Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico SIMULAZIONE PROVA ESAME DI MATURITA PER LICEO SCIENTIFICO PROBLEMA Prov di Mtmtic Si dt l unzion. Studir l unzion dtrminndo l ntur vntuli punti di non drivbilità, strmnti lssi;. Dtrminr l tngnt l norml nl punto S (, ) grico di nl punto S?. Cos si può dir dll tngnt l. Trovr l quzion dll circonrnz pssnt pr l origin, pr il punto A (,) d vnt cntro C nl punto mdio di qusti ultimi. Dtrminr i punti di intrszion tr l quzion dll circonrnz l norml PROBLEMA clcolr l r in cui l norml divid l circonrnz. Cos si può dir dll du r? Si dto il rttngolo ABCD, il cui lto mggior misur, si trcci d B l prpndicolr ll rtt AC; o H K i punti in cui qust intrsc rispttivmnt l rtt AC l rtt AD. Si considri quindi l pirmid ch h pr bs il qudriltro HDKC d ltzz HK.. Si dtrmini l sprssion dl volum dll pirmid in unzion di BH ;. Considrndo, si studi si disgni l unzion ottnut l punto prcdnt;. Trmit uno di mtodi numrici studiti, si di un pprossimzion dl punto Q di intrszion tr l curv l rtt r di quzion y 9 ;. Si clcoli l r dll rgion di pino comprs tr l curv, l ss l rtt r QUESTIONARIO. Sono dt l unzioni, g, g, [ g ] g[ ], log. Dtrminr dominio codominio di. Trovr du numri rli positivi l cui somm è k pr i quli il prodotto dl qudrto dll uno pr l rdic qudrt dll ltro è mssimo. Soluzion cur di Nicol D Ros
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico. Si dt l unzion ln ( ) drivbil in ogni punto dl dominio.. Clcolr il it pr s <. Clcolr il dominio vriicr s è continu s di ( ). Cos si può dir dl punto?. Il coicint ngolr dll rtt tngnt l grico dll unzion () è, in ogni suo punto P, ugul l triplo dl qudrto dl logritmo nturl dll sciss di P. Si dtrmini (), spndo ch il grico pss pr il punto A( ; ).. Si clcoli il volum dl solido gnrto in un rotzion complt ttorno ll ss dll dll rgion init di pino ditt dll curv di quzion nll intrvllo y dll ss stsso 7. In un dposito di mtril lttrico vi sono du sctol di lmpdin: l sctol A n contin di cui il % sono dittos mntr l sctol B n contin di cui il % sono dittos. Du lmpdin vngono strtt d un sctol sclt cso.. Clcolr l probbilità ch ntrmb l lmpdin o dittos. b. Nl cso ch o ntrmb dittos, clcolr l probbilità ch o stt strtt dll sctol A. 8. Dtrminr gli toti dll unzion y 9. Dt l unzion g rc ( t)dt, discutrn il cmpo di sistnz l drivbilità. Pssndo pr Pizz Gribldi Npoli, vi vvicint d un bnchtto dov si gioc d zzrdo. Il signor Umbrto, propritrio dl bnchtto, vi propon il sgunt gioco d ttursi con du ddi: voi puntt uro, lncit i ddi, sull bs dl risultto dl lncio ricvt l somm X, scondo l sgunt rgol: s l somm di risultti ottnuti ni du lnci è minor o ugul oppur è mggior o ugul, X (cioè prdt i uro puntti); in tutti gli ltri csi, vinct X uro. () Supponndo ch i ddi o bilnciti, clcolr l probbilità p di vincr qull q di prdr (q p ). (b) Clcolr il vlor mdio dll somm ricvut, mostrndo in prticolr ch il gioco non è quo, nl snso ch E(X) < uro. (c) Clcolr qul vincit (invc di uro) dovrbb promttrvi il signor Umbrto inché il gioco si quo, nl snso spciicto l punto (b). Soluzion cur di Nicol D Ros
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico PROBLEMA Punto Si dt l unzion Studir l unzion dtrminndo l ntur vntuli punti di non drivbilità, strmnti lssi; Dominio: D : D : (,] [, ) ; Intrszion ss sciss: Intrszion ss ordint: ; ; Simmtri: l unzion non è nè pri nè dispri; Positività: ll intrno dl dominio : (,] [, ) D l unzion è non ngtiv, in - prticolr smpr positiv si nnull solo nl punto d sicss ; Atoti vrticli:, Atoti orizzontli: bisogn clcolr in qusto cso, poichè ± pr cui non vi sono toti vrticli; ; inizimo clcolr il it pr :, il it divnt pplicndo il torm di D L Hospitl ritrovimo s ; nlogmnt pr pplicndo il torm di D Soluzion cur di Nicol D Ros
