soluzioni con passaggi dei problemi di livello tre del volume 2

soluzioni con passaggi ei poblemi i livello te el volume

FISICA! Le egole el gioco unità Unità Le popietà ei moti onulatoi 8 In geneale una funzione ona è una funzione amonica nel cui agomento sono pesenti la cooinata spaziale e quella tempoale Nel caso in esame l oigine spaziale egli assi è posta nel punto inicato e il pimo vincolo che il poblema pone è lo spostamento nullo i questo punto nell istante iniziale: la funzione amonica che è nulla quano il suo agomento è nullo è il seno Si ha così: x t y( x,t ) A sin π λ T in cui λ v T v/ f è la lunghezza ona e T è il peioo Sostitueno i valoi inicati si ottiene: y (x, t), - sin [ p (, x -, t)] In un ona tasvesale gli elementi ella coa oscillano pepenicolamente ispetto alla iezione i popagazione ell ona come se fosseo soggetti a una foza elastica Si può quini applicae quanto si conosce ei moti peioici tipici elle molle e in paticolae l espessione ell acceleazione, a -w y, icavata a patie all espessione ella foza F -k y m a e aveno efinito la pulsazione w k Sostitueno la funzione ona peceentemente tovata, si ha un massimo quano il seno ha m valoe unitaio, quini: a max -w A p f A 9, m/s Dato il mezzo i popagazione, la velocità i un ona è ata a v T, N, con T tensione ella coa e ensità lineae 86 La funzione ona ichiesta è una funzione amonica che ipene alla cooinata spaziale lungo la coa e a quella tempoale Si tatta i una sinusoie, peché lo spostamento ell oigine eve essee nullo nell istante iniziale: y (x, t) A sin [ p x t λ T ], sin [ p (x - t)] con T / f peioo ell ona e le quantità numeiche espesse nelle unità el SI Pe ossevae il moto oscillatoio el solo punto oigine ella coa, è sufficiente poe x e ottenee così una funzione nella sola cooinata tempoale: y(x, t) A sin ( p t ) -, sin ( p t) T La y si annulla quano l agomento el seno è un multiplo el pi geco: p t n n p, quini t n s n Ogni elemento ella coa si muove i moto oscillatoio amonico, pe cui si ha che l acceleazione massima vale a max w A p m/s e la velocità massima vale v max w A p m/s 87 In unità el SI, alle espessioni elle ue funzioni ona si hanno le ue pulsazioni, a cui si icavano le fequenze: ω f π Hz, con w p w f f Hz La sovapposizione i ue one pouce un ona i fequenza pai alla meia aitmetica elle fequenze i base In questo caso entambe le one hanno la stessa fequenza, pe cui anche l ona isultante ha f Hz e quini w p f Hz Utilizzano la elazione tigonometica cos (a + b) cos (a) cos (b) sin (a) sin (b), l ona isultante alla sovapposizione ha funzione ona y (t) y (t) + y (t),8 [cos ( p t) sin ( p t)] Il valoe minimo ello spostamento si ha quano si annulla p il contenuto ella paentesi quaata, quini quano il seno e il coseno assumono lo stesso valoe: p t min + n p, con n, nel pimo peioo, a cui t n + n min ( ) 6 Il valoe massimo si ha invece quano seno e coseno hanno lo stesso valoe assoluto, ma segno opposto: p t max p + n p, a cui t n + n max ( ) 6

Soluzioni con passaggi ei poblemi i livello te el volume 88 Nella sua posizione i equilibio stabile, la pallina è in quiete peché la foza i gavità veso il basso è contastata alla foza i tensione el filo ietta in veso opposto Quini T F m g La velocità i popagazione i un ona meccanica in un mezzo è legata alla tensione e alla ensità el mezzo stesso: v T m g Inveteno questa elazione si ottiene l acceleazione i gavità cecata: g v m 6,9 m/s unità Il suono 8 Aottano il sistema i ifeimento ell aia, sia la sogente el suono sia il icevente sono in moto: Pieangelo si allontana al fonte ona a v p 9 v v, m/s, mente Lula si avvicina a v l 9 v l + v v,6 m/s Si può consieae quini l effetto Dopple in entambi i casi La fequenza el fischietto nel sistema i ifeimento aottato è più