Corso d Sttstc (cle D) Dott.ss. Vcrd L CONCENTRZIONE Fssmo l ttezoe su crtter qutttv trsferbl. Rcordo che u crttere è trsferble se possmo mmgre che u utà poss cedere prte del crttere che possede d u ltr utà. Soo esemp d crttere trsferble: reddto, ftturto, umero ddett, udece televsv, clet. Soo esemp d crttere o trsferble: ltezz e peso. Suppomo per esempo d rlevre l reddto delle fmgle tle. C teress spere se l reddto complessvo è equdstrbuto tr le fmgle oppure se u gross prte dell mmotre complessvo del reddto è posseduto d u umero esguo d fmgle. Nel cso cu tutte le fmgle detego lo stesso mmotre d reddto, s prl d equdstrbuzoe; el cso cu tutto l reddto s posseduto d u sol fmgl metre tutte le ltre ho zero reddto, s prl d mssm cocetrzoe. Nell reltà c trovmo sempre stuzo termede e voglmo msurre l grdo d cocetrzoe del crttere ell ostr popolzoe. L mportz d u ls d questo tpo è soprttutto rfert llo studo dell povertà e qud cotu crtterzzrs per l su ttultà vsto che sembr llrgrs l dvro tr molto rcch e pover. L ls dell cocetrzoe è mportte che stud d tpo demogrfco. osso, d esempo, lzzre l dstrbuzoe degl tl egl oltre 8 comu dell zoe. I questo modo s può determre l grdo d cocetrzoe dell popolzoe elle grd cttà (ovvero studre l lvello d urbzzzoe spesso legto l tpo d ttvtà lvortv svolt dlle persoe). L ls dell cocetrzoe è che mportte termete ll zed. er u zed è mportte determre l lvello d rscho dell propr ttvtà. U tpo d rscho d teere sotto cotrollo è legto ll evetule cocetrzoe del suo ftturto per prodotto o per clete. L zed potrebbe, ftt, reders coto che l suo ftturto è fortemete legto ll vedt d u solo prodotto: quest cos l rederebbe rscho. Suppomo che l zed oper el settore tecologco. Il supermeto tecologco del prodotto d put porterebbe d u sere crs dell zed! er u zed è che rschoso vere u stuzoe cu l suo ftturto è legto poch grd clet. L perdt d uo d quest rdurrebbe, ftt, d molto l ftturto. er evtre stuzo d questo tpo, occorre lzzre se l ftturto è dovuto egul msur tutt prodott (coè se s h equdstrbuzoe) oppure se l suo ftturto derv gr msur dll vedt d poch prodott (cso d cocetrzoe).
Corso d Sttstc (cle D) Dott.ss. Vcrd ls sttstc dell cocetrzoe I geerle bbmo che u crttere è tto pù cocetrto quto mggore è l frzoe dell mmotre complessvo del crttere che spett ll frzoe d utà pù rcche. C spettmo che u dce che msur l cocetrzoe s ullo qudo l crttere è equdstrbuto tr tutte le utà; s mssmo qudo u sol utà detee tutto l mmotre del crttere. Cosdermo u dstrbuzoe per utà,,..., e suppomo che le so gà ordte modo o decrescete, coè tle che... - Idchmo co... l mmotre complessvo d crttere el collettvo. Idchmo co... j j l mmotre d crttere posseduto dlle utà pù povere, ovvero dlle prme utà sttstche (rcordte che le utà soo ordte dll pù pover ll pù rcc). Idchmo co l frzoe d mmotre del crttere, sull mmotre complessvo, posseduto dlle utà pù povere. ud Idchmo co l frzoe, sul totle delle utà, delle utà pù povere.
