Inroduzione all analisi delle serie soriche e dei meodi di previsione Indice. Capiolo inroduivo,. Inroduzione.2 Fasi di un analisi di previsione e sruura delle dispense 2. Meodi e srumeni di base, 5 2. Serie sorica e dai cross secion 2.2 Analisi grafiche preliminari 2.3 Sinesi numeriche 2.4 Misure di bonà di adaameno e di accuraezza della previsione 2.5 Trasformazioni e aggiusameni 2.6 Aggiusameni della serie per ener cono delle variazioni dei prezzi 2.6. I numeri indici semplici 2.6.2 I numeri indici sineici: Paasche,Laspeyres, Fisher 2.6.3 I principalinumeri indici cosruii in Ialia 2.6.4 Esempi di aggiusameno di una serie sorica 3. Meodi di scomposizione, 3 3. Inroduzione 3.2 Il modello di scomposizione 3.3 Rappresenazioni grafiche negli approcci di scomposizione 3.4 La media mobile 3.5 Scomposizione classica: il modello addiivo 3.6 Scomposizione classica: il modello moliplicaivo 3.7 Alcune osservazioni uleriori sui meodi di scomposizione 4. Sudio del rend mediane forma analiica, 5 4. Inroduzione 4.2 Forme analiiche per rappresenare il rend 4.3 Sima del rend 4.4 Sima della componene sisemaica e previsione
Cap Analisi preliminare. Capiolo inroduivo. Inroduzione In mole siuazioni che ineressano l impresa e il managemen, emerge la necessià di pianificare le azioni fuure. La previsione è uno srumeno imporane per una pianificazione efficiene. Inolre, ale srumeno rende il decisore meno soggeo ad eveni inaspeai in quano gli impone un approccio più scienifico riguardo alla conoscenza dell ambiene in cui opera. Fra gli scopi per i quali lo srumeno previsivo è di cruciale imporanza ricordiamo.. Uilizzo efficiene delle risorse: programmazione della produzione, organizzazione dei raspori, del personale, ecc.. I fenomeni da prevedere sono cosiuii da: livello della domanda, del maeriale, del lavoro, ecc. 2. Approvvigionameno delle risorse: è imporane prevedere le necessià fuure di maeriali, prodoi, ecc. perché esise un cero inervallo di empo per oenerli. 3. Deerminazione dell ammonare delle risorse necessarie: ue le organizzazioni devono deerminare le risorse che saranno necessarie nel lungo ermine. Le re caegorie sopra individuae si riferiscono a re ipologie di previsioni: di breve, di medio e di lungo periodo. Queso significa che una organizzazione che vuole predisporre un sisema previsivo, dovrà seguire approcci differeni. Un sisema previsivo aziendale deve realizzare uno sreo collegameno fra ue le aree o divisioni dell impresa. Ad esempio, una erraa previsione sulle vendie influenza le decisione sul budge, sulla poliica delle score, ecc. Un errore nella pianificazione di budge può avere ricadue sulle spese pubbliciarie, sullo sviluppo di nuovi prodoi, ecc. Sono sae sviluppae numerose ecniche previsivi che sono classificae in due caegorie generali: ecniche quaniaive, basai su meodi saisici e ecniche qualiaivi, basae prevalenemene su giudizi (Makridakis, Wheelwrigh, Hyndmann, 9XX). I meodi di ipo quaniaivo possono essere impiegai quando: (i) sia disponibile una sufficiene informazione sull evoluzione passaa del fenomeno; (ii) ale informazione possa essere quanificaa, e (iii) si possa assumere che le caraerisiche dell evoluzione passaa coninuino a sussisere nel fuuro, al fine di effeuare la previsione. L applicazione del
2 Cap. Capiolo inroduivo correo meodo di previsione, riesce spesso a idenificare la relazione che c è fra la variabile da prevedere e il empo (oppure alre variabili che hanno il ruolo di prediori) rendendo possibile l operazione di previsione. Le ecniche o meodi di ipo quaniaivo sono numerosi perché sono sai sviluppai nell ambio di numerose discipline. Ogni ecnica ha suoi scopi precipui, cosi e empi di realizzazione rispeo ai quali ne viene valuaa la convenienza. Nella maggioranza dei casi le ecniche quaniaive sono di ipo formalizzao; esse richiedono cioè l impiego di meodologia saisicomaemaica a livello più o meno elevao. Meodi quaniaivi: è disponibile sufficiene informazione quaniaiva. ANALISI DELLE SERIE STORICHE (TIME SERIES): prevede la ripeizione, nel fuuro, del seniero sorico (es. andameno delle vendie, del PIL, ecc.). METODI ESPLICATIVI: impiegano modelli di regressione per misurare quano una variabile esplicaiva influenza la variabile da prevedere (es. effei sulle vendie della promozione pubbliciaria e/o del prezzo). Meodi qualiaivi: limiaa o nessuna informazione quaniaiva ma esise sufficiene informazione di ipo qualiaivo (es. quale sarà la rapidià di calcolo di un PC nel 2?). E imporane soffermarci sulla caegorizzazione inerna ai meodi quaniaivi fra modelli di analisi delle serie soriche e modelli esplicaivi. Quesi ulimi assumono che la variabile da prevedere possa essere messa in relazione con una o più variabili indipendeni o esplicaive. Ad esempio, la domanda di beni di consumo di una famiglia dipende dal reddio percepio, dall eà dei componeni, ecc. Tali ecniche di previsione impiegano i meodi di regressione e quindi la fase principale dell analisi consise nella specificazione e sima di un modello che mee in relazione la variabile da prevedere (variabile risposa) e le variabili esplicaive. Quese, spesso, hanno la funzione di variabili srumenali rispeo alle quali si esplicia l andameno del fenomeno da prevedere. La fase di previsione vera e propria richiede la conoscenza dei livelli fuuri delle variabili esplicaive che, sosiuii nella formula simaa del modello, forniscono la previsione per la variabile che ineressa (la variabile dipendene del modello). I meodi esplicaivi sono di paricolare uilià ed efficacia quando la variabile esplicaiva è direamene manipolabile dal decisore (ad es. il prezzo del prodoo). Nell analisi delle serie soriche il fenomeno da prevedere viene raao come una scaola nera in quano non si cerca di individuare i fenomeni che lo possono influenzare. L obieivo di queso approccio consise nell idenificazione dell evoluzione passaa del fenomeno e nella
Cap Analisi preliminare 3 esrapolazione del seniero passao per oenere la previsione. In alre parole, il fenomeno da prevedere viene modellao rispeo al empo e non rispeo ad una variabile esplicaiva. Quesa imposazione si rivela senz alro uile quando:. il fenomeno è poco conosciuo oppure è difficile individuare (misurare) le relazioni che queso ha con alri fenomeni; 2. siamo ineressai a conoscere ciò che accadrà e non il modo in cui accadrà. Gli approcci o meodi di ipo qualiaivo non richiedono dai o informazioni formalizzae. Essi si basano soprauo su giudizi e sull esperienza accumulaa e sono prevealenemene usai per indicare endenze più che per prevedere specifici valori numerici. Si riiene che quesi meodi possano essere usai con successo in congiunzione con i meodi quaniaivi, nelle aree dello sviluppo di prodoo, degli invesimeni di capiale, nella formulazione di sraegie, ecc. Concludiamo queso paragrafo soolineando che il decisore ha a sua disposizione un vaso armamenario di srumeni di previsione che variano per: l informazione necessaria, il livello di formalizzazione e di raameno saisico-maemaico, l orizzone emporale di previsione, il coso..2 Fasi di un analisi di previsione e sruura delle dispense Un analisi di previsione basaa su dai quaniaivi si sviluppa in cinque fasi.. Definizione del problema 2. Raccola di informazioni 3. Analisi preliminare dei dai 4. Scela e adaameno del modello 5. Valuazione del modello e suo impiego a fini previsivi. La fase 2 concerne sia informazioni di ipo quaniaivo sia di ipo qualiaivo (es. giudizi). E in genere necessario raccogliere dai sorici sul fenomeno di ineresse (ad esempio: faurao mensile). La fase 3 riguarda l impiego di meodi saisici grafici e descriivi, che vengono discussi nel capiolo 2. Lo scopo è quello di cercare di individuare evenuali regolarià nell andameno emporale del fenomeno di ineresse. Per la fase 4, vedremo l impiego di approcci empirici di analisi delle serie soriche come i meodi di scomposizione (capiolo 3) basai sulle medie mobili e anche approcci che richiedono l impiego di meodi di regressione (capiolo 4).
