Stima delle portate di piena utilizzando l informazione pluviometrica

Stima delle portate di piena utilizzando l informazione pluviometrica Si utilizza un modello di trasformazione afflussi-deflussi che fornisce l idrogramma (o semplicemente la portata al colmo) corrispondente ad un assegnato evento meteorico Ipotesi: le portate con tempo di ritorno T siano originate da eventi meteorici caratterizzati dallo stesso tempo di ritorno T Si stabilisce il tempo di ritorno T Si costruisce uno ietogramma sintetico (o di progetto) con tempo di ritorno T, in genere utilizzando l informazione fornita dalle curve di possibilità pluviometrica Si sceglie un modello di trasformazione afflussi-deflussi Per le ipotesi fatte, le portate fornite dal modello sono caratterizzate anch esse dal tempo di ritorno T Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 1 / 44 )

Variabilità negli eventi meteorici Gli eventi meteorici reali manifestano una variabilità della intensità di precipitazione nello spazio e nel tempo: i(x, y, t) 7 6 5 P(t) [mm] 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 t [ore] Sinistra: un campo spaziale di intensità di precipitazione alla risoluzione di 4 km x 4 km (misurato da radar) Destra: uno ietogramma delle altezze di precipitazione cumulata ogni 10 minuti, durante un evento di precipitazione (misurato da un pluviografo a memoria solida) Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 2 / 44 )

Ietogrammi sintetici o ietogrammi di progetto Con le piogge di progetto si dovrebbe rappresentare (e riprodurre) la variabilità spaziale e temporale osservata In genere esse descrivono in modo molto approssimato tale variabilità: le più semplici rappresentano una pioggia costante nel tempo e nello spazio Le fasi di costruzione di un evento sintetico di pioggia (netta) sono le seguenti: scelta del tempo di ritorno T identificazione della curva di possibilità climatica valida per l area in esame scelta del tipo di ietogramma sintetico (che descrive la variabilità della pioggia puntuale nel tempo) ragguaglio della pioggia puntuale all area (si mette in conto la variabilità spaziale) (depurazione delle perdite e determinazione della pioggia netta) In genere, uno ietogramma di progetto riesce a riprodurre, con il tempo di ritorno assegnato, solo alcune o solo una delle caratteristiche degli ietogrammi osservati (intensità media, intensità del picco, altezza di pioggia totale, etc) Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 3 / 44 )

Ietogrammi di progetto: Ietogramma costante Rappresenta una pioggia ad intensità costante per tutta la sua durata Occorre assegnare: il tempo di ritorno T la durata della pioggia t p (durata evento critico) = dalle curve di possibilità pluviometrica valide nel territorio in esame si deduce l intensità media dell evento critico di durata t p e tempo di ritorno T assegnati Tale intensità viene tenuta costante per tutta la durata dell evento È probabilmente il più diffuso per la sua grande semplicità, ma presenta i seguenti limiti: occorre determinare a priori la durata di pioggia dell evento critico, l intensità è nulla prima e dopo l evento di durata critica, quindi il volume complessivo risulta sottostimato rispetto agli eventi reali, non riproduce la variabilità ed i picchi di intensità durante l evento i(t) t p t Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 4 / 44 )

Ietogrammi di progetto: Ietogramma Chicago (I) (Keifer e Chu, 1957) Rispetto allo ietogramma costante rappresenta meglio alcune caratteristiche degli ietogrammi osservati, come la presenza del picco di intensità, la precipitazioni antecedenti e seguenti l istante del picco, i volumi totali È uno ietogramma non costante che presenta un picco di intensità che può essere posizionato arbitrariamente all inizio dell evento, alla fine, o in posizione intermedia Nello ietogramma Chicago, la massima altezza di precipitazione cumulata su qualsiasi durata τ è sempre pari all altezza di precipitazione dedotta dalla curva di possibilità pluviometrica per la medesima durata τ i(t) i(t) i(t) t t t Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 5 / 44 )

Ietogrammi di progetto: Ietogramma Chicago (II) Picco di intensità posto all inizio dell evento Si fissa il tempo di ritorno T e si calcolano i coefficienti della curva di possibilità pluviometrica per la località in esame: a = a(t ) e n = n(t ) Per ogni durata τ la precipitazione cumulata h(τ) della pioggia sintetica deve essere pari a quella fornita dalla curva di possibilità pluviometrica h(τ) = aτ n : h(τ) = τ 0 i(t)dt = aτ n dove i(t) è proprio l equazione dello ietogramma Chicago da determinare Derivando h(τ) rispetto a τ si ottiene l equazione dello ietogramma Chicago: i(t) i(t) = nat n 1 dove ovviamente è stata sostituita la variabile τ con t dopo la derivazione t Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 6 / 44 )

