero di giri e diametro specifici Numero di giri e diametro specifici ϕ (η max),ψ (η max) dipendono però sia dal numero di giri che dal diametro; conviene allora definire: numero di giri specifico per una pompa come N s = (ϕ ) 1 (ψ ) 3 4 = N Q ( [ ]) (30) 3 p 0 4 ρ che dipende solo dal numero di giri; per una turbina a gas invece si preferisce invece la definizione N sp = λ 1 Ẇ 1 ψ 4 5 = N ρ01 ( [h 0 ]) 5 4 diametro specifico (dipende solo dal diametro) (31) D s = (ψ ) 1 4 (ϕ ) 1 = D ( [ h 0]) 1 4 Q ϕ e ψ sono funzione del disegno e delle condizioni operative della macchina (dimensioni, portata, numero di giri); N s e D s sono funzioni della sola architettura della turbina o pompa (assiale, radiale o mista).

Classificazione macchine tramite numero di giri e diametro specifici Classificazione macchine tramite numero di giri e diametro specifici Nel piano (N s,d s) tutte le macchine si trovano in una ristretta fascia a pendenza negativa. si ha inoltre che: macchine ad angolo di uscita β costante sono su curve a pendenza negativa all incirca parallele tra di loro; macchine al medesimo rendimento massimo si trovano a su curve crescenti decrescenti con i rendimenti maggiori a numeri di giri specifici maggiori; le macchine assiali sono quelle a numero di giri specifici superiori Il numero di giri ed il diametro specifici sono fra loro inversamente proporzionali, e quindi macchine con una una più elevata prevalenza (diametro specifico maggiore) hanno rendimenti sempre più bassi; per ovviare a questo inconveniente si ricorre alla stadiazione.

Applicazioni dell analisi dimensionale Applicazioni dell analisi dimensionale Con l analisi dimensionale è possibile, tra gli altri, risolvere i seguenti problemi: dati il lavoro compiuto sul fluido (in termini di prevalenza o salto di entalpia totale), la portata (massica o di volume) e il numero di giri è possibile determinare il numero di giri specifico e quindi il tipo di macchina; dal tipo di macchina (N s), il salto entalpico e la portata si può trovare il numero di giri al quale abbiamo il massimo rendimento (quindi adottabile come condizione di progetto); noto il diametro specifico (D s), il salto entalpico e la portata si può determinare il diametro della macchina che fornisce il massimo rendimento; dato N s e il range di valori che può assumere il numero di giri (N [N min,n max]) si possono determinare gli estremi valori assunti dalla potenza; si possono determinare le tipologie di macchine da costruire in serie: si suddivide il diagramma (N s,d s) in zone a ciascuna delle quali verrà assegnata una condizione di riferimento da cui costruire la macchina; la classificazione delle turbomacchine; la prova su diverse scale.

Applicazioni dell analisi dimensionale Lez. 18: Compressore Vs Turbina

Compressori e Turbine Assiali Flusso nel piano meridiano e inter-palare

Tipologie di triangoli di velocità Tipologie di triangoli di velocità Figure: Triangoli di ingresso ed uscita con base condivisa Figure: Triangolo di ingresso ed uscita con vertice condiviso

Compressore assiale Piano TS e triangoli di velocità di un compressore assiale Figure: Piano (T,s) e sezione su piano meridiano Figure: Sezione su piano inter-palare

Turbina assiale Piano TS e triangoli di velocità di una turbina assiale Figure: Sezione su piano meridiano e piano inter-palare Figure: Piano (T,s) e triangoli di velocità

Cifre adimensionali Cifre adimensionali Cifra di flusso Cifra di pressione ϕ := Ca U ψ := cp [T 0] st U = Ẇst U

Triangoli di velocità di compressore assiale Triangoli di velocità di compressore assiale

Triangoli di velocità di turbina assiale Triangoli di velocità di turbina assiale

Relazioni cinematiche Relazioni cinematiche In un triangolo di velocità di compressore assiale valgono le seguenti relazioni cinematiche 1 ϕ 1 =tanα 1 +tanβ 1 1 ϕ =tanβ +tanα dalle quali si possono ricavare α 1 and α, per un assegnato valore di ϕ e degli angoli metallo β 1 and β In un triangolo di velocità di turbina assiale valgono le seguenti relazioni cinematiche 1 ϕ =tanα tan β 1 ϕ 3 =tanβ 3 tan α 3 dalle quali si possono ricavare α and α 3, per un assegnato valore di ϕ e degli angoli metallo β and β 3

