ESERCIZI SUGLI INSIEMI NUMERICI ) Mettere in ordine crescente i seguenti numeri reali:,4; 2/7; 5/8; 0, ; 5/8; π; 2/7; 0,; 0 ; 0,00 0. Inserire poi nel precedente ordinamento i seguenti numeri reali: 2/5; 57/50; 0/6. 2) Mettere in ordine crescente i seguenti numeri reali: 2; 20/9; 6/7;, 4; 20/9;,44; 6/7; 0,04 0 2. Inserire poi nel precedente ordinamento i seguenti numeri reali: 2/4; /9; 707/500; 2. ) Dato un asse orientato e un unità di misura, dire qual è il numero reale c corrispondente al punto medio tra i punti di coordinate a = e b = 8 (e poi: a = 2 e b = ; a = 4 e b = ; a = π e b = 8. In formula c =...?). 4) Completare le seguenti uguaglianze: e quindi a β o a = β?... 2 (2) = 2 α α =..., (2 ) 2 = 2 β β =..., 5) Scrivere in forma diversa i seguenti numeri reali (a,b,c IR e a,b,c > 0): 72, 72, 80, 80, a 5 b 7 c 6, a 5 b 7 c 6, 4 a 7 b 5 c 22. [Esempio: 24 = 2 6] Come cambierebbero le espressioni precedenti se c fosse negativo? 6) Scrivere in forma diversa i seguenti numeri reali (a,b,c IR e a,b,c > 0): 72 2, 72 2, 44 4, 44 4, (a 5 b 7 c 6 ) 4, (a 5 b 7 c 6 ) 4, (a 7 b 5 c 22 ) 2 5. ( a b 4 c 2 5 ) 2 ( a, b 4c 2 ) 2.
[Esempio: 8 2 = 2 2( 2 ) 2 = 2 2] Si osservi inoltre che c 2 = (c 2 ) = (c ) 2 = c 4 6 = (c 6) 4 ma quest ultima uguaglianza perderebbe di significato se si prendesse c < 0. Per evitare confusioni useremo un esponente razionale solo se la base è positiva (infatti se c > 0, quindi c 0, potremo considerare come esponenti anche razionali negativi poiché si definisce c = /c cioè come l elemento inverso, e più in generale ad esempio c 2 = (c 2 ) ). 7) Visualizzare sull asse reale i seguenti insiemi e, se possibile, scriverli in forma più semplice (esempio: [, 5] ], 8[= [, 8[): ]2,π] [ 2,[; [,+ [ IZ ; ] 5, 5] ],+ [; ] 5, 5] ],+ [; [ 8,8] \ [ 2,π] 8) Dalle proprietà dei reali deriva la seguente proprietà (che indica come si comporta la relazione d ordine rispetto al prodotto): a, b, c IR, se a b e c 0 a c b c. Osserviamo inoltre che 2 < 2 2 = 4, > 2 = 9 e invece 2 > ( 2 )2 = 4, > ( )2 = 9, ecc.. Con l aiuto delle precedenti osservazioni, dopo averne completato l enunciato, dimostrare implicazioni della forma: (i) Se...a... a a 2 ; (ii) Se...a... a a 2. 9) Per ognuna delle seguenti implicazioni dire se è vera o falsa (giustificare la risposta utilizzando eventualmente la proprietà dei reali enunciata nell esercizio precedente): a < b a 2 < b 2, a, b IR, a < b a 2 < b 2, a, b 0, a < b a 2 < b 2, a, b 0. 0) (i) Scrivere un equazione di primo grado ax + b = 0 che abbia come radice un numero x naturale; (ii) Scrivere un equazione di primo grado ax + b = 0 che abbia come radice un numero x intero ma non naturale; 2
(iii) Scrivere un equazione di primo grado ax+b = 0 che abbia come radice un numero x razionale ma non intero; (iv) Scrivere un equazione di primo grado ax + b = 0 che abbia come radice un numero x irrazionale; ) Scrivere un equazione di secondo grado ax 2 + bx + c = 0 che abbia almeno una radice x del tipo richiesto in ciascuno dei punti dell esercizio precedente e esaminare a quale insieme numerico appartenga l altra radice. 2) Verificare che x = è soluzione dell equazione x 2 + 2x = x. Allora quale dei seguenti passaggi è scorretto e perchè? x 2 + 2x = x a) = x 2 + 2x + = x + b) (x + ) 2 = x + c) = x + = = d) x = 0 ) Scrivere in rappresentazione decimale la seguente uguaglianza Cosa se ne deduce? + 2 =. 4) Ricordando che nei reali valgono in particolare le seguenti proprietà: (i) Esiste l elemento neutro rispetto alla somma 0 (cioè a IR a + 0 = a), (ii) Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma (cioè a, b, c IR (a + b) c = a c + b c), dimostrare che (i) e (ii) implicano la seguente proprietà: a IR a 0 = 0