4 Cap. Capiolo inroduivo Sono disponibili numerosi crieri per la valuazione della bonà del modello, a seconda dell approccio di analisi che è sao scelo (fase 5). A queso proposio è imporane fare disinzione fra fiing error o errore di sima e forecasing error o errore di previsione. Il primo fa riferimeno a come il modello si adaa ai dai passai; il secondo riguarda la capacià del modello nel prevedere i dai fuuri. Nelle dispense viene dao ampio spazio ai meodi quaniaivi, uavia nell ulimo capiolo (capiolo 5) viene fao un cenno anche ai meodi di previsione di ipo qualiaivo.
Cap 2 Meodi e srumeni di base 5 2. Meodi e srumeni di base 2. Serie sorica e dai cross secion E imporane fare innanzi uo una disinzione fra serie sorica e dai cross secion o dai sezionali. Una serie sorica è una sequenza di osservazioni ordinae rispeo al empo (ad esempio: il faurao mensile, i prezzi giornalieri delle azioni, il asso di ineresse seimanale, il profio annuo, ecc.). Lo scopo dell analisi delle serie soriche consise nello sudio dell evoluzione passaa del fenomeno rispeo al empo; la previsione viene oenua ipoizzando che ali regolarià di comporameno di ripeano nel fuuro. A ale scopo noi assumiamo, in quese noe, che i empi di osservazione siano equispaziai. Quesa non è una grossa resrizione poiché moli fenomeni di ineresse aziendale vengono regisrai in corrispondenza di empi equispaziai o di inervalli di medesima ampiezza. Un esempio di serie sorica è riporao nella Tab. 2., che coniene il dao sulla popolazione residene in Ialia dal 979 al 2. Tab. 2. Popolazione residene in Ialia a meà anno (migliaia di unià) Anno Popolazione Anno Popolazione 979 56.38 99 56.79 98 56.434 99 56.75 98 56.5 992 56.859 982 56.544 993 57.49 983 56.564 994 57.24 984 56.577 995 57.3 985 56.593 996 57.397 986 56.596 997 57.52 987 56.62 998 57.588 988 56.629 999 57.646 989 56.672 2 57.728 Fone: Isa La Tab. 2.2 coniene dai sezionali (o rasversali) che sono riferii ad un medesimo periodo di empo. In paricolare, si raa del PIL delle veni regioni ialiane, prodoo nel 999.
6 Cap. 2 Meodi e srumeni di base Tab. 2.2 - PIL regionale anno 999 (miliardi di Lire) Regione PIL Regione PIL Piemone 86328,9 Marche 55344, V. d Aosa 586, Lazio 26629,9 Lombardia 436875,2 Abruzzo 3963,8 Trenino A.A. 45347, Molise 9544,2 Veneo 9565,8 Campania 3988,6 Friuli V.G. 4946,6 Puglia 66,6 Liguria 64664, Basilicaa 654,3 Emilia R. 8858,8 Calabria 473,2 Toscana 44547,6 Sicilia 24999,4 Umbria 29973,9 Sardegna 47438,3 Fone: Isa 2.2 Analisi grafiche preliminari La prima cosa imporane da fare quando ci accingiamo ad analizzare una serie sorica è quello di visualizzare i dai mediane una rappresenazione grafica. Lo scopo è quello di individuare evenuali regolarià di comporameno che sono uili nel suggerire l approccio modellisico. Il grafico più semplice è il cosiddeo ime plo (oppure line plo) che consise nella rappresenazione dei dai rispeo al empo. Il ime plo dei dai di Tab. 2. è mosrao nella Fig. 2.. La Fig. 2.2 ripora invece il ime plo delle vendie mensili di birra in Ausralia, per il periodo 99-994 (dai in Tab. 2.3). 58. Fig. 2. Time plo per i dai di Tab. 2. Popolazione (migliaia) 57.5 57. 56.5 56. 55.5 979 98 983 985 987 989 Anno 99 993 995 997 999
Cap 2 Meodi e srumeni di base 7 Fig. 2.2 Time plo dei dai di Tab. 2.3 2. 9. 8. Migliaia di liri 7. 6. 5. 4. 3. 2. 99 992 993 994 Tab. 2.3 Vendie mensili di birra in Ausralia (migliaia di liri) Anno Mese Quanià Anno Mese Quanià 99 Gennaio 64. 993 Gennaio 39. Febbraio 48. Febbraio 43. Marzo 52. Marzo 5. Aprile 44. Aprile 54. Maggio 55. Maggio 37. Giugno 25. Giugno 29. Luglio 53. Luglio 28. Agoso 46. Agoso 4. Seembre 38. Seembre 43. Oobre 9. Oobre 5. Novembre 92. Novembre 77. Dicembre 92. Dicembre 84. 992 Gennaio 47. 994 Gennaio 5. Febbraio 33. Febbraio 34. Marzo 63. Marzo 64. Aprile 5. Aprile 26. Maggio 29. Maggio 3. Giugno 3. Giugno 25. Luglio 45. Luglio 27. Agoso 37. Agoso 43. Seembre 38. Seembre 43. Oobre 68. Oobre 6. Novembre 76. Novembre 8. Dicembre 88. Dicembre 82. Fone: Makridakis, Wheelwrigh, Hyndman (9xx)
8 Cap. 2 Meodi e srumeni di base Un ime plo immediaamene rivela endenze o oscillazioni regolari, e alri andameni di ipo sisemaico rispeo al empo. La Fig. 2. ripora dai annuali che evidenziano un andameno sisemaicamene crescene nel lungo periodo (rend crescene). La serie di Fig. 2.2 presena una andameno meno liscio; essendo i dai a cadenza mensile, in essi è presene il fenomeno denominao sagionalià. Si può noare (aiuandoci anche con la Tab. 2.3) che i picchi elevai si regisrano sempre nei mesi caldi (novembre e dicembre; aenzione: i dai si riferiscono all Ausralia!) e vicini alle fese naalizie. In generale, possono essere individuai quaro ipi di andameno (o paern) rispeo al empo.. Paern orizzonale. In queso caso la serie oscilla inorno ad un valore cosane (media della serie). Tale serie è dea sazionaria in media. E il caso ipico che si presena nel conrollo di qualià on line quando il processo si maniene soo conrollo rispeo alla media. 2. Paern sagionale. Queso esise quando la serie è influenzaa da faori sagionali (es. mensile, semesrale, rimesrale, ecc.). Prodoi come gelai, bibie analcoliche, consumo di elericià sono soggee al fenomeno sagionale (v. Figg. 2.2 e 2.3). Le serie influenzae dalla sagionalià sono dee anche serie periodiche poiché il ciclo sagionale si ripee in un periodo fisso. Nei dai di ipo annuale la sagionalià non è presene (v. Fig. 2.). 3. Paern ciclico. Queso ipo di andameno è presene quando la serie presena aumeni e diminuzioni che non sono di periodo fisso. Quesa è la principale differenza fra le fluuazioni cicliche e quelle sagionali. Inolre, l ampiezza delle oscillazioni cicliche è generalmene più grande di quella dovua alla sagionalià. Nelle serie economiche il paern ciclico è deerminao dalle espansioni e conrazioni dell economia dovui a fenomeni congiunurali. 4. Trend o endenza di fondo. E caraerizzao da un andameno crescene o decrescene di lungo periodo. La serie della popolazione residene in Ialia è un esempio di andameno endenziale o rend di ipo crescene; la serie delle vendie mensili di birra, invece, non presena alcun rend. Ha un paern di fondo di ipo orizzonale Mole serie evidenziano una combinazione di quesi paern. Ad esempio, la serie di Tab. 2.4 presena sia rend sia sagionalià (v. Fig. 2.3). E proprio queso genere di complessià che rende l operazione di previsione esremamene ineressane. I meodi previsivi, infai, devono essere in grado di riconoscere le varie componeni della serie in modo da riprodurle nel fuuro, nell ipoesi che il paern passao coninui a ripeersi, nelle sue caraerisiche evoluive, anche nel fuuro.
