Uverstà degl stud d Cglr Corso d Lur Speclstc Igeger Elettrc ed Elettroc ESIN DI CLCOLO NUMERICO Oggetto: NLISI DEI MEODI DI RISOLUZIONE DEI SISEMI LINERI Docete Studet GIUSEPPE RODRIGUEZ ROBERO SECI mtr 36 MURO SNNIS mtr 35793
es d Clcolo Numerco Itroduzoe 3 Sstem ler perturbt 3 Metod drett 4 Metodo d Guss 4 lgortmo d Guss co Pvotg totle 5 Metodo d ouseholder 6 lgortmo d ouseholder 9 Mtrce d ouseholder 9 3 Metodo d Gves 3 lgortmo d Gves 3 Coeffcet d Gves 3 Metod Itertv 3 3 Metodo d Jcob 4 3 lgortmo d Jcob 4 3 Metodo d Guss-Sedel 5 3 lgortmo d Guss-Sedel 6 4 Smulzo 7 4 Metod drett 7 4 Mtrc rdom co dmesoe vrble 7 4 Mtrc d lbert 9 4 Metod tertv 4 Mtrc dgolmete domt d dmesoe 4 Mtrc dgolmete domt co f5 RSech, MSs
es d Clcolo Numerco Itroduzoe Nel seguete elborto vegoo lzzt dvers metod d rsoluzoe de sstem ler L ls vlut gl error commess ell rsoluzoe medte l utlzzo d metod drett e tertv, e l tempo mpegto d cscu lgortmo per l clcolo dell soluzoe Verro rportt oltre grfc otteut medte l utlzzo del softwre Mtlb, e qul s evdezo le dffereze tr le soluzo degl lgortm mplemett Sstem ler perturbt S cosder u sstem lere δ δ b δb b perturbto s e dt che e term ot: L eccessv perturbzoe dell mtrce potrebbe rederl sgolre, pertto s h u vcolo sul δ : δ < Il codzometo del sstem el cso pù geerle è: δ K δ K δ δb b Co l presez d δ l codzometo peggor Per rsolvere sstem ler perturbt esstoo dvers metod d rsoluzoe: - drett - tertv I metod drett lzzt quest tes soo quello d Guss, d ouseholder e d Gves, metre metod tertv lzzt soo quell d Jcob e d Guss-Sedel RSech, MSs 3
es d Clcolo Numerco RSech, MSs 4 Metod drett Metodo d Guss Il metodo d Guss cosete d trsformre u geerco sstem lere b u sstem trgolre superore d esso equvlete, che può essere rsolto co l lgortmo d sosttuzoe ll detro L lgortmo d Guss è pplcble solo se tutt gl elemet pvot per,, rsulto essere o ull Questo è vero per mtrc smmetrche defte postve o dgolmete domt o sgolr, m o per tutte le mtrc vertbl Iftt s può dmostrre che se è o sgolre, esste l psso lmeo u dce l compreso tr ed tle che l Srà qud suffcete permutre le rghe ed l per evtre che l lgortmo s blocch I u geerco psso dell lgortmo d Guss l mtrce elemetre d Guss è strutturt questo modo: e m I M,, m m M L mtrce elemetre d Guss M moltplct per costtusce l psso -esmo dell lgortmo d Guss: M lsc vrte tutte le prme rghe dell mtrce, le successve le sottre trmte u opportuo coeffcete che vr per og rg dll -esm ll -esm Esprmedo come u vettore colo cu elemet soo de vettor rg:,,, m m M M,,
es d Clcolo Numerco Se l posto de coeffcet m, geerlzzzoe dell lgortmo d Guss s sosttuscoo coeffcet m, s ottee l Prededo cosderzoe tutte le - mtrc elemetr d Guss l loro prodotto è u mtrce trgolre ferore: U M M M U L L U M cò sgfc che l lgortmo d Guss mmette u fttorzzzoe LU, qud U c Per l codzometo del sstem vle K U 4 K, b dvet questo geerle cresce, m co l potes d pplcre l pvotg, o v oltre l vlore dettto dll precedete mggorzoe Qulor K U fosse propro pr 4 K srebbe u dsstro, duque l pvotg s pplc sempre che perché pplcre Guss sez pvotg o d rsultt ttedbl L fttorzzzoe LU o è dtt problem ml codzot Nell lgortmo d Guss co pvotg totle: - pplcre l pvotg può ccrescere l stbltà umerc, le due strtege d pvotg przle e totle producoo rsultt sostzlmete equvlet; - l pvotg totle è cosglto qudo l lgortmo d Guss è pplcto sstem d grd dmeso D seguto vee rportto l lgortmo utlzzto per le smulzo effettute su Mtlb: lgortmo d Guss co Pvotg totle fucto [t,q,,b]gusssim,b legthb; q[:]; tc for :- % Loclzzzoe m mtrce dce rg vv dce colo v [v,v]mbs:,:; [u,v]mv; % Scmbo rghe e term ot permvv-,:; vv-,:,:;,:perm; bpermbvv-; bvv-b; RSech, MSs 5
