Sovrapposizione di onde sinusoidali Consideriamo due onde sinusoidali che si propagano verso destra con stessa f, λ e ampiezza ma con differenza di fase φ: y1 = Asen(kx ωt) y 2 = Asen(kx ωt + φ ) La funzione d onda risultante sarà: y = y1 + y 2 = A[sen(kx ωt) + sen(kx ωt + φ ) a b a+b )sen( ) Dall identità: sena + senb = 2cos( 2 2 φ φ y = 2Acos( )sen(kx ωt + ) 2 2 La funzione d onda risultante y è sinusoidale con stessa frequenza e lunghezza d onda delle singole onde. L ampiezza è 2Acos(φ/2) e la costante di fase è φ/2. Se φ=0, l ampiezza è 2A, interferenza costruttiva (fig.(a)). Se φ=π, l onda ha ampiezza nulla, Si ha interferenza distruttiva. Ettore Focardi 1
Onde stazionarie Supponiamo di avere due onde identiche che si propagano nel mezzo in direzioni opposte. y1 = Asen(kx ωt) y 2 = Asen(kx + ωt) y = y1 + y 2 = Asen(kx ωt) + Asen(kx + ωt) y = (2Asenkx)cosωt Ricordando sen (a±b)= sena cosb ± cosa senb si ha: Onda stazionaria non rappresenta un onda che si propaga. Particolare tipo di moto armonico. Particella mezzo oscilla con stessa ω. L ampiezza del moto armonico della particella dipende dalla posizione x della stessa. L oscillazione avviene all interno della funzione inviluppo 2Asenkx Minimo spostamento per kx= π, 2π,etc. x=λ/2, λ,..=nλ/2 n=0,1,2. Nodi Massimo spostamento per kx=π/2,3π/2,.. x=λ/4,3 λ/4,..=nλ/4 n=1,3,5 antinodi (ventri) Ettore Focardi 2
z Soluzione: onda elettromagnetica piana La soluzione più semplice delle due equazioni per E e B è un onda piana sinusoidale in cui le ampiezze dei campi E e B variano con x e t secondo le espressioni: E = E max cos(kx ωt) B = B max cos(kx ωt) k=2π/λ è il numero d onda e ω=2πf è la pulsazione, con f frequenza dell onda. x ω k = 2πf 2π /λ = λf = c valida per ogni onda In figura è rappresentata schematicamente un onda elettromagnetica piana in un certo istante, polarizzata linearmente, che si propaga con velocità c nel verso positivo dell asse x. y Eseguendo le derivate parziali rispetto a x e t si ha: E x = ke B maxsen(kx ωt) t = ωb maxsen(kx ωt) che sostituite in E x = B t ke max = ωb max E max B max danno in ogni istante: = ω k = c e quindi E max B max = E B = c in ogni istante in un onda e.m.il rapporto E/B=c. Le onde e.m. obbediscono al principio di sovrapposizione. Ettore Focardi 3
esempio Un onda e.m. piana sinusoidale di frequenza f=40 MHz si propaga nel vuoto in direzione x. Trovare lunghezza d onda e periodo. In un certo punto ed istante il campo E raggiunge il massimo E max =750 N/C con verso y positivo. Trovare valore e verso di B in quella posizione ed istante. da c=λf si ha: λ = c f = 3 108 m /s 4 10 7 s 1 = 7.5m Il periodo dell onda è l inverso della frequenza: T = 1 f = 1 4 10 7 s 1 = 2.5 10 8 s = 25 ns Dalla relazione tra E e B si ha: B max = E max c = 750N /C 3 10 8 m /s = 2.5 10 6 T Le espressioni analitiche di B ed E sono allora: ω = 2πf = 2π(4 10 7 s 1 ) = 2.51 10 8 rad /s k = 2π λ = 2π 7.5m = 0.838rad /m E = E max cos(kx ωt) = (750N /C)cos(kx ωt) B = B max cos(kx ωt) = (2.5 10 6 T)cos(kx ωt) Ettore Focardi 4
Vettore di Poynting Le onde e.m. trasportano energia per cui, propagandosi nello spazio, possono trasferire energia agli oggetti che incontrano nel loro cammino. Il flusso di energia per unità di tempo di un onda e.m. è descritto dal vettore S, vettore di Poynting, definito come: S 1 µ 0 E B Il modulo del vettore di Poynting è uguale al flusso di energia che passa nell unità di tempo attraverso l unità di area di una