Ietogrammi di progetto: Ietogramma Chicago (III) Picco di intensità posto in posizione qualsiasi Si fissa ancora il tempo di ritorno T e si calcolano i coefficienti della curva di possibilità pluviometrica: a = a(t ) e n = n(t ) Occorre in questo caso definire la durata t p della pioggia Keifer e Chu hanno posto la durata della pioggia pari al tempo di corrivazione Altri autori suggeriscono di adottare valori maggiori per non sottostimare i volumi totali Si fissa un valore per il parametro r (0 r 1) che rappresenta la posizione relativa del picco Il picco di intensità sarà posto ad un tempo rt p dopo l istante di inizio della pioggia (r = 0 picco all inizio della pioggia, r = 1 picco alla fine della pioggia) Vari autori suggeriscono valori di r fra 035 e 040; talvolta si pone r = 05 per semplicità di calcolo Lo ietogramma Chicago ha equazione: ( ) n 1 rtp t i(t) = na t < rt p (prima del picco) r ( ) n 1 t rtp i(t) = na t > rt p (dopo il picco) 1 r i(t) rt p t p t Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 7 / 44 )

Ietogramma Chicago discreto con picco centrale Per costruire uno ietogramma Chicago discreto, con passo temporale t e picco centrale, assumiamo valida una curva di possibilità pluviometrica h(τ) = aτ n Si impone che le altezze fornite da detta curva per le durate τ 1 = t, τ 2 = 3 t, τ 3 = 5 t, etc siano sempre pari alle massime altezze di pioggia ricavate dallo ietogramma i(t) i4 i3 i2 i 1 t t t t t t t 7 t i2 i3 i4 t τ 1 h 1 = h(τ 1 ) = a( t) n = i 1 t da cui ricavo i 1 = h 1 / t τ 2 h 2 = h(τ 2 ) = a(3 t) n = i 1 t + 2i 2 t = h 1 + 2i 2 t da cui ricavo i 2 = (h 2 h 1 )/2 t τ 3 h 3 = h(τ 3 ) = a(5 t) n = i 1 t + 2i 2 t + 2i 3 t = h 2 + 2i 3 t da cui ricavo i 3 = τ 4 h 4 = h(τ 4 ) = a(7 t) n = i 1 t + 2i 2 t + 2i 3 t + 2i 4 t = Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 8 / 44 )

Ragguaglio all area: coefficiente di riduzione ARF - I La precipitazione presenta, oltre che una variabilità temporale, anche una variabilità spaziale In particolare si osserva che gli eventi di precipitazione mostrano una (o più) zone di intensa attività meteorica (centro di scroscio): la precipitazione diminuisce quanto più ci si allontana dal centro di scroscio Per tenere conto (mediando) di questa variabilità spaziale della precipitazione, possiamo introdurre un coefficiente di riduzione (ragguaglio) all area (Areal Reduction Factor): ARF = h r (τ, A) < 1 h(τ) h(τ) = altezza di precipitazione (puntuale) nel centro di scroscio, in genere dedotta dalle curve di possibilità pluviometrica h r (τ, A) = altezza di precipitazione ragguagliata (mediata) su un area A che contiene il centro di scroscio (h r (τ, A) < h(τ)) L ipotesi implicitamente assunta è che il centro di scroscio fosse localizzato in prossimità del pluviometro quando questo ha misurato i massimi annui di precipitazione utilizzati poi per ricavare le curve di possibilità pluviometrica NOTA: Il ragguaglio all area non si effettua per aree minori di 1 km 2 Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 9 / 44 )

Ragguaglio all area: coefficiente di riduzione ARF - II y h h3 h 2 h 1 h c h r h 1 h A 2 A h 3 ARF < 1 SEZ A A τ 1 τ 2 < τ 3 x x τ 3 τ 2 τ 1 A Il coefficiente di riduzione ARF: diminuisce all aumentare dell area A aumenta all aumentare della durata τ della pioggia Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 10 / 44 )

Ragguaglio all area: coefficienti di riduzione ARF - III Espressioni ricavate a Wallingford (UK): 1 ARF = 1 f 1 τ f2 dove: ARF < τ τ < τ 1 2 3 τ 3 τ 2 τ 1 f 1 = 00394A 0354 f 2 = 04 00208 ln(46 ln A) A < 20km 2 f 2 = 04 0003832(46 ln A) 2 20km 2 < A < 100km 2 τ è espresso in ore, A in km 2 A Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 11 / 44 )