es d Clcolo Numerco bbperm; % Scmbo coloe e memorzzzoe scmb perm:,v-; :,v-:,; :,perm; qpermqv-; qv-q; qqperm; % lgortmo d Guss m; for : m,/,; for :,,-m*,; ed,; bb-m*b; ed ed ttoc; ; bb; Metodo d ouseholder Esstoo cs cu l fttorzzzoe LU o s può utlzzre mtrc sgolr, rettgolr o è preferble o usre come el cso d sstem ml codzot I quest cs s utlzz u ltro tpo d fttorzzzoe: l fttorzzzoe QR che trsform u sstem lere u uo trgolre superore d esso equvlete L fodmetle dfferez co l fttorzzzoe LU è che l uovo sstem è dotto dello stesso umero d codzometo del sstem orgle Nel presete documeto verro lzzt dvers metod che permettoo d otteere u fttorzzzoe QR: - ouseholder - Gves Il metodo d ouseholder è l pù fmoso ed è che l mglore, ftt cofrotdo l complesstà dell lgortmo d Guss co l complesstà de metod d fttorzzzoe QR, s h: Metodo Orde Guss ouseholder Gves 3 O 3 3 O 3 3 O 4 3 RSech, MSs 6
es d Clcolo Numerco Noostte l lgortmo d ouseholder bb complesstà superore Guss, come gà cceto precedetemete, l vtggo ell utlzzrlo s evdez term d codzometo Il sstem b, seguto dell fttorzzzoe QR dvet Qy b R y e per l suo codzometo s può scrvere K R K Nell lzzre l mtrce elemetre d ouseholder s ot l stess costruzoe dell mtrce elemetre d Guss I w w co w R, w L dfferez co quest ultm cosste ell vldtà delle seguet propretà: è smmetrc I è ortogole È possble determre l vettore w tle che s: e dove è u vettore dto gresso, è u costte coc d R Per le propretà d è possble scrvere: σ e e per l potes d w, pplcdo l defzoe d, s trov l vettore w: e e w w e Medte opportu pssgg s ottee: e σ σ R ed e è l prmo versore dell bse Noto l vettore w s può costrure l mtrce d ouseholder I reltà l mtrce può essere ust sez essere clcolt, serve soltto per essere moltplct de vettor, o s tee qud memor; cò che s coserv è soltto l vettore w, questo rede l lgortmo veloce pplcdo l metodo d ouseholder s moltplc l mtrce per u scrtt quest form: [ ], cu elemet soo vettor colo l psso s h: : e RSech, MSs 7
es d Clcolo Numerco RSech, MSs 8 [ ] e v l secodo psso s vogloo mettere degl zer ell colo d sez però lterre l resto dell mtrce gà modfct Il trucco è pssre zché ll colo d, pssre ll d e orlre l mtrce che ssumerà quest form: 3 v v vrà u colo d zer 3 3 3 3 l psso -esmo dell lgortmo s h: I I fe s rrv ll ultmo psso per -, dove l mtrce è u mtrce trgolre superore: R l prodotto Q è u prodotto tr mtrc ortogol Moltplcdo per Q etrmb membr s ottee: QR che è propro l fttorzzzoe QR cerct D seguto vegoo rportt gl lgortm utlzzt per le smulzo effettute su Mtlb: l prmo è l lgortmo d ouseholder; l secodo è l lgortmo per l costruzoe dell mtrce d ouseholder
es d Clcolo Numerco lgortmo d ouseholder fucto [t,q,r]ousesim,b % Esegue l fttorzzzoe QR d u mtrce fort gresso legthb; Qeye; tc ouseholder:,; *; QQ*; for :- orlouseholder:,; [eye-,zeros-,-;zeros-,-,orl]; *; QQ*; ed ttoc; R; Mtrce d ouseholder fucto orltouseholder; sgmorm,; -sg*sgm; betsgm*sgmbs; v-*eyesze,,; /bet*v*v'; orlteyesze,-; RSech, MSs 9