bassa i quella emessa peché la v s sogente si allontana: f f,6 Hz La fequenza pecepita a Lula è invece più alta i questa, peché al suo vs + v p + v punto i vista la sogente si sta avvicinano: f l f 67 vs, Hz Da notae che il sistema i ifeimento soliale all aia è equivalente a quello soliale a Lula in cui la velocità el suono è maggioe a causa el vento: v9 s v s + v v, m/s 8 Una sfea i aggio m centata nell altopalante ha una supeficie S p p m Se sono valie le assunzioni el poblema, la potenza sonoa si istibuisce solo su metà i questa supeficie, pe cui I P S, W/m Senza la pesenza el muo l ona saebbe libea i popagasi in tutte le iezioni, pe cui la sua potenza si istibuiebbe su una supeficie oppia e in ogni punto l intensità saebbe quini la metà i quella calcolata 8 Come mostato nella figua, la vibazione i teza amonica coispone a una lunghezza ona l l cm Conosceno la fequenza i vibazione, si può icavae la velocità i popagazione ell ona: v l f 6 m/s La tensione ella coa necessaia pe sostenee questa velocità è T v N 8 Come suggeito, è utile scompoe l evento in ue fasi: un icevitoe in moto i avvicinamento alla sogente (fequenza inciente f9 > f ) e un emettitoe in moto alla stessa velocità (fequenza ell ona iflessa f > f9) Pima fase - L ostacolo inconta un ona con una fequenza f' + f ost f 8 Hz f Secona fase - L ostacolo iflette l ona con la stessa fequenza inciente ella peceente fase, ma il icevitoe inconta un ona con una fequenza f f 8 Hz La iffeenza così vale Df f - f f f f 98 Hz ost unità Le popietà onulatoie ella luce 9 La elazione fonamentale alla base ell intefeometo a oppia fenitua i Young lega la posizione elle fange ella figua intefeenza alla geometia ell espeimento e alle caatteistiche ella luce inciente: y n L n l, consieano con buona appossimazione << L Esseno inteessati alla istanza ta le fange, si ha y n L n l La pima iga luminosa (n ) è spostata ispetto a quella centale i y l,6 mm Esseno popozionali, aoppiano la quantità aoppia anche la istanza ella pima fangia: y9 y, mm Nel caso invece i un inice i ifazione maggioe i (inice i ifazione el vuoto), la lunghezza ona ella luce si iuce, λ λ, pe cui iminuisce anche la istanza ta le fange: y y,9 mm,,

FISICA! Le egole el gioco 96 Pe icavae la conizione i intefeenza costuttiva elle one luminose i ue sogenti coeenti è necessaio tovae pe quali valoi ei paameti geometici el sistema la iffeenza i cammino ottico elle ue one è pai a un multiplo ella semilunghezza ona: sin ( θ) ( n + ) Viene ichiesto solo il pimo massimo intefeenza (n ), quini sin ( θ) λ λ Consieano oa il tiangolo ettangolo PS O, con S poiezione ella sogente S sullo specchio, si ha tan ( θ ) y, a cui l L y L tan (q) ; L sin (q) Sostitueno nella elazione peceente si ha y L 97 Pe un eticolo i iffazione, la conizione pe icavae le fange i intefeenza costuttiva, e quini i massimi i intensità luminosa, è sin (q) n l, con istanza ta le linee el eticolo La ispesione ella luce pouce così il pimo massimo (n ) λ a un angolo q acsin,' unità La caica e il campo elettico 97 Affinché la goccia imanga in sospensione, è necessaio che la foza peso (ivolta veso il basso) e la foza elettica (epulsiva, ivolta veso l alto) abbiano la stessa intensità: m g -E q Inveteno la elazione si tova la caica q ella goccia: q m g,7 C E, con m V ρ π ρ massa ella goccia sfeica La caica ella goccia isulta negativa, quini c è un eccesso i elettoni Il appoto ta la caica totale e quella ell elettone fonisce il loo numeo: N q e,7 6 e Il numeo i elettoni in eccesso poposto è infeioe a quello appena icavato, quini ci si aspetta che la goccia sia attatta veso tot il basso alla foza i gavità con un acceleazione a F 9, m/s m m g E q' ' E N e g - e m m 99 Inizialmente la foza agente sulla paticella è