Ragguaglio all area: tabella NERC Il coefficiente di ragguaglio areale si può ricavare anche per interpolazione bilineare dei valori riportati nella Tabella seguente per coppie di durata di evento τ ed area del bacino (Natural Environment Research Council, Flood Studies Report, 1981) τ (ore) Area (km 2 ) 1 5 10 30 100 300 1000 3000 10000 1 096 093 091 086 079 071 062 053 044 2 097 095 093 090 084 079 073 065 055 3 097 096 094 091 087 083 078 071 062 6 098 097 096 093 090 087 083 079 073 24 099 098 097 096 094 092 089 086 083 48 1 099 098 097 096 094 091 088 086 Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 12 / 44 )

Modelli di trasformazione afflussi-deflussi Modelli completi: rappresentano (più o meno schematicamente) i diversi processi di immagazzinamento dell acqua (nella superficie, nella rete idrografica, nel suolo, negli acquiferi) e di scambio dell acqua fra atmosfera/superficie/suolo/acquiferi/rete idrografica (precipitazione, evaporazione, infiltrazione, scorrimento etc) Esempio schematico nella Fig 61 del Moisello (Dooge, 1977) Modelli di piena: rappresentano soltanto la trasformazione della pioggia netta in deflusso di pioggia, e quindi soltanto la componente veloce del deflusso (alimentata da scorrimento superficiale e ipodermico) Esempio schematico nella Fig 67 del Moisello Occorre determinare a priori la pioggia netta (ad esempio utilizzando uno ietogramma di progetto con coefficiente d afflusso per le perdite ed eventuale funzione di distribuzione) Al deflusso di pioggia fornito dal modello occorrerà sommare il deflusso di base se presente Metodi per la stima della portata al colmo Sono delle semplici relazioni che forniscono solo la portata al colmo (ed eventualmente qualche altra grandezza) A differenza dei modelli, non forniscono l idrogramma Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 13 / 44 )

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Metodo razionale, o met cinematico o della corrivazione Metodo utilizzato sin dal 1850 per la stima della portata al colmo Q c che continua ad essere largamente impiegato anche oggi per i dimensionamenti L idea del metodo è che durante un evento meteorico, che inizi istantaneamente e continui con intensità i costante nel tempo e nello spazio, la portata aumenti sino ad un tempo pari al tempo di corrivazione t c, quando l area A b di tutto il bacino contribuisce al deflusso La portata al colmo Q c è allora proporzionale al prodotto ia b attraverso il coefficiente di afflusso ψ: Q c,t = ψ ARF i T (t c )A b Q c,t = portata al colmo con tempo di ritorno T Le unità di misura sono date dal prodotto delle unità di misura di i e A b ψ = coefficiente di afflusso (o coeff adimensionale di proporzionalità) ARF = coefficiente di ragguaglio all area i T (t c ) = intensità media di precipitazione di durata t c e tempo di ritorno T (ad esempio ricavata da curva di possibilità pluviometrica) t c = tempo di corrivazione del bacino A b = area del bacino Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 15 / 44 )

Metodo razionale: il coefficiente di afflusso Schaake, Geyer e Knapp: ψ = 014 + 065I imp + 005i m I imp = frazione di area impermeabile (rapporto fra l area impermeabile e l area totale del bacino) i m = pendenza media del collettore (asta) principale Da Tabelle: es Tabella 1511 da Chow et al (1988), o tabelle 82 da AAVV (1997) per bacini urbani Per bacini eterogenei si calcolano le medie pesate ψ = ψ i A i /A b, dove ψ i è il coefficiente d afflusso dell area elementare A i e A b = A i Metodo CN (bacini naturali o urbani): ψ = h n (t c )/P(t c ) oppure usiamo il CN per determinare direttamente la pioggia netta i n Rasullo e Gisonni (1997) (bacini urbani): ψ = ψ perm (1 I imp ) + ψ imp I imp T (anni) ψ perm ψ imp < 2 000 015 060 075 2 10 010 025 065 080 > 10 015 030 070 090 Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 16 / 44 )