ESERCIZI su PRODOTTI NOTEVOLI e POLINOMI ) Scrivere un polinomio che abbia tutte e sole le seguenti radici semplici: ±/2, ±2. Ce ne sono altri? Scriverne uno che, oltre alle precedenti radici abbia anche la radice semplice 0. Scriverne uno che abbia una radice semplice, una con molteplicità 2 e una con molteplicità. 2) Dato il polinomio di 2 o grado p(x) := 2 x x 2, determinare il vertice e l asse di simmetria della parabola che ne è il grafico, le sue radici (se esistono nei reali) e dire se nell insieme {y = p(x) : x IR} esista un minimo o un massimo. Ripetere l esercizio per i seguenti polinomi: 5x 2 2x + ; x 2 + 2x ; x 4 x 2. ) Esistono infiniti polinomi di 2 o grado aventi come radici x = 2 e x = 5. Scrivere tali polinomi (in dipendenza da un parametro) e ripetere l analisi effettuata nell esercizio precedente, discutendo quali elementi dipendano dal valore del parametro e quali no. 4) Determinare il polinomio di 2 o grado il cui grafico passi per i punti (,) e (2,8) ed abbia come asse di simmetria l asse x = 4. 5) Sia A il punto di incontro tra la retta y = 2x 4 e la bisettrice del primo e terzo quadrante (retta y = x). Determinare la retta passante per A e per il vertice della parabola passante per A, per B = ( 2,0) e per l origine. 6) Utilizzare i prodotti notevoli per scrivere diversamente le seguenti espressioni: x 4, x 4 4, x 5, 2x 5 +. 7)Calcolare 99 trasformandolo in una semplice somma algebrica con la formula del cubo, essendo 99 = (00 ). 8) Scomporre i seguenti polinomi nel prodotto di polinomi di primo o, se necessario, di secondo grado (a coefficienti reali): 2x x 2 7x + 6, x + x + 2, 2x + x 2 x 6, 2x + 4x 2 x, 2x 2x 2 + x, 2x 4 x 2 2, 2x 6 5x 8. 9) Dopo aver effettuato una divisione tra polinomi, scrivere diversamente il seguente rapporto: 2x + x 2 x + x 2 4, (x 2).
Ripetere l esercizio per i rapporti che seguono (per x...): x 4 x x 2 + x 2x 2 + x, 5x x 2 x 2 2x 2, x 4 + x 2 2x +, x x 2 + x. 0) Dire se il polinomio 2x +x 2 x 2 è divisibile per il polinomio x 2 +x 2 (quindi se la divisione ha resto nullo), senza effettuare la divisione stessa. Ripetere l esercizio considerando come primo polinomio x x 2 x + e poi le coppie: x x 2 x 2 e x 2 4; x + x 2 4x 2 e x 2 + x 6. ) Fattorizzare i seguenti polinomi: x +2x 2 +2x+; 2x 4 5x +5x 2; x 2x 2 + 2x ; 2x 5 x 4 25x + 25x 2 + x 2. Si osservi che polinomi del tipo ax + bx 2 + bx + a hanno sempre la radice x =, e polinomi del tipo ax +bx 2 bx a hanno sempre la radice x = +. Inoltre si osservi che se x è una radice, anche /x lo è (qui supponiamo a 0, quindi anche le radici sono non nulle). Analogo discorso vale per polinomi di grado maggiore dispari. 2) Fattorizzare i seguenti polinomi: 6x 4 x + x 6, 4x 4 + 7x 7x 4. Si osservi che polinomi del tipo ax 4 +bx bx a (con coefficiente nullo per il coefficiente del termine di grado 2) hanno sempre le radici x = ±. Inoltre si osservi che se x è una radice, anche /x lo è (qui supponiamo a 0, quindi anche le radici sono non nulle). Analogo discorso vale per polinomi di grado maggiore pari. 5