Cap 2 Meodi e srumeni di base 9 Tab. 2.4 Vendie mensili di boiglie di bibia QQQ (da ½ liro) Anno Mese Nr. Anno Mese Nr. Anno Mese Nr. 999 89 2 3 244 2 25 298 999 2 2 229 2 2 4 296 2 2 26 378 999 3 3 249 2 3 5 39 2 3 27 373 999 4 4 289 2 4 6 37 2 4 28 443 999 5 5 26 2 5 7 33 2 5 29 374 999 6 6 43 2 6 8 556 2 6 3 66 999 7 7 66 2 7 9 83 2 7 3 4 999 8 8 777 2 8 2 96 2 8 32 53 999 9 9 95 2 9 2 52 2 9 33 388 999 63 2 22 759 2 34 94 999 485 2 23 67 2 35 75 999 2 2 277 2 2 24 37 2 2 36 44 Fone: dai fiizi di nosra elaborazione Fig. 2.3 Time plo della serie di Tab. 2.4 4 2 Nr. boiglie 8 6 4 2 3 5 7 9 3 5 7 9 2 23 25 27 29 3 33 35 Se una serie sorica esibisce un oscillazione sagionale è uile eseguire un seasonal plo o grafico sagionale, che consise nella rappresenazione dei valori della serie (in ordinaa) versus i periodi sagionali come: mesi, rimesri, semesri, ecc. (in ascissa). I puni corrispondeni al medesimo anno vengono unii da segmeni lineari di modo che si formano ane spezzae quani sono gli anni della serie. Il seasonal plo per la serie di Tab. 2.4 è rappresenao nella Fig. 2.4. Si può apprezzare la presenza di oscillazioni sagionali in espansione durane i mesi esivi con inizio da giugno, in conrazione a parire da oobre.
Cap. 2 Meodi e srumeni di base Fig. 2.4 Seasonal plo della serie di Tab. 2.4 Nr. boiglie 4 2 8 6 4 2 999 2 2 2 3 4 5 6 7 8 9 2 mesi Il seasonal plo è in grado di mosrare anche l evenuale presenza del rend. Nella Fig. 2.4, ad esempio, noiamo che la spezzaa relaiva al 999 è la più bassa menre quella del 2 è la più elevaa. E evidene che il livello annuo della serie è aumenao nei re anni. Nella fase di analisi preliminare di una serie sorica, può essere di uilià anche il grafico in cui i valori della serie (in ordinaa) sono rappresenai rispeo ai periodi annuali (in ascissa). La Fig. 2.5 ripora queso ipo di grafico per i dai di Tab. 2.4. Fig. 2.5 Grafico della serie di Tab. 2.4 rispeo agli anni 4 2 Nr. boiglie 8 6 4 2 998 999 2 2 anni
Cap 2 Meodi e srumeni di base La Fig. 2.5 è in grado di dare indicazioni riguardo a: la presenza del rend; si noa come le re colonne di puni endono, con gli anni, ad essere posizionae leggermene più in alo; il ipo di oscillazione sagionale inerna all anno; si noa come, all aumenare del rend, il range di variazione dei valori sagionali è più ampio. 2.3 Sinesi numeriche In aggiuna ai grafici, è uile approfondire l analisi saisica, calcolando indici sineici quali: media, mediana, campo di variazione, varianza, deviazione sandard (sandard deviaion), ecc. Indici di posizione e di variabilià frequenemene usai Serie sorica: y, y 2,, y,, y n, =,,n n Media arimeica y = y n = Campo di variazione (range) R=Max(y ) min(y ) Varianza Deviazione sandard S 2 S n = ( y n = y ) n 2 = + S = + n = Alre misure saisiche impiegae nell analisi delle serie soriche sono: la covarianza e la correlazione che, nella faispecie, vengono denominae rispeivamene auocovarianza e auocorrelazione dal momeno che sono calcolae fra coppie di puni della medesima serie, disani k periodi. La cosane k è dea lag emporale. Le formule dell auocovarianza e dell auocorrelazione sono illusrae nel quadro di seguio riporao. Auocovarianza e auocorrelazione n 2 ( y n k k = + k = n k Auocovarianza c ( y y )( y y ) Auocorrelazione ( y y )( y y ) + k = k = = n 2 ( y y ) = r c c k y ) 2
2 Cap. 2 Meodi e srumeni di base Consideriamo i dai di Tab. 2.4, relaivi alle vendie di boiglie di bibia QQQ, dove n=36. Se poniamo k=, oeniamo n-k=n-=35 coppie di valori (y, y + ), =,,n-, per calcolare l auocovarianza e l auocorrelazione. Se poniamo k=2, oeniamo n-k=n-2=34 coppie di valori (y, y +2 ), =,,n-2, e così via. I valori di r k con k=,2,,24, sono rappresenai nella Fig. 2.6 che è denominaa correlogramma ed è molo uile per l idenificazione dell ampiezza delle oscillazioni cicliche o sagionali preseni nei dai.,8,6 Fig. 2.6 Correlogramma per i dai di Tab. 2.4 auocorrelazione,4,2 -,2 -,4 -,6 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 22 23 24 lag Dal correlogramma di Fig. 2.6, possiamo dedurre la ciclicià del legame di auocorrelazione dovuo al marcao fenomeno sagionale che influenza i dai. Da noare che l auocorrelazione è negaiva per periodi di 6, 8 mesi, e infai menre di giugno-luglio si regisrano impennae nelle vendie, i mesi dicembre-gennaio vedono un faurao al minimo. Al conrario è posiive ed elevaa la correlazione di lag 2 mesi. Tuo ciò è una conferma della presenza di una marcaa sagionalià di ampiezza 2 periodi (mesi). C è da osservare che l auocorrelazione r k (e lo sesso discorso vale per l auocovarianza c k ) viene calcolaa su n-k coppie di valori; perano all aumenare di k si riduce la numerosià dei dai ovvero la consisenza delle informazioni. 2.4 Misure di bonà di adaameno e di accuraezza della previsione In mole analisi saisiche in cui un modello viene adaao a un se di dai (ad es. nell analisi di regressione), il ermine accuraezza si riferisce alla capacià del modello di riprodurre i dai sui quali è sao simao e cioè della
Cap 2 Meodi e srumeni di base 3 bonà di adaameno del modello (goodness of fi). L accuraezza nella previsione (forecas accuracy), invece, misura la capacià del modello a riprodurre i dai fuuri della serie. Se il meodo di previsione si propone un orizzone emporale di più periodi, la verifica della sua capacià previsiva può avvenire come di seguio indicao: ) si uilizzano i primi m dai della serie per la sima del modello; 2) si usano i successivi m+,,n dai per la verifica dell accuraezza previsiva. Per capire quano appena deo inroduciamo un po di simbologia: y, y 2,, y n indica la serie di dai disponibile; y, y 2,, y m m<n, indica la serie di dai che viene usaa per la sima del modello di previsione (raining sample); y m+, y m+2,, y n, indica la serie di dai che viene usaa per la verifica della capacià previsiva (es sample); ŷ, ŷ2,..., ŷm sono le sime dei valori del raining sample oenue ramie il modello simao; F m+, F m+2,,f n sono le previsioni (forecas) riferie al periodo di empo da =m+ a =n (es sample), oenuo