4 - RASFORMAZIONI DI VARIABILI CASUALI 4 rsformzioni i vriili suli Cominimo un esempio Si l vriile sule lnio i un o non truto : / / / 4 / 5 / / e g() si l orrisponenz: pri test ispri roe Poihé g()g(4)g()test e g()g()g(5)roe, si ostruise l nuov vriile sule: test roe Y / / / / / / / / Questo proeimento è generlizzile l so ontinuo Si inizi ll trsformzione ell funzione ensità i proilità un imensione Si pone per efinizione: p ( A ) p( ) (4) A ove A e A sono ue insiemi he si orrisponono seono l seguente legge i trsformzione g(), per ui : A g(a ) (4)
4 rsformzioni i vriili suli Si osservi l figur seguente e si ipotizzi l funzione i trsformzione monoton resente oltre he ifferenziile: Figur rsformzione i ensità i proilità in onseguenz ell trsformzione g() sull v p( ) p( ) (4) e quini si ottiene: f () f() (44) Per l ipotesi i ifferenziilità ell funzione i trsformzione, si può srivere: e, onseguentemente, si ottiene: g'() (45) f ()g'() f () f() f () (4) g'() Se l funzione è eresente, l formul ivent: f () f() (47)
4 rsformzioni i vriili suli Esempio Si t un vriile sule on funzione ensità i proilità: f() e ( 0) Si er l funzione ensità i proilità f() i un nuov vriile sule, ottenut ll preeente seono l relzione on 0 Si ppli l formul ppen stuit: f() f () g'() Poihé se mentre, llor, l ensità i proilità f() ivent g '() ivent, sihé: f() e, f () e 0 Nell figur he segue si può osservre l rppresentzione grfi i f () e e i f () e 7
4 rsformzioni i vriili suli 4 eorem ell mei Si onsieri l funzione i trsformzione e l relzione he efinise l trsformzione elle funzioni i ensità i proilità, e si pplihi l efinizione i mei: f() E[ ] f() g() g'() E[ g() ] g() (48) g'() le iseguglinz è vli sempre eetto he nel so linere Corollrio L operzione ell mei è un operzione linere Inftti se: (49) llor: f () f () ( ) f() f() (40) le relzione imostr he l mei è un operzione linere, ioè l mei ell vriile sule trsformt è pri ll funzione ell mei ell vriile sule originri Corollrio Sotto eterminte ipotesi, si può linerizzre l funzione e ottenere un formul pprossimt : Inftti: g() (4) g() g'()( ) θ() (4) f () f () g'() ( g() g'()( ) ) g'() g()f () g'()( )f() g() f() g'() ( )f() g() (4) in qunto f () (onizione i normlizzzione) e inoltre ( )f () 0, poihé l mei egli srti rispetto ll mei vle zero Le ipotesi ottte sono he l funzione ensità i proilità si onentrt in un eterminto intervllo, per esempio nell intervllo intorno ll mei, e he in quel intervllo, l funzione g() i un nmento regolre per rgioni i sempliità i srittur l mei viene qui init on invee he on µ
4 rsformzioni i vriili suli 4 Legge i propgzione ell vrinz Si onsierino le relzioni i trsformzione linere e linerizzt: (44) g() g'()( ) θ() (45) Si utilizzi l relzione linerizzt: f () ( ) f() (g() g'()( )) g'() ) g'() [ g'() ] ( ) f () [ g'( ] (4) Utilizzno l espressione linere si ottiene ovvimente: (47) Esempio Dt l vriile sule isret: / / 0 e l nuov vriile sule, si vluti se si può pplire l formul pprossimt per l mei In primo luogo si ostruis l nuov vriile sule : Y - - - 0 0 0 L nuov istriuzione i proilità è: Y / (/ 0 ) Si lol or l mei i : µ 75
4 rsformzioni i vriili suli Si lol l mei utilizzno l istriuzione i Y: µ Si utilizzi il teorem ell mei: µ E { g() } ( 4) ( ) ( 0) ( ) Il vlore, ome previsto l teorem, orrispone quello estto, ottenuto ll pplizione ell opertore E ll funzione, E() Si lol infine µ on l uso ell formul pprossimt: µ g( µ ) µ Il vlore, in questo so, non orrispone quello lolto in preeenz Si osserv inftti he l funzione g() non è vriile lentmente nell intervllo i efinizione elle, quini non esistono neppure le onizioni per l linerizzzione intorno µ 5 44 Legge i propgzione ell ovrinz Si oper un generlizzzione el risultto preeente, supponeno si t un trsformzione el tipo: YG(), (48) in ui G ini un vettore i trsformzioni e Y un vettore i trsformte: Y m g ( g( g ( m m m m ) ) ) (49) e in ui, per ipotesi, l imensione i si ugule quell i Y e inoltre l trsformzione si tle he il eterminnte ello oino si iverso zero (trsformzione regolre)
