www.matefilia.it PNI 004 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO La fuzioe f(x) = 3x six x 3six della fuzioe, per x + : è, per x +, ua forma idetermiata del tipo. Il limite A) No esiste; B) è 3/; C) è /3 ; D) è u valore diverso da 3/ e /3. Per x + 3x six~3x poiché 3x è u ifiito e six è ua fuzioe limitata; per lo stesso motivo x 3six~x, quidi: lim x + 3x six x 3six = lim x + 3x x = 3 La risposta esatta è quidi la B). QUESITO Determiare il più grade valore di per cui l espressioe umerica k=5 k o supera 0000. (5 + )( 5 + ) (5 + )( 4) k = 5 + 6 + + = = k=5 / 8 = + 0 Ifatti si tratta della somma dei primi -4 termii di ua progressioe aritmetica di ragioe co primo termie 5. Ricordiamo ifatti che la somma dei primi termii di ua progressioe aritmetica co primo termie a e ultimo termie a è data da (a +a ). Deve essere + 0 0000, + 0 0000, + 000 0; le radici dell equazioe associata a tale disequazioe soo: = 8008 4.99 ed = 8008 40.99 La disequazioe è quidi verificata per: 8008 Quidi il massimo valore di è 40. 8008 40.99 Notiamo che se =40 risulta k=5 k = 9860 metre se =4 risulta k=5 k = 000.
QUESITO 3 Sia F(x) ua fuzioe reale di variabile reale derivabile i u puto a. Si sa che se F (a)>0 allora F(x) è crescete i a, metre se F (a)<0 allora F(x) è decrescete i a. Dimostrare che codizioe sufficiete ma o ecessaria affiché F(x) ammetta i a u massimo relativo è che risulti F (a)=0 ed F (a)<0. Suppoiamo che F (a)=0 ed F (a)<0 e dimostriamo che F(x) ha u massimo relativo i x=a. I base alla formula di Taylor risulta: (x F(x) = F(a) + (x a) F a) (a) + F (a) + R! co R trascurabile rispetto a (x a) F (a). Quidi, essedo F (a) = 0 si ha che, i u! itoro di x=a, F(x) F(a) (x a) F (a) 0 e ciò vuol dire che i u itoro di x=a! risulta F(x) F(a) : ciò vuol dire che x=a è u puto di massimo relativo. La codizioe o è ecessaria: come cotroesempio cosideriamo la fuzioe di equazioe F(x) = x 4 che ha u massimo relativo i x=0 eppure F (0)=0, quidi o è F (a)<0. QUESITO 4 Risolvere la seguete disequazioe i x: (l x) l (x ). Affiché esista lx deve essere x > 0 quidi l(x ) = l x = lx. Pertato la disequazioe diveta: Quidi: (l x) l x, (l x) l x 0, lx(lx ) 0, lx 0 vel lx lx 0 0 < x lx x e QUESITO 5 Cosiderato u triagolo equilatero di altezza h e detto P u suo qualsiasi puto itero, idicare co x, y, z le distaze di P dai lati del triagolo. La somma x+y+z risulta: [A] sempre maggiore di h; [B] sempre miore di h; [C] sempre uguale ad h; [D] a volte maggiore di h, a volte miore, a volte uguale. Ua sola risposta è corretta. Idividuarla e forire u esauriete spiegazioe della scelta effettuata. / 8
Idicato co L il lato del triagolo equilatero ABC, risulta: Area(ABC) = L 3 4 Ma risulta ache: Area(ABC) = Area(APB) + Area(BCP) + Area(ACP) = Pertato: L x + L y L z + = L (x + y + z) L (x + y + z) = L 3 4 x + y + z = L 3 = h La risposta corretta è quidi la [C]. QUESITO 6 Riferito il piao ad u sistema di assi cartesiai ortogoali (Oxy), si cosideri l equazioe: xy + px + qy + r = 0 Determiare sotto quali codizioi per i coefficieti p, q, r (o tutti ulli) essa rappreseta l isieme di due rette. Si tratta di ua coica (i particolare di u iperbole) che possiamo scrivere ella forma: y = px r x + q Questa coica (fuzioe omografica) è degeere se: p(q) ( r)() = 0, pq + r = 0, r = pq 3 / 8
I tal caso la coica assume la forma: xy + px + qy + pq = 0, x(y + p) + q(y + p) = 0, (y + p)(x + q) = 0 Quidi, se r = pq, la coica si spezza elle rette di equazioi: y + p = 0 e x + q = 0 (co p e q o cotemporaeamete ulli) QUESITO 7 Descrivere tutte le isometrie dirette che mutao u tetraedro regolare i sé. Cosideriamo per esempio il vertice D: esistoo due rotazioi itoro all altezza DH che mutao il triagolo ABC i se stesso ed hao ampiezze di 0 e 40. Cosiderado aalogamete gli altri tre vertici A, B e C, i totale abbiamo 8 rotazioi che mutao il tetraedro i se stesso. Esistoo poi altre tre rotazioi (di 80 ) che hao per assi di rotazioe le rette che cogiugoo i puti medi di due spigoli opposti (AC e BD, AB e CD, BC e AD). Ifie possiamo cosiderare come isometria che muta il tetraedro i se stesso ache l idetità. I totale ci soo quidi isometrie dirette che mutao u tetraedro regolare i se stesso. QUESITO 8 I u piao, riferito ad u sistema di assi cartesiai ortogoali (Oxy), soo assegate le affiità di equazioi: X = ax + by Y = bx Tra di esse determiare quella che trasforma il puto (;0) el puto (; ) e stabilire se ammette rette uite. 4 / 8