ramie il modello simao sul raining sample. La differenze fra l errore di sima e e l errore di previsione f, può essere apprezzaa dalle formule segueni: e y ŷ =, =,,m; f = y F, =m+,,n. Spesso il decisore è ineressao a conoscere il valore della serie, relaivo al periodo immediaamene successivo all ulimo dao disponibile. Si raa della previsione a un passo (one-sep forecas) che consise nella previsione di un periodo in avani rispeo all ulima osservazione (ad esempio si hanno dai fino al mese di giugno 2 e si vuole prevedere il dao per il mese di luglio 2). Ogni previsione F viene deerminaa perano usando i - dai precedeni: y, y 2,,y - ; e cioè impiegando un modello di previsione che è sao simao sui primi - elemeni della serie. Il procedimeno è esemplificao facendo riferimeno al quadro riporao qui di seguio. Parendo da un puno =H> il modello viene simao via via aggiungendo un nuovo elemeno fino a =n-; si oengono complessivamene n-h previsioni in corrispondenza dei periodi a parire da H+ fino a n. In presenza di sagionalià, queso procedimeno necessia di una serie adeguaamene lunga. Infai, l individuazione e la modellazione della
4 Cap. 2 Meodi e srumeni di base sagionalià richiede di norma almeno cinque anni complei. Nel caso di dai mensili, ad esempio, H deve essere per lo meno superiore a 6 (2x5). Passi Serie per la sima One-sep forecas Errore di previsione 2 y,, y H y,, y H, y H+ F H+ F H+2 y H+ F H+ y H+2 F H+2 : : : : : : : : n y,, y H, y H+,, y n- F n y n F n Vediamo infine le misure di bonà di adaameno/previsione usae più frequenemene. Tali misure sono: errore medio (mean error: ME): media arimeica degli errori; errore quadraico medio (mean squared error: MSE): media arimeica dei quadrai degli errori; errore medio assoluo (mean absolue error: MAE): media arimeica degli errori presi in valore assoluo; errore medio assoluo percenuale (mean absolue percenage error: MAPE): media arimeica degli errori relaivi, presi in valore assoluo e moliplicai per. Nel quadro qui soo sono riporae le formule dei quaro indici calcolae sugli errori di sima di una serie di m elemeni, e sugli errori di previsione per un inervallo di previsione di m periodi. Infai, quando ali indici vengono calcolai su e, si oiene una misura di goodness of fi; quando sono calcolai su f, viene quanificao l errore di previsione. Bonà di adaameno m ME = e m = m 2 MSE = e m = m MAE = m = e m MAPE = = m e y Accuraezza della previsione m ME = f m = m 2 MSE = f m = m MAE = m = f m MAPE = = m f y Brevemene commeniamo il ipo di informazione che viene offera da quesi indici.
Cap 2 Meodi e srumeni di base 5 ME è l unico indice che può assumere anche valori negaivi. Il MAE avrà valori bassi perché elemeni posiivi e negaivi, nella sommaoria, enderanno a compensarsi. Il segno di ME ci dice se si ende, in media, a sopravvaluare (ME<) o soovaluare (ME>) il fenomeno. MSE e MAE rendono posiivi i singoli addendi della sommaoria. Per la presenza dell esponene, MSE è meno agevole da inerpreare da persone non specialise. I re indici ME, MSE e MAE forniscono un valore che dipende dall unià di misura della serie. Il MAPE elimina queso problema in quano l errore viene relaivizzao dividendolo per il valore osservao. Il MAPE può però essere usao solo se il fenomeno è misurabile su scala a rapporo. Per il calcolo del MAPE sorgono difficolà quando la serie osservaa coniene valori nulli o molo prossimi a zero. A scopo puramene esemplificaivo, vediamo l impiego di quesi indici per valuare un semplice meodo di previsione sul la serie di Tab. 2.4. I dai fino a =24 (raining sample) sono uilizzai per la sima del modello di previsione; i dai del 2 (es sample) sono impiegai per la verifica della capacià previsiva del meodo che consise nel prevedere il dao del mese j (j=,,2) del 2, mediane la media arimeica semplice dei valori dello sesso mese j nei due anni precedeni. Denominiamo come M queso meodo di previsione. I risulai sono mosrai nella Tab.2.5. Tab. 2.5 Previsioni con M per il 2 (dai di Tab. 2.4) Mese y F f 298 27 82 2 378 263 6 3 373 284 89 4 443 33 4 ME=7,2 5 374 287 88 MSE=3664,2 6 66 494 67 MAE=7,2 7 4 746 259 MAPE=25,5% 8 53 869 285 9 388 34 355 94 686 28 75 546 69 2 44 324 7 In queso caso ME=MAE poiché ui gli errori di previsioni sono posiivi. Ciò è deerminao dal fao che, essendo presene un rend crescene, la media dei dai relaivi ai due anni precedeni fornisce una previsione sisemaicamene inferiore a quano osservao nel 2. Come si vede dai valori di Tab. 2.5, quesi indici possono presenare delle difficolà inerpreaive innanzi uo perché non abbiamo un valore di
6 Cap. 2 Meodi e srumeni di base riferimeno per decidere se il meodo di previsione è soddisfacene o no. Non c è dubbio qui che un MAPE pari a 25% è inacceabile. Ma se oeniamo un MAPE uguale a 3%, come deve esesre valuao il meodo di previsione? Un procedimeno molo semplice consise nel confronare i valori oenui col meodo M con quelli derivani dall impiego di un meodo cosideo naive. Un meodo naive è, ad esempio, il seguene: prendere come previsione per il periodo il dao del periodo -. La previsione per il mese di gennaio 2 è uguale al valore della serie in corrispondenza di dicembre 2, e così via. I risulai di queso meodo naive sono riporai nella Tab. 2.6. Tab. 2.6 Previsioni per il 2 col meodo naive (dai di Tab. 2.4) Mese y F f 298 37-73 2 378 298 8 3 373 378-5 4 443 373 7 ME=5,8 5 374 443-69 MSE=53668,8 6 66 374 286 MAE=88,2 7 4 66 344 MAPE=27,6% 8 53 4 49 9 388 53 235 94 388-484 75 94-89 2 44 75-274 Vediamo che, a pare ME che risene del fenomeno di compensazioni degli errori, ui gli alri indici presenano valori più elevai. Perano il meodo M (seppure anch esso piuoso naive) è leggermene migliore. Un alro problema inerpreaivo concerne il fao che quesi indici esprimono funzioni di disanza, fra valori osservai e previsi, che sono molo diverse fra loro e che possono essere anche discordani (nell esempio sopra riporao abbiamo viso un ME più basso per il meodo naive rispeo a M, e valori più elevai per gli alri indici). Occorre quindi decidere in via preliminare l indice da usare per misurare l accuraezza della previsione. Al fine di valuare le presazioni del meodo di previsione, è buona regola condurre anche analisi grafiche degli errori, per esaminare il loro andameno rispeo al empo. Su queso puno orneremo nei prossimi paragrafi.
