Equazioni Irrazionali pag Easy matematica Equazioni irrazionali Dicesi equazione irrazionale un equazione nella quale l incognita compare sotto il segno di radice Per risolvere un equazione irrazionale bisogna eliminare la radice, ciò si ottiene elevando a potenza entrambi i membri dell equazione. Questo procedimento non dà in un equazione equivalente a quella data, poerchè se ad esempio consideriamo l equazione x = ed eleviamo al quadrato otteniamo x = 4 che fornisce le soluzioni ±. ( non è soluzione dell equazione data) Consideriamo equazioni in cui l indice n della radice è pari (caso particolare n = ) ) Equazioni del tipo f( x) = g( x) () per evitare di ottenere radici cosiddette estranee trasformiamo la () nel sistema gx f( x) = [ g( x) ] le soluzioni dell equazione vanno ricercate nelle soluzioni del sistema ) Equazioni del tipo f( x) = g( x) in questo caso otteniamo il sistema gx f( x) = g( x) 3) Equazioni del tipo f( x) ± g( x) = h( x) (si dovrà trasformare l equazione in modo da ottenere i due membri positivi) quindi f( x) + g( x) = h( x) Otteniamo il sistema
Equazioni Irrazionali pag Easy matematica gx hx f( x) + g( x) = h( x) [ ] gx hx f( x) + g( x) + f( x) g( x) = [ h( x) ] sviluppando l ultima equazione, le soluzioni vanno ricercare nel sistema: f( x) 0 gx hx [ hx ( )] f( x) gx ( ) 0 4 f( x) g( x) = {[ h( x) ] f( x) g( x) } 4) Equazioni del tipo f( x) + h( x) = g( x) Dobbiamo distinguere due casi ) hx ) hx ( ) < 0 ) Caso hx Si ha il sistema gx hx f( x) + h( x) = g( x) gx hx f( x) + [ hx ( )] + hx ( ) f( x) = gx ( ) che equivale al sistema
Equazioni Irrazionali pag 3 Easy matematica f( x) 0 gx hx gx f x hx 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] 0 [ h x ] f x = g x f x [ h x ] { } ) Caso hx ( ) < 0 gx hx ( ) < 0 f( x) = h( x) + g( x) Si risolv come il caso precedente ) Equazioni del tipo f( x) + g( x) = h( x) In questo caso le soluzioni vanno ricercate tra quelle che appartengono al dominio della equazione: gx hx e che soddisfano l equazione f( x) g( x) + = h( x) per cui avremo: f( x) + g( x) + f( x) g( x) = h( x) f( x) g( x) = h( x) f( x) g( x) che si trasformano nel sistema hx ( ) f( x) gx ( ) 0 4 f( x) g( x) = h( x) f( x) g( x) [ ] 6) Equazioni del tipo ( ) ( ) ( ) f x g x h x = Per essere certi di non incorrere in soluzioni incompatibili è necessario scrivere l equazione in modo da avere entrambi i membri positivi, cioè nella forma
Equazioni Irrazionali pag 4 Easy matematica f( x) = h( x) + g( x) e trovato il dominio dell equazione considerare le soluzioni che soddisfano il sistema: f( x) g( x) g( x) 0 [ f( x) g( x) h( x) ] = 4 g( x) h( x) Le soluzioni del sistema, appartenenti al dominio dell equazione, saranno le soluzioni dell equazione. ESEMPI: Esempio Risolvere l equazione x 3x+ = 0 Isolando il radicale avremo 3x + = x () : 3x + 0 dominio dell'equazione 0 il secondo membro non può essere negativo otteniamo x 3 Avremo il grafico elevando al quadrato la () otteniamo 3x = ( x ) x x= 0 le cui soluzioni sono x= 0 x=
Equazioni Irrazionali pag Easy matematica La soluzione accettabile è solo x = Esempio Risolvere l equazione x+ = x+ 0 () Il dominio dell equazione è dato dalla soluzione del sistema x + 0 + 0 0 x Si ha il grafico da cui Elevando al quadrato ambo i membri della () otteniamo x+ = x+ 0 x = 3 La soluzione è quindi accettabile Esempio 3 Risolvere l equazione 3x x = (3) Il dominio dell equazione è dato da 3x 0 0
