V Esercitazione di Matematica Finanziaria 25 Novembre 200 Esercizio. Date due operazioni finanziarie (con scadenzari in anni) x = { 40, 7.8, 7.8, 7.8, 7.8, 7.8, 47.8}/t = {0, 0.5,,.5, 2, 2.5, 3}; determinare: x 2 = { 40, 40, 40}/t 2 = {0,, 2},. il tasso interno di rendimento i dell operazione finanziaria x /t ; 2. il valore residuo dell operazione finanziaria alla data t =.25 anni in base al tasso di interesse i ; 3. il tasso interno di rendimento i 2 dell operazione finanziaria x 2 /t 2 ; 4. quale importo bisogna sostituire a 40 al tempo s = 2 anni nell operazione finanziaria x 2 /t 2 in modo che abbia i come tasso interno di rendimento. Soluzione. Il titolo x è un titolo a cedola fissa quotato alla pari, dunque il suo tasso interno di rendimento è legato al tasso cedolare i c = I C = 7.8 40 = 0.0557 che però è un tasso semestrale, dunque il tasso interno di rendimento è il tasso equivalente su base annua i = ( + 0.0557) 2 = 0.45 =.45% Il valore residuo in t =.25 anni del titolo x è V (.25) = 7.8(.45) 0.25 + 7.8(.45) 0.75 + 7.8(.45).25 + 47.8(.45).75 = 43.85
Il tasso interno di rendimento del titolo x 2 si ottiene risolvendo l equazione 40 + 40( + i) + 40( + i) 2 = 0 che, tramite la sostituzione di variabile ( + i) = v, diventa 40v 2 + 40 40 = 0 L unica soluzione accettabile è quella positiva, cioè v = 0.867295 pertanto il tasso interno di rendimento del titolo è i 2 = = 0.53 = 5.30% 0.867295 La quota in t = 2 anni che il titolo x 2 deve avere affinché il suo tasso interno di rendimento sia uguale a quello del titolo x è dato da cioè 40( + 0.45) 2 + 40( + 0.45) + P = 0 P = 29.32 Esercizio 2. Dati due Bullet Bond il cui acquisto sia rappresentabile attraverso le seguenti operazioni finanziarie (con scadenzari in anni) x = { 00,.25,.25,.25,.25,.25, 0.25}/t = {0, 0.5,,.5, 2, 2.5, 3}; determinare: x 2 = { P 2, 5.5, 05.5}/t 2 = {, 2, 3},. il tasso interno di rendimento (su base annua) i dell operazione finanziaria x /t ; 2. il tasso interno di rendimento i 2 dell operazione finanziaria x 2 /t 2 se il prezzo fosse P 2 = 02.5; 3. il valore di P 2 che rende il tasso interno di rendimento annuo della seconda operazione pari al TIR annuo della prima operazione. Soluzione. Il tasso interno di rendimento del Bullet Bond quotato alla pari è il tasso equivalente su base annua al tasso cedolare, cioè ( i = +.25 ) 2 = 0.0256 = 2.56% 00 2
Il tasso interno di rendimento del secondo titolo, quando il prezzo è P = 02.5, si ottiene risolvendo l equazione 02.5 + 5.5v + 05.5v 2 = 0 la cui unica soluzioni ammissibile è quella positiva uguale a v = 0.959953 dunque i 2 = = 0.047 = 4.7% 0.959953 Il titolo x 2, per avere lo stesso tasso interno di rendimento del primo titolo, dovrebbe ammettere prezzo P 2 tale che e dunque P 2 + 5.5(.0256) + 05.5(.0256) 2 = 0 P 2 = 05.75 Esercizio 3. Un operazione finanziaria paga x = 780 euro in t = 4 anni, x 2 =.00 euro in t 2 = 8 anni e ha prezzo oggi uguale a P =.040 euro. Determinare il tasso interno di rendimento (su base annua) dell operazione in esame. Calcolare, inoltre, la quota da sommare a x 2 affinché il tasso interno di rendimento risulti pari a i = 7.% su base annua. Soluzione. Per calcolare il tasso interno dell operazione costruiamo l equazione corrispondente.040 + 780( + i) 4 +.00( + i) 8 = 0; sappiamo che v = ( + i) e facciamo la sostituzione di variabile t = v 4 per ottenere l equazione di secondo grado.00t 2 + 780t.040 = 0 L unica soluzione ammissibile è quella positiva, cioè t = 0.680422, quindi il tasso interno di rendimento è ( ) /4 i = = 0.00 = 0.% 0.680422 Se il tasso interno di rendimento fosse uguale a i = 0.07, la cifra da aggiungere alla quota in t = 8 anni si ottiene risolvendo l equazione.040(.07) 8 + 780(.07) 4 +.00 + x = 0 3
da cui si ottiene x = 325.93 Esercizio 4. Assegnata l operazione finanziaria x = { 300, 00, 00, 200} su {0, 0.5,.5, 3.5} anni, stimare, tramite il metodo di Newton (o delle tangenti) il tasso interno di rendimento (su base annua) dell operazione. Soluzione. Scriviamo la funzione e la sua derivata f(v) = 300 + 00v 0.5 + 00v.5 + 200v 3.5 f (v) = 50v 0.5 + 50v 0.5 + 700v 2.5 A questo punto siamo in grado di applicare il metodo di Newton e scegliamo a = 0.9 come punto iniziale; si ottiene v 0 = 0.9 f(0.9) f (0.9) = 0.8746656; il punto successivo si ottiene utilizzando v 0 come Iterativamente v = v 0 f(v 0) f (v 0 ) = 0.8746656 f(0.8746656) f (0.8746656) = 0.873962 v 2 = v f(v ) f (v ) = 0.87396; notiamo che la distanza tra gli ultimi due punti è sufficientemente piccola per poter arrestare il nostro procedimento iterativo, dunque il tasso interno di rendimento stimato con tale metodo è i = v 2 = = 0.442 = 4.42% 0.87396 Esercizio 5. Assegnata l operazione finanziaria x = {00, 00, 209.83} su {, 2, 2.5} anni, stimare, tramite il metodo di Newton (o delle tangenti) il tasso interno di rendimento (su base annua) dell operazione. Soluzione. Scriviamo la funzione f(v) = 00 + 00v 209.83v.5 4
e la sua derivata f (v) = 00 34.745v 0.5 Procediamo come fatto precedentemente considerando il punto iniziale a = 0.9; allora si ha v 0 = 0.9 f(0.9) f (0.9) = 0.954604; i punti successivi sono dati da v = 0.954604 f(0.954604) f (0.954604) = 0.9534245 v 2 = 0.9534245 f(0.9534245) f (0.9534245) = 0.9534236 v 3 = 0.9534236 f(0.9534236) f (0.9534236) = 0.95342360 Possiamo allora arrestare l iterazione, così il tasso interno di rendimento stimato con il metodo di Newton è i = v 3 = = 0.048852 = 4.8852% 0.95342360 5