Affiché il puto (;0) si trasformi el puto (;-) deve essere: = a = quidi: a = e b = b L affiità richiesta ha quidi equazioi: X = x + y Y = x Per trovare le evetuali rette uite cosideriamo la retta r di equazioe AX + BY + C = 0 ed impoiamo che si trasformi i se stessa; la sua trasformata r ha equazioe: A(x + y) + B(x ) + C = 0, (A + B)x + Ay B + C = 0 Le due rette r ed r coicidoo se: A + B A = A B = C B C = k A + B A = k A B = k C B = k C ; A + B = ka A = kb C B = kc ; kb + B = k kb A = kb C B = kc ; kb + B = k B A = kb C B = kc Dalla prima equazioe ricaviamo B=0 oppure k + = k, k k = 0 k =, k = Se B=0 risulta ache A=0 e C=0, quidi o è accettabile. Se k = : A = B C B = C ; A = B C = B quidi è uita la retta di equazioe: BX+BY-B=0 che equivale a: X+Y-=0. Se k = : A = B C B = C ; A = B C = B ; quidi è uita la retta di equazioe: (-/)BX+BY+B=0 che equivale a: X-Y-=0. 5 / 8
QUESITO 9 Due giocatori, A e B, giocao a Testa o Croce co ua moeta le cui facce hao la stessa probabilità di uscire. Ciascuo di loro puta la somma S. Chi vice porta via l itera posta. Il gioco si svolge co la seguete regola: «Il giocatore A lacia la moeta: se esce Testa vice, altrimeti il gioco passa a B. Questi, a sua volta, lacia la moeta e vice se viee Croce, i caso cotrario il gioco ritora ad A, che ripete il lacio e vice se viee Testa. I caso cotrario il gioco ripassa a B, che vice se viee Croce. Se B o vice il gioco ha termie e ciascuo dei due giocatori riprede la somma che aveva putato». Il gioco è equo? Ricordiamo che u gioco è equo se, a parità di putata S, la probabilità di vicere è uguale alla probabilità di perdere; ioltre, per essere il gioco equo, la putata deve essere proporzioale alla probabilità di vicita. Lacia A: probabilità ½ di vicere; se vice ritira la posta ed il gioco fiisce, altrimeti: lacia B: probabilità ½ di vicere; se vice ritira la posta ed il gioco fiisce, altrimeti: lacia A: probabilità ½ di vicere; se vice ritira la posta ed il gioco fiisce, altrimeti: lacia B: probabilità ½ di vicere; se vice ritira la posta ed il gioco fiisce, altrimeti ogi giocatore ritira la somma putata. A può vicere al primo turo, co probabilità p = oppure al terzo turo co probabilità p = =. Quidi la probabilità di vicita di A è + = 5. 8 8 8 B può vicere al secodo turo co probabilità p = oppure al quarto turo co 4 probabilità p = =. Quidi la probabilità di vicita di B è + = 5. 6 4 6 6 Le due probabilità o soo uguali, quidi, essedo le putate dei due giocatori uguali, il gioco o è equo; per esserlo, dato che la probabilità di vicita di A è doppia di quella di B, A dovrebbe putare il doppio di B. QUESITO 0 Dopo avere spiegato perché la fuzioe f(x) = è positiva ell itervallo [, ], x cosx esplicitare u algoritmo idoeo a calcolare u valore approssimato dell area situata sotto il grafico della fuzioe relativamete all itervallo cosiderato. f(x) > 0 se x cosx > 0 cioè se x > cosx. Risolviamo la disequazioe graficamete, rappresetado ello stesso sistema di riferimeto le curve di equazioi y = x e y = cosx. 6 / 8
Dal grafico si vede chiaramete che ell itervallo [;] risulta x > cosx, quidi la fuzioe è positiva. Essedo la fuzioe positiva ell itervallo suddetto, l area richiesta è data da: b f(x)dx a Tale itegrale può essere calcolato, per esempio, co il metodo dei trapezi. Dividedo l itervallo [;] i parti di ampiezza h = b a, risulta: b a f(x)dx b a [f(x 0 )+f(x ) + f(x ) + f(x ) + + f(x )]. Dividiamo, per esempio, l itervallo i =5 parti. 7 / 8
[ x cosx ] dx h [ f(x 0) + f(x 5 ) + f(x ) + f(x ) + f(x 3 ) + f(x 4 )] Dove: h = 5 = 5 = 0. x 0 =, x = + h =., x =.4, x 3 =.6, x 4 =.8, x 5 = [ x cosx ] dx f() + f() 0. [ + f(.) + f(.4) + f(.6) + f(.8)] =.75 + 0.44 = 0. [ +.94 + 0.83 + 0.64 + 0.493] = 0.88 Co la collaborazioe di Agela Satamaria, Simoa Scoleri e Stefao Scoleri 8 / 8