pepenicolae alla sua taiettoia, quini l acceleazione è puamente tasvesale e tene a fala eviae All inteno i un conensatoe (ue piaste caiche paallele) il campo elettico è unifome e pepenicolae alle piaste e la sua intensità è legata alla ensità supeficiale i caica alla elazione E σ ε L acceleazione è unque a F, m/s m E q m σ q ε m Nella iezione paallela al campo la foza F E q è costante, quini pouce un moto unifomemente acceleato: S ( t ) a t',6 m Non appena la taiettoia ella paticella inizia a eviae, il campo elettico pouce un acceleazione anche tangenziale, pe cui la velocità (e quini anche l enegia cinetica) ella paticella aumenta Scomponeno la velocità totale nelle ue componenti paallela e pepenicolae al campo, peò, solo la pima aumenta, mente il valoe ella secona imane costante, uguale a quello iniziale Così v ( t ) v + v // v + a t e l enegia cinetica a t t vale K ( t t'' ) m v m( v + a t'' ),6 J Si pate al teoema i Gauss, che fonisce il flusso el campo elettico attaveso la supeficie i un conuttoe nota la Q sua caica supeficiale: Φ Sostitueno le efinizione i flusso (Φ E S) e ensità supeficiale i caica (Q s S) si ottiene e S E S σ σ, a cui E,7 N/C ε ε La foza pima el contatto ta le ue sfee è F k Q q Dopo il contatto la caica totale si istibuisce unifomemente ( 9 9 sulle ue sfee, pe cui il campo elettico isulta essee F k Q + q ) F k Q q Quest ultima elazione fonisce l equazione (i secono gao) cecata: Q q, a cui 8 8 ( Q + q) 9 Q Q 8 q 8 q + I ue possibili valoi el appoto Q/q sono e /, cioè una sfea ha il oppio ella caica ispetto all alta

Soluzioni con passaggi ei poblemi i livello te el volume All inizio la sfea C è neuta: q C Dopo essee stata messa a contatto con A, assume una caica q q q C A q Una volta caica, con il contatto con la sfea B assume la nuova caica q q q C + q B C B q In geneale la foza elettica ta ue copi caichi è escitta all espessione F k q q, pe cui si ha F k q A q B q k e F' k q A q B q k Il F appoto vale F' FBC 8 I meesimi passaggi si applicano al secono quesito: q B q C F q q 9 BC B La foza elettica agente ta le sfee è oizzontale e pe avee una situazione i equilibio eve essee bilanciata alla componente oizzontale ella tensione el filo: T F k q oiz E La tensione totale è quini T T ; T sin ( θ) tan ( θ),7 N, aveno fatto l appossimazione suggeita sin ( θ) ; tan ( θ ) l La componente veticale, invece, contobilancia la foza peso: T ve m g, a cui m Tve T ; 7 g g g, consieano come suggeito l appossimazione cos (q) ; C oiz oiz A Nella configuazione escitta, il sistema è in equilibio quano la foza elettica contobilancia esattamente la foza peso È sufficiente che siano uguali i mouli elle ue foze, in quanto giacciono sulla stessa etta Da q E m g si ha così E m g q σ ε Da cui E 7,8 N/C e s 6,9 nc/m Una volta che l elettone enta nel conensatoe, assume un moto unifomemente eceleato Data la velocità iniziale, la istanza massima che pecoe all inteno si ha quano la sua velocità si annulla, pe poi cambiae iezione: v (t t ) v a t, a cui t v La legge oaia el moto fonisce la istanza pecosa in questo intevallo tempoale: a s v t a t v a m e v max E e,6 mm, aveno sostituito a F E m E e L elettone così non iesce a aggiungee la e me E e piasta caica,che saebbe iuscito a aggiungee se avesse avuto una velocità iniziale v' 78 m/s, ottenuta inveteno la peceente elazione e imponeno s me max, mm 6 Applicano il teoema i Gauss, si tova che il campo elettico pootto a un filo caico è legato alla sua ensità i caica λ elettica: E ( ) A una istanza i, m il campo ha moulo E (, m),8 N/C π ε Le ue foze agenti sulla sfeetta el penolo sono la foza elettica (oizzontale) e la foza peso (veticale) All equilibio le componenti oizzontale e veticale ella tensione el filo bilanciano esattamente queste