Primo esonero del corso di Ottica con Laboratorio A.A. 2014-15 5 Novembre 2014 Grouchy espéré, Blücher survenant N. Esercizio 1 (4 punti): Un sottile fascio di luce incide su una faccia di una lastra di vetro crown (n=1,52). Calcolare per quali valori dell angolo di incidenza θ la luce arriva all altro estremo della lastra dopo essersi riflessa totalmente più volte sulle pareti della stessa. Con un disegno schematizzare il percorso del fascio di luce. Il problema è schematizzato dalla figura seguente. Strutturiamo il nostro ragionamento in questa maniera: cominciamo con lo scrivere una relazione pertinente alla domanda e poi proseguiamo a ritroso, fino a collegarci a grandezze note. Nel nostro caso, partiamo dalla riflessione totale; per ottenerla, dobbiamo essere in condizioni tali che sin α > 1 n Tuttavia, nei dati α non c è, quindi dobbiamo esprimerlo come funzione di grandezze che conosciamo. Per prima cosa, possiamo esprimere α in funzione dell angolo di rifrazione θ' grazie a delle semplici proprietà trigonometriche: sin α = sin θ = cos θ >. (1) Il secondo passo è quello di usare la legge di Snell per trovare θ' in funzione dell angolo di incidenza θ:
sin θ = "# (2) Adesso dobbiamo mettere insieme la condizione per la riflessione totale (1) con la legge di Snell (2). Con pochi passaggi arriviamo alla condizione: sin θ < n 1 = 1,14. (3) Siccome già di suo il seno è limitato superiormente a 1, questa condizione non introduce di fatto altri vincoli. Possiamo arrivare con qualsiasi angolo di incidenza e le condizioni per la riflessione totale saranno sempre soddisfatte. Esercizio 2 (4 punti): Il sodio ha due righe gialle di emissione molto vicine a 589,0nm e 589,6nm. Se si adopera uno spettroscopio con un prisma di vetro flint (n λ = 1,58 + "#$$, dove λ è espresso in nm), qual è l errore massimo tollerabile per risolvere le due righe? Il principio di funzionamento dello spettroscopio a prisma si basa sulla relazione tra angolo di deviazione minima e indice di rifrazione: n = "# "#, (1) dove possiamo prendere il caso del prisma equilatero α = 60. In pratica, associamo ad ogni valore della deviazione minima un dato valore dell indice di rifrazione. Per il nostro problema vogliamo invertire la relazione (2) e associare a ciascun indice di rifrazione il corrispondente angolo di deviazione minima: n = 2 sin = sin = sin x con x =
x = arcsin quindi, sostituendo l espressione per x: δ = 2 arcsin α (2) Dalla legge di Cauchy, troviamo i valori dei due indici di rifrazione: n = n(589nm) = 1.62007 n = n(589.6nm) = 1.61999 cui corrispondono gli angoli: δ = 48 11 54 δ = 48 11 26 Dobbiamo quindi poter distinguere gli angoli di deviazione minima meglio della differenza tra questi due angoli quindi: Δδ < δ δ = 28 Esiste un secondo modo per risolvere questo problema, se consideriamo che la differenza per angoli a lunghezze d onda così vicine sarà molto piccola. Quindi possiamo usare la formula per piccole variazioni che usiamo per la propagazione degli errori: n n ~ " " δ δ (3) Ribadiamo che nella (3) non stiamo calcolando un errore per propagazione, ma, siccome gli angoli sono piccoli, possiamo usare lo stesso ragionamento che facciamo per gli errori. Quale valore di δ usiamo nella derivata? In realtà, anche se a rigore dovremmo usare δ 1, numericamente cambia molto poco. La derivata è data da: " " = cos (4) Per trovarla possiamo o ricavare prima δ, oppure usare la relazione fondamentale tra seno e coseno:
cos θ + sin θ = 1 per qualsiasi angolo θ. Rielaborando (3) e (4), troviamo: n n = 1 (δ δ ) e da quest ultima formula, Δδ < δ δ = = 0.00014 rad (4) che sono circa 29 di grado. Ritroviamo, entro le approssimazioni, il risultato di prima. Il fatto che stavolta il risultato sia in radianti proviene dall uso della derivata, dove si fa implicitamente l ipotesi che gli angoli siano espressi in radianti. Se vogliamo, possiamo raffinare questa stima, considerando l errore dello strumento. In uno spettroscopio, l angolo di deviazione minima è calcolato come la differenza tra la direzione di zero N e quella su cui si osserva il fascio deviato N. Inoltre, la misura è presa con due goniometri e poi si fa la media. Abbiamo così che l angolo δ è dato da: δ = N N + N N 2 Siccome l errore di lettura è lo stesso per tutti gli angoli, troviamo che l errore su δ coincide con quello di lettura. Esercizio 3 (3 punti): In un esperimento di Young si osservano frange con densità N = 15 frange/cm quando si usa luce alla lunghezza d onda λ = 532nm. Quale sarà la densità se invece si usa luce infrarossa di lunghezza d onda λ = 1064nm? Nell esperimento di Young si osservano le frange a piccoli angoli. La condizione di massimo si scrive in generale
d sin θ = mλ, m = 0, ±1, ±2 (1) ma, nel nostro caso, possiamo approssimare sin θ ~θ~tan (θ). Con un disegno, possiamo vedere che la tangente è data dalla posizione y sullo schermo diviso la distanza L tra lo schermo e le due fenditure. Allora, avremo un massimo alla posizione (lineare, non angolare): d = mλ, m = 0, ±1, ±2 La formula ci dice che la distanza tra due massimi è λ L/d, quindi la densità di frange ne sarà il reciproco N = " Non abbiamo i dettagli di L e di d, ma non importa, perché possiamo vedere che il prodotto Nλ è una costante. Troviamo quindi che N λ = N λ ossia, la densità di frange con la luce infrarossa è la metà di quella con la luce verde: N = 7.5 frange/cm. Esercizio 4 (10 punti): Si vuole studiare il fenomeno della dispersione di una sorgente policromatica in acqua. Il metodo impiegato è quello di trovare l angolo limite corrispondente a ciascuna lunghezza d onda e da lì ricavare l indice di rifrazione, le cui misure restituiscono i seguenti valori: λ (nm) Δλ (nm) θ Δθ 460 1 48 15 1 530 1 48 26 1 590 2 48 31 1 700 3 48 39 1 a) Si calcolino, per ogni lunghezza d onda, i valori dell indice di rifrazione con il relativo errore e si riportino in un grafico. b) L andamento graficato di n(λ) è compatibile con quello atteso? c) Le variazioni di n(λ) osservate sono statisticamente significative?
d) Si individui inoltre la miglior retta passante per gli stessi dati di n(λ) e se ne calcolino i parametri con i relativi errori. L indice di rifrazione è legato all angolo limite θ lim dalla relazione sin θ "# = in cui, siccome n è funzione della lunghezza d onda, anche () θ lim sarà funzione di λ. La tabella con i valori di n è λ (nm) Δλ (nm) n Δn 460 1 1.3404 0.0003 530 1 1.3366 0.0003 590 2 1.3348 0.0003 700 3 1.3321 0.0003 con gli errori trovati per propagazione: Δn = "# "# "# "# Δθ "# dove Δθ "# deve essere espresso in radianti. Dai valori nella tabella otteniamo il grafico seguente: L andamento è ragionevole, siccome l indice decresce con la lunghezza d onda, come ci si attende dalla legge di Cauchy. Inoltre, possiamo verificare quando le differenze tra punti successivi sono superiori all errore. Per far questo, possiamo controllare che le differenze non siano zero entro l errore: mettiamo i dati in una tabella.
valore incertezza n(460)-n(530) 0.0038 2Δn = 0.0005 n(530)-n(590) 0.0017 0.0005 n(590)-n(700) 0.0027 0.0005 Il fattore 2 proviene dalla propagazione. L ultimo punto riguarda la linearizzazione dell andamento. Siccome la legge di Cauchy prevede un andamento del tipo n λ = A + B/λ, la linearizzazione opportuna è definire z = 1/λ e quindi n z = A + Bz. Gli errori su n chiaramente non cambiano, quelli su z si trovano per propagazione. Il grafico linearizzato è riportato sotto. I parametri del fit lineare sono A = 1.3259 ± 0.0003 e B = 3000 ± 100 nm, con R = 0.9979. Esercizio 5 (3 punti): Si individuino gli errori presenti nel grafico riportato qui sotto e si completi, dove mancano, le informazioni necessarie ad una corretta interpretazione dei dati.
