Riassuto delle Esercitazioi di Aalisi Matematica II C.d.L. i Matematica e Matematica per le Applicazioi - A. A. 2006-2007 Prof. Kevi R. Paye e Dott. Libor Vesely 1 Serie Numeriche - Mer. 28 marzo - due ore 1.1 Calcolo della somma di ua serie 3 1/2 1) 3 1/2+1)), 3 2 1) 3 2+1)). b +2 b ) co b 0 per +. x 1) co x R. 1.2 Codizioe ecessaria e criteri di cofroto: 3 ) + 2 2 ) + 2 log 2, log + 3 2 + 3 log ) log =2 1 + 1 1.3 Criterio del rapporto/ della radice x! co x R 1
! π/2) + 3 1.4 Serie co parametro ) a + 3 co a R 2 + 5 ) a + 3 co a 0 2a + 5 3 +1 a 3 ) 3 + cos t 1 + t dt co a R 1.5 Proposte! 2)! ) 2 + 1 1+ 1 ) 2 log 2 + 2 + 3 1 3 + 2 3 3 + 4 1) 1 + log
) + 1) 1) 1 1 log 1 + 1 ) )) 1 si! + 2) α co α > 0 α β co α R, β > 0 1 α log ) β log log )) γ =2 ) π/2 si x dx =0 0 ) 3 si 2 1/x) dx 2 1+ 1 1+ 1 +1 x a 1) 1/2 dx ) co α, β, γ R co a > 0 2 Serie Numeriche - Lu. 03 aprile - due ore 2.1 Covergeza assoluta e codizioale 1 a co a = + cos 2 per = 2k e a = 1 2 + 1 per = 2k + 1 1 + 1) 2 1) 1 + e ) 1) =2
1) α si 1/) =2 co α R [ 1) ) ] 2 si log + x 2 5) 4 3 co x R 1 + 2 x! co x R 2.2 Serie co termii seza formule esplicite 1/ 1 si x ) ) dx x 0 Sia a defiita per ricorreza via Mostrare che esiste fiito l = 2.3 Proposte Sia a defiita per ricorreza via a 1 = 3/2 2 + a 2 a +1 = 1 + a lim a e studiare la covergeza della serie a l) + a0 = 1 a +1 = xa p dove x, p R. Trovare ua delle formule esplicite per a i base dei valori di x, p) e studiare la covergeza della serie a 1 f1/ ) dove fx) = x 2 0 a 1 + t e t ) dt. Per le affermazioi segueti, mostrare quelle vere e forire u cotroesempio per quelle false.
1. 2. 3. 4. a coverge = a coverge e a 0 = a coverge e a 0 = a coverge e a 0 = a 2 coverge a 2 coverge a coverge a coverge 3 Calcolo Differeziale - Mer. 23 maggio - due ore 3.1 Derivazioe di fuzioi composte Calcolare F 0, 1) se F = f g co f : R 3 R di classe C 1 e gs, t) = s 2 t 2, s/t, e st ) sapedo che f 1, 0, 1) = 2, 3, 4). 3.2 Derivazioe di fuzioi composte- equazioi alle derivate parziali Mostrare che l equazioe del trasporto a, b) R 2 ): a u x + b u = 0 i R2 y ha delle soluzioi ux, y) = fbx ay) co f : R R derivabile. Se u è differeziabile, mostrare che soo le uiche possibilità per u = ux, y). Trovare la soluzioe u = ux, y) per il seguete problema al cotoro per l equazioe del trasporto se b 0): a u x + b u = 0 i R2 y ux, 0) = x 2 Proposta: Mostrare che l equazioe delle ode per ogi x R 2 u t 2 2 u = 0 i R2 x2 ha delle soluzioi ux, t) = fx + t) + gx t) co f, g : R R due volte derivabili. Usare
questo fatto di trovare la soluzioe di 2 u t 2 2 u x 2 i R 2 ux, 0) = ϕx) per ogi x R u t x, 0) = ψx) = 0 per ogi x R Trovare l equazioe differeziale che deve essere soddisfata da g = gt) se ux) = g x 2 ) risolve l equazioe di Laplace u := j=1 2 u x 2 j = 0 i R. 3.3 Fuzioi di classe C 2 e differeziabilità del secodo ordie Sia f : R 2 R defiita da fx, y) = a) Mostrare che f C 1 R 2 ); b) Mostrare che f C 2 R 2 ); xyx 2 y 2 ) x 2 + y 2 x, y) 0, 0) 0 x, y) = 0, 0) c) f è due volte differeziabile i 0, 0)? Vale ua formula di Taylor del secodo ordie i 0, 0)? Proposta: Mostrare che f è due volte differeziable i 0, 0), ma o è C 2 i 0, 0) se x fx, y) = 7/2 si 1/x) x > 0 0 x 0 Proposta: Trovare p > 0 per cui che f è due volte differeziable i 0, 0), ma o è C 2 i 0, 0) se x fx, y) = 2 + y 2 ) p si 1/x 2 + y 2 )) x, y) 0, 0) 0 x, y) = 0, 0) 3.4 La formula di Taylor del secodo ordie Trovare la formula di Taylor del secodo ordie cetrato i 0, 0) co resto di Peao per fx, y) = log 1 + x 2 + y). Trovare la formula di Taylor del secodo ordie cetrato i 0, 0, 0) co resto di Peao per fx, y, z) = e 2x+y+z2 + cos 3x + y 2 + z).