Classificazione dei modelli di trasformazione afflussi-deflussi in base alla schematizzazione dei processi Modelli fisicamente basati: vengono risolte le equazioni fisiche dei diversi processi idraulici ed idrologici Modelli (idrologici) concettuali: utilizzano delle schematizzazioni dei fenomeni fisici della trasformazione, senza risolvere le equazioni fisiche dei processi Due schematizzazioni sono particolarmente utilizzate: canali (lineari): rappresentano solo il trasferimento temporale (ritardo fra ingresso e uscita) delle acque meteoriche Schematizzazione utilizzata dal modello cinematico o della corrivazione serbatoi (lineari): rappresentano le diverse forme di immagazzinamento dell acqua per mezzo di uno o più serbatoi Schematizzazione utilizzata dal modello di invaso Modelli empirici (black-box): sono modelli che non rappresentano, neanche schematicamente, i fenomeni fisici Accettano una funzione in input (ietogramma) e forniscono una funzione in output (idrogramma) Hanno necessità di una serie di dati di input e corrispondenti dati di output per la taratura Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 19 / 44 )

Altre classificazioni dei modelli di trasformazione afflussi-deflussi In base alla variabilità e dipendenza spaziale delle grandezze: Modelli globali Il bacino è considerato nel suo insieme Non si considera la variabilità spaziale della precipitazione e delle caratteristiche topografiche, idrauliche e di uso del suolo del bacino Modelli distribuiti Possono considerare la variabilità spaziale della precipitazione e delle grandezze del bacino In base alle caratteristiche di risposta: Modelli stazionari Ingressi (ietogrammi) identici sfasati nel tempo producono uscite (idrogrammi) identici anch essi sfasati nel tempo Modelli lineari Vale il principio di sovrapposizione degli effetti Ad una combinazione lineare delle funzioni di ingresso corrisponde la medesima combinazione lineare delle funzioni di uscita: i 1 (t) Q 1 (t) i 2 (t) Q 2 (t) ai 1 (t) + bi 2 (t) aq 1 (t) + bq 2 (t) Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 20 / 44 )

Modello cinematico: idrogramma di piena - I L utilizzo del metodo razionale (o metodo cinematico o della corrivazione) nei bacini con curva area-tempi non lineare può portare ad una sottostima della portata al colmo con assegnato tempo di ritorno T Infatti, la massima portata al colmo potrebbe verificarsi per una pioggia (uniforme) di durata inferiore al tempo di concentrazione t c : è opportuno applicare un modello, con ietogramma non costante, che fornisca l idrogramma Il modello più semplice è sicuramente il modello cinematico (modello concettuale, stazionario e lineare), che si basa sulle seguenti ipotesi: la formazione della piena sia dovuta esclusivamente ad un fenomeno di trasferimento (senza invasi) di massa liquida; ogni goccia di pioggia si muova sulla superficie del bacino seguendo un percorso immutabile, che dipende soltanto dalla posizione del punto in cui essa è caduta; la velocità di ogni singola goccia non sia influenzata dalla presenza delle altre gocce ( ipotesi più inverosimile); la portata alla sezione di chiusura si ottenga sommando tra loro le portate elementari, provenienti dalle singole aree del bacino che si presentano allo stesso istante nella sezione di chiusura Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 21 / 44 )

Modello cinematico: idrogramma di piena - II Nel modello cinematico (o della corrivazione), la trasformazione afflussi-deflussi è schematizzata con un insieme di canali lineari in parallelo fra loro Ogni canale collega un area infinitesima del bacino con la sezione di chiusura: trasferisce le gocce d acqua che cadono in ciascun area infinitesima sino alla sezione terminale sempre con lo stesso ritardo (pari al tempo di corrivazione della stessa area infinitesima) L idrogramma Q(t) si ottiene dall integrale dei contributi di tutti i canali: Q(t) = i r,n (x, y, t t c (x, y))dxdy A b Tempo di base t b è la durata del deflusso di pioggia (per cui Q(t) > 0): pari alla durata della pioggia t p + il tempo di corrivazione del bacino t c : t b = t p + t c Studiamo il comportamento dei bacini nei due casi seguenti: Bacini con curva area-tempi lineare e ietogramma costante Bacini con curva area-tempi non lineare e/o ietogramma non costante Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 22 / 44 )

Modello cinematico: curva area-tempi lineare - I L equazione della curva area-tempi lineare valida per 0 t t c può essere scritta: A(t) = k t k = tan α = A b /t c A b = area bacino t c = tempo di corrivazione del bacino A(t) Consideriamo il caso di piogge di progetto con la stessa intensità costante i (netta e ragguagliata), ma di diverse durate t p (caso A,B,C) A b α t c t A) t p = t c (durata pioggia uguale al tempo di corrivazione del bacino) t < t c l idrogramma cresce linearmente t = t c l idrogramma raggiungere la massima portata Q c = ia b Tutto il bacino contribuisce al deflusso t > t c decresce linearmente sino ad annullarsi per t = t b = t p + t c La portata al colmo è: Q c = ia b Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 23 / 44 )

