Corso di Fodmei di elecomuiczioi - SEGNALI E SPERI Prof. Mrio Brber [pre ] 1 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Covoluzioe Defiizioe: w 3( = ( w1 * w ( w1 ( w ( d L covoluzioe è oeu: iveredo per w ( l sse emporle i modo d oeere w (-; rsldo w (- di secodi per oeere w (- ; moliplicdo il risulo per w 1 (. [VEDI ESEMPIO NELLA SLIDE SUCCESSIVA]
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Esempio -7: covoluzioe di u impulso regolre co u espoezile w ( 1 w ( ESEMPIO w ( + w ( w ( w ( + = = > < ( w * w ( w ( w ( d w 3( = 1 1 3 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Esempio -7: covoluzioe di u impulso regolre co u espoezile w ( 1 w ( + w w ( + 1( ( w * w ( w ( w ( d w 3( = 1 1 w 3 ( 4
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Esempio -7: covoluzioe di u impulso regolre co u espoezile > < < w ( 3 w ( w ( 1 w1 ( w ( + ( / = 1e d = 1 ( e > w ( 3 ( e e + ( / = 1e d = 1 w3( = ( e e ( e 1 e < < < > 5 Fodmei di LC - Prof. M. Brber Clcolo dello spero di u impulso rigolre medie covoluzioe - Segli e speri [pre ] 6
Fodmei di LC - Prof. M. Brber Clcolo dello spero di u impulso rigolre medie covoluzioe w ( 1 w ( - Segli e speri [pre ] w ( ( + w ( ( w ( + 7 Fodmei di LC - Prof. M. Brber Clcolo dello spero di u impulso rigolre medie covoluzioe w ( 1 - Segli e speri [pre ] ( ( w * w ( = ( + ( w ( = 1 Alrove 3 w ( ( + w ( ( ( w * w w ( = 1 ( = + 3 Alrove + w ( = Π * Π ( = Λ 3 8
Fodmei di LC - Prof. M. Brber Clcolo dello spero di u impulso rigolre medie covoluzioe w ( 1 - Segli e speri [pre ] w ( = Π * Π ( = Λ 3 w ( ( sic( f sic( f = I Λ + w ( ( I Λ = sic ( f + 9 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Spero di u impulso rigolre w( = Λ sic ( f sic ( f 1
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] rsforme di Fourier oevoli sic( f sic ( f Siusoide jϕ + jϕ si ( π f +ϕ j e δ ( f + f e δ ( f f 1 [ ] 11 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] rsforme di Fourier oevoli Cosiusoide 1
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Esempio -9: spero di u IMPULSO SINUSOIDALE 13 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Esempio -9: spero di u IMPULSO SINUSOIDALE Do che: Π S ( πf = sic( f π eorem dell modulzioe θ = 1 F = π π A j ( f f + j f + f W f = e sic + e sic F F A ( f + f f f f = j sic sic F F W e j π ± π π = cos ± j si = ± j 14
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Esempio -9: spero di u IMPULSO SINUSOIDALE A ( f + f f f f = j sic sic F F W Spero di mpiezz 15 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Esempio -9: spero di u IMPULSO SINUSOIDALE Lo spero dell impulso siusoidle può che essere clcolo medie il eorem dell covoluzioe, dove: ( f W 1 f = sic F A W ( f = j [ δ ( f + f δ ( f f ] A ( f + f f f f = j sic sic F F W 16
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Desià sperle di poez (DSP Defiizioe: W ( f P f w( lim dove: w( se w = ( = w( Π se > versioe roc del segle W ( f = I{ w ( } rsform di Fourier del segle roco [ V Hz] [ A Hz] Per mezzo del eorem di Ryleigh, possimo clcolre l poez medi ormlizz del segle: P w( = 1 + = lim 1 lim W 1 w( d = lim ( f df = P ( f w W ( f df df P = Pw ( f df 17 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Fuzioe di uocorrelzioe Defiizioe [per u segle rele]: R 1 ( = w( w( + = lim w( w( + d ww Defiizioe [per u segle complesso]: R 1 ( = w*( w( + = lim w*( w( + d ww eorem di Wieer-Khichie: I{ R ( } = P ( f ww Clcolo dell poez medi ormlizz: w P = w( = Weff = Pw( f df = R ww ( 18
Fodmei di LC - Prof. M. Brber Esempio -1: DSP di u siusoide - Segli e speri [pre ] =1 cos( x y cos( x + y si x si y = 19 Fodmei di LC - Prof. M. Brber Esempio -1: DSP di u siusoide - Segli e speri [pre ] Esercizio: clcolre l DSP del segle w( = Acos( ω si rov che: perché?