Cap 2 Meodi e srumeni di base 7 2.5 Trasformazioni e aggiusameni Talvola l aggiusameno o la rasformazione dei valori della serie originale produce dai più facilmene inerpreabili. In queso paragrafo consideriamo re ipi di aggiusameni: (i) rasformazioni maemaiche; (ii) aggiusameni per rimuovere le oscillazioni dovue a effei di calendario; (iii) aggiusameni per rimuovere oscillazioni dovue a muameni nella popolazione oppure nei prezzi. Trasformazioni maemaiche. Tenuo cono che le serie soriche di naura economica presenano valori posiivi, le rasformazioni più frequenemene usae sono: la radice quadraa e la funzione logarimica. Vediamo un esempio di rasformazioni logarimica. La serie rappresenaa in Fig. 2.5 evidenzia un oscillazione sagionale che aumena con l aumenare del livello della serie. Nel primo anno della serie il range dei valori mensili è uguale a 726 (nr. di boiglie) menre, nell ulimo, sale a 9. Il meodo di previsione deve enere cono: del rend crescene e della marcaa oscillazione sagionale che aumena col livello della serie. In queso caso può essere uile procedere ad una rasformazione logarimica. Vediamo dall Fig. 2.7, come quesa rasformazione renda l oscillazione sagionale dello sesso ordine di grandezza per i re anni, evidenziando meglio anche la presenza di un leggero rend crescene. Fig. 2.7 Dai rasformai (logarimi naurali) di Tab. 2.3 7,5 7 6,5 ln (Nr. boiglie) 6 5,5 5 4,5 4 4 7 3 6 9 22 25 28 3 34 Se operiamo la rasformazione dei dai, il meodo di previsione lavorerà sui valori rasformai. Ciò significa che, nel caso esemplificao, il meodo farà la previsione F =ln(y ) anziché di y. Sarà perano necessario operare la rasformazione inversa che è exp(f ) per riporarci alla scala originale.
8 Cap. 2 Meodi e srumeni di base Anche per la valuazione dell accuraezza previsiva occorre lavorare con la scala originale della serie. Rimozione degli effei di calendario. Alcune oscillazioni della serie sono deerminae dalla variabilià dei giorni mensili (nr. oale di giorni, nr. giorni lavoraivi, ecc.). Il numero mensile di giorni è molo variabile (da 3 a 29 negli anni bisesili; da 3 a 28 negli anni non bisesili); se quesa variabilià non è rimossa, c è il rischio che la serie esibisca oscillazioni difficili da inerpreare. Il dao y, relaivo al mese, viene quindi aggiusao moliplicandolo per un peso w. oenendo così il dao aggiusao y,agg, dove: y = y w w,agg = nr. medio di giorni mensili nr. di giorni del mese dove nr. medio di giorni mensili è pari a 365/2=3,467 negli anni non bisesili; a 366/2=3,5 negli anni bisesili. Un aggiusameno simile avviene su dai riferii, ad esempio, alla produzione mensile, allo scopo di enere cono dei giorni effeivamene lavorai. In ale caso w sarà: w = nr. medio di giorni lavoraivi mensili nr. di giorni lavoraivi nel mese Nelle serie soriche economiche espresse in valori moneari, un evidene fone di variabilià è cosiuia dalla variazione dei prezzi. In ali circosanze è necessario riporarci a valori cosani mediane l operazione di deflazionameno. I dai della serie vengono così resi comparabili. Aggiusameni della serie per enere cono di variazioni nella popolazione di riferimeno sono simili a quello appena illusrao. Ad esempio, nel valuare la siuazione economica di una nazione sarebbe più correo esaminare la serie del PIL procapie anziché quella del PIL oale aggregao. Ci sono sudi demografici che forniscono previsioni della popolazione (v. il sio www.isa.i) che possono essere uili, appuno, in fase previsiva per riporarci al dao originale. 2.6 Aggiusameni della serie per ener cono delle variazioni dei prezzi Le serie di ipo economico sono cosiuie spesso da grandezze aggregae espresse in valore moneario. E il caso, ad esempio, del faurao oale risulane dalla vendia di prodoi diversi, che hanno prezzi uniari diversi. Indicando con q h e p h, rispeivamene, la quanià e il prezzo uniario del prodoo h-esimo al empo, il valore dell aggregao al empo è:
Cap 2 Meodi e srumeni di base 9 (2.) y = p H h= h q h dove H indica il numero di prodoi (merci, elemeni) coinvoli. Le serie a prezzi correni sono espresse ai prezzi del periodo e quindi l evoluzione emporale del dao y è influenzaa anche dalla variazione dei prezzi che può verificarsi nel empo. Quando abbiamo a che fare con una serie espressa in ermini moneari a prezzi correni, è opporuno rasformare ali dai in valori viruali a prezzi cosani, capaci cioè di esprimere la misura del volume fisico (quanià) del fenomeno. Supponendo di volere esprime l aggregao y ai prezzi dell periodo, scelo come base, sono disponibili re meodi:. il meodo direo; 2. il deflazionameno di y con un indice dei prezzi che misura la variazione dei prezzi dell aggregao fra empo (empo base) e il empo ; 3. la proiezione di y nel fuuro, mediane un indice delle quanià che misura la variazione delle quanià dell aggregao fra il empo (empo base) e il empo. Il meodo direo. Il meodo direo può essere applicao quando si dispone di dai relaivi alle singole quanià e ai singoli prezzi per ogni periodo e per ui gli H elemeni dell aggregao. Scelo = come anno base, si cosruiscono i valori a prezzi cosani impiegando i prezzi dell anno base. La serie a prezzi cosani y viene quindi calcolaa come: (2.2) y = p H h= h q h I dai inerni all azienda che sono del ipo prezzixquanià (es. cosi oali, faurao), possono essere espressi a prezzi cosani uilizzando il meodo direo. Per problemi di risorse, spesso non conviene impiegare il meodo direo perché esso richiede informazioni relaive ai prezzi (dell anno baso) di ui gli H elemeni dell aggregao. Inolre, il meodo direo non può essere applicao quando l aggregao è una grandezza puramene monearia (come ad esempio l ammonare di un debio o di un credio finanziario) che non può essere espressa come prodoo di prezzoxquanià. In ali casi si ricorre all operazione di deflazionameno per la quale è necessario dispone di un adeguao indice dei prezzi. Esso deve essere rappresenaivo delle variazione dei prezzi degli elemeni che cosiuiscono l'aggregao da deflazionare. In generale, un indice dei prezzi cosruio per deflazionare un aggregao coinvolge solo una pare degli H elemeni (prodoi, beni, merci,