Equazioni Irrazionali pag 6 Easy matematica 3 si ha il grafico da cui Elevando al quadrato ambo i membri della (3) otteniamo ( x ) 3x = + 3x = + x + x x = x (4) Le condizioni per l esistenza di soluzioni saranno x per cui si ha Elevando al quadrato ambo i membri della (4) otteniamo 4(x ) = x x+ x x x 8 + + 0= 0
Equazioni Irrazionali pag 7 Easy matematica x 0x+ = 0 x = ± Pertanto entrambe le soluzioni sono accettabili perché maggiori di Esempio 4 Risolvere l equazione x+ + x+ 6 6x+ = 0 () Per essere certi di non incorrere in soluzioni incompatibolo, è necessarioi portare la () nella forma x + + x+ 6 = 6x+ Le soluzioni vanno ricercate nel dominio dell equazione Si ha il sistema x + 0 x + 6 0 6x + 0 6 da cui Elevando al quadrato ambo i membri della () otteniamo x + + x+ 6 + (x+ )( x+ 6) = 6x+ (x+ )( x+ 6) = 0x 6 (x + )( x+ 6) = x 3 (6) Le condizioni per l esistenza di soluzioni saranno 6 3 3 Elevando al quadrato ambo i membri della (6) otteniamo x + 30x+ x+ 6 = x 30x+ 9 0x 6x+ 3= 0 x = e x = 3 0 Pertanto solo la soluzione x = 3 risulta accettabile.
Equazioni Irrazionali pag 8 Easy matematica Esempio Risolvere l equazione x 4 = x 9 x (7) determiniamo il dominio dell'equazione mediante il sistema x 4 0 x 9 0 0 e osserviamo che deve essere 9 (8) Elevando al quadrato la (6) dopo semplici calcoli, si ottiene x 6 = x 0x + 9 (9) Questa è vera quando 6 che, associata alla (8'), impone 9 Elevando al quadrato la (3 ) si ottiene 3x 8x = 0 che dà come soluzione,ipoteticamente accettabile 8 x = 3 Se si esegue la verifica della ( ) si riscontra che tale radice non soddisfa l'equazione data, pur essendo maggiore di 9 Risolviamo adesso la (7) portandola nella forma: x 4 + x = x 9 Elevando al quadrato, si ha x x + 4 = 4 x x. e questa è vera per 4 Dovendo valere anche la (8) si deduce che l'equazione data non ha soluzioni, come in effetti deve essere. Altri esempi di equazioni irrazionali Esempio n 6 Risolviamo l equazione: 3 x = 4x x + 4 ( ) Mediante il sistema:
Equazioni Irrazionali pag 9 Easy matematica 3x 0 4x 0 + 4 0 ricaviamo che deve essere: ( ) 4 ed elevando al quadrato la ( ), dopo semplici calcoli, otteniamo: ( 4x )( x + 4) = x (3 ) Da cui: 0 E, dovendo valere anche la ( ), si ha che 4 Elevando al quadrato la (3 ), dopo semplici passaggi, si perviene a 3x + x 0 = 0 la cui unica soluzione ipoteticamente accettabile è 4 x = 3 Se eseguiamo la verifica dell equazione data riscontriamo che tale radice non la soddisfa, pur essendo maggiore di 4 Se invece, portiamo la ( ) nella forma 3x + x + 4 = 4x ed eleviamo al quadrato, otteniamo: ( 3x )( x + 4) = 4 dalla quale deduciamo che l equazione data è impossibile, come in effetti deve essere. Esempio n 7 Risolviamo l equazione x 4 = 3 4x 7 ( )
Equazioni Irrazionali pag 0 Easy matematica Determiniamo il dominio dell equazione mediante il sistema: x 4 0 4x 7 0 e otteniamo 4 ( ) Elevando al quadrato la ( ) abbiamo: x + = 4x 7 (3 ) Da cui ricaviamo che, associata alla ( ), fornisce: 4 Elevando al quadrato la (3 ) otteniamo come soluzioni ipoteticamente accettabili x = 4 e x = 8 La seconda di esse non soddisfa la ( ), pur essendo maggiore di 4. Se invece portiamo l equazione data nella forma: x 4 + 4x 7 = 3 ed eleviamo al quadrato otteniamo: ( x 4)(4x 7) = 0 x da cui si ricava x 4 Osservando che deve valere anche la ( ) si deduce che l unica soluzione da accettare è x = 4.