es d Clcolo Numerco RSech, MSs 3 Metodo d Gves Il metodo d Gves è u ltro metodo che permette d otteere l fttorzzzoe QR dfferez del metodo d ouseholder, che utlzz u mtrce d rflessoe, quello d Gves e utlzz u d rotzoe p su R ftt questo modo: - mtrce elemetre d Gves dmesoe R c s s c G Essezlmete è u mtrce dettà co due rghe dverse: l rg e l rg I coeffcet dell mtrce godoo dell seguete propretà: s c L operzoe elemetre che compe su u vettore è quell d cmbre due compoet c s s c c s s c G y L obettvo è ullre selettvmete l compoete -esm e modfcre u ltr, lscdo le restt vrte: y s c c s questo modo s rcvo coeffcet c ed s s c soo smmetrc Esste u modo per ottmzzre l stbltà: se < t : e rcvo c d s se > t : e rcvo s d c
es d Clcolo Numerco L mtrce elemetre G vee moltplct sstemtcmete per l mtrce d prtez modo d otteere elemet ull el trgolo ferore d È essezle procedere orde: prtre dll prm rg dell prm colo, s us l prmo elemeto per cmbre l secodo, l prmo per cmbre l terzo fo d ver ftto comprre lo zero ell ultm rg dell prm colo successvmete s pss ll secod colo, l mtrce G gsce che sull prm, m gsce su due zer S fo tte mtrc G per tutt gl elemet del trgolo ferore d : G, G3, G3,4 G, G,3 G, G, R m G, G3, G3,4 G, G,3 G, G, Q e moltplcdo etrmb term per Q s h: QR Il umero d moltplczo è pr 3 4, mggore rspetto l umero d operzo svolte 3 dll lgortmo d ouseholder, m l vtggo s ot qudo l mtrce d prtez è sprs, ftt o servoo le G degl elemet ull pplcdo l lgortmo d Gves mer opportu, s può rrvre rdurre l complesstà modo sostzle, co mtrc sprse o strutturte D seguto vegoo rportt gl lgortm utlzzt per le smulzo effettute su Mtlb: l prmo è l lgortmo d Gves; l secodo è l lgortmo per l clcolo de coeffcet dell mtrce elemetre d Gves 3 lgortmo d Gves fucto [t,rg,c,s]gvessim,b % Esegue l fttorzzzoe QR d u mtrce fort gresso legthb; tc for : for : [c,s]givro,,,; for : tc*,s*,;,-s*,c*,;,t; ed C,c; S,s; ed ed ttoc; RSech, MSs
es d Clcolo Numerco RG; fucto QGGVMtrceQC,S,b % Geer l mtrce Q co coeffcet recupert dlle mtrc C ed S legthb; QGeye; for : for : G eye; G, C,; G, C,; G, -S,; G, S,; QG QG*G; ed ed 3 Coeffcet d Gves fucto [c,s]givro,; f c; s; elsefbs>bs t/; zsqrtt^; s/z; ct*s; else t/; zsqrtt^; c/z; st*c; ed RSech, MSs
es d Clcolo Numerco 3 Metod Itertv I metod tertv per l rsoluzoe d u sstem lere b geero, prtre d u vettore zle, u successoe d vettor,,,che sotto opportue potes coverge ll soluzoe del problem dfferez de metod drett che modfco l mtrce del sstem, quell tertv o rchedoo u su modfc e emmeo l su effettv memorzzzoe, è solo ecessro poter ccedere qulche modo suo elemet Rsultto: u coveez per mtrc d grd dmeso, speclmete se strutturte o sprse Ne metod tertv gl error spermetl e d rrotodmeto s ggugoo gl error d trocmeto, dervt dl ftto che l lmte cercto deve essere ecessrmete pprossmto trocdo l successoe per u dce suffcetemete grde Ife, è possble rdurre d molto l tempo d elborzoe, eseguedo u mor umero d terzo que cs cu o s rchest u elevt ccurtezz modfcdo l crtero d rresto I metod che verro lzzt questo documeto soo Jcob e Guss-Sedel Co metod ler stzor del orde b B f D seguto soo rportte lcue defzo utl eret l metodo esme Per covergez d u metodo s tede: e s h l rsoluzoe del sstem lere l metodo è globlmete covergete l tedere d, defzoe d Cuchy Per cosstez d u metodo s tede: se l metodo rrv ll soluzoe, rme l U metodo può essere cosstete m o covergere: mplc l cosstez L o cosstez mplc l o covergez ; vcevers l covergez L covergez del metodo tertvo dpede esclusvmete dll scelt dell mtrce B: - h U metodo coverge se u qulss orm cosdert s h: B < - h CNS perché u metodo coverg è che l rggo spettrle d B: ρ B < U strteg per costrure metod tertv ler è quell d scomporre l mtrce del sstem b tre mtrc: RSech, MSs 3
