Esae essione Materia Argoento Anno tato Ordinaria Topografia Frazionaento 4 Ad un Geoetra viene affidato l'incarico di frazionare un terreno ABCDEA, i cui vertici si susseguono in senso orario, in vista di due diversi futuri interventi di natura altietrica. Da un precedente rilievo, della cui attendibilità il Tecnico è certo, viene a conoscenza della superficie reale del terreno, che è di 42.287,26 q, e di alcuni eleenti, isurati con un teodolite elettronico centesiale, raccolti nel seguente libretto: Altezza tazione Punti colliati C.O. (gon C.V. (gon Distanze ( prisa( B h B = 1,544 A E C C 0,0000 -- -- -- A 119,9315 -- 141,328 -- P 258,8637 92,5764 -- 1,60 R 289,6573 90,6449 -- 1,60 348,0114 95,1620 -- 1,60 B 0,0000 -- 141,328 -- E 121,3236 -- 179,393 -- A 0,0000 -- 179,393 -- D 105,3125 -- -- -- D 0,000 -- -- -- B 102,8513 -- -- -- ove i punti P,R,, sono eleenti visibili dal vertice B e di coordinate note rispetto ad un sistea di riferiento locale (il punto B si trova alla destra di un osservatore che da P guarda il vertice R: Xp = 501,027.; Yp = 398,198 ; Zp = 109,116 ; X R = 532,769.; Y R = 390,325.; Z R = 108,100.; X = 587,964. ; Y = 397,768. ; Z = 106,886. Il Tecnico incaricato, ritenendo sufficienti i dati a disposizione per la risoluzione del frazionaento, riandando ad una fase successiva la scelta di un idoneo schea di rilievo per l'atto di aggiornaento catastale, effettua una livellazione geoetrica dal ezzo coposta lungo la linea chiusa ABCDEA, ottenendo i seguenti dislivelli: AB = 1,735 ; BC = - 0,928 ; CD = - 0,875 ; DE = 0,574 ; EA = - 0,531 Il Candidato deterini: 1. Le isure dei lati incogniti del terreno (BC, CD, DE. 2. Relativaente al vertice B, le coordinate copensate (rispetto al sistea di riferiento locale assegnato e la quota copensata. 3. Le coordinate planietriche e le quote copensate dei vertici della poligonale chiusa ABCDEA. A tal fine si utilizzi la seguente tolleranza prefissata: Tolleranza altietrica in etri: t 0,004 L, L = perietro della poligonale espresso in etri. 4. Frazioni il terreno in tre parti proporzionali ai nueri 2, 3, 5 con dividenti uscenti dal vertice A, in aniera tale che l'area inore contenga il vertice E e la aggiore il vertice B. 5. Rediga infine il relativo piano quotato, con l'esplicazione grafica del frazionaento, in scala opportuna. 6. Il candidato ha facoltà, inoltre, di elencare o descrivere quali elaborati tecnici sarebbero da predisporre per l'atto di aggiornaento catastale, scegliendo un opportuno schea di rilievo.
volgiento P p q R r s B u h g C t 2 f 3 l D k a 1 c d A b E Dal testo della traccia la superficie dell'intero appezzaento è: Qui si nota che l'ordine di grandezza diensionale per le approssiazioni di calcolo è il d essendo specificata la superficie in d². I lati AB e AE valgono rispettivaente: a := 141.328 Qui si nota che le isure sono state effettuate con l'approssiazione del. Attraverso le letture al cerchio orizzontale si possono deteinare gli angoli: α := 121.3236 in radianti (lo svolgiento effettuato con Matcad richiede tale sistea angolare: α := α il lato c=be si calcola gli angoli del triangolo BAE si calcolano applicando il teorea di Carnot a2 c 2 β := acos 2 a + b 2 c la figura è indicativa η := 119.9315 η := η b := 179.393 c:= a 2 b 2 ν := 105.3125 ν := ν + 2 a b cos( α Θ := 102.8513 Θ := Θ := 42287.26 2 c = 262.343 β = 44.6960 b2 c 2 ε := acos 2 b + a 2 c ε = 33.9804
Dell'appezzaento si conoscono tutti gli angoli perchè l'unico angolo ancante si ricava sapendo che la soa degli angoli interni di una figura piana è dato da tanti angoli piatti quanti sono i vertici eno 2 ( ω := 5 2 ( Θ + η + α + ν ω = 150.5811 La superficie del triangolo BAE vale: ab sin( α 1 := 2 1 = 11972.144198 2 gli angoli alla base BE del triangolo BEV ottenuto prolungando i lati BC e ED valgono: γ := η β δ := ν ε γ = 75.2355 δ = 71.3321 Da qui in poi non ha più senso l'approssiazione del per le distanze in quanto si utilizza un valore di superficie con approssiazione del d² Il quadrilatero BCDE ha coe superficie: 2 := 1 1 = 11972.14 2 