4 Estremi locali e globali - Ve. 25 maggio - due ore 4.1 Richiami teorici Il Teorema di Weierstrass per f : K R R f cotiua, K chiuso, limitato). Limiti per x + di fuzioi i R 4.2 Estremi locali per fuzioi regolari Trovare gli estremati locali per le seguete fuzioi f : A R 2 R fx, y) = y 1)y 2 x 2 ) fx, y) = y 2 log 2 x) 1) Proposta: fx, y) = yx 2 + 9y 2 1) Proposta: fx, y) = x 4 2x 2 + y e x ) 2 fx, y) = xy exp 2x 2 y 2 ) via limiti all ifiito più Weierstrass Proposta: fx, y) = x 2 y 2 xy) exp x 2 y 2 ) via limiti all ifiito più Weierstrass 4.3 Estremi locali per fuzioi irregolari Trovare gli estremati locali per le seguete fuzioi f : A R 2 R fx, y) = xx y) 2/3 fx, y) = x 1 x 2 y 2 ) Proposta: fx, y) = y y xx 1)e x ) 4.4 Estremi locali per fuzioi itegrali Trovare gli estremati locali per le seguete fuzioi itegrali f : A R 2 R fx, y) = fx, y) = xy 2 0 x 2 y 1 arcta t t e t t + 2 dt Proposta: fx, y) = dt y/x x/y t t 1 dt
5 Eq. Differeziali del 1 o ordie - Ve. 1 giugo - due ore 5.1 Equazioi di Beroulli - per gli esempi sotto, discutere brevemete la questioe di esisteza ed uicità, trovare la soluzioe le soluzioi), e dove possibile gli itervalli massimali d esisteza. Geeralità sul metodo y = 3y/2x + log x/y; y1) = 1 Proposta: y y + xy 4 ; y0) = a R 5.2 Equazioi omogeee - per gli esempi sotto, discutere brevemete la questioe di esisteza ed uicità, trovare la soluzioe le soluzioi), e dove possibile gli itervalli massimali d esisteza. Geeralità sul metodo y = y/x + x/y; y2) = 4 xy = y1 = log y log x); y1) = e a, a R y ) 2 Proposta: Per il problema y = 1; y1) = y0 x a) Determiare per quali y 0 la soluzioe ha la forma yx) = mx per m R; b) Trovare le soluzioi per gli altri casi; avviso l esercizio o è difficile ma coviee scegliere ua otazioe compatta. 5.3 Equazioi a variabili separabili - per gli esempi sotto, discutere brevemete la questioe di esisteza ed uicità, trovare la soluzioe le soluzioi), e dove possibile gli itervalli massimali d esisteza e uo breve studio qualitativo. Per il problema di Cauchy y = y y0) = y 0 Discutere brevemete la questioe di esisteza ed uicità locale. Mostrare che y 0 è l uica soluzioe quado y 0 = 0 oostate il fatto che f/ y o è cotiua i 0, 0). Trovare le soluzioi i base al parametro y 0 e fare u breve studio qualitativo. Proposta: y = e x y ; y0) = y 0 Proposta: y = y2 + 4)x cos x ; y0) = 1. [No è richiesto uo studio qualitativo) 2y
Proposta: y = fy); y0) = y 0 R dove 5.4 Equazioi lieari fy) = y 2 y 0 y 3 y > 0 - per gli esempi sotto, discutere brevemete la questioe di esisteza ed uicità, trovare la soluzioe le soluzioi), e dove possibile gli itervalli massimali d esisteza. y = maxx 2 y, x y}; Proposta: y + px)y = 2x; y0) = 0. Si ricorda che maxa, b} = y2) = 1/2 dove x x 1 px) = 1/x x > 1 a b + a + b. 2 6 Equazioi Differeziali - Mer. 6 giugo - due ore 6.1 Equazioi lieari o omogeee di ordie superiore Geeralità sul metodo di variazioi delle costati e la matrice wroskiaa y + y = 1; y0) = y 0, y 0) = y 1 y + y = 1/ cos x; y0) = 0, y 0) = 1 Proposta: y 4y = 4/1 + e 4x ); y0) = π/4, y 0) = 1. Geeralità sul metodo di ispezioe - vedi le dispese di Salvatori-Vigati. Per l equazioe L[y] = b sotto, trovare la soluzioe geerale come yx) = y H x) + y N x) co y H la soluzioe geerale dell equazioe omogeea L[y H ] = 0 e y N ua soluzioe particolare dell equauazioe o omogeea L[y N ] = b seguedo il suggerimeto sulla forma di y N. Proposta: y + 9y = 2 cos x si x; y N x) = A cos x + B si x. Proposta: y + y = x 3 x; y N x) = Qx), u poliomio di grado 3. Proposta: y 3y + 2y = 5e x ; y N x) = Cxe x. Proposta: y 2y = 2e x 3x; grado 1. y N x) = x 2 Qx) + Ce x dove Qx) ù poliomio di