2 Cap. 2 Meodi e srumeni di base ecc.) che compongono l aggregao sesso. Indicando con I p, il valore dell indice dei prezzi al empo con anno base, l operazione di deflazionameno è: y (2.3) y = I p, dove I p, misura la variazione dei prezzi dell aggregao dal empo al empo. Impiego dell indice di quanià. Se l aggregao è del ipo prezzixquanià come in (2.), e si dispone di un indice delle quanià degli elemeni dell'aggregao, si può oenere il valore a prezzi cosani moliplicando il dao y (dao dell'anno base a prezzi correni dell anno base) per l'indice in quesione e cioè: (2.4) y = y I q, dove I q, misura la variazione delle quanià dell aggregao fra il empo e il empo. Anche per l indice di quanià vale quano affermao per l indice dei prezzi: nel suo calcolo è coinvola una pare degli H elemeni componeni l aggregao. Come si può vedere, nelle re formule (2.2)-(2.4) abbiamo usao lo sesso simbolo y per indicare il dao espresso ai prezzi dell anno base. Ciò non deve far credere che i re approcci producano la sessa serie e cioè gli sessi valori a prezzi cosani. Il risulao del meodo direo sarà in generale diverso da quello del deflazionameno, ecc. Nel seguio di quese noe illusreremo meglio il meodo del deflazionameno, approfondendo il conceo di indice o numero indice. 2.6. I numeri indici elemenari I numeri indice consenono lo sudio della dinamica emporale di un fenomeno quaniaivo in quano misurano le variaizoni relaive inercorse fra due puni nel empo. Il vanaggio di usare la variazione relaiva anziché quella assolua risiede nel fao che ques ulima risene dell unià di misura in cui il fenomeno è espresso. Con riferimeno ai prezzi, siano p e p i prezzi di un bene al empo e al empo. La variazione assolua, la variazione relaiva e l indice elemenare con anno base =, sono rispeivamene: variazione assolua (p p ) variazione relaiva (p p )/p numero indice elemenare i p, =p /p. Come si può facilmene verificare, il numero indice misura la variazione relaiva in quano ques ulima equivale a i p,. La grandezza i
Cap 2 Meodi e srumeni di base 2 rappresena un numero indice elemenare poiché H=; quando si ha a che fare con un aggregao con H elemeni e quindi con H prezzi, si usa un indice sineico o composo. Il numero indice elemenare qui inrodoo è deo a base fissa in cui il empo (che non corrisponde necessariameno al periodo iniziale della serie) è il periodo cosiddeo base. L indice elemenare a base mobile è definio come: -i p, =p /p -. Esso misura la variazione relaiva fra il empo e il periodo immediaamene precedene -. Gli indici elemenari hanno alcune proprieà ineressani che sono riporae nel quadro seguene qui soo, che coniene anche indicazioni sulla simbologia usaa in queso paragrafo. Simbologia usaa e proprieà dei numeri indici elemenari Simbologia Serie dei prezzi: p, p 2,, p,, p n, =,,n Serie delle quanià: q, q 2,, q,, q n, =,,n Serie dei valori: v, v 2,, v,, v n, =,,n Valore v =p q Generico indice elemenare in base b: b i Indice dei prezzi in base b: b i p, Indice delle quanià in base b: b i q, Indice dei valori in base b: b i v, =,2,,n Proprieà. Idenià. i =, =,,n 2. Reversibilià delle basi. bi =/ i b 3. Transiivià (circolarià). bi a a i = b i 4. Scomposizione delle cause. b i v, = b i p, b i q, E di paricolare ineresse la proprieà di ransiivià poiché permee di rasformare una serie espressa a prezzi cosani dell anno base a in una serie a prezzi cosani dell anno base b. Un alra proprieà di rilievo è quella della scomponibilià delle cause (dea anche di reversibilià dei faori) che scompone la variazione di una grandezza in valore nel prodoo fra la variazione di prezzo e la variazione di quanià.
22 Cap. 2 Meodi e srumeni di base 2.6.2 I numeri indici sineici Dovendo esprimere a prezzi cosani un aggregao economico e non poendo applicare il meodo direo, una possibile soluzione è, come abbiamo deo, quella del deflazionameno mediane un adeguao indice sineico dei prezzi. E sineico nel senso che sineizza le variazioni dei prezzi degli H elemeni dell aggregao. I principali problemi connessi alla cosruzione di un indice sineico dei prezzi sono i segueni.. Scela del paniere di elemeni/beni. Accade che non ui gli elemeni coinvoli nell aggregao sono uilizzai per la cosruzione dell indice sineico. Il suo calcolo è basao su un numero limiao di prodoi: quelli rienui più rappresenaivi della variazione dei prezzi. Si procede, infai, ad un campione ragionao degli elemeni da includere: un aena scela degli elemeni è infai più imporane del numero degli sessi. 2. Scela del periodo base. Di norma si sceglie un periodo normale, in cui, cioè, non si sono verificai eveni che abbiano deerminao andameni eccezionali per la grandezza da deflazionare. 3. Scela del meodo di aggregazione degli indici elemenari. Per i prezzi viene norma usaa una media ponderaa degli indici dei prezzi elemenari, scegliendo come pesi i valori riferii ad un prefissao empo. I principali indici sineici dei prezzi sono i segueni. K K p K j p j q i j,p, p jq j j p j q j L j= j= p j j= I p, = = = K K K p q p q p q j= j j j= j j j= j j I P p, K K K j p j q i j,p, p jq j j j= j= p j j= = = = K K K j= p j q j p j= p j q j j= p p j j q q j j L P dove I p, è l indice di Laspeyres e I p, è l indice di Paasche. Si noi che: i) nelle formule, la sommaoria è esesa fino a K<H per indicare che non ue le merci dell aggregao da deflazionare vengono coinvole nella cosruzione dell indice dei prezzi; ii) l indice di Laspeyres impiega, come pesi, dei valori reali ovvero i valori al empo ; l indice di Paasche impiega dei valori fiizi: le quanià al empo valuae ai prezzi dell anno.