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Fuzioi orogoli Defiizioe: ϕ m ( ϕ ( orogoli sull iervllo < < b se: b * ϕ ( ϕ ( d = m m (-77 L isieme di quese fuzioi h elemei li che: b * se m ϕ ( ϕm( d = K δ dove: δ = m m 1 se = m Se: K = 1 Del di Kroecker l isieme { ϕ (} è u isieme di fuzioi oroormli 1 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Esempio -11: le fuzioi espoezili complesse soo orogoli Le fuzioi espoezili complesse soo orogoli i <<+
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Esempio -11: fuzioi espoezili complesse orogoli Fuzioi oroormli 3 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Isiemi orogoli complei { } U isieme di fuzioi orogoli ϕ ( si dice compleo se può essere uilizzo per rppresere qulsisi segle eergi fii co u errore vee eergi rbirrimee piccol Si può dimosrre che soo isiemi complessi: Fuzioi espoezili complesse Fuzioi rmoiche siusoidli Fuzioi di Bessel Poliomi di Legedre 4
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] eorem dell rppresezioe su bse orogole { ϕ (} Si u isieme di fuzioi orogoli compleo. U geerico segle w( può essere rppreseo sull iervllo <<b medie l serie: (1 DIMOSRAZIONE = b [ w( ] + = K δ m = m K m = w ( = ϕ ( b b * * * ϕ m ( d = ϕ ( ϕ m ( d = m d = ϕ ( ϕ ( = = 1 b * dove i coefficiei dello sviluppo soo di d: = w( ϕ ( d ( K b Applichimo l operore * [ ] ϕm( d d ermbi i membri dell (1: ( 5 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Serie di Fourier eorem: Rppresezioe i form polre u segle eergi fii può essere rppreseo sull iervllo <<+ dll serie di Fourier: w( = c = 1 = c = + e jω dove: :mpiezz dell'iervllo emporle su cui viee defii l serie ω πf o = π w( e < < + jω d coefficiei complessi dello sviluppo 6
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Serie di Fourier per segli periodici Se l form d od w( è periodic co periodo : l rppresezioe i serie di Fourier vle su uo l sse emporle < < l scel del prmero è rbirri; di solio si sceglie: = oppure = l frequez f =1/ è chim frequez fodmele l geeric frequez f =/ è l -esim rmoic il coefficiee c rpprese il vlore medio dell form d od 7 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Proprieà pricipli dell serie di Fourier i form compless Proprieà dei coefficiei: Se w( è REALE Se w( è REALE e PARI Se w( è REALE e DISPARI c c c = c * REALI IMMAGINARI eorem di Prsevl: P = 1 + w( d = = c Lo dimosreremo i seguio 8
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Serie di Fourier i form regolre eorem: u segle eergi fii può essere rppreseo sull iervllo <<+ dll serie di Fourier: Rppresezioe i form regolre w( = cosω + b si ω = = 1 dove: :mpiezz dell'iervllo emporle su cui viee defii l serie ω πf o = π = coefficiei dell serie 1 = + + w( d w( cos ( ω d se = b se 1 = + w( si ( ω d 9 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Serie di Fourier i form regolre Se l form d od w( è periodic co periodo : l rppresezioe i form regolre i serie di Fourier vle su uo l sse emporle < < l scel del prmero è rbirri; di solio si sceglie: = oppure = Relzioe r FORMA POLARE e FORMA REANGOLARE: c se = = Re{ c} se 1 b = Im{ c} 1 3