ue foze Vettoialmente si ha q E + m g + T, mente pe le ue componenti sepaatamente si ha T sin (q) q E e T cos (q) m g Non conosceno ancoa l angolo i inclinazione el penolo non è possibile calcolae i valoi elle singole componenti, ma si può icavae iettamente il moulo ella tensione totale: sin cos T T ( ( θ) + ( θ )) ( q E ) + ( m g ), N q E L angolo è icavabile al appoto ta le ue componenti ella tensione: θ actan 68 m g unità Unità Il potenziale e la capacità Il potenziale pootto a una caica elettica è invesamente popozionale alla istanza: V ( ) q,8 V π ε nel caso i, m Nel caso i, m, invece, il potenziale è V 9, V Il lavoo compiuto pe spostae la secona caica al pimo al secono punto è pai alla iffeenza i potenziale pe la caica i pova stessa: L Q DV 9, - J Notae che DV V - V < La iffeenza i potenziale ta ue punti el campo è efinita come il appoto ta il lavoo compiuto alla foza elettica pe L spostae una caica elettica i pova a un punto all alto e la caica stessa: inveteno si ha q DV,6-9 C

FISICA! Le egole el gioco Pe icavae invece l enegia cinetica, in assenza i alte foze a pate quella elettica, basta notae come tutta l enegia potenziale non può che tasfomasi in enegia cinetica, quini: DK L,8 - J Il poblema è facilmente affontabile a patie a consieazioni enegetiche, mente isulta auo isolvelo meiante le q Q leggi el moto Nell istante iniziale la caica in moto q possiee un enegia potenziale U ( ) ovuta al campo π ε elettico geneato alla caica Q e un enegia cinetica K m v ovuta al suo moto i avvicinamento Nel momento in cui q Q si fema e invete il suo moto, la sua enegia cinetica è nulla, mente l enegia potenziale è ata a U ( ' ) π ε ' Inicata con E l enegia meccanica totale posseuta alla paticella nella configuazione iniziale, inseeno i valoi numeici si ottiene: E U + K,6 J ( ) Pe il pincipio i consevazione ell enegia meccanica esseno U ( 9) E isulta q Q, C 9 π ε E π ε,6 J ( ) 6,9 m 6 Pe un conensatoe qualsiasi la capacità è efinita come il appoto ta la caica accumulata e la iffeenza i potenziale ta le amatue Nel caso i un conensatoe piano la capacità è legata ai paameti geometici el conensatoe alla elazione S C e Inveteno la efinizione si ha Q C DV e S DV,77-8 C L enegia immagazzinata a un conensatoe è popozionale al pootto ta caica e iffeenza i potenziale: U Q DV 8,8-6 J La ensità i enegia, invece, è misuata in unità i volume, che nel caso i un conensatoe piano è un semplice paallelepipeo: u U, J/m V U S 7 Collegano i ue conensatoi come escitto si ottengono ue conensatoi in paallelo, le cui capacità si sommano iettamente: C tot C + C La caica positiva e quella negativa si istibuiscono sulle ispettive amatue: Q tot Q + Q C V + C V, con Q,67 - C e Q, - C La iffeenza i potenziale opo il collegamento è quini: Q DV tot C tot tot 67 V 8 Con consieazioni analoghe a quelle poposte nel Poblema i Stategie i poblem solving a pagina 8 el volume, etta Q - la caica puntifome negativa e Q + quella positiva, inichiamo con x l ascissa i un punto a potenziale nullo supponeno che questo si tovi nel segmento compeso fa le ue caiche, a istanza x l a Q - e a istanza x a Q + Dall equazione Q Q+ + π ε x π ε ( x ) si icava Q, m, ( )( C) x,66 m Q + Q+, C +, C ( ) il che equivale a ie che, all inteno el segmento i congiunzione fa le ue caiche, il potenziale si annulla a una istanza alla caica positiva pai a (, -,66) m, m 6