Cap 2 Meodi e srumeni di base 23 Vale la pena osservare che, in modo analogo, sono definii gli indici di Laspeyres e di Paasche delle quanià: I L q, K K K j p j q i j,q, p jq j j j= j= q j j= = = = K K K j= p j q j q j= p j q j j= p p j j q q j j I P q, K K K j p jq i j,q, p jq j j j= j= q j j= = = = K K K j= p j q j q j= p j q j j= p p j j q q j j L P dove I q, è l indice di Laspeyres e I q, è l indice di Paasche delle quanià. Esise anche l indice sineico di valore che è: (2.5) K h h h= L P L I v, = = I K p, I q, = I q, h= p p h q q h Dall espressione (2.5), si può facilmene verificare come gli indici di Laspeyres e di Paasche, dei prezzi e della quanià vadano a comporre l indice di valore. Le proprieà auspicabili per un indice sineico generico (dei prezzi o delle quanià), che indichiamo con I, sono elencae nel quadro di seguio riporao. Proprieà desiderae per i numeri indici sineici. Idenià. I =, =,,n 2. Reversibilià delle basi. bi =/ I b 3. Commensurabilià. L indice non varia al variare dell unià di misura fisica usaa per le quanià. 4. Deerminaezza. L'indice non deve annullarsi né endere all'infinio se uno dei ermini elemenari della formula si annulla o ende all'infinio. 5. Proporzionalià. Se dal empo al empo ui i prezzi variano della sessa proporzione, anche l'indice deve variare secondo lo sesso coefficiene di proporzionalià. 6. Transiivià (circolarià). bi a a I = b I 7. Scomposizione delle cause. b I v, = b I p, b I q, I P p,
24 Cap. 2 Meodi e srumeni di base E sao dimosrao che le proprieà non possono essere ue soddisfae ue; ad esempio, se per un indice valgono le proprieà 3, 4 e 5, non può valere la proprieà 6. Di norma, la scela dell'indice sineico avviene combinando crieri formali e considerazioni praiche. Gli indici di Laspeyres e di Paasche non soddisfano le proprieà di: reversibilià delle basi, ransiivià, scomposizione delle cause. Ques ulima è verificaa in senso debole come mosrao nella espressione (2.5). Una variazione di valore (indice di valore) viene scomposa nel prodoo di un indice di prezzi ipo Laspeyres (Paasche) e di un indice di quanià di ipo Paasche (Laspeyres) Nella ricerca di un indice che soddisfi le proprieà soo indicae, è sao proposo l indice di Fisher che è definio come media geomerica dei corrispondeni indici di Paasche e di Laspeyres. Gli indici di Fisher dei prezzi e delle quanià sono: F L I p, = I p, I P p, F L I q, = I q, I P q, L indice di Fisher verifica ue le proprieà ranne quella di ransiivià. Tuavia, esso viene raramene usao perché richiede informazioni sia sui prezzi sia sulle quanià al empo base e al empo (per i pesi usai dagli indici di Laspeyres e Paasche). Al conrario l indice di Laspeyres è il più parsimonioso in ermini di informazione necessaria in quano i pesi impiegai sono cosiuii da quanià e prezzi dell anno base. L indice di Laspeyres è di fao quello più usao anche se deve soosare ad un coninuo aggiornameno della base perché è sooposa ad un rapido invecchiameno. 2.6.3 I principali numeri indici cosruii in Ialia Fra i principali numeri indice cosruii dall Isa ricordiamo, per i prezzi: quello dei prezzi (alla produzione) dei prodoi indusriali, dei prezzi al consumo per l inera colleivià nazionale (IPC), dei prezzi al consumo per le famiglie di operai e impiegai (FOI). Fra i numeri indici delle quanià ciiamo: quello della della produzione indusriale, del faurao e degli ordinaivi dell indusria, i numeri indici riguardani il commercio esero, quelli riguardani il commercio al minuo. Nella praica delle indagini saisiche condoe dall Isa, esisono anche i cosiddei numeri indici implicii dei prezzi. Essi sono ricavai direamene mediane il rapporo fra aggregao a prezzi correni e aggregao a prezzi cosani. Ciò accade per quelle variabili economiche per le quali si ha a disposizione anche il dao a prezzi cosani. E queso il caso del PIL. Il PIL a prezzi cosani viene calcolao come differenza fra produzione oale a prezzi cosani e consumi inermedi a prezzi cosani, elemeni che sono deflazionai separaamene.
Cap 2 Meodi e srumeni di base 25 Diamo ora uno sguardo agli indici dei prezzi al consumo calcolai dall Isa. Gli indici dei prezzi al consumo misurano le variazioni nel empo, rispeo al periodo scelo come base, dei prezzi di beni e servizi (paniere), acquisabili sul mercao e desinai al consumo finale delle famiglie preseni sul erriorio del paese. Il sisema degli indici dei prezzi è cosiuio da: indice nazionale dei prezzi al consumo per l inera colleivià (NIC); indice armonizzao dei prezzi al consumo per i paesi dell Unione europea (IPCA); indice nazionale dei prezzi al consumo per le famiglie di operai ed impiegai (FOI). Gli indici nazionali NIC e FOI sono prodoi anche nella versione che esclude dal calcolo i abacchi, ai sensi della legge n.8 del 992. Tale versione è uilizzaa, ad esempio, per l aggiornameno annuale dei canoni di locazione delle abiazioni. I re indici sono basai su un unica raccola di dai. Essa viene svola in ue le cià capoluogo di provincia dagli Uffici comunali di saisica presso diverse unià di vendia. In complesso gli indici vengono calcolai su olre 3. quoazioni di prezzo ogni mese, rilevae in 25. unià di vendia e 2. abiazioni. Le quoazioni di prezzo si riferiscono ad un paniere comune cosiuio da circa 93 prodoi, raggruppai in 568 posizioni rappresenaive, 29 voci di prodoo, 7 caegorie, 38 gruppi e 2 capioli di spesa. Il calcolo degli indici sineici (per ogni livello di aggregazione dei prodoi) avviene mediane la formula di Laspeyres. I re indici differiscono per alcuni aspei.. Il conceo di prezzo considerao. Nel caso in cui il prezzo di vendia di alcuni beni e servizi sia diverso da quello effeivamene pagao dal consumaore (è il caso, ad esempio, di quei medicinali per i quali una pare del prezzo è a carico del Sisema saniario nazionale), gli indici NIC e FOI considerano nel calcolo il prezzo pieno di vendia, menre l indice IPCA considera come prezzo quano effeivamene pagao dal consumaore (compresi evenuali ickes o conribui deerminai in misura fissa). 2. La popolazione di riferimeno. Menre gli indici NIC e IPCA si riferiscono ai consumi inerni dell inera popolazione presene in Ialia, l indice FOI si riferisce ai consumi inerni delle sole famiglie resideni in Ialia faceni capo ad un lavoraore dipendene exra-agricolo. 3. I sisemi di ponderazione(pesi) uilizzai. i re indici sono calcolai secondo sruure di ponderazione diverse, proporzionali ai consumi delle rispeive popolazioni di riferimeno.