Modello cinematico: curva area-tempi lineare - II B) t p > t c (durata pioggia maggiore del tempo di corrivazione del bacino) t < t c l idrogramma cresce linearmente t c t t p l idrogramma è costante con portata Q c = ia b Tutto il bacino contribuisce al deflusso t > t p decresce linearmente sino ad annullarsi per t = t b = t p + t c La portata al colmo è ancora: Q c = ia b C) t p < t c (durata pioggia minore del tempo di corrivazione del bacino) Non si può verificare la condizione per cui tutta l area del bacino contribuisca al deflusso Al massimo possono contribuire contemporaneamente aree pari ad A = A(t p ) < A b, infatti A = kt p = A b t p /t c < A b t < t p l idrogramma cresce linearmente t p t t c l idrogramma è costante con portata Q c = ia t > t c decresce linearmente sino ad annullarsi per t = t b = t c + t p La portata al colmo è Q c = ia (inferiore alla Q c dei casi A,B) Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 24 / 44 )

Modello cinematico: curva area-tempi lineare - III Calcoliamo ora le portate al colmo nei tre casi A, B, C appena visti, utilizzando uno ietogramma di progetto costante, la cui intensità sia ricavata da una una stessa curva di possibilità pluviometrica e sia anche ragguagliata all area e depurata dalle perdite: i = ψarfat n 1 p Per semplicità poniamo ARF e ψ costanti nei tre casi Si osservi però che a piogge di diversa durata t p corrispondono ietogrammi (costanti) di diversa intensità A ) t p = t c (durata pioggia uguale al tempo di corrivazione del bacino) La portata al colmo è: Q c = ia b = ψarfatc n 1 A b È la stessa portata fornita dal metodo razionale B ) t p > t c (durata pioggia maggiore del tempo di corrivazione del bacino) La portata al colmo è: Q c = ia b = ψarfatp n 1 A b Al crescere della durata della pioggia t p descresce la portata al colmo Q c (perchè n 1 < 0) Q c è massima se il tempo di pioggia è pari al tempo di corrivazione t p = t c (si ottiene la stessa portata al colmo del caso A ) Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 25 / 44 )

Modello cinematico: curva area-tempi lineare - IV C ) t p < t c (durata pioggia minore del tempo di corrivazione del bacino) La portata al colmo è: Q c = ia = ψarfatp n 1 kt p = ψarfatp n k Al crescere del tempo di pioggia cresce la portata al colmo (n > 0), essa è massima se il tempo di pioggia è pari al tempo di corrivazione t p = t c (sostituendo anche k si ottiene la stessa portata al colmo del caso A ) In un bacino con curva area-tempi lineare, fra tutte le portate al colmo di piena originate da ietogrammi costanti di diversa durata t p (le cui intensità sono ricavate dalla medesima curva di possibilità pluviometrica di assegnato tempo di ritorno) la massima portata al colmo fornita dal modello cinematico coincide con quella fornita dal metodo razionale Infatti, con le due ipotesi di curva area-tempi lineare e di ietogramma costante con assegnato tempo di ritorno, la portata al colmo più critica fornita dal modello cinematico è relativa a piogge di durata t p pari al tempo di corrivazione t c Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 26 / 44 )

Modello cinematico: Curva area-tempi non lineare e/o ietogramma di pioggia netta ragguagliata non costante - I Applicazione del modello della corrivazione nella forma discretizzata Si sceglie lo stesso passo temporale t con cui discretizzare sia lo ietogramma della pioggia netta di progetto, che la curva area-tempi: i k intensità media di pioggia netta e ragguagliata all area del bacino nell intervallo di tempo fra gli istanti (k 1) t e k t, con k = 1,, m (ietogramma discreto in m intervalli) A j area contribuente con tempi di corrivazione compresi fra (j 1) t e j t, con j = 1,, n (curva area-tempi approx con n tratti lineari) Durata della pioggia t p = m t, tempo di corrivazione t c = n t Tempo di base t b = t p +t c = (m+n) t Q(t b ) = Q((m+n) t) = 0 Si calcolano gli idrogrammi Q k (t) generati da ciascuno ietogramma costante elementare di pioggia netta i k (t) Per la linearità del sistema l idrogramma totale si ottiene per sovrapposizione: Q(t) = m k=1 Q k(t) 0 t < (k 1) t i k (t) = i k (k 1) t t k t = Q k (t) 0 t > k t Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 27 / 44 )

i 1 (t) Q 1 (t) t (k+1) (k+2) 0 t t (n+1) (n+2) 0 t 2 t 0 t 2 t 3 t 4 t t t 0 t 0 t 2 t 3 t n t (n+1) t i1a1 i1a2 i1a3 i1an i 1 i 2 (t) Q 2 (t) i2a1 i2an i2a2 i2a3 i 2 t t i k (t) Q k (t) t i k 0 t (k 1) t k t (k 1) t k t (k+n) t ika1 ika2 ika3 ikan t t Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 28 / 44 )