Corso d Sttstc (cle D) Dott.ss. Vcrd ud Cso d equdstrbuzoe Se l crttere è equdstrbuto, llor tutte le utà ho lo stesso mmotre d crttere, coè... - e qud volte ertto,,..., volte Cso d mssm cocetrzoe Se l crttere è mssmmete cocetrto, coè se le prme - utà o possedoo ull metre l -esm utà possede tutto l crttere,,,..., -, s h,,..., - Rcptoldo, fo d or bbmo trovto che,..., se... - sempre I tutt gl ltr cs, coè ssez d equdstrbuzoe e qudo, s h Dmostrzoe Cosdermo l ostr dstrbuzoe,,..., Sppmo che è ordt. Notmo che < 3
Corso d Sttstc (cle D) Dott.ss. Vcrd ) µ med de prm term dell dstrbuzoe. I ltre prole µ è l mmotre medo d crttere posseduto dlle utà pù povere. ) µ med d tutt term dell dstrbuzoe. I ltre prole µ è l mmotre medo d crttere posseduto dlle utà. Dl mometo che l dstrbuzoe è ordt s h (per l propretà d mooto dell med rtmetc) µ µ dove l sego d uguglz vle solo se... -. L ostr dmostrzoe rgurd l cso cu o c è equdstrbuzoe e qud che può essere scrtt µ < µ <. ttrverso u semplce operzoe lgebrc trovmo E qud < < * * * * * * * Dl mometo che,,..., solo se c è equdstrbuzoe e che ltrmet <,,,-, possmo pesre d msurre l cocetrzoe cofrotdo e. I prtcolre effettumo questo cofroto clcoldo le dffereze Ovvmete l cofroto h seso per og tre perché bbmo vsto che e qud Stetzzmo le dffereze,,..., -, clcoldo l loro somm ( ) che dchmo co C. C perché somm d quttà postve o ulle Se c è equdstrbuzoe llor per og e qud C 4
Corso d Sttstc (cle D) Dott.ss. Vcrd 5 Se c è mssm cocetrzoe llor,,..., - e qud C Ne cs termed C ssume vlor compres tr e, coè < < C U dce così clcolto o è d mmedt terpretzoe, vsto che e dobbmo clcolre l mssmo vlore ssumble el cso dell ostr dstrbuzoe. llor clcolmo l dce reltvo. I sostz dvdmo C per l suo mssmo che è. I questo modo s ottee l rpporto d cocetrzoe d G. ( ) g () Osservmo che ) ( erché sppmo che ) ( ) ( ertto l pporto d cocetrzoe d G s può che scrvere g ()
Corso d Sttstc (cle D) Dott.ss. Vcrd Esempo: cosdermo le se prcpl ret televsve tle. lzzmo se ell fsc orr,3, 3 queste ho vuto lo stesso umero d telespetttor oppure se solo u o due ret ho regstrto u forte scolto. I ltre prole cerchmo d scoprre se l crttere umero d telespetttor s è equdstrbuto tr le ret oppure è cocetrto u o due ret soltto. I dt soo seguet: RI RI RI 3 4 mlo 3 mlo 4 mlo Cle5 9 mlo Itl Rete4 mlo 3 mlo Il umero d utà è pr 6, 6. Ordmo le osservzo rspetto l crttere rspetto l crttere e clcolmo e. Rete TV Itl /6.7 /35.6 Rete4 3 /6.33 5 5/35.4 RI 3 3/6.5 8 8/35.3 RI 3 4 4/6.67 /35.34 Cle5 9 5/6.83 /35.6 RI 4 6/6 35 35/35 35 mmotre totle ( totle d spetttor) 5. 6. 4. 3. 34. 6. 37 g. 37. 548. 45 6 cò c port dre che c è u dscret cocetrzoe degl spetttor lcue ret TV. 6
Corso d Sttstc (cle D) Dott.ss. Vcrd Osservzoe: l dce d cocetrzoe che bbmo vsto è clcolble prtre d dt sotto form d dstrbuzoe per utà. ssmo d llustrre u ltro modo d msurre l cocetrzoe. uest metodolog può essere ust s per dt form d dstrbuzoe utr s per dt form d dstrbuzoe d frequeze. L CURV DI LORENZ Fo d or bbmo vsto che, u volt ordte modo o decrescete le ostre osservzo, ssocmo d og utà due umer: e. Rppresetmo grfcmete le coppe d put (, ). tl fe cosdermo l po crteso e pomo: - sull sse delle scsse - sull sse delle ordte bbmo vsto che. per og. per og Dsegmo l curv d Lorez (o spezzt d cocetrzoe) uedo put d coordte (, ), (, ),..., (, ) oché e bbmo che l puto d coordte (, ) è (, ) l puto d coordte (, ) è (, ) 7
