Teoria delle distribuzioni Parte terza Derivazione di distribuzioni

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1 Lezioi i Memic Le isribzioi pre 3 Teori elle isribzioi Pre erz Derivzioe i isribzioi Problemi sll erivzioe i fzioi iscoie Uo ei pricipli pregi ell eori elle isribzioi è l esesioe el coceo i eriv clssic. Clssicmee, ifi, risl impossibile erivre fzioe iscoi: il problem sorge esmee qo si cerc i erivre ei pi ove l fzioe o è efii, perché il limie el rpporo icremele o esise (ciò eriv ll efiizioe sess i eriv clssic. Se cosierimo le fzioi come sooisieme elle isribzioi, llor possimo efiire operzioe i erivzioe isribziole, i moo eseere l proprieà i erivbilià che viee mcre love le fzioi o sio coie: rislerà che l erivzioe clssic o è lro che soocso i qell isribziole. Si sero, pero, ozioi iverse per ieificre l eriv clssic e qell isribziole, che se i moli csi qese e erive coiciero: veo ( isribzioe, ieificheremo co Deriv isribziole Deriv clssic ( Deriv isribziole Si ( e D (. Approssimimo l s eriv isribziole co sccessioe { }(il che è fibile, come moivo ell Pre Prim e osservimo cos à l limie l s lià co fzioe es j( e D( lim lim, ϕ > lim lim lim, >, > lim [ ] ( ove si è s l forml i iegrzioe per pri. L erivzioe isribziole o è qe ie lro che rcco per sposre il problem ell erivzioe sll fzioe es j( che è C ( e qe o à problemi i l seso. I geerle, si richiee che l fzioe es si o più coi qo più l isribzioe ll qle si ppi è iscoi. L ver poso l richies Useremo qi i vi l ozioe comp l poso ell sle

2 Lezioi i Memic Le isribzioi pre 3 che j( e C ( grisce che i ogi cso si poss erivre qlsisi isribzioe, e qlsisi orie i erivzioe. Esempi i erive isribzioli L esempio più ble è, ovvimee, ricvre l el i Dirc come eriv isribziole ell fzioe sclio. Ifi: H (, ϕ > H (, > H ( ( 0 (0 ϕ (0 0 δ (, ϕ > e qii risl che 0 H ( δ ( Si oi che l eriv clssic ello sclio H( vle ' 0 0 H ( : 0 > 0 mere o esise per 0. Dqe H ( (eriv clssic è ieicmee ll re i 0 ove o è efii; mere H ( (eriv isribziole vle ( per ogi. Dqe l eriv isribziole o è lro che l eriv clssic più lr compoee, che ree coo ell iscoiià el po 0. L esempio ello sclio è sigificivo per compreere l ilià ell esesioe ell erivzioe ll mbio isribziole: el seso clssico, l eriv ello sclio è peri i iformzioe sll fzioe eriv!ifi, ll eriv clssic o si riesce più, iegro, cpire se i 0 l fzioe sclio bbi o meo iscoiià i slo, perché si per empi posiivi che per empi egivi l iegrzioe rebbe cose rbirri, che pò essere l sess mbe le pri. ( I Alr eriv sigolre è qell ell sess (. Ifi efiimo ipolo l δ ( δ ( ll lià δ (, ϕ > δ (, > ϕ '(0 ( ( Allo sesso moo l eriv isribziole i orie ell el è δ ( δ ( (, ll lià

3 Lezioi i Memic Le isribzioi pre 3 ( ( δ (, ϕ > ( ( δ (, ϕ > ( ϕ ( (0 L eriv i ec( è e c(, ϕ > e c(, > e c( δ (, ϕ > δ (, ϕ > δ ( δ (, ϕ > / / ϕ ( e qe e c( δ ( δ ( Alr pricolre isribzioe è il sego (sigm, o ( sig(. Qes isribzioe vle se il so rgomeo è posiivo, - se esso è egivo. I figr lo si à l esempio i sig(, i clce i sig[cos(]. 3

4 Lezioi i Memic Le isribzioi pre 3 E eviee che sig( δ ( Deriv clssic vs eriv isribziole L ffermzioe o rigoros che l erivzioe clssic è eseibile livello isribziole per compreere sempre mggior mero i elemei erivbili è, vi, clze. Airir, se fzioe ( è coi o l limie h pi golosi, llor eriv isribziole e clssic coicioo. Se ivece l fzioe ( è iscoi co iscoiià slo, llor oerremo l eriv isribziole come eriv clssic più pre ei sli che iee coo elle iscoiià i slo ell (.Defiimo come slo ell ( el po l qià s ( ( Preimo come esempio ( iscoi el po (vei figr. Avremo:, ϕ >, > ' ϕ [ ϕ] ' ϕ [ ϕ] ', ϕ > s ', ϕ > s ( ( ( ' ϕ ( ( ', ϕ > ci iscee che δ (, ϕ > ' s δ (, ϕ > 4