Modello cinematico: Curva area-tempi non lineare - II i 1 (t) i 2 (t) i 3 (t) i s(t) i m(t) i(t) tempo t Q 1 (t) Q 2 (t) Q 3 (t) Q s(t) Q m(t) Q(t) t i 1 A 1 i 1 A 1 2 t i 1 A 2 i 2 A 1 3 t i 1 A 3 i 2 A 2 i 3 A 1 s t i 1 A s i 2 A s 1 i 3 A s 2 i sa 1 ( ) n t i 1 A n i 2 A n 1 i 3 A n 2 (n + 1) t i 2 A n i 3 A n 1 (n + 2) t i 3 A n (n + m 1) t i ma n i ma n (n + m) t 0 ( ) Q(s t) = s k=1 i ka s k+1 ovviamente poniamo A j = 0 per j > n Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 29 / 44 )

Modello cinematico: Curva area-tempi non lineare - III La Tabella precedente può essere riscritta in forma matriciale: A i = Q la matrice A (n + m) m rappresenta le caratteristiche di risposta del bacino, il vettore i m 1 rappresenta le caratteristiche dell evento meteorico, il vettore Q (n + m) 1 è l idrogramma di piena discreto A 1 0 0 0 0 A 2 A 1 0 0 0 A 3 A 2 A 1 0 0 A n A n 1 A n 2 0 A n A n 1 0 0 A n 0 0 0 A n A n 1 0 0 0 0 A n 0 0 0 0 0 i 1 i 2 i 3 i m 1 i m = Q 1 Q 2 Q 3 Q n Q n+1 Q n+2 Q n+m 2 Q n+m 1 Q n+m NOTA: si è indicato ora Q s = Q(s t) e non l idrogramma prodotto da i s (t) Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 30 / 44 )

Idrogramma Unitario (Sherman, 1932) L idrogramma unitario (Unit Hydrograph, UH) è un idrogramma (del deflusso di pioggia) per unità di area del bacino originato da una pioggia (netta e ragguagliata) di altezza unitaria e assegnata durata D 1 Si assume uno ietogramma costante nel tempo e uniforme nello spazio, la cui intensità è ovviamente i = 1(mm)/D, dovendo essere unitaria l altezza di pioggia Ad ogni durata D corrisponde un differente idrogramma unitario UH D Se la durata D tende a zero si ottiene l idrogramma unitario istantaneo (Instantaneous Unit Hydrograph, IUH): è prodotto da una pioggia impulsiva Attenzione: UH e IUH hanno come dimensione l inverso di un tempo [T 1 ] Essi infatti si ottengono dividendo le portate del deflusso di pioggia per l area del bacino e per l altezza di pioggia (netta e ragguagliata) Si utilizzano le ipotesi di stazionarietà e linearità per ottenere: idrogramma prodotto da piogge costanti di durata D e altezza qualsiasi; idrogramma unitario di diversa durata; idrogramma prodotto da ietogramma non costante discretizzato 1 Nella formulazione originale di Sherman anche la durata era unitaria Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 31 / 44 )

Derivazione dell Idrogramma Unitario da osservazioni P-Q Sono stati proposti diversi UH sintetici, ma è anche possibile ricavare l UH di un bacino dalle osservazioni di pioggia e corrispondenti idrogrammi: Si seleziona un evento di pioggia di durata D abbastanza uniforme nello spazio e costante nel tempo Lo si trasforma in pioggia netta L altezza h di precipitazione netta sarà in generale non unitaria Si rileva l idrogramma del deflusso di pioggia Q(t) prodotto dall evento meteorico selezionato, separandolo eventualmente dal deflusso di base L idrogramma unitario UH D (t) si ottiene dividendo l idrogramma Q(t) per l area del bacino A b e per l altezza di pioggia netta h: UH D (t) = Q(t)/hA b (Ha perciò la dimensione di un inverso di tempo [T 1 ]) L idrogramma Q (t) prodotto da una precipitazione costante della stessa durata D ma di altezza h qualsiasi: si ottiene semplicemente moltiplicando l idrogramma unitario UH D (t) per h e per l area del bacino A b : Q (t) = UH D (t) h A b, con dimensioni [L 3 T 1 ] Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 32 / 44 )