Corso d Sttstc (cle D) Dott.ss. Vcrd Curv d Lorez dell'esempo delle ret TV (,) (.83,.6) (.67,.34) (.5,.3) (.33,.4) (.7,.6) (,).7.33.5.67.83 Spezzt d cocetrzoe Segmeto d equdstrbuzoe lcue propretà: Fgur ) l curv d Lorez è termete coteut el trgolo d estrem (,), (,) e (,). Cò è dovuto l ftto che. ) L curv d Lorez è o decrescete perché -. Vedmo l dmostrzoe: Il sego d uguglz vle solo se le prme osservzo soo ulle (coè se le prme utà o possedoo ull del crttere). ) L curv d Lorez è covess (coè h cremet o decrescet). Vedmo l dmostrzoe: Dobbmo dmostrre che ( ) ( - ). Seguedo l procedur vst sopr trovmo 8
Corso d Sttstc (cle D) Dott.ss. Vcrd ( ) ( ) perché le osservzo soo ordte modo o decrescete rspetto l crttere e qud. L uguglz vle solo se l utà e l utà possedoo lo stesso mmotre d crttere. Vedmo come è ftt l curv d Lorez e cs estrem Equdstrbuzoe. Nel cso d equdstrbuzoe bbmo vsto che per og. ud tutt put s trovo esttmete sull bsettrce del prmo qudrte. ertto l stuzoe d equdstrbuzoe s rppreset co l segmeto d equdstrbuzoe che usce l puto (,) co l puto (,). (s ved l le trtteggt ell fgur sopr) Mssm cocetrzoe. Rcordmo che c è mssm cocetrzoe qudo le prme utà del collettvo o possedoo ull e tutto l mmotre del crttere è posseduto dll -esm utà. Nell esempo delle ret televsve, suppoedo che tutte le ret (tre RI ) o bbo essu telespetttore, s h Curv d Lorez dell'esempo delle ret TV el cso teorco d mssm cocetrzoe Segmeto d equdstrbuzoe Curv d Lorez 9
Corso d Sttstc (cle D) Dott.ss. Vcrd Vedmo che l spezzt rme sempre pr e z crescere solo prtre dll 5 utà (coè, geerle, l ()-esm utà) perché le prme utà o possedoo ull e possede tutto l ultm utà. ud el cso d mssm cocetrzoe l curv d Lorez usce put d coordte (,), (,),..., ( -, ) e (,), coè cocde co l sse delle scsse fo ll utà e po rgguge l puto (,). Come leggere l grfco dell curv d Lorez? D quto vsto sopr s evce che l spezzt d cocetrzoe è: Tto pù vc l segmeto d equdstrbuzoe quto more è l cocetrzoe Tto pù lot dl segmeto d equdstrbuzoe (e qud pù vc ll sse delle scsse) quto mggore è l cocetrzoe. Osservzoe: dll Fgur vedmo che put d coordte C (,7,.6), C (.33,.4) e C 3 (.5,.3) soo llet. I prtcolre C e C 3 s rferscoo lle utà RI e Rete4 che ho lo stesso umero d telespetttor (coè preseto l stess modltà). Il ftto che C C e C 3 so llet c dc che per dsegre l trtto dell spezzt che v d C C 3, C o occorre perché gce esttmete su quel trtto d spezzt. ud per dsegre l spezzt possmo che cosderre l dstrbuzoe d frequeze (vece dell dstrbuzoe d utà) che è N telespetttor (F ) ( x ).7.6 3 ( x ).5 3 8.3 4 ( x 3 ).67 84.34 9 ( x 4 ).83 9.6 4 ( x 5 ) 435 6 I geerle per costrure l curv d Lorez o è ecessro determre tutt put (uo per og utà) m solo gl estrem de segmet le cu coordte s rcvo dll dstrbuzoe d frequeze. Dt u dstrbuzoe d frequeze x x x x k k