5 Lezioi i Memic Le isribzioi pre 3 ' s δ ( Se l ( h mero geerico i sli ei pi, vremo ' ' ϕ s δ ( s ove s è l eià el slo i. E ieresse ore che cce che '( s 0 egol i Leibiz Per l erivzioe el prooo r isribzioe w( e fzioe regolre (, qo esso è be efiio (vei Pre Qr, si s l regol i Leibiz che rispecchi i ssolo l regol i erivzioe el prooo r fzioi, ossi ( w ' w w Preimo iolo i esempio l isribzioe l prooo e H(. L s eriv è [ e H ( ] e H ( e 0 δ ( e H ( e δ ( e H ( δ ( Sigolrià ll ifiio Defii sez problemi l erivzioe per isribzioi vei iscoiià slo, sorge il problem i erivre isribzioi che ho sigolrià i ipo polo. Qi l ifficolà s el fo che l iegrle i lià o coverge l momeo che l re soes ll iegro è, i molo, ifii. Si ricorre llor, love si possibile, ll ozioe i vlore priciple. Per illsrre cos si iee per vlore priciple i fzioe, preimo come esempio l f( / : se eimo i clcolre il so iegrle geerlizzo l re rele, le coe si llo, e qe o o problemi, mere risl impossibile omire l sigolrià ell origie, che, per così ire, geer re ifii. Si oi che è scorreo ffermre che, o che l fzioe è ispri, l iegrle geerlizzo è llo!!!ifi, l iegrle è opero s l re rele, e eve qii eere che coo el po 0, che è sigolre! Dqe, cosrimo l iegrle come 5

6 Lezioi i Memic Le isribzioi pre 3 ε lim 0 ε ε vp il che è, sì, rificioso, m por rislo fiio ppo perché il limie è fo i mier sremee simmeric (si per posiivi che per egivi s iervllo fiio. Qes simmeri el eere ll sigolrià fà i moo che le ree si compesio e l iegrle, globlmee, coverg ll qià vp /. Ci serviremo, qe, i qes ozioe per risolvere il clcolo elle lià che, i orm, o covergerebbero vlori fiii. L isribzioe log Ci propoimo i verificre che l ( log si isribzioe be efii, ossi che bbi seso fre, j>. Ifi, i 0 l ( prese sigolrià i qo lim ( 0 lim ( 0 e ciò, prim vis, porebbe reere problemic l covergez ell lià, che clcoleremo vol efii l sccessioe { } come ( : log per log per!! 6

7 Lezioi i Memic Le isribzioi pre 3 che l limie coverge log. I pric, si r i verificre che l re oro l po 0 o si ifii i molo. Per frlo, osservimo cos f lim log lim [ (log ] lim[ (log ] lim[log (log ] e qe l re soes ll iervllo [, ] è fii e pri -, cs ell prià i log. Dqe log è isribzioe i gli effei, perché l lià coverge sicrmee. L clcolimo: lim lim[, ϕ > lim log ( log ϕ ( log ] L iegrle i mezzo è llo, perché l limie ive iegrle ell j( opero s solo po i ci ess è, ovvimee, coi. Il primo e il erzo iegrle si svilppo per pri: e risl che lim[ lim[ log ( log ( log log ] [ ( log ] [ ( log ] ] 7

8 Lezioi i Memic Le isribzioi pre 3 ove i segi i vlzioe soo chirmee lli, perché ϕ ( ± 0 e log ee zero per che và ll ifiio. Dqe vremo: lim[ ( log ( log e qe, rioro ll prim ggliz scri, srà ( log ] log, > lim, ϕ > log, ϕ > log, > [ (log ], ϕ > e qe risl che [ (log ] log Noimo che, i qeso moo, log è l eriv isribziole ell fzioe (log -, che è rffigr i figr: qes fzioe h cspie i 0, ossi h l gee i zero co peez -. Se si cerc i erivre i seso clssico log si oiee. Ciò è impreciso l po i vis isribziole: ifi, se cosierimo, ϕ > esso ovrebbe covergere se fosse l eriv isribziole i log, m l iegrle plesemee o coverge. Dqe obbimo riformlre l eriv isribziole i log come limie elle erive ell sccessioe ( vis prim (il che è lecio, come già viso, e vremo: 8

9 Lezioi i Memic Le isribzioi pre 3 per ci vremo log lim log, ϕ > lim, ϕ > lim [, ] vp ove co l ozioe [, ] si iee l re rele meo l iervllo i qesioe, che l limie ive ifiiesimo. Dqe, i coclsioe: (log log vp A i gli effei, vp si compor come : qe ovrebbe essere vp, e ifi, se verifichimo cos vle vp (vei Pre Qr per il prooo r isribzioi, oeimo: vp, ϕ > vp, ϕ > lim [, ] lim [, ], ϕ > il che è lecio perché è coi i 0, e qe vp si compor esmee come. 9