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico Soluzion cur di Nicol D Ros L Hospitl ritrovimo ; s ; di consgunz l rtt y è toto orizzontl dstro istro; Atoti obliqui: s sistono hnno quzion q m y con [ ] m q m ± ±, ; clcoo il coicint ngolr m pr : / / m Anlogmnt pr / / m Quindi non vi sono toti obliqui; Crscnz dcrscnz: l unzion, considrndo il dominio ( ] [ ),, : D può ssr riscritt nl sgunt modo: < s s l drivt prim è < > < s s 7 8 ' ; studimo il sgno dll drivt prim nll union di du intrvlli [ ] [ ),, : 7 8 < < > pr cui l unzion è strttmnt
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico Soluzion cur di Nicol D Ros crscnt in, strttmnt dcrscnt in,, pr cui M è l sciss di mssimo; studimo il sgno dll drivt prim nll intrvllo, : < < > > pr cui l unzion è strttmnt crscnt in, ; In conclusion l unzion è strttmnt crscnt in,, strttmnt dcrscnt in,, prsnt un mssimo rltivo ll sciss M. Dll sprssion dll drivt prim dducimo ch è un punto ngoloso in qunto ', 7 7 8 ' dducimo nch ch i punti,,, sono lssi tngnt vrticl in qunto 7 8 ', 7 8 ' Concvità convssità: l drivt scond è < > < s 9 s 9 88 ''
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico Poichè in (,) l unzion è strttmnt crscnt non vi srnno lssi l suo intrno; vntuli lssi vnno ricrcti in (,),. L prsnz dll toto orizzontl y dl mssimo ll sciss M implic crtmnt l prsnz di un lsso ll sciss > F g 88 9, poichè ( ) >, g < ; in prticolr, posto g l sciss dl lsso pprtrrà ll intrvllo (,) pr clcolrlo ci vvo dl mtodo di Nwton-Rphson ch prmtt di clcolr ricorsivmnt lo zro trmit l ormul punto inizil in qunto g ''( ) tutti i pssi dll lgoritmo: ( n) '( ) g n n con g g sono concordi. L tbll sgunt mostr n n n rr n - n-,,7,7,7,,7,,9,,,,,, Quindi con du cir dcimli stt possimo rmr ch F,>. 9 Anlogmnt poichè g >, g < l sciss dl scondo lsso pprtrrà ll intrvllo, 9 pr clcolrlo ci vvo dl mtodo di Nwton-Rphson ch prmtt di clcolr ricorsivmnt lo zro trmit l ormul qunto g ( ) '' ( n) '( ) g n n con punto inizil g n n in g sono concordi. L tbll sgunt mostr tutti i pssi dll lgoritmo: n n n rr n - n-,,7,7,8,,8,89,7,89,8,9,8,8, Soluzion cur di Nicol D Ros
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico Quindi con du cir dcimli stt possimo rmr ch il scondo lsso si trov ll sciss F, 8. Di sguito il grico: Punto Dtrminr l tngnt l norml nl punto S (, ) grico di nl punto S?. Cos si può dir dll tngnt l Com mostrto nl Punto, il punto (, ) punto ngoloso, prtnto non h snso prlr di tngnt d S (, ) istr di S (, ). Smpr nl punto bbimo clcolto l pndnz dll tngnti in (, ) in prticolr rispttivmnt: S è un punto di non drivbilità in prticolr un, m di tngnt dstr S 7 m, m pr cui l tngnti dstr istr vrnno quzioni t t : y m : y m 7 Soluzion cur di Nicol D Ros