6.2 Equazioi lieari co altre codizioi supplemetari Discutere l esisteza e l uicità delle soluzioe del seguete problema al cotoro al variare del parametro reale m y + my = 0, x 0, 1) y0) = 0 = y1) N.B. La codizioe al bordo si chiama la codizioe di Dirichlet. Proposta: Discutere l esisteza e l uicità delle soluzioe del seguete problema al cotoro al variare del parametro reale m y + my = 0, x 0, 1) y0) = 0 = y1) N.B. La codizioe al bordo si chiama la codizioe di Neuma. 6.3 Equazioi lieari omogeee di ordie maggiore di due Trovare tutte le soluzioi dell equazioe y my + m 2 y m 3 y = 0 co m > 0. Proposta: Trovare tutte le soluzioi dell equazioe y + 1 a)y + ay = 0 co a R. Proposta: Trovare la soluzioe geerale dell equazioe y 4) 2y + 2y 2y + y = 0. Poi scrivere il sistema lieare per le coefficieti ella soluzioe geerale che foriscoo la soluzioe del problema di Cauchy co data iiziale y0), y 0), y 0), y 0)) = y 0, y 1, y 2, y 3 ). 6.4 Ripresa di esercizi proposti veerdì 1 giugo Trovare le soluzioi del problema y = e x y ; y0) = y 0. Fare uo studio qualitativo icluso domiio massimale d esisteza, mootoia, covessità, limiti al ifiito e traccia del grafico delle soluzioi. Per il problema y + px)y = 2x; y2) = 1/2 dove px) = x x 1 1/x x > 1 Trovare la soluzioi i due modi. Prima seguedo il metodo geerale e poi risolvedo due problemi di Cauchy i successioe. 7 Esercizi di Ricapitulazioe - Ve. 6 giugo - due ore 7.1 Equazioi differeziali Ripresa del esercizio co P λ) = λ 3 mλ 2 + m 2 λ m 3 co m > 0.
Trovare la soluzioe geerale y = yx) dell equazioe lieare omogeea di ordie 13 L[y] = D 3 D 2 + 1) 2 D 2 + D + 1)D 3)D 4) 3 [y] = 0 dove D è l operatore differeziale D = d ; cioè per l equazioe co poliomio caratteristico dx 7.2 Limiti e Cotiuità Calcolare se esistoo) i limiti P λ) = λ 3 λ 2 + 1) 2 λ 2 + λ + 1)λ 3)λ 4) 3. lim x,y) 0,0) xy 2 x 2 + y 2 ; lim e x2 y 2 1 x,y) 0,0) x2 + y, 2 lim x,y) 0,0) xy 4 x 2 + y 8. Proposta: Calcolare se esistoo) i limiti lim x,y) xy ; lim x 2 + y 2 ) 3/2 x,y) x2 e x 2 +y 2. Sia f : R 2 R defiita da fx, y) = e x si xy). Defiiamo l isime defiito A R 2 via A = x, y) R 2 : 2 < fx, y) < 4 }. Decidere quale delle segueti affermazioi siao vere: A è limitato, A è aperto, A è chiuso. Cosa sucedde se prediamo ivece 7.3 Calcolo Differeziale A = x, y) R 2 : 2 fx, y) 4 }? Discutere la cotiuità, derivabilità direzioale, differeziabilità per le fuzioi: fx, y) = xyx 2 y) Siao u, v) = fx, y) = x 2 si y, e xy ) e s, t) = gu, v) = u 2 + v 3, uv 2 ). Calcolare s x, y); y Dg f)x, y). Mostrare che l equazioe alle derivate parziali EDP) yu x xu y = 0 ammette soluzioe u = ux, y) della forma u = gx/y) per y 0 e u = hy/x) per x 0 co g, h derivabili. Cosa dice allora l equazioe EDP) sul comportameto di u? Trovare gli evetuali estremati locali per le seguete fuzioi gx, y) = x 2 y 2 )x 2); fx, y) = x 2 y 2 xy)e x2 y 2.