Lavoro di stadio Lavoro di stadio Il Lavoro di stadio di un compressore si ottiene dall Equazione di Eulero: Ė Ẇst,comp =c p [T 0 ] st = [UC u]+ ṁ con [T 0 ] st = T 03 T 01 = T 0 T 01 > 0 In assenza di perdite (Ėv =0)siha: Ẇst = [UC u]=u C a, tan α C a,1 U 1 tan α 1 In un triangolo di velocità, valgono le seguenti relazioni 1 ϕ 1 =tanα 1 +tanβ 1 1 ϕ =tanβ +tanα Se U 1 = U ec a,1 =C a, (ϕ 1 = ϕ ), allora: equindi: tan α tan α 1 =tanβ 1 tan β Ẇst =c p [T 0 ] st = UC a (tan β 1 tan β ) > 0 ovvero, la deviazione del flusso relativo diminuisce attraverso il rotore: β 1 >β > 0 Il Lavoro di stadio di una turbina si ottiene dall Equazione di Eulero: Ė Ẇst,turb =c p [T 0 ] st = [UC u]+ ṁ con [T 0 ] st = T 03 T 01 = T 03 T 0 < 0 In assenza di perdite (Ėv =0)siha: [ ] U ( Ẇ st = U C = C U C 3 U ) 3 U = U C a, tan α ( U 3 C a,3 tan α 3 ) = U C a, tan α + U 3 C a,3 tan α 3 Dalle relazioni 1 1 =tanα tan β =tanβ 3 tan α 3 ϕ ϕ 3 eseu = U 3 ec a, =C a,3 (ϕ = ϕ 3 ), allora: equindi: tan α +tanα 3 =tanβ 3 +tanβ Ẇ st = c p [T 0 ] st = UC a (tan β +tanβ 3 ) > 0 ovvero, la deviazione del flusso relativo aumenta attraverso il rotore: β > 0 >β 3

Lavoro di stadio adimensionale Lavoro di stadio adimensionale Espressioni adimensionali del lavoro di stadio di compressore e turbina Coefficiente di carico di stadio di compressore (stage loading) Lavoro specifico c p [T 0 ] st = UC a (tan β 1 tan β ) Coefficiente di carico ψ = ϕ (tan β 1 tan β ) Coefficiente di carico di stadio di turbina (blade loading coefficient) Lavoro specifico Ẇ st = UC a (tan β +tanβ 3 ) Coefficiente di carico ψ = ϕ (tan β +tanβ 3 )

Schiere di pale per compressori e turbine Schiere di pale per compressori e turbine la deviazione del flusso relativo aumenta (inverte direzione!) attraverso il rotore turbina: Figure: Stadio di turbina assiale β > 0 >β 3 la deviazione del flusso relativo diminuisce (stessa direzione!) attraverso il rotore compressore: β 1 >β > 0 Figure: Stadio di compressore assiale

Rendimento di stadio Rendimento di stadio Il Rendimento di stadio adiabatico di un compressore si scrive: η st := h 03,ss h 01 h 03 h 01 = T 03,ss T 01 T 03 T 01 da cui T 03,ss T 01 =1+η st [T 0 ] T 01 con [T 0 ]=T 03 T 01 Dalla definizione di rapporto di compressione di stadio si ha Π st := p 03 p 01 = eperla [T 0 ] T 01 Π st = ( T03,ss ) γ γ 1 = T 01 ( ) γ [T 0 ] γ 1 1+η st T 01 ( = [UCu],siha cpt 01 1+η st [UC u] c pt 01 ) γ γ 1 Dalle definizioni di rendimenti di stadio adiabatico total-total etotal-static η ts := h 01 h 03 h 01 h 3,ss = T 01 T 03 T 01 T 3,ss = η tt := h 01 h 03 h 01 h 03,ss = T 01 T 03 T 01 T 03,ss = da cui T 03,ss T 01 =1 [T 0] st η tt T 01 T 3,ss T 01 1 T 03 T 01 ( ) γ 1 p3 1 γ p 01 1 T 03 T 01 ( ) γ 1 p03 1 γ p 01 =1 [T 0] st η ts T 01 I rapporti di espansione tt e ts in funzione η tt e η ts sono Π tt := p 01 p 03 = ( ) γ T03,ss T 01 Π ts := p ( ) γ 01 T3,ss = p 3 T 01 ovvero ( Π tt/ts = γ 1 = (1 [T 0] st η tt T 01 γ 1 = (1 [T 0] st η ts T 01 1 [UCu] η tt/ts c pt 01 ) γ γ 1 ) γ γ 1 ) γ γ 1