La superficie del triangolo BVE deve essere così calcolata (noto un lato e i due angoli adiacenti: T := c 2 sin( γ sin( δ 2 sin( γ + δ T = 38520.97 2 Per differenza il triangolo CVD ha coe superficie: 3 := T 2 3 8205.86 2 = e gli angoli alla base f valgono: φ := Θ ξ := ω φ = 97.1487 ξ = 49.4189 La superficie del triangolo CVD può essere espressa dalla forula che considera un lato e i due angoli adiacenti e, nota la superficie, si ricava con la forula inversa la lunghezza del lato: (i calcoli sono riportati con l'approssiazione del c e il valore dei risultati sarà riportato con l'approssiazione corretta f := 2 3 sin( φ + ξ sin( φ sin( ξ f = 132.10
Applicando il teorea dei seni al triangolo CVD si calcolano i lati: sin( ξ t:= f sin( φ + ξ t = 124.36 l sin( φ f sin( φ + ξ := l = 177.33 Applicando il teorea dei seni al triangolo BVE si calcolano i lati: h sin( δ c sin( δ + γ := h = 317.38 sin( γ k:= c sin( δ + γ k = 326.19 I lati del quadrilatero g=bc e d=de risultano essere: g:= h t g = 193.02 d:= k l d = 148.86 Risposte alla pria doanda: BC, CD e DE valgono rispettivaente g = 193.0 f = 132.1 d = 148.9 Le coordinate al punto B devono essere ricavate risolvendo il problea di intersezione inversa per quanto riguarda le planietriche X e Y; per quanto riguarda la quota invece si deve utilizzare la procedura di livellazione trigonoetrica da un estreo in considerazione del fatto che i punti colliati sono assai distanti e quindi occorre tener conto della sfericità terrestre e della rifrazione atosferica. Parte planietrica: noti X P := 501.027 Y P := 398.198 Z P := 109.116 X R := 532.769 Y R := 390.325 Z R := 108.100 X := 587.964 Y := 397.768 Z := 106.886 Gli angoli di direzione interessati valgono: θ BP := 258.8637 θ BR := 289.6573 θ B := 348.0114 in radianti: θ BP := θ BP θ B := θ B θ BR := θ BR Gli angoli che occorrono per l'intersezione inversa sono: σ := θ B θ BR σ ρ := θ BR θ BP ρ = 58.3541 = 30.7936
Le distanze p=pr e q=r tra i trigonoetrici considerati valgono (qui ritorna l'approssiazione del : ( 2 + ( Y R Y P 2 p X R X P := p = 32.704 ( 2 + ( Y Y R 2 q X X R := q = 55.695 Gli aziut (PR e (R valgono: ( PR := atan ( X R X P ( Y R Y P ( ( + X X R ( R := atan R Y Y R di conseguenza: ( RP := ( PR + RP ( PR = τ := ( RP ( R τ = I valori di H e K dell'intersezione inversa sono dati da: τ + ρ σ H := ( + H = 2 115.4778 ( = 91.4667 ( = 315.4778 224.0111 43.4206 µ := atan p sin( σ q sin( ρ µ = 50.0623 Κ := atantan( H tan 4 µ Κ = Gli angoli incogniti dell'intersezione inversa risultano essere: ζ := H + Κ ζ ψ := H Κ ψ 0.0506 = 43.3700 = 43.4712 Le distanze s=bp, r=br, u=b sono ricavate applicando il teorea dei seni. s p sin( ρ + ζ sin( ρ r := s = 64.609 p sin( ζ sin( ρ := r = 44.286 u q sin( ψ + σ sin( σ := u = 70.155 L'aziut (PB vale: ( PB := ( PR + ζ PB ( = 158.8478
Le coordinate di B sono pertanto: X B X P + s sin( ( PB := X B = 539.943 Y B Y P + s cos( ( PB := Y B = 346.624 Attenzione, le coordinate del punto B se calcolate passando attraverso i punti R, cioè considerando le altre due vie, devono essere identiche in quanto il problea di intersezione inversa se la aette, aette una soluzione univoca. In nessun caso è possibile la copensazione di dette coordinate. Risoluzione della poligonale geoetricaente deterinata (non ha senso quindi parlare di copensazione planietrica delle coodinate Il valore dell'angolo ι risulta: dai valori dati θ BC := 0 ι := θ BC θ BP + 2 ( CB := ( DC + Θ CB Le coordinate dei vertici della poliganale risultano essere: X A X B + a sin( ( BA ( = 299.9841 := X A = 496.4 Y A Y B + a cos( ( BA := Y A = 212.2 X E X A + b sin( ( AE := X E = 639.5 Y E Y A + b cos( ( AE := Y E = 103.9 X D X E + d sin( ( ED := X D = 738.9 Y D Y E + d cos( ( ED := Y D = 214.7 X C X D + f sin( ( DC := X C = 733.0 Y C Y D + f cos( ( DC := Y C = 346.7 Per la verifica dei conti dovrà essere : X B X C + g sin( ( CB := X B = 539.943 Y B Y C + g cos( ( CB θ BC = 0.0000 ι = 141.1363 Gli angoli aziut dei lati si calcolano con la regola di propagazione degli aziut: ( BC := ( PB + ι ( BA := ( BC + η ( AE := ( BA + α AE ( ED := ( AE + ν ED ( DC := ( ED + ω + DC ( BC = 99.9841 ( BA = 219.9156 ( = 141.2392 := Y B = 346.624 ( = 46.5517 ( = 397.1328