es d Clcolo Numerco D E F,,,,,, P N co det P P N b P N b questo po s trsform rbtrrmete u metodo tertvo: P N P b che è pr B f S può scrvere che l metodo coverge se ρ P N <, oltre l metodo è scurmete cosstete perché se s poe s rtrov l defzoe vst precedetemete 3 Metodo d Jcob Il metodo d Jcob poe: P D N E F d cu s h: che espresso coordte dvet: D E F D b b,,, Quest formul permette d clcolre le compoet d prtre d quelle d orde e dpedetemete l u dll ltr Il metodo d Jcob è prllelzzble D seguto vee rportto l lgortmo utlzzto per le smulzo effettute su Mtlb: 3 lgortmo d Jcob fucto [,t]jcobottmzzto,b % JCOBI,b: Clcol l soluzoe del sstem % b, usdo l metodo tertvo d Jcob % Estre l dgole prcple d dddg; % Costrusce l mtrce dgole come mtrce sprs legth; ddspdgsdd,,,; % Us b come stm zle vecchob; qulss RSech, MSs 4
es d Clcolo Numerco % Stm del umero mssmo d terzo mlegthdd^; % lgortmo J for :m ed dd\dd-*vecchob; % Crtero d'rresto resduoorm*-b; dfferezorm-veccho; f resduo<eps*ormb dfferez<eps*ormveccho else ed tm; t; retur veccho ; 3 Metodo d Guss-Sedel Il metodo d Guss-Sedel poe: P D E N F che espresso coordte dvet: d cu s h: D E F D E b b,,, Quest formul permette d clcolre le compoet d rsolvedo u sstem trgolre ferore Il metodo d Guss-Sedel dfferez del metodo d Jcob o è prllelzzble, però molte occso coverge pù velocemete d quest ultmo e co u mor umero d terzo No è detto che metod d Guss-Sedel e Jcob so drettmete pplcbl u mtrce, perché potrebbe vere degl zer dgole, qud s dovrebbe fre u prevetvo scmbo d qulche rg Per l covergez vlgoo seguet: - h Se è strettmete dgole domte oppure rrducblmete dgolmete domte, llor due metod J e G-S covergoo - h Se è deft postv l metodo G-S coverge D seguto vee rportto l lgortmo utlzzto per le smulzo effettute su Mtlb: RSech, MSs 5
es d Clcolo Numerco 3 lgortmo d Guss-Sedel fucto [,t]gusssedelott,b % GussSedelOtt,b: Clcol l soluzoe del sstem % b, usdo l metodo tertvo d Guss-Sedel % Costrusce l mtrce B ed N Btrl; N-tru,; % Us b come stm zle vecchob; % Stm del umero mssmo d terzo mlegthb^; % lgortmo GS for :m B\N*vecchob; % Crtero d'rresto resduoorm*-b; dfferezorm-veccho; f resduo<eps*ormb dfferez<eps*ormveccho t; retur else veccho ; ed ed tm; RSech, MSs 6
es d Clcolo Numerco 4 Smulzo I questo prgrfo soo rportt rsultt spermetl delle smulzo codotte col softwre MLB, prtcolre s è proceduto dfferezdo l ls per metod drett e per quell tertv: - per prm s è decso d cosderre come clss d mtrc delle rdom d orde co vrble d 5 e delle lbert co orde vrble d 4; - per metod tertv vece s è optto per u uc clsse d mtrc, rdom dgolmete domt, stvolt però studdo cò che ccde qulor o l orde dell mtrce s fsso e s vrble u prmetro f che rede l mtrce pù o meo dgolmete domte secod che, rspettvmete, l vlore d f s molto mggore/more dell utà; o vcevers s fsso l prmetro f e vr l dmesoe dell mtrce 4 Metod drett 4 Mtrc rdom co dmesoe vrble Co quest clsse d mtrc l orm dell errore otteuto come dfferez tr u soluzoe cmpoe e quell fort dgl lgortm d Guss, ouseholder e Gves è stt clcolt quest mer: Guss %Soluzoe sstem dopo l'pplczoe del ostro lgortmo d Guss g\b; %Vettore soluzoe rordto co l vettore permutzoe coloe q gqg; %Norm dell'errore dell dfferez tr le due soluzo EGormsol-g; ouseholder %Soluzoe del sstem dopo l'pplczoe del ostro lgortmo d ouseholder hr\q'*b; %Norm dell'errore Eormsol-h; Gves %Soluzoe del sstem dopo l'pplczoe del ostro lgortmo d Gves grg\qg'*b; RSech, MSs 7