Rapporto delle pressioni Rapporto delle pressioni In un triangolo di velocità di compressore si ha: [C u]=w u,1 W u, =C a (tan β 1 tan β ) =C u, C u,1 =C a (tan α tan α 1 ) Per una macchina assiale quindi [UC u]=uc a (tan β 1 tan β ) =UC a (tan α tan α 1 ) equindiilrapportodicompressione diviene Π st = ( ) γ UC a γ 1 1+η st (tan β 1 tan β ) c pt 01 Dalla relazione c p [T 0 ] st = Ẇst = UC a (tan β 1 tan β ) si ha che Ẇ st =c p [T 0 ] st = cpt 01 η st γ 1 γ 1 Π st In un triangolo di velocità di turbina si ha: [C u]=w u,3 ( W u, )=C a (tan β 3 +tanβ ) =C u, ( C u,3 )=C a (tan α +tanα 3 ) Per una macchina assiale quindi [UC u]=uc a (tan β 3 +tanβ ) =UC a (tan α +tanα 3 ) equindiilrapportodiespansionediviene Π tt/ts = ( 1 Dalla relazione si ha che ) γ UC a γ 1 (tan β +tanβ 3 ) η tt/ts c pt 01 c p [T 0 ] st = Ẇst = UC a (tan β +tanβ 3 ) c p [T 0 ] st = Ẇtt/ts = η tt/ts cpt 01 1 Π γ 1 γ tt/ts NB: i rendimenti non sono costanti ma diminuiscono all aumentare della deflessione del flusso imposta dalla pala!

Grado di Reazione Grado di Reazione Λ:= T rot T st C 1 = C 3 T st = T 0,st = U [Cu] Cp Λ:= T rot T st C 1 = C 3 T st = T 0,st = U [Cu] Cp I 0,rot =0=h 1 + W 1 U 1 = h + W U I 0,rot =0=h + W U = h 3 + W 3 U 3 Se U 1 = U h 1 + W 1 = h + W Se U = U 3 h + W = h 3 + W 3 T rot := T T 1 = W 1 W Cp con W = C a +(U Cu) T rot = 1 ( [C ) a ] [C u ]+U [Cu] Cp ( [C a ) ] [C u ]+U [Cu] Λ= T rot T st = U [Cu] Λ=1+ [C a ] C u,1 + C u, U [Cu] U Infine se: C a,1 = C a, Λ=1 C u,1 + C u, U T rot := T T 3 = W 3 W Cp con W = C a +(U Cu) T rot = 1 ( [C ) a ] [C u ]+U [Cu] Cp ( [C a ) ] [C u ]+U [Cu] Λ= T rot T st = U [Cu] Λ=1+ [C a ] C u, + C u,3 U [Cu] U Infine se: C a, = C a,3 Λ=1 C u, + C u,3 U

Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi Per uno stadio di compressore ripetuto e con velocità assiale costante, il grado di reazione può essere scritto come Λ=1 C u,1 + C u, U esostituendolerelazionivalideperitriangoli di velocità si hanno le seguenti espressioni equivalenti Λ= Ca (tan β 1 +tanβ ) U Λ= 1 Ca (tan α 1 tan β ) U Λ=1 Ca (tan α 1 +tanα ) U Per uno stadio di Turbina ripetuto e con velocità assiale costante, il grado di reazione può essere scritto come Λ=1 C u, +( C u,3 ) U =1 C u, C u,3 U esostituendolerelazionivalideperitriangolidi velocità si hanno le seguenti espressioni equivalenti Λ= Ca (tan β 3 tan β )= ϕ (tan β 3 tan β ) U Λ= 1 Ca (tan α tan β 3 )= 1 ϕ (tan α tan β 3 ) U Λ=1 Ca (tan α +tanα 3 )=1 ϕ (tan α +tanα 3 ) U da cui da cui Λ=0 0= ϕ (tan β 3 tan β ) β 3 = β Λ=0 0= Ca (tan β 1 +tanβ ) β 1 = β U Λ= 1 1 = 1 ϕ (tan α tan β 3 ) α = β 3 Λ= 1 1 = 1 Ca (tan α 1 tan β ) α 1 = β U Λ=1 1=1 ϕ (tan α +tanα 3 ) α = α 3 Λ=1 1=1 Ca (tan α 1 +tanα ) α 1 = α U

Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Compressori Assiali Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Compressori Assiali

Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Turbine Assiali Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Turbine Assiali

Disegno di stadio di compressore Disegno di stadio di compressore Per uno stadio di compressore ripetuto e con velocità assiale costante, valgono contemporaneamente due condizioni che legano lavoro e grado di reazione agli angoli dei palettaggi: ψ=ϕ (tan β 1 tan β ) Λ= ϕ (tan β 1 +tanβ )= 1 ϕ (tan α 1 tan β )=1 ϕ (tan α 1 +tanα ) Risolvendo rispetto agli angoli β 1 e β si puo costruire uno stadio di compressore che sviluppi un lavoro adimensionale ψ che viene ripartito tra statore e rotore in accordo con un grado di reazione assegnato Λ.