Soluzioni con passaggi ei poblemi i livello te el volume In moo analogo, cecano un alto punto i ascissa x a potenziale nullo sulla esta i Q +, istante x a Q - e x - a Q +, si tova: a cui x Q Q + Q Q Q+ + π ε x π ε ( x ) +, m (, ( ) C), m, C +, C il che equivale a ie che il potenziale si annulla anche all esteno el segmento i congiunzione, a una istanza alla caica positiva pai a (, -,) m, m Con agionamento analogo, si tova che il campo elettico è nullo nel punto i ascissa x, istante x a Q- e x - a Q + : Q Q+ + π ε x π ε ( x ) equazione che isulta soisfatta, all esteno el segmento i congiunzione, a, m i istanza alla caica positiva S 9 Pima ell inseimento ella lasta, il conensatoe ha capacità C e Una volta inseita, la lasta si polaizza e il isultato finale è un sistema i ue conensatoi in seie: C' C + C, a cui C' C, ato che C C C Il singolo conensatoe ha capacità C ε h, quini in totale S C' C Non esta quini che calcolae la iffeenza i enegia immagazzinata nel conensatoe con o senza la lasta pe icavae il lavoo compiuto (o h estatto):, 6 J La lasta viene lettealmente isucchiata all inteno el con- Q L U' U C' ensatoe Q C Q C h unità 6 La coente elettica nei metalli 7 In un cicuito composto a sole esistenze in seie scoe ovunque la meesima coente È possibile icavala conosceno potenziale e esistenza i uno ei esistoi: i V R A La stessa coente scoe quini nel tezo esistoe, che issipa una potenza P R i, 7 W Il cicuito composto ai te esistoi in seie è equivalente a un cicuito con un solo esistoe i esistenza la somma elle singole esistenze: R R + R + R W Il potenziale ai suoi capi è unque V R i, V, che coincie con la foza elettomotice el geneatoe ieale Eliminano oa la pima esistenza, a paità i foza elettomotice la coente aumenta: i' V R + R A La nuova potenza issipata al tezo esistoe è così P9 R i9, 7 W L aumento in pecentuale è P P i' i % P i 8 Pima i tutto è necessaio calcolae la quantità i enegia ichiesta pe potae a ebollizione l acqua Una caloia è la quantità i enegia ichiesta pe innalzae i un gao la tempeatua i un gammo acqua e equivale a,87 J Nel caso in esame si eve innalzae i 8 la tempeatua i g i acqua, quini sono necessai E,87 m DT,7 MJ Doveno eogae questa enegia in minuti, è ichiesta una potenza P E 9, W t A causa elle peite i caloe, peò, questo è solo l 8% ella potenza ichiesta al esistoe, quini P P,8 6 W Un esistoe attavesato a coente sviluppa una potenza P R i V, pe cui inveteno la elazione si ottiene una esistenza R V R P W e, gazie alla legge i Ohm, una coente i V R, A 7

FISICA! Le egole el gioco unità 7 La conuzione elettica nei fluii e attaveso il vuoto 7 È necessaio applicae la legge i Faaay, calcolano la quantità i caica come pootto ella coente pe il tempo: m M i t, a cui i m z N A e z N e M t A Non è necessaio consieae i valoi elle costanti pesenti nell ultima fomula, peché R + R meiante la legge i Ohm si ha V (R + R) i (R + R) i, quini R + R i si eliono i Risolveno l equazione pe R si ottiene: R R i i i i m m t t R m m t t, W : nel appoto ta le coenti, tutte le costanti 8 Pe isponee al quesito è sufficiente applicae ue volte la legge i Faaay, pima pe calcolae la coente, poi il tempo Nella pima fase si ha i m O z N e O A Nella secona fase invece si ha t m z N e M Ag Ag A O mag zag Ag t O 67 s MO t O M i M m z Ag Ag O In questo caso è utile non calcolae i valoi intemei (come la coente), peché il più elle volte le costanti univesali si semplificano nell equazione finale O 9 Pima i tutto è necessaio icavae la massa totale el ame sufficiente alla copetua sfeica ichiesta: m Cu p h Cu 7,9 g Poi è sufficiente applicae la legge i Faaay pe icavae il tempo: t m Cu z Cu N A e Cu, h M i Cu unità 8 Il magnetismo µ i Ogni filo pecoso a coente pouce un campo magnetico B che agisce sull alto filo sottoponenolo a una π µ l i foza F i l B Mantenee il sistema in quiete significa intoue un campo magnetico esteno che contasti quello π pootto ai fili, quini uguale in moulo e opposto in veso ispetto a quest ultimo: µ i B, T π Il poblema ha una chiaa simmetia cilinica, pe cui l unico paameto geometico in gioco è la istanza all asse el cavo Si consieino sepaatamente