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico Anlogmnt sistrnno du normli dov pr norml in un punto P pr dinizion si intnd l quzion dll rtt prpndicolr ll rtt tngnt in P. Clcoo l normli ll rtt tngnti dstr istr di (, ) S : n n : y m : y m 7 Punto Trovr l quzion dll circonrnz pssnt pr l origin, pr il punto A (,) d vnt cntro C nl punto mdio di qusti ultimi Il punto mdio tr i du punti (,), A(,) ( ) ( y y ) R dov C C O è C,. L quzion gnric di un circonrnz è, sono l coordint dl cntro R il rggio ch misur C y C R C O A C ; l quzion dll circonrnz è prtnto y y. Punto Dtrminr i punti di intrszion tr l quzion dll circonrnz l norml clcolr l r in cui l norml divid l circonrnz. Cos si può dir dll du r? L norml ch intrsc l circonrnz è qull istr di quzion y l intrszioni di qust ultim con l circonrnz si clcolno risolvndo l quzion ( ) cioè, y 9± 9 9 ±. 8, y L intrszioni sono quindi D,, E,. Di sguito il grico nllo stsso ririmnto crto dll circonrnz dll norml: Soluzion cur di Nicol D Ros
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico Poichè l norml di quzion y pss pr il cntro C, dll circonrnz, ss ung d dimtro pr cui divid l circonrnz in du prti di ugul r R S S. 8 PROBLEMA Punto Si dto il rttngolo ABCD, il cui lto mggior misur, si trcci d B l prpndicolr ll rtt AC; o H K i punti in cui qust intrsc rispttivmnt l rtt AC l rtt AD. Si considri quindi l pirmid ch h pr bs il qudriltro HDKC d ltzz HK. Si dtrmini l sprssion dl volum dll pirmid in unzion di BH Considrimo l igur sgunt: Soluzion cur di Nicol D Ros
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico Il volum di un pirmid è pri V dirnz tr l r dl tringolo AKC dl tringolo ADH, A Bs S(AKC S ADH dov AK DC S ( AKC), S( ADH) Pr il Torm di Euclid pplicto l tringolo rttngolo ABC si h AH HC BH AH cui ( AC AH) AB, AH AC AC AC AC P AD MH. ABs h ; nl cso in sm l r bi bs è dt dll ; sruttndo qust du AC AC AC ) rlzioni si h AC d Soluzion cur di Nicol D Ros
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico Soluzion cur di Nicol D Ros,, AB AC BC AH AC HC AC AH L ltzz HN dl tringolo AHN misur BC HC BH HN di consgunz HN AB MH ; in tl modo l r dl tringolo ADH vl MH AD ADH S. Smpr pplicndo il Torm di Euclid l tringolo AHK si h HM AH AH AM AH AK pr cui l r dl tringolo AKC vl DC AK AKC S. L ltzz dll pirmid è pri si volt l lunghzz di HK: AH AK HK h In conclusion l r di bs d il volum dll pirmid misurno h A V ADH S AKC S A Bs P Bs con l itzion gomtric <.
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico Punto Considrndo, si studi si disgni l unzion ottnut l punto prcdnt Posto <, studimo l unzion ( ) < Dominio: D : D : (,] ; Intrszion ss sciss: pprtin l dominio; è l unic ccttbil in qunto non Intrszion ss ordint: non v n sono in qunto non pprtin l dominio; Simmtri: l unzion è pri in qunto Positività: ll intrno dl dominio : (,] [ ( ) ] ( ) D l unzion è non ngtiv, in prticolr - smpr positiv si nnull solo nl punto d sicss ; Atoti vrticli: pr cui l rtt di quzion è toto vrticl; Atoti orizzontli: non sistono in qunto il dominio : (,] Atoti obliqui: non sistono in qunto il dominio : (,] D è itto; D è itto; Crscnz dcrscnz: l drivt prim è ' ( ) ; ll intrno dl dominio (,] D : l drivt prim risult ssr smpr ngtiv cctto in nnull pr cui l unzion è strttmnt dcrscnt in (,); Concvità convssità: l drivt scond è ( ) ll intrno dl dominio : (,] non vi sono lssi. Di sguito il grico: '' Soluzion cur di Nicol D Ros ; in cui si pr cui D l unzion prsntrà smpr concvità vrso l lto
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico Punto Trmit uno di mtodi numrici studiti, si di un pprossimzion dl punto Q di intrszion tr l curv l rtt r di quzion y 9 ; Dobbimo risolvr l quzion ( ) 9 cioè 9 ; lvndo mbo i mmbri l qudrto l quzion si riduc Nwton l quzion risolvnt 8 8 ( ) 8 g 8 Gricmnt notimo subito ch con l rstrizion <, è un nic pr cui l soluzion rl dll quzion S non vssimo considrto l rstrizion <, l rdici rli srbbro stt du, l un oppost ll ltr in virtù dll sim ( ) 8 ricordndo l quint potnz dl binomio di l intrszion tr l unzion ( mmtri pri dll unzion. divnt 79 8. ) l rtt 9 y, g è un sol. Soluzion cur di Nicol D Ros
