Pompa di calore a celle di Peltier ( 3 ) Aalisi dei dati Scuola estiva di Geova 2 6 settembre 2008 1
Primo esperimeto : riscaldameto per effetto Joule Come descritto ella guida, misuriamo tesioe di alimetazioe v della resisteza, correte i, temperatura T del parallelepipedo di allumiio e tempo t ogi 30 secodi, per circa 3 miuti ( 180 secodi ). Poi spegiamo l alimetazioe e proseguiamo le misure della temperatura T per altri 3 miuti. Vao bee ache altre scelte dell itervallo di tempo fra ua misura e la successiva, ma scosigliamo di predere u itervallo maggiore di 30 secodi. Nella tabella 1 riportiamo u esempio di dati misurati el primo esperimeto. Osserviamo che la temperatura del parallelepipedo di allumiio cotiua ad aumetare u poco ache dopo che l alimetazioe della resisteza è stata speta. Disegiamo u grafico di T i fuzioe del tempo t, mostrato i figura 1. Osserviamo che esso mostra u adameto lieare. Dalla pedeza delle retta di iterpolazioe fra i puti possiamo calcolare la capacità termica del parallelepipedo di allumiio. Poiché l alimetazioe della resisteza è a poteza costate, l eergia forita al parallelepipedo è semplicemete data dalla poteza per il tempo trascorso. Nel caso dell esempio, la poteza elettrica di alimetazioe vale P = v i = 1.91 V 1.09 A = 2.08 W. Perciò il calore forito al sistema vale Q = P t e dalla defiizioe di capacità termica C = Q/ T troviamo C = P t/ T. Dai dati dell esempio, calcolado la pedeza della retta dei miimi quadrati, troviamo C = 107.7 J/K. 2
t [s] v [V] i [A] T [ C] T [ C] 0 1.90 1.10 22.7 0.0 30 1.91 1.09 23.1 0.4 60 1.91 1.09 23.7 1.0 90 1.91 1.09 24.3 1.6 120 1.91 1.09 24.9 2.2 150 1.91 1.09 25.5 2.8 180 1.91 1.09 26.1 3.4 210 0.00 0.00 26.4 3.7 240 0.00 0.00 26.4 3.7 270 0.00 0.00 26.4 3.7 300 0.00 0.00 26.4 3.7 330 0.00 0.00 26.4 3.7 360 0.00 0.00 26.3 3.6 Tabella 1: Dati misurati ell esperimeto di riscaldameto per effetto Joule. 3.5 3 Aumeto di temperatura [ C] 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Tempo [s] Figura 1: Grafico dell aumeto di temperatura T i fuzioe del tempo t. 3
Secodo esperimeto : riscaldameto co pompa di calore a celle di Peltier Ache i questo secodo esperimeto, misuriamo tesioe di alimetazioe v della resisteza, correte i, temperatura T del parallelepipedo di allumiio e tempo t ogi 30 secodi, per circa 3 miuti. Poi spegiamo l alimetazioe e proseguiamo le misure della temperatura T per altri 3 miuti. Nella tabella 2 riportiamo u esempio di dati misurati el secodo esperimeto. Nella serie di misure di cui mostriamo i dati, o abbiamo misurato la tesioe di alimetazioe v dopo che questa è stata speta, ma è utile predere ache queste misure. Disegiamo u grafico di T i fuzioe del tempo t, isieme al grafico dell esperimeto precedete. La figura 2 mostra u grafico per il ostro esempio. Nel secodo esperimeto l adameto mostrato dal grafico è lieare? Quale dei due metodi di riscaldameto è più efficiete? Perché? Bilacio eergetico del sistema ( il parallelepipedo di allumiio ) Coviee cosiderare il dispositivo a celle di Peltier come ua macchia termica iterposta fra u termostato freddo, costituito dalla base era di allumiio e da tutto il laboratorio, e il parallelepipedo di allumiio da riscaldare ( sistema ). Eergia assorbita Durate u itervallo di tempo di durata ifiitesima dt l alimetazioe fa u lavoro elettrico pari a dl = P dt sul dispositivo a celle di Peltier. Parte di questo lavoro viee dissipato per effetto Joule dal passaggio della correte elettrica elle celle e ifie ceduto, ua frazioe s, al ostro sistema e, ua frazioe u, al termostato freddo, cioè alla base era di allumiio e a tutto il laboratorio. Sarebbe ecessario misurare quato valgoo le frazioi s ed u, ma co l apparato a ostra disposizioe questa misura o è semplice e diretta. Perciò faremo delle ipotesi semplificative : che le due frazioi siao complemetari, cioè che la loro somma sia uguale a 1 ( s + u = 1 ) ; che siao uguali, per simmetria, cioè che ogua valga 0.5 ( s = u = 0.5 ), oppure che il valore di tali frazioi sia tale da riprodurre meglio possibile la curva di riscaldameto. Il restate lavoro elettrico forito dall alimetazioe si aggiuge al calore estratto dal termostato freddo e trasmesso, per effetto di Peltier, al sistema. I defiitiva, dq assorbito = v i uri 2 + ε i T F. dt 4