Idrogrammi unitari di differente durata - Curva ad S La curva ad S è un idrogramma per unità di area del bacino prodotto da una pioggia (netta e ragguagliata) di intensità costante ed unitaria e durata infinita, con inizio in t = 0 È quindi adimensionale La curva ad S (g(t)) si può ottenere moltiplicando per D la somma di infiniti idrogrammi unitari UH D relativi a piogge di durata D, ciascuno ritardato di un tempo pari a D: g(t) = D k=0 UH D(t kd) = D[UH D (t) + UH D (t D) + ] Dopo un tempo pari al tempo di concentrazione la curva ad S ha valore 1 L UH t prodotto da una pioggia di durata t D è proporzionale alla differenza di due curve ad S ritardate fra loro di t: La prima curva g(t) relativa ad una pioggia costante con inizio in t = 0 La seconda g (t) = g(t t) per una pioggia con inizio in t = t Occorre infine dividere per l altezza di pioggia h = i t = t UH t (t) = [g(t) g(t t)] t idrogramma istantaneo unitario = IUH(t) = lim t 0 UH t(t) = dg dt Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 33 / 44 )

UH: idrogramma prodotto da ietogramma discreto (I) Si sceglie lo stesso passo temporale t con cui discretizzare sia lo ietogramma della pioggia netta di progetto, che l idrogramma unitario UH t prodotto da una pioggia di altezza unitaria e durata pari ancora a t i k intensità media di pioggia nell intervallo di tempo fra gli istanti (k 1) t e k t, con k = 1,, m (ietogramma discreto in m intervalli) La durata della pioggia è t p = m t U j = UH t (j t) è l idrogramma unitario all istante j t, con j = 1,, n (discretizzato in n punti) U 0 = 0, U n+1 = 0 L UH t è diverso da zero da t = 0 al tempo di base t b = (n + 1) t Esso è relativo ad una pioggia di durata t tempo di concentrazione t c = n t Ci aspettiamo che l intero ietogramma discretizzato generi un idrogramma con tempo di base t b = t c + t p = (n + m) t Si calcolano gli idrogrammi Q k (t) generati da ciascuno ietogramma costante elementare di pioggia netta i k (t) Per la linearità del sistema l idrogramma totale si ottiene per sovrapposizione: Q(t) = m k=1 Q k(t) 0 t < (k 1) t Q k (t) = UH t (t)i k ta b = i k (t) = i k (k 1) t t k t = = UH t (t)v k 0 t > k t dove V k = volume afflusso di i k Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 35 / 44 )

UH: idrogramma prodotto da ietogramma discreto (II) i 1 (t) i 2 (t) i 3 (t) i s(t) i m(t) i(t) tempo t Q 1 (t) Q 2 (t) Q 3 (t) Q s(t) Q m(t) Q(t) t V 1 U 1 V 1 U 1 2 t V 1 U 2 V 2 U 1 3 t V 1 U 3 V 2 U 2 V 3 U 1 s t V 1 U s V 2 U s 1 V 3 U s 2 V su 1 ( ) n t V 1 U n V 2 U n 1 V 3 U n 2 (n + 1) t V 2 U n V 3 U n 1 (n + 2) t V 3 U n (n + m 1) t V mu n V mu n (n + m) t 0 Il volume di pioggia del generico ietogramma i k (t) è V k = i k ta b ( ) Q(s t) = s k=1 V ku s k+1 = s k=1 U s k+1i k ta b dove U j = 0 per j > n Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 37 / 44 )

UH: idrogramma prodotto da ietogramma discreto (III) La Tabella precedente può essere riscritta in forma matriciale: U V = Q la matrice U (n + m) m rappresenta le caratteristiche di risposta del bacino, il vettore V m 1 rappresenta le caratteristiche dell evento meteorico, il vettore Q (n + m) 1 è l idrogramma di piena discreto U 1 0 0 0 0 U 2 U 1 0 0 0 U 3 U 2 U 1 0 0 U n U n 1 U n 2 0 U n U n 1 0 0 U n 0 0 0 U n U n 1 0 0 0 0 U n 0 0 0 0 0 V 1 V 2 V 3 V m 1 V m = Q 1 Q 2 Q 3 Q n Q n+1 Q n+2 Q n+m 2 Q n+m 1 Q n+m NOTA: si è indicato ora Q s = Q(s t) e non l idrogramma prodotto da i s (t) Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 38 / 44 )