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico Smpr gricmnt notimo ch l soluzion rl positiv si trov nll intrvllo (,); in prticolr, ssndo g <, g >, norm dl torm dgli zri sist uno zro nll intrvllo,. S non vssimo considrto l rstrizion <, il scondo zro rl, ngtivo in qusto cso, srbb stto intrno ll intrvllo, Di consgunz l ltr 8 rdici dll quzion Pr clcolr lo zro nll intrvllo, prmtt di clcolr ricorsivmnt lo zro trmit l ormul inizil dll lgoritmo: in qunto g ''( ) g sono coppi complss coniugt. ci vvo dl mtodo di Nwton-Rphson ch ( n) '( ) g n n con punto g g sono concordi. L tbll sgunt mostr tutti i pssi n n n rr n - n-,,8,8,8,9,8,8, n Dll tbll soprstnt dducimo ch lo zro pprtnnt ll intrvllo g, con du cir dcimli stt è α,8., dll quzion Anlogmnt il scondo zro rl, s non vssimo imposto l itzion gomtric, srbb stto β α,8. Punto Si clcoli l r dll rgion di pino comprs tr l curv, l ss l rtt r L r d clcolr è rpprsntt di sguito: Soluzion cur di Nicol D Ros
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico L r richist è pri ( ) ltzz S R α d Ar dov S( R) α 9 bs α ; clcoo or l intgrl indinito ( ) t d cost dt : t ( t) d cost dt t ( cos t) t t dt t dt t cos t cost cost cos t dt t 8 cost ( t) ( t) cos t dt t cot( t) Cost 8 8 t 8 t 9 t t Ricordndo ch ( t) ( t) cos( t) ( t) cos( t) ( t) h: è l r dl rttngolo di d t trmit sosituzion t dt t dt t dt t ritornndo ll vribil si d ( 8 ) rc 9 rc 8 8 Cost 8 Soluzion cur di Nicol D Ros
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico pr cui 9 α 9α d rc α rc( α) α In conclusion 8 8 9 α 9α Ar S 8 α α 8 α α R d α α rc( α) con,8 8 α 8 QUESTIONARIO Qusito Sono dt l unzioni, g, g, [ g ] g[ ],. L unzion { y R > } C y ; log. Dtrminr dominio codominio di h com dominio. L unzion log h com dominio { R > } C R ; g log D R d d h com codiminio D d d h com codiminio. L unzion [ g ] h com dominio { R > } codiminio { y R y> } C ;. L unzion g codiminio C R log [ ] log ( ) D com log h com dominio D R com Soluzion cur di Nicol D Ros
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico Qusito Trovr du numri rli positivi l cui somm è k pr i quli il prodotto dl qudrto dll uno pr l rdic qudrt dll ltro è mssimo. Sino,y i du numri tli ch yk- con <<k; l unzion d mssimizzr è y k ; l drivt prim è ' k k k k il cui sgno, considrndo l rstrizion < < k, è: ' ' ' k k k k k k k > < < < k k < < k Dl sgno soprstnt dducimo ch l unzion y k è strttmnt crscnt in unzion è, k strttmnt dcrscnt in k,k k cui corrispond k y. pr cui il vlor ch mssimizz l Qusito Si dt l unzion ln ( ) drivbil in ogni punto dl dominio. Il dominio è s <. Clcolr il dominio vriicr s è continu s D R ; l unico punto d controllr pr l continuità drivbilità in tutto il dominio è. Clcoo i iti dstr istr di : ln ( ) ln d cui dducimo l continuità nch in, quindi in tutto D R. Soluzion cur di Nicol D Ros
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico Soluzion cur di Nicol D Ros L drivt prim dll unzion è < s s cos ' ; clcoo i iti dstr istr di dll drivt prim: cos cos d cui dducimo l drivbilità nch in, quindi in tutto R D. Qusito Clcolr il it pr di. Cos si può dir dl punto? Riscrivimo l unzion nl modo sgunt. Or pr mntr pr pr cui In conclusion i iti dstro istro sono dirnti m initi pr cui è un punto di discontinuità di prim spci con slto di discontinuità.