t [s] v [V] i [A] T [ C] T [ C] 0 1.74 1.19 22.9 0.0 30 1.82 1.15 25.2 2.3 60 1.86 1.12 27.5 4.6 90 1.90 1.10 29.8 6.9 120 1.93 1.09 31.9 9.0 150 1.96 1.07 33.8 10.9 180 1.98 1.05 35.6 12.7 210 0.00 35.0 12.1 240 0.00 34.1 11.2 270 0.00 33.0 10.3 300 0.00 32.5 9.6 330 0.00 31.7 8.8 360 0.00 31.2 8.3 Tabella 2: Dati misurati ell esperimeto di riscaldameto co pompa di calore a celle di Peltier. 14 Joule Peltier 12 Aumeto di temperatura [ C] 10 8 6 4 2 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Tempo [s] Figura 2: Grafico dell aumeto di temperatura T i fuzioe del tempo t per riscaldameto co effetto Joule o co pompa di calore a celle di Peltier. dove v e i soo la tesioe e la correte di alimetazioe ; R è la resisteza itera del dispositivo a celle di Peltier ; u la frazioe di eergia disssipata per effetto Joule che le celle cedoo al termostato freddo ; ε è il coefficiete di Seebeck ; T F è la temperatura del termostato freddo. Eergia ceduta Il sistema cede eergia per coduzioe attraverso il dispositivo stesso a celle di Peltier : dq ceduto dt = K (T C T F ) dove K è il coefficiete di Fourier ell equazioe semplificata, che comprede i fattori geometrici e il coefficiete di coducibilità termica del materiale ; T C è la temperatura del sistema. 5
t 180 [s] T C T F [ T C] log C T F e 10 C 0 12.7 0.239 30 12.1 0.191 60 11.2 0.113 90 10.3 0.030 120 9.6-0.041 150 8.8-0.128 180 8.3-0.186 Tabella 3: Dati misurati durate la fase di raffreddameto del secodo esperimeto. Bilacio complessivo Possiamo scrivere che dq totale etrate dt = v i uri 2 + ε i T F K (T C T F ). Se cosideriamo la capacità termica C del sistema e la dipedeza della correte i dal tempo, possiamo scrivere la seguete equazioe differeziale che regola l aumeto di temperatura del sistema : C dt C dt = KT C (t) + P uri 2 (t) + εt F i(t) + KT F. (1) e la cui itegrazioe o è baale. Abbiamo scritto P al posto di v(t) i(t) perché la poteza di alimetazioe è costate e capiamo ora perché sia stata fatta questa scelta i fase di progettazioe dell esperimeto. Calcolo dei parametri Coefficiete di Fourier Faremo l ipotesi che la capacità termica C del sistema sia la stessa di quella valutata el primo esperimeto, ache se si tratta solo di u approssimazioe, perché o teiamo coto della capacità termica del dispositivo a celle di Peltier. Dai dati relativi alla curva di raffreddameto, cioè dopo che l alimetazioe elettrica del dispositivo è stata speta, possiamo valutare il rapporto fra il coeffiete di Fourier K e la capacità termica C. Quado la correte i di alimetazioe vale 0, l equazioe differeziale (1) diveta dt C dt = K C [T C(t) T F ], cioè l equazioe differeziale di raffreddameto di u corpo per coduzioe di Fourier, già vista ella presetazioe degli effetti termoelettrici. La sua soluzioe è T C (t) T F = (T C,0 T F ) exp ( KC ) t, dove T C,0 è la temperatura raggiuta dal sistema al termie della fase di riscaldameto. Se cosideriamo il logaritmo aturale di (T C T F )/10 C i fuzioe del tempo t possiamo calcolare il rapporto K/C come pedeza della retta di iterpolazioe ( figura 3 ). Nel caso del ostro esempio riportiamo i dati che ci iteressao ella tabella 3. Dalla pedeza della retta dei miimi quadrati troviamo che K/C = 2.46 10 3 s 1 e perciò K = 2.46 10 3 s 1 107.7 J/K = 0.265 W/K. 6