UH del modello cinematico discreto Eguagliamo formalmente le portate Q UH (t) dell idrogramma unitario e quelle Q cin (t) fornite dal modello cinematico nei medesimi istanti t = t, 2 t, 3 t, ed utilizziamo ricorsivamente i risultati per U 1, U 2, U 3, : Q UH ( t) = V 1 U 1 e Q cin ( t) = i 1 A 1 forniscono: U 1 = UH t ( t) = i 1 A 1 /V 1 = i 1 A 1 /(i 1 ta b ) = (A 1 /A b )/ t Q UH (2 t) = V 1 U 2 + V 2 U 1 e Q cin (2 t) = i 1 A 2 + i 2 A 1 forniscono: U 2 = UH t (2 t) = i 1 A 2 /V 1 = i 1 A 2 /(i 1 ta b ) = (A 2 /A b )/ t Q UH (3 t) = V 1 U 3 + V 2 U 2 + V 3 U 1 e Q cin (3 t) = i 1 A 3 + i 2 A 2 + i 3 A 1 forniscono: U 3 = UH t (3 t) = i 1 A 3 /V 1 = i 1 A 3 /(i 1 ta b ) = (A 3 /A b )/ t In generale otteniamo = U j = UH t (j t) = A j/a b t Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 39 / 44 )

Curva Area-Tempi adimensionale (HEC-HMS) Quando non si conosce la curva area-tempi A(t) per il bacino di interesse HEC-HMS suggerisce di utilizzare la seguente forma adimensionale: ( ) t 15 A(t) 2 per t t c /2 t = c A b 1 ( 2 1 t ) 15 per t > t c /2 t c che può essere discretizzata scegliendo come passo temporale t un sottomultiplo del tempo di corrivazione t c = n t Per applicare il modello cinematico discreto, si possono quindi ricavare le aree parziali A j = A(t j ) A(t j 1 ) come differenza fra i valori forniti dall equazione per le isocorrive t j = j t e t j 1 = (j 1) t Da queste, come già mostrato, si possono ricavare i punti dell idrogramma unitario: U j = UH t (j t) = A j/a b t Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 40 / 44 )

Idrogramma unitario sintetico SCS - I È fornito per punti nella seguente tabella in forma adimensionale: t/t P Q/Q P t/t P Q/Q P t/t P Q/Q P 00 0 11 0990 24 0147 01 0030 12 0930 26 0107 02 0100 13 0860 28 0077 03 0190 14 0780 30 0055 04 0310 15 0680 32 0040 05 0470 16 0560 34 0029 06 0660 17 0460 36 0021 07 0820 18 0390 38 0015 08 0930 19 0330 40 0011 09 0990 20 0280 45 0005 10 1000 22 0207 50 0 dove t P è l istante in cui si verifica la portata di picco Q P Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 41 / 44 )

Idrogramma unitario sintetico SCS - II Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 42 / 44 )

Idrogramma unitario sintetico SCS - III Per determinare l istante t P in cui si verifica la portata di picco occorre preventivamente calcolare il tempo di corrivazione t c La durata della pioggia t, che si assume dia origine all idrogramma unitario discreto UH t (t), è fornita dalla seguente equazione: t = 0133t c Il t così ottenuto fornisce un valore di tentativo del passo temporale da utilizzare Alcuni autori suggeriscono che tale stima possa essere variata sino a ±25% Secondo altri autori si possono adottare anche variazioni superiori purchè t resti comunque inferiore al 30% del ritardo del picco θ l Ritardo del picco rispetto al baricentro dello ietogramma (basin lag): θ l = 06t c Il tempo del picco t P è l istante in cui si verifica la portata di picco dall inizio della pioggia (t = 0): t P = t 2 + θ l Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 43 / 44 )

Idrogramma unitario sintetico SCS - IV Determinazione dell idrogramma unitario discreto UH t (t) 1 Noto l istante del picco t P, da ogni coppia di punti (t k /t P, Q k /Q P ) forniti dalla Tabella possiamo calcolare i tempi t k = (t k /t P )t P a cui associare le portate adimensionali y k = Q k /Q P 2 Interpoliamo quindi i punti (t k, y k ) negli istanti di tempo multipli di t, ovvero per tempi t j = j t, ottenendo le corrispondenti ordinate interpolate y j, dove j = 1, 2, 3 Infine l idrogramma unitario SCS si ottiene normalizzando l idrogramma interpolato (t j, y j ), in modo che il suo integrale nel tempo sia unitario: UH t (j t) = U j = 1 S y j dove S = j y j t è l integrale dell idrogramma adimensionale Idrologia - AA 17/18 - R Deidda Cap 8 - Modelli Idrologici ( 44 / 44 )