26 Cap. 2 Meodi e srumeni di base Uleriori informazioni sui meodi di calcolo degli indici sono rinracciabili nei segueni documeni Isa: Noa Rapida, a. 4, n.2, del 5 marzo 999 e nelle Saisiche in breve del 26 gennaio 2 e del 25 gennaio 2. Vediamo, a queso puno, la principale uilizzazione dei numeri indice dei prezzi al consumo. Si raa della misura, su base annua, dell inflazione che viene definia come processo generalizzao di aumeno dei prezzi. Il fenomeno inflazionisico viene aualmene misurao mediane l indice NIC. Indicando con I m, il numero indice dei prezzi riferio al mese m dell anno, e con I m,- il numero indice dei prezzi riferio al mese m dell anno -, con base =, si ha: I m, asso endenziale di inflazione I m, 2 I m, 2 m= M asso di inflazione media annua = 2 M I m, 2 m= Una ineressane espressione per misurare l inflazione media annua è la seguene: M M I (2.6) 2, = M I2, M dove: M I2, è dea inflazione propria dell anno, menre I2, M è dea inflazione erediaa nell anno (o imporaa dall anno ). L'inflazione media offre una visione rerospeiva del fenomeno; infai secondo la (2.6): Coeff. inflaz. media = coeff. inflaz. propria x coeff. inflaz. erediaa La misura di inflazione endenziale relaiva al mese m=2 (dicembre) può essere riscria in modo analogo: I2, I2, M (2.7) = I2, M I2, dove:
Cap 2 Meodi e srumeni di base 27 I 2, M è l inflazione rasmessa (ovvero lasciaa in eredià) all anno +, menre M I2, è l inflazione propria dell anno. L'inflazione endenziale offre perano una visione prospeica del fenomeno, secondo la quale si ha: coeff. inflaz. endenziale = coeff. inflaz. rasmessa x coeff. inflaz. propria Il confrono fra inflazione media e inflazione endenziale può dare indicazione sull evoluzione del livello generale dei prezzi. In paricolare: - se l inflazione endenziale è maggiore di quella media, l inflazione è in fase crescene; - se l inflazione endenziale è minore di quella media, l inflazione è in fase decrescene. Il grafico seguene mosra l andameno del asso endenziale di inflazione (in %) dal gennaio 98 al dicembre 2. Fig. 2.8 Andameno asso di inflazione endenziale in Ialia (98-2) 2 Inf.end.% 98 2.6.4 Esempi di aggiusameno di una serie sorica Nei paragrafi precedeni abbiamo inrodoo le formule dei principali numeri indici e abbiamo accennao al procedimeno di deflazionameno mediane 2
28 Cap. 2 Meodi e srumeni di base un indice dei prezzi. In queso paragrafo vediamo l applicazione di queso procedimeno. Prima di procedere con i dai numerici, è imporane disinguere il ipo di grandezza che deve essere deflazionaa:. aggregao di beni: l espressione monearia è la risulane di un prodoo di somme per quanià (es. grandezze economiche: faurao, cosi, ecc.) 2. grandezze puramene monearie compose da elemeni ai quali non corrispondono ransazioni di beni (es. grandezze finanziarie). Se un aggregao non ha a disposizione il suo indice dei prezzi, si dovrà usarne un alro che misura un fenomeno logicamene connesso al primo aggregao. Quesa srada è l unica possibile per le grandezze puramene finanziarie (puno 2). Vediamo un esempio di aggiusameno di una serie, uilizzando i dai sui consumi nazionali dal 979 al 2 (Tab. 2.7) rappresenai nelle Figg. 2.9 e 2.. Si può noare come l andameno della serie dipenda dalla variazione dell indice dei prezzi (il deflaore), menre risene meno dell aumeno della popolazione residene (i dai relaivi alla popolazione residene sono quelli di Tab. 2.). Fig. 2.9 Consumi nazionali anni 979-2 (miliardi L.) Consumi nazionali 2...8..6..4..2... 8. 6. 4. 2. 979 98 Prezzi correni Prezzi cosani 995 983 985 987 989 99 Anni 993 995 997 999
Cap 2 Meodi e srumeni di base 29 Fig. 2. Consumi nazionali procapie anni 979-2 (miliardi L.) Consumi nazionali 35 3 25 2 5 5 Procapie prezzi 995 Procapie prezzi correni 979 98 983 985 987 989 99 993 995 997 999 Anni Tab. 2.7 Consumi nazionali a prezzi correni e a prezzi anno 995 Consumi Consumi Consumi a Deflaore Consumi a procapie a procapie a prezzi correni prezzi base prezzi 995 prezzi correni prezzi 995 Anno (miliardi L.) anno 995 (miliardi L.) (milioni L.) (milioni di L.) 979 225.598,2346 96.52 4,6 7,73 98 288.755,2849.3.53 5,7 7,96 98 353.34,348.36.342 6,249 8,339 982 47.89,397.52.62 7,39 8,66 983 485.98,456.64.4 8,578 8,83 984 555.9,585.93.9 9,826 9,32 985 626.4,5559.26.426,64 9,94 986 69.42,592.67.84 2,99 2,635 987 76.756,627.24.986 3,458 2,465 988 845.599,669.263.929 4,932 22,39 989 93.973,76.3.9 6,427 22,94 99.26.769,7727.328.757 8,3 23,427 99.28.67,8278.363.379 9,887 24,24 992.23.544,8689.385.3 2,67 24,36 993.225.462,96.345.75 2,48 23,589 994.29.37,9495.358.588 22,552 23,75 995.368.863,.368.863 23,889 23,889 996.453.9,49.385.42 25,38 24,33 997.53.885,786.42.277 26,636 24,695 998.65.675,33.455.37 27,882 25,27 999.676.76,28.486.466 29,87 25,786 2.769.99,65.525.92 3,66 26,42 Fone: Isa
3 Cap. 2 Meodi e srumeni di base La rappresenazione di grandezze a prezzi cosani è uile pure per confronare nel empo dai di bilanci aziendali. Il problema di confronabilià emporale si pone anche per i raio di bilancio se il numeraore e il denominaore del raio risenono in modo diverso dell evoluzione dei prezzi. Infai, poiché un raio di bilancio è cosruio su grandezze espresse in valore monearie, il suo valore V al empo si può rappresenare in modo esremamene semplificao come: Q V = q dove col caraere maiuscolo abbiamo indicao la quanià e prezzo del ermine poso al denominaore. Le variazioni che il raio sperimena nel empo possono essere deerminae sia dalle variazioni delle quanià Q, q, sia dalle variazioni dei prezzi P, p. Si veda, a iolo di esempio, un raio cosruio sui dai di conabilià nazionale: il rapporo fra consumi nazionali (visi prima) e PIL, valuai sia a prezzi correni sia a prezzi cosani. Negli anni di fore calo dell inflazione (v. anche Fig. 2.8) è maggiore la discrepanza fra i due ime plo. P p Fig. 2. Andameno del rapporo consumi naz./pil Consumi/PIL,82,8,8,79,78,77,76,75,74,73,72 Prezzi correni Prezzi 995 979 98 983 985 987 989 99 993 995 997 999 Anni