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Spero righe di u segle periodico Per u segle periodico l rppresezioe medie serie di Fourier è defii su uo l sse emporle Obieivo: voglimo clcolre l relzioe fr l rsform di u segle periodico e i coefficiei di Fourier eorem: se u segle è periodico di periodo, l su rsform è: dove: W ( f = c δ ( f f = f = 1 c : coefficiei dello sviluppo i serie di Fourier del segle 31 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Spero righe di u segle periodico Dimosrzioe: w( = = c e jω clcoldo l F di ermbi i membri, oeimo: No: W ( f = = = c = c e e jω e jπ ( f f jω d = d = = c δ ( f f Vle su uo l sse emporle, do che il segle è periodico u segle periodico h sempre uo spero righe (o discreo le fuzioi del soo cocere sulle frequeze rmoiche f=f e ho re pri c vicevers, se il segle o coiee compoei periodiche, lo spero è coiuo, ecceo per u possibile compoee discre i f=, se il segle h vlore medio (compoee coiu o ullo 3
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Clcolo dei coefficiei di Fourier di u segle periodico dll F È possibile ricvre i coefficiei di Fourier di u segle periodico: cmpiodo u porzioe del segle limi d u sigolo periodo eorem: se w( è u segle periodico di periodo, rppreseo d jω w( = h( = c e = = dove: w( h( = se < lrimei c = f H ( f 33 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Clcolo dei coefficiei di Fourier di u segle periodico dll F Dimosrzioe: 1 + = = c jω 1 δ ( e d = f, δ ( = δ ( per = 34
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Clcolo dei coefficiei di Fourier di u segle periodico dll F c = f H ( f 35 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Esempio -1: coefficiei di Fourier di u reo di impulsi regolri 1 + jω 1 c = w( e d ω = π = π 36
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Esempio -1: coefficiei di Fourier di u reo di impulsi regolri c f H ( = (-11 f v( = Π V ( f = e Esempio -5 jπf si( πf πf f = f = 1 37 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Esempio -1: coefficiei di Fourier di u reo di impulsi regolri 1 w( = lim w(d W ( f = c δ ( f f = (-19: F per u segle periodico 38
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Esempio -1: coefficiei di Fourier di u reo di impulsi regolri Il primo è discreo, il secodo è coiuo Ermbi ho lo sesso iviluppo, do d sic(f 39 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Esempio -1: coefficiei di Fourier di u reo di impulsi regolri Relzioe r FORMA POLARE e FORMA REANGOLARE: c se = = b = Im{ c} 1 Re{ c} se 1 Coefficiei dello sviluppo i FORMA REANGOLARE 4
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Poez ormlizz per u segle periodico eorem: per u segle periodico w(, l poez ormlizz è pri : P w = w ( = c = Cso pricolre del eorem di Prsevl P = w ( e + j ( m ω 1 j ( m ω 1 = e d = do che le espoezili soo δ m = δ m fuzioi orogoli P w = = c 41 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Fuzioe di uocorrelzioe e Desià sperle di poez per u segle periodico eorem: per u segle periodico w(: Fuzioe di uocorrelzioe Desià sperle di poez R jω ww( = c e = w( f = P c δ ( f f = è l medi rispeo 4
Fodmei di LC - Prof. M. Brber Desià sperle di poez per u segle periodico - Segli e speri [pre ] R ww = jω ( = c e w( f = P c δ ( f f = 43 Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Esempio -13: DSP del reo di impulsi regolri w( f = P c δ ( f f = (-1 44
Fodmei di LC - Prof. M. Brber - Segli e speri [pre ] Esempio -13: DSP del reo di impulsi regolri 45