Il grafico corretto, con le unità di misura e senza la linea spezzata tra i punti sperimentali è riportato qui sotto: Abbiamo inserito, inoltre, delle barre di errore per le grandezze in ascissa e in ordinata. Siccome il problema non le fornisce esplicitamente, le abbiamo riportate con grandezza arbitraria e solo per visibilità. Esercizio 6 (4 punti): Si tracci lo schema delle lenti del sistema cannocchiale-collimatore presente nello spettroscopio, secondo la costruzione dell ottica geometrica. Il sistema ottico dello spettroscopio è costituito da due elementi: un collimatore e un cannocchiale. Il collimatore serve, appunto, a collimare la luce proveniente dalla fenditura: nel linguaggio dell ottica geometrica, vogliamo che i raggi escano paralleli dalla lente L 0. Per questo, occorre che la fenditura sia nel fuoco della lente del collimatore.
Il cannocchiale è costituito da due lenti convergenti, L 1, l obiettivo (in buon italiano, si scrive con una sola b, secondo l origine latina) ed L 2, l oculare. Si fa in modo che il cannocchiale formi un immagine virtuale all infinito di un oggetto posto all infinito, come appare la fenditura attraverso la lente del collimatore. Lo schema finale è quello riportato qui sotto. Esercizio 7 (4 punti): In figura è riporta la posizione angolare dei massimi di un reticolo di diffrazione (m=1) in funzione della lunghezza d onda. a) Come può questo grafico essere impiegato per individuare le diverse emissioni di una lampada policromatica (spettrometro)? Δθ ( ) 40 35 30 25 20 15 10 400 600 800 λ (nm) b) Se si misura luce alla posizione 22,3 ± 0,1, la sorgente utilizzata è un laser HeNe (arancione), un laser Nd:YAG (verde) o un laser Ti:Zaffiro (infrarosso)? c) Osservando l andamento sperimentale si individui in quale intervallo di lunghezze d onda la calibrazione è più affidabile e perché.
In questo sistema, ad ogni posizione angolare (in y) corrisponde una lunghezza d onda (in x), quindi se conosciamo l angolo su cui emerge la luce, ne conosciamo anche la lunghezza d onda. Per una lampada policromatica, ci saranno più angoli di uscita, cui possiamo associare ciascuno una riga diversa dell emissione. Dal grafico, si deduce che la luce verde (a 532nm) esce ad un angolo di circa 17, mentre la luce infrarossa (oltre 800nm) esce a circa 28. È infatti la luce del laser HeNe (a 633nm) quella che esce all angolo indicato. Il nostro apparato, però non è così affidabile nell infrarosso: possiamo certamente usarlo per distinguere tra righe molto lontane, come nel punto sopra, ma non per avere una risoluzione molto fine. La calibrazione è più affidabile dal violetto (400nm) fino all arancione-rosso (circa 600-650nm), ossia finché le deviazioni tra la predizione e i punti sperimentali rimane all incirca pari all errore. Esercizio 8 (2 punti): E possibile che, risolvendo uno spettro con un reticolo di diffrazione, si osservi una riga viola tra le righe del rosso? Si giustifichi la risposta. Quando si osserva uno spettro con un reticolo, sono presenti tutti gli ordini. Può verificarsi che, se abbiamo una riga violetta di lunghezza d onda λ, e una riga rossa di lunghezza d onda λ ~2λ per esempio λ = 400nm e λ = 800nm avremo luce rossa alla posizione angolare: p sin θ = λ al primo ordine e luce viola alla posizione angolare p sin θ = 2λ = λ al secondo ordine. Però, per la relazione tra le lunghezze d onda, i due angoli coincidono: θ = θ. Nel caso generale, può accadere che alcune righe del violetto si mescolino a quelle del rosso e dell infrarosso. Per evitare che si verifichi questo problema, si adoperano dei filtri colorati che rimuovono la frazione dello spettro cui non si è interessati.