4 rsformzioni i vriili suli Nel so i trsformzioni regolri è efiniile l trsformzione invers G - (Y); inoltre per il eorem i Conservzione elle Proilità Elementri: f ( ) V f( ) V (40) Si s inoltre he, ome nel so monoimensionle, se g(), llor g'() e ioè orrispone un elemento infinitesimo /, osì nel so n imensioni, V orrispone il prootto tr il eterminnte joino e V, per noti teoremi i Anlisi, sihé: V f ( ) et f et ( ) ( ) [ ( ) ] V (4) Ci si hiee ome si istriuito il vettore Y, onoseno l istriuzione el vettore Sussiste il eorem ell Mei per vriili usli n imensioni: E [ Y] E[ G( ) ] (4) Oltre ll mei, si possono efinire i momenti i un vriile sule n imensioni, si possono efinire i momenti entrli, ioè quelli rispetto ll vriile srto, e tr i vri momenti sono importnti quelli el seono orine: ik [( µ )( )] E µ (4) i I oeffiienti vengono etti oeffiienti i ovrinz Ovvimente si può utilizzre l espressione mtriile: i i [ ] E{ [( µ )( µ )]} E ( µ )( ) ik i i k k i [ ] C µ (44) in ui C è l osiett mtrie i vrinz ovrinz Si introu il vettore ei resiui: Si ipotizz he il sistem elle trsformzioni si linerizzile: V Y Y (45) ( ) ( ) ( ) θ( ) G( ) ( ) ( ) G( ) ( ) ( ) G( ) ( ) ( ) Y G (4) V Y (47) in ui ( ) ini l mtrie join lolt on i vlori mei el vettore 77
4 rsformzioni i vriili suli Applino l opertore E, i singoli elementi el vettore resiui, si può ottenere l mtrie i vrinz ovrinz: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) C V E V E E V E V C (48) Se il sistem i trsformzione è linere, si ottiene: B A Y ( ) A ( ) A YY A AC C (49) Si i, titolo i esempio, l seguente trsformzione: v u he in form mtriile orrispone : v u Risult llor YA, in ui: A A C e quini: C v uv uv u Poneno e ±, e onsierno solmente per esempio l vrinz i u, si ottiene l legge i propgzione per l somm e l ifferenz: u ± (40)
4 rsformzioni i vriili suli Si osservi or l ovrinz tr le vriili u e v: uv ( ) (4) L ovrinz è ivers zero, nhe qulor l si ugule zero: iò signifi he nhe operno esperimenti inipenenti he fornisono e, non è etto he i risultti ottenuti essi trmite erte leggi risultino inipenenti, meno he non si utilizzino trsformzioni ortogonli he onservino le inipenenze Spesso è importnte propgre l vrinz i un sol osservzione, etermint inirettmente on svrite misure inirette: si trtt ell osiett Legge i propgzione egli errori Esempio Di un punto P sono misurte l istnz ll origine e l nomli θ θ P O Le misure sono inipenenti e vlgono: km±mm θπ/±0 - r Si vogliono eterminre l mei e l mtrie i vrinz-ovrinz elle oorinte el punto P, e Inihimo on: Y, θ L mtrie i vrinz-ovrinz elle misure è, per ipotesi: C 0 0 0 0 40 θ 79
4 rsformzioni i vriili suli L relzione tr e Y vle: osθ Y G() sinθ Dto he l è onentrt intorno ll mei, si può usre il orollrio el eorem ell Mei: os θ 805 mm Y G() sin θ 500000 mm Inoltre si loli lo oino i Y rispetto : Ι µ os θ sinθ sinθ os θ 0,8 0,500 0 0 0,500 0,8 e si pplihi l Legge i Propgzione ell Covrinz:,750,99,99,50 0 0,8 0,500 C Y 0,8 0 0,500 0,500 0 0,8 0 40 0 0,500 0 Y Y 0,8 Si noti he l ovrinz i e θ è null, mentre l ovrinz tr e Y è ivers zero: nhe se per ipotesi le misure sono stostimente inipenenti, iò non è vero per le oorinte el punto P, ome er file immginre