Corso d Sttstc (cle D) Dott.ss. Vcrd I put ecessr per costrure l curv d Lorez qud soo: - (,) - - (,) jx j j j,,..., k k j x prtre dll curv d Lorez è possble determre u dce d cocetrzoe. bbmo detto che, quto pù l curv d Lorez è lot dl segmeto d equdstrbuzoe, tto pù forte è l cocetrzoe. ud possmo predere come msur ssolut dell cocetrzoe l re compres tr l segmeto d equdstrbuzoe e l curv d Lorez. Come le gud bbmo che uto more è l re tr l segmeto d equdstrbuzoe e l curv d Lorez, tto more è l cocetrzoe uto mggore è l re tr l segmeto d equdstrbuzoe e l curv d Lorez, tto mggore è l cocetrzoe. Tormo l ostro esempo e cosdermo l su dstrbuzoe d frequeze (vst sopr) Curv d Lorez dell'esempo delle ret TV (,) S ( re d cocetrzoe) (,).7.5.67.83 Spezzt d cocetrzoe Segmeto d equdstrbuzoe
Corso d Sttstc (cle D) Dott.ss. Vcrd Dobbmo clcolre l re S per msurre l cocetrzoe. S è dett superfce d cocetrzoe (o re d cocetrzoe). S re (trgolo d vertc (,), (,), (,)) re sotto l curv d Lorez E mmedto osservre che: ud re (trgolo d vertc (,), (,), (,)) S re sotto l curv d Lorez Nel ostro esempo re sotto l curv d Lorez re (trgolo d vertc (,), (.7, ), (.7,.6)) re (trpezo d vertc (.7, ), (.5, ), (.5,.3), (.7,.6)) re (trpezo d vertc (.5, ), (.67, ), (.67,.34), (.5,.3)) re (trpezo d vertc (.67, ), (.83, ), (.83,.6), (.67,.34)) re (trpezo d vertc (.83, ), (,), (,), (.83,.6)) 3 4 ( )( ) ( )( ) 3 3 ( )( ) 4 4 3 ( )( ) 5 5 4 5 ( )( ), llor possmo scrvere che ( )( ). ud llor 5 re sotto l curv d Lorez ( )( ) 5 S ( )( )
Corso d Sttstc (cle D) Dott.ss. Vcrd uto bbmo vsto co l esempo (che h u dstrbuzoe d frequeze co 5 modltà) vle geerle. Dt u dstrbuzoe d frequeze, l superfce d cocetrzoe S è dt d k S ( )( ) Vedmo cs estrem Equdstrbuzoe S perché l spezzt cocde co l segmeto d equdstrbuzoe. Mssm cocetrzoe S ssume l suo vlore mssmo. S ved l grfco seguete reltvo l cso d mssm cocetrzoe; l curv d Lorez è pr zero fo ll utà - compres e po v cogugers l puto (,). (,) (,) - (-)/ Segmeto d equdstrbuzoe Curv d Lorez L re S è dt dll re del trgolo d vertc (,),, e (,). Clcolmo quest re, come sopr, per dfferez. mx(s) re (trgolo d vertc (,), (,), (,)) re (trgolo dvertc,, (,), (,)) 3
Corso d Sttstc (cle D) Dott.ss. Vcrd 4 U volt clcolto mx(s), possmo clcolre l dce reltvo dell cocetrzoe che dchmo co R mx( S) S R e qud ( )( ) ( )( ) k k R bbmo che R se c è equdstrbuzoe R se c è mssm cocetrzoe Not: qudo è molto grde llor. ud ( )( ) k R Osservzoe: s può dmostrre (o questo corso) che R g Esempo: clcolmo R ell esempo dell udece. N telespetttor - - - ( - - ) ( - ).7.6.7-.7.6.6. 3.5.3.5-.7.33.3.6.9.957 4.67.34.67-.5.7.34.3.57.969 9.83.6.83-.67.6.6.34.94.54 4 -.83.7.6.6.7 6.65 R 5 6 (.65).45
Corso d Sttstc (cle D) Dott.ss. Vcrd Cso delle dstrbuzo clss udo bbmo dstrbuzo clss e per og clsse s coosce l mmotre complessvo del crttere, s può fclmete s costrure l curv d Lorez s msurre l cocetrzoe medte l dce R. Ovvmete questo cso c è sottostte l potes che l mmotre del crttere d u clsse s equmete dstrbuto tr le utà che pprtegoo quell clsse. I ltre prole s ssume che le utà dell clsse posseggo lo stesso mmotre. L dce R s clcol ello stesso modo cu s clcol R per le dstrbuzo d frequeze. Esempo (d D Ccco-Borr): dstrbuzoe delle mprese per clss d ddett (dt mgl) Clss d ddett mmotre - - - ( - - ) ( - ) 43 78.3.7.3.7.3.74 3 9 636 845.6.944.68.4.9.6 9 3 35.98.768.36.386.499 49 43.4 8.995.9.5.678.5 5 99.8 88.7.5.9.96 837. 95.6.58 è molto grde ( 837.) qud R.58.498 5