Disegno di stadio di turbina Disegno di stadio di turbina Per uno stadio di turbina ripetuto e con velocità assiale costante, valgono contemporaneamente due condizioni che legano lavoro e grado di reazione agli angoli dei palettaggi: ψ = ϕ (tan α 3 +tanα )=ϕ (tan β 3 +tanβ ) Λ= ϕ (tan β 3 tan β )= 1 ϕ (tan α tan β 3 )=1 ϕ (tan α +tanα 3 ) Risolvendo rispetto agli angoli β e β 3 si puo costruire uno stadio di turbina che sviluppi un lavoro adimensionale ψ che viene ripartito tra statore e rotore in accordo con un grado di reazione assegnato Λ: ovvero tan β = 1 ( ) ψ Λ ϕ tan α = 1 ( ) ψ Λ+ ϕ tan β 3 = 1 ( ) ψ +Λ ϕ tan α 3 = 1 ( ) ψ +Λ ϕ

Parametri di disegno di uno stadio Parametri di disegno di uno stadio Dall analisi delle relazioni che esprimono: il rapporto di compressione il rapporto di espansione ( ( ) γ UC a γ 1 Π st = 1+η st (tan β 1 tan β ) c pt 01 Π tt/ts = 1 ) γ UC γ 1 a (tan β 3 +tanβ ) η tt/ts c pt 01 si evince che i principali parametri di disegno per avere un elevato rapporto di pressione attraverso lo stadio sono: elevata velocità periferica U = ωd/, ovvero elevata velocità di rotazione o grandi ingombri elevate velocità assiali (alte portate) che realizzano piccole sezioni frontali (bassa resistenza aerodinamica) elevate deflezioni del fluido, che però comportano maggiori perdite di palettaggio (compromesso) bassa temperatura totale di ingresso (inter refrigerazione fra stadi)

Vincoli sui parametri di disegno Vincoli sui parametri di disegno Vincoli parametri di disegno compressore: sulla velocità periferica U<U max σ in cui σ = ρ palaω rt ra(r)dr A radice pala rr sulla velocità assiale C a,1 tale che: M tip 1.1 percompressore transonico; 1.5-1,7 per fan, con M tip definito come M tip := W1,max a = = C a,1 U tip U tip +1 γr C a,1 + U tip γrt1,tip ( ) T 01 C a,1 Cp Vincoli parametri di disegno turbina: Tensioni dovute alla forza centrifuga come nei compressori Tensioni derivanti dall interazione flusso/struttura Inversamente proporzionali al numero di palette e dipendenti dalla forma dei profili palari (criterio di Zweifel) direttamente proporzionali all altezza delle palette ed al lavoro specifico assegnato alla schiera Minimizzazione del peso della macchina: scelta del numero di stadi Scelta di un grado di reazione vicino al 50% e minimo swirl allo scarico sulla deflessione del fluido tale che non si verifichino separazioni di flusso: criterio de Haller e/o del Fattore di deflessione (NASA)

Vincolo sulla deflessione del fluido nel compressore Vincolo sulla deflessione del fluido nel compressore Criterio di de Haller Fattore di deflessione (NASA) DH := V V 1 < 0.7 DF := Vmax V V 1 1 V V 1 + [UCu] σv 1 con σ := c(chord) s(pitch) DF < 0.6 per prevenire lo stallo DF 0.45 buona scelta di primo disegno

Scelta del numero di pale in una turbina (Zweifel) Scelta del numero di pale in una turbina (Zweifel) La scelta del rapporto passo inter-palare s con la corda l del profilo può essere effettuato utilizazndo il criterio di Zweifel: s l basso: numero elevato di pale forniscono una capacità di guida notevole ma elevate perdite per attrito; s l alto: numero basso di pale determinano un elevato carico specifico della singola paletta che quindi favorisce la separazione del flusso Si rendimento del profilo, ψ T,ilrapportotralacomponentetangenzialedellaforza agente sul profilo, F Y,equellamassimaideale,F id Y,chesiavrebbequaloraillatoin pressione/aspirazione si trovasse alla massima (p 0 1 )/minima (p) pressionepossibile: in cui F Y = ψ T := FY F id Y tpdy = ρsv m ( Wθ W θ1 ) F id Y = ( p 0 1 p ) l = ρ W l Al diminuire del numero di pale F Y aumenta mentre p min diminuisce fino a separazione; si dimostra che ψ T si può scrivere come: ( ) ( s 1 ψ T = sin β 1 ) l tan β tan β 1 Per ogni valore di ψ T si ricava il rapporto s/l corrispondente ad un valore di angolo di pala al bordo di attacco, β 1,ediuscita,β. Nota la corda del profilo l si ottiene dunque il numero di palette: z = πd/s