te intevalli i : [, R i ], [R i, R e ], [R e, infinito] [, R i ] - Pe la legge i Biot-Savat si ha p B m i Ma all inteno el conuttoe la coente stessa a consieae ipene a : si suppone che sia istibuita unifomemente e si intouce quini la ensità i coente j i Pe ogni ciconfeenza i p R i aggio, quini, la coente concatenata è I ( ) j π i La legge i Ampèe R B I i π µ ( ) µ fonisce così i R i i il campo magnetico in funzione i : B( ) µ π R i [R i, R e ] - Pe ciconfeenze che contengono inteamente il filo inteno il campo magnetico è ato semplicemente al teoema i µ i Ampèe, consieano la sola coente intena: B π 8

Soluzioni con passaggi ei poblemi i livello te el volume [R e, infinito] - Pe il teoema i Ampèe, al campo magnetico esteno al cavo contibuiscono entambe le coenti, che sono peò uguali in moulo e opposte in veso, quini si eliono a vicena I cavi coassiali sono pogettati appositamente pe annullae i campi magnetici esiui pootti al passaggio ella coente Quini pe > R e si ha B Il campo complessivo ella bobina i Helmotz è la somma vettoiale ei campi magnetici pootti sepaatamente alle ue spie cicolai In entambi i casi nel punto centale el sistema il campo è ietto lungo l asse (x nella figua), nella iezione inicata alla feccia Stessa iezione e veso ha quini il campo complessivo Pe icavae il moulo è sufficiente applicae la µ i fomula B + x le ue facce ella spia ( ) e notae che la cooinata x enta solo con una potenza pai, pe cui c è una pefetta simmetia ta Il moulo el campo totale è quini la somma ei mouli ei singoli campi valutati in x : 8 B tot B x µ i 6 Un filo pecoso a coente pouce un campo magnetico attono a sé con simmetia cilinica: le linee i campo sono quini ciconfeenze centate sul filo La legge i Biot-Savat pemette i icavae l intensità el campo pootto ata la istanza al filo: µ i B( ) π Il punto P si tova a una istanza P + h cm a entambi i fili, pe cui il tiangolo giacente sul piano pepenicolae ai fili con vetici i ue fili e il punto P isulta equilateo Nel punto P i ue campi magnetici fomano quini un angolo i 6, che va peso in consieazione quano si calcola la somma vettoiale ei ue campi: B B + B B + B + B B cos 6 B + cos 6 6,9 P ( ) ( ( )) T, con B B B Ta i ue fili esiste una foza attattiva (la coente scoe in entambi nello stesso veso) ata alla legge i Ampèe: F µ i l 8, N/m π 7 Il passo i una taiettoia elicoiale si icava al pootto ella velocità tangenziale con il peioo i otazione La pima, ata l inclinazione el campo magnetico ispetto alla taiettoia i ingesso el potone, è v v cos v pa ( ) Il secono, p m p m v all espessione ella foza i Loentz, è T Il passo vale unque s v pa T, m e B e B 9 Nella figua, i cavi con il puntino osso (S, R, P) hanno una coente uscente al foglio, mente il cavo Q ce l ha entante Meiante la egola ella mano esta, il campo pootto a S è ietto veso R, quello i R veso Q, quello i Q veso R e quello i P veso S I campi geneati a R e a P nel cento el sistema sono uguali in moulo e contai in veso, quini si annullano I campi geneati a S e Q sono invece paalleli, quini è sufficiente sommane i mouli pe ottenee l intensità el campo totale, ietto veso R: µ B tot B 6, B + B D ( i B + i D ) T, π O con l O semiiagonale el quaato Un filo i coente posto al cento el quaato e paallelo agli alti è immeso in un campo magnetico ivolto veso R, pe cui è F soggetto a una foza ietta veso S con intensità tot, N/m l B i Le coenti sono tutte uguali in moulo e uscenti al foglio, quini la isposizione ei vettoi el campo magnetico nel punto centale O ha una pefetta simmetia centale: il campo totale in O è nullo Al cento i ogni lato, invece, si annullano a vicena i campi magnetici pootti ai ue estemi e contibuisce solo il campo pootto al filo opposto: B, µ i T π, con l altezza el tiangolo 9