es d Clcolo Numerco %Norm dell'errore EGvormsol-g; Gl dmet dell orm dell errore per Guss, ouseholder e Gves soo seguet: - Norm dell'errore el clcolo dell soluzoe d u mtrce rdom ouseholder Guss Gves - Norm dell'errore - -3-4 -5 5 5 5 3 35 4 45 5 Dmesoe dell mtrce [] Dll fgur sovrstte s può otre che l crescere dell dmesoe dell mtrce l orm dell errore cresce mer osclltor Per l lgortmo d Gves o è stto possble effetture l smulzoe su mtrc per >3 cus delle suffcet rsorse formtche, tuttv, so tle vlore lmte, segue l dmeto ppe descrtto ed è qud bbstz relstco pesre che frà lo stesso so 5 Sotto vee rportto l tempo mpegto dl clcoltore per mplemetre gl lgortm d Guss, ouseholder e Gves: l metodo pù veloce rsult quello d ouseholder, seguto d Guss e Gves RSech, MSs 8
es d Clcolo Numerco 5 45 ouseholder Guss Gves emp mpegt el clcolo dell soluzoe d u mtrce rdom 4 35 3 empo [s] 5 5 5 5 5 5 3 35 4 45 5 Dmesoe dell mtrce [] 4 Mtrc d lbert Co le mtrc d lbert l stuzoe è be dvers, come s s esse ho u codzometo molto elevto che cresce espoezlmete l crescere dell orde dell mtrce; d seguto soo rportt gl dmet dell orm dell errore otteuto come dfferez tr u soluzoe cmpoe e quell fort dgl lgortm d Guss, ouseholder e Gves rportt sopr RSech, MSs 9
es d Clcolo Numerco 4 Norm dell'errore el clcolo dell soluzoe d u mtrce d lbert Guss ouseholder Gves - Norm dell'errore -4-6 -8 - - -4-6 4 6 8 4 Dmesoe dell mtrce [] Iztutto l utlzzo d u scl logrtmc per le ordte evdez l veloctà d cresct dell orm dell errore, che cresce d u orde d grdezz ll crc per og cremeto d u puto dell dmesoe dell mtrce Questo è qud l effetto che c s spettv dl cttvo codzometo delle mtrc 4 Metod tertv 4 Mtrc dgolmete domt d dmesoe Per geerre quest clsse d mtrc soo stte utlzzte le seguet rghe d comdo: fucto sprsp,b,f % Dt u mtrce, u vettore d term ot b e l fttore f put, l fuzoe resttusce u mtrce fortemete dgolmete domte o o legthb; M-dgdg; sbsm*oes,; Mdgs*f; I esse come s desume dl ttolo, rme costte e cò su cu s gsce è l prmetro f, rgor d logc qud s è decso d mostrre l dmeto del umero d terzo l vrre d f per RSech, MSs
es d Clcolo Numerco metod d Jcob e Guss-Sedel Il prmetro f ssume seguet vlor:, 8, 5, 4, 3,,, 9, 8, 7, 6, 5, 45, 4, 3, 5,, 9, 8 Cofroto del umero d terzo de metod G-S e J co f vrble e dmesoe dell mtrce 4 Guss-Sedel Jcob 3 Numero d terzo NI 3 4 5 6 7 8 9 Coeffcete f I rsultt d sopr mostro come l dmure del fttore f che corrspode l redere l mtrce o dgolmete domte umet l umero d terzo per gugere covergez d etrmb metod so d rrvre ddrttur ll o covergez per f suffcetemete pccol 4 Mtrc dgolmete domt co f5 Nel presete prgrfo le smulzo soo codotte fcedo vrre l dmesoe dell mtrce, è mostrto qud l dmeto del umero d terzo l vrre d per metod d Jcob e Guss-Sedel L dmesoe ssume seguet vlor:,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,, 3, 4, 5 RSech, MSs
es d Clcolo Numerco 7 Cofroto del umero d terzo de metod G-G e J co dmesoe dell mtrce vrble ed f5 Guss-Sedel Jcob 6 5 Numero d terzo NI 4 3 5 5 5 3 35 4 45 5 Dmesoe dell mtrce [] I questo cso rsultt evdezo come ll umetre d dmusc l umero d terzo per gugere covergez d etrmb metod: l metodo d Guss-Sedel, prtà d, coverge u umero d pss ferore rspetto Jcob RSech, MSs