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico Soluzion cur di Nicol D Ros Qusito Il coicint ngolr dll rtt tngnt l grico dll unzion () è, in ogni suo punto P, ugul l triplo dl qudrto dl logritmo nturl dll sciss di P. Si dtrmini (), spndo ch il grico pss pr il punto A( ; ). Il coicint ngolr dll rtt tngnt l grico dll unzion in ogni suo punto è l drivt ', pr cui l soluzion dl qusito si riconduc ll risoluzion sgunt problm di Cuchy dl primo ordin: ln ' L quzion dirnzil ln ' si risolv intgrndo mbo i mmbri sruttndo l intgrzion pr prti: K d d d ln ln ln ln ln ln ln. Imponndo l condizion inizil si ricv 8 ln ln K K K d cui ln ln Qusito Si clcoli il volum dl solido gnrto in un rotzion complt ttorno ll ss dll dll rgion init di pino ditt dll curv di quzion y dll ss stsso nll intrvllo Il volum richisto norm dl torm di Guldino è pri d V sruttndo l intgrzion pr prti si h d d d V
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico Qusito 7 In un dposito di mtril lttrico vi sono du sctol di lmpdin: l sctol A n contin di cui il % sono dittos mntr l sctol B n contin di cui il % sono dittos. Du lmpdin vngono strtt d un sctol sclt cso.. Clcolr l probbilità ch ntrmb l lmpdin o dittos. b. Nl cso ch o ntrmb dittos, clcolr l probbilità ch o stt strtt dll sctol A. ) Applichimo l lgg dll probbilità totl: ( D D ) P( D, D A) P( A) P( D, D B) P( B) P., Clcoo or l probbilità condiziont: P P ( D, D A) ( D, D B) quindi P 99 99 999 999 99 99 999 998 99 999 99 998 ( D D ) P( D, D A) P( A) P( D, D B) P( B),, ) Applichimo l lgg di Bys: P Qusito 8 ( A D, D ) P ( D, D A) P( A) P( D, D ) 99 999 99 99 999 998,8 Dtrminr gli toti dll unzion y, Il dominio dll unzion è D : D : (,] ( ) Soluzion cur di Nicol D Ros
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico ) Gli toti vrticli vnno ricrcti ni punti di discontinuità; in prticolr clcolndo il it dstr di si h pr cui è toto vrticl dstro. Non h snso clcolr il it istr di in qunto i vlori dll ntrvllo (,) non pprtngono l dominio; ) Non sistono toti orizzontli in qunto ± ± ) Gli toti obliqui s sistono hnno quzion y m q con m ±, q ± [ m]. Comincimo col clcolr l toto obliquo pr ; si h m q quindi s / / y è toto obliquo dstro. Clcoo or l toto obliquo pr ; si h, Soluzion cur di Nicol D Ros
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico Soluzion cur di Nicol D Ros, s / / q m quindi y è toto obliquo istro. In conclusion l unzion mmtt l toto vrticl dstro du toti obliqui y y. Qusito 9 Dt l unzion dt t g rc, discutrn il cmpo di sistnz l drivbilità. L unzion intgrl è dinit inchè il suo strmo di intgrzion vribil è tl ch l intrvllo di intgrzion si tutto contnuto nl dominio dll unzion intgrnd: nl nostro cso, ricordndo ch il dominio dll unzion [ ] h rc è h, dv vrsi cioè R ch coincid quindi col dominio dll unzion intgrl g. Pr qunto concrn l drivt, trttsi dll drivt di un unzion compost:
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico ( t) d rc dt d g' rc[ ] ' ( ) rc( ) pr cui ll intrno dl d d dominio l unzion intgrl g è smpr drivbil. Qusito Pssndo pr Pizz Gribldi Npoli, vi vvicint d un bnchtto dov si gioc d zzrdo. Il signor Umbrto, propritrio dl bnchtto, vi propon il sgunt gioco d ttursi con du ddi: voi puntt uro, lncit i ddi, sull bs dl risultto dl lncio ricvt l somm X, scondo l sgunt rgol: s l somm di risultti ottnuti ni du lnci è minor o ugul oppur è mggior o ugul, X (cioè prdt i uro puntti); in tutti gli ltri csi, vinct X uro. () Supponndo ch i ddi o bilnciti, clcolr l probbilità p di vincr qull q di prdr (q p ). (b) Clcolr il vlor mdio dll somm ricvut, mostrndo in prticolr ch il gioco non è quo, nl snso ch E(X) < uro. (c) Clcolr qul vincit (invc di uro) dovrbb promttrvi il signor Umbrto inché il gioco si quo, nl snso spciicto l punto (b). ) L probbilità di prdr è q Pr( somm o somm ) ; l possibili coppi di risultti dovut l lncio di du dti sono ( ) l coppi ch orniscono un somm si minor o ugul quttro sono ((,)(,,)(,, )(,, )(,,)(,,) ) così com sono l coppi ch orniscono un somm si mggior o ugul dici ((,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,) ) cui q ( somm o somm ) Pr( somm ) Pr( somm ) pr Pr consgunz l probbilità di vincr è p q ; b) L somm X ricvut è un vribil ltori discrt binri ch vl uro con probbilità /, uro con probbilità /. L mdi quindi vl E [ X] 8 uro ch è inrior ll puntt di uro; ; di Soluzion cur di Nicol D Ros
Simulzion Prov Esm di Mturità di Mtmtic pr Lico Scintiico c) Ainchè il gioco si quo, dtt Y l vincit, dv vrsi E [ X] Y uro Y uro. Soluzion cur di Nicol D Ros