0.3 0.25 0.2 0.15 log e [(T C -T F )/10 C] 0.1 0.05 0-0.05-0.1-0.15-0.2-0.25 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Tempo [s] T Figura 3: Grafico logaritmico della temperatura log C T F e 10 C i fuzioe del tempo t per la curva di raffreddameto. La retta di iterpolazioe dei miimi quadrati è mostrata tratteggiata. Resisteza itera e coefficiete di Seebeck La differeza di poteziale v fra sistema e termostato freddo sarà uguale alla differeza di poteziale prodotta per effetto Seebeck più la caduta di poteziale per effetto ohmico dovuto al passaggio della correte i el dispositivo a celle di Peltier : v = ε(t C T F ) + Ri = ε T + Ri. (2) Poiché abbiamo misurato v, T e i ( vedere la tabella 2 ), possiamo ricavare ε ed R come coefficieti dei miimi quadrati. Quidi prederemo per queste gradezze i valori che redoo miima la somma (v ε T Ri ) 2 dove l idice si riferisce all -esima riga della tabella 2 o meglio alla parte di essa relativa alla fase di riscaldameto. Come è oto, questo è il metodo dei miimi quadrati di Legedre-Gauss. La quatità sopra scritta come fuzioe delle variabili ε ed R è defiita positiva, essedo ua somma di quadrati, e ammette u miimo assoluto. Le codizioi per trovare questo puto di miimo corrispodoo all aullarsi delle derivate parziali rispetto a ε ed R, che si scrivoo sotto forma di sistema lieare { ( T ) 2 ε + ( T i ) R = T v ( T i ) ε + ( ) i2 R = i v, la cui soluzioe è data da ε = ( i2 )( Tv) ( Ti)( iv) ( T 2 )( i2 ) ( Ti)2 R = ( T 2 )( iv) ( Ti)( Tv) ( T 2 )( i2 ) ( Ti)2. Nel ostro esempio troviamo i segueti valori T 2 = 435.2 K 2 7
v Ri V 0.4 0.3 0.2 0.1 2 4 6 8 10 12 T C Figura 4: Grafico di v Ri, calcolato per R = 1.5 Ω, i fuzioe di T. I puti rappresetao i valori sperimetali, la curva la retta di iterpolazioe v Ri = ε T co ε = 0.033 V/K. T i = 50.20 K A i 2 = 8.639 A 2 T v = 89.73 K V i v = 14.62 W. Perciò abbiamo che ε = 0.033 V/K e R = 1.5 Ω. Co questi valori, possiamo calcolare l errore quadratico medio su v come v 2 RMS = (v ε T Ri ) 2 = 0.39 V 2 che ci permette di stimare l errore sui parametri trovati. L errore quadratico medio vale ε RMS = R RMS = i2 ( T ) 2 ( i2 ) ( T i ) 2 T 2 ( T ) 2 ( i2 ) ( T i ) 2 (v ε T Ri ) 2 7 2 = 0.023 V/K (v ε T Ri ) 2 = 0.2 Ω. 7 2 Notiamo che l errore su R è di poco più del 10 %, metre l errore sul coefficiete di Seebeck ε è cosiderevole. Mostriamo ella figura 4 la quatità v Ri calcolata co il valore di R = 1.5 Ω, i fuzioe di T, per avere u idea visiva se l approssimazioe data dalla formula (2) sia adatta oppure o. Itegrazioe dell equazioe differeziale per la variazioe di temperatura del sistema Siamo quasi proti per provare a itegrare l equazioe differeziale (1). Ci maca acora ua stima del valore della frazioe u e la coosceza della fuzioe i(t). La tabella 2 ci mostra che la variazioe relativa totale di i è del 12 %, ovvero piuttosto piccola. Perciò per i prederemo u approssimazioe lieare ( vedere la figura 5 ). Co il metodo dei miimi 8
1.2 1.18 1.16 1.14 Correte elettrica [A] 1.12 1.1 1.08 1.06 1.04 1.02 1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Tempo [s] Figura 5: Adameto temporale della correte i di alimetazioe che attraversa il dispositivo a celle di Peltier e sua approssimazioe lieare. quadrati troviamo i(t) = 1.175 A (7.26 10 4 A/s) t. Possiamo ora provare a itegrare umericamete l equazioe differeziale (1). E sufficiete usare il metodo di Eulero co ua scelta del passo di itegrazioe t = 0.1 s. Per il parametro u scegliamo tetativamete i valori u = 0, poi u = 0.5 e ifie u = 1. Le curve di riscaldameto otteute soo mostrate ella figura 6. Che iterpretazioe fisica si può dare al fatto che i puti sperimetali siao più i basso delle curve teoriche, a qualuque valore di u esse corrispodao? 9
T C 15 10 5 50 100 150 t s Figura 6: Curva di riscaldameto del sistema co pompa di calore a celle di Peltier. I puti rappresetao i valori misurati sperimetalmete. Le curve rappresetao la soluzioe umerica dell equazioe differeziale (1) per diverse scelte del parametro u : puteggiata corrispode a u = 0, tratteggiata a u = 0.5 e cotiua a u = 1. 10