Attenzione, il problea sin qui risolto non ha nulla di topografico, se non le considerazioni sulle approssiazioni, essendo risolto con procedure prettaente geoetriche con univoca soluzione con copensabile. La parte altietrica riguarda pria la copensazione dei dislivelli ottenuti con le livellazioni di alta precisione geoetriche coposte dal ezzo. I dislivelli dati sono (si noti l'approssiazione del : AB 1.735 := CD := 0.875 BC := 0.928 DE := 0.574 EA := 0.531 Calcolo dell'errore di chiusura sui dislivelli: := E = 0.025 E AB + BC + CD + DE + EA Calcolo dell'errore lineare: e l E ( a + b + d + f + g := e 0.0000315 l = Calcolo degli errori da attribuire ad ogni singolo tratto di livellazione pari alla lunghezza del relativo lato: e.ab := ae l e.ab = 0.004 e.ea := be l e.ea = 0.006 e.de := de l e.de = 0.005 e.cd := fe l e.cd = 0.004 e.bc := ge l e.bc = 0.006 Ponendo ora il coefficiente di rifrazione atosferica ragionevolente uguale a 0.13 per l'italia settentrionale e il raggio della sfera locale ediaente pari a 6377000 non essendo note le coordinate geografiche della località del rilievo si ha: K r := 0.13 R := 6377000 Un pochino di attenzione occore nel constatare che l'altezza della ira è pari a 1.60 non specificando il terzo deciale l'ordine di approssiazione dei risultati relativi alle quote decade al c. Inutile quindi la terza cifra deciale relativa all'altezza struentale. l p := 1.60 H B := 1.543 Conoscendo i valori delle letture zenitali prese in tabella e pari a: ψ BP := 92.5764 ψ BR := 90.6449 ψ B := 95.1620
in radianti: ψ BP := 92.5764 ψ BR := 90.6449 ψ B := 95.1620 I dislivelli calcolati appoggiandosi ai tre vertici trigonoetrici P, R, sono: 1 1 K r s2 BP := s + + H tan( ψ BP B l p BP = 7.51 2 R 1 1 K r r2 BR := r + + H tan( ψ BR B l p BR = 6.50 2 R 1 1 K r u2 B := u + + H tan( ψ B B l p B = 5.29 2 R La quota di B può essere pertanto calcolata in 3 odi distinti e tutti egualente attendibili: Q B1 := Z P BP Q B2 := Z R BR Q B1 = 101.60 Q B2 = 101.60 Q B3 := Z B Il calcolo delle quote dei vertici della poligonale risulta essere: Q C := Q B + BC e.bc Q D := Q C + CD e.cd Q E := Q D + DE e.de Q A := Q E + EA e.ea Q C = 100.68 Q D = 99.81 Q E = 100.39 per verifica: Q A = 99.86 Q B Q A + AB e.ab := Q B = 101.60 Relativaente alla divisione delle aree occorre dappria dividere l'area totale in parti proporzionali ai valori 2, 3, 5 assegnati dando per scontato che tutto l'appezzaento sia di ugual valore unitario. I II 2 Q B3 = 101.60 La quota più probabile risulta pertanto la edia delle tre quote calcolate anche se l'approssiazione iposta la rende apparenteente ininfluente. Q B1 + Q B2 + Q B3 Q B := 3 Q B = 101.60 := ( 2 + 3 + 5 I = 8457.45 2 := 3 II = 12686.18 2 10 III := 5 III = 21143.63 2 10 Considerando le superfici coe disposte dal testo fornito e dando il noe z alla distanza da calcolare per il picchettaento del punto L posto sul lato ED, in direzione ED positiva, si ottiene:
z := 2 I b sin( ν Considerando il triangolo AED esso ha superficie uguale a: bd sin( ν AED := 2 ADG := I + II AED Del triangolo AED si calcolano il lato w=ad e l'angolo in D, c : z = 94.6 AED = 13305.64 2 La superficie da staccare al triangolo ADC per ottenere la coordinata x sul lato DC al fine di picchettare il secondo punto G posto in direzione DC positiva vale: ADG = 7837.99 2 w:= b 2 d 2 d2 + w 2 b 2 χ := acos 2 d w Del triangolo ADC si calcola l'angolo in D, υ υ := ω χ + 2 b d cos( ν e quindi la coordinata x vale: w = 242.5 χ = 52.7778 υ = 97.8033 x := 2 ADG w sin( υ Per poter picchettare dallo stesso vertice D i due picchetti L e G si calcola la differenza alla lunghezza del lato ED e si fornisce la distanza DL che riferisce il picchetto L al vertice D y:= d z I picchetti dunque saranno posti l'uno a 94.6 da D verso E e l'altro a 37.5 da D verso C Piano quotato: x = 64.7 y = 54.2 scala 1:5000 P R 101.60 100.68 300.00.00 99.86 G DG=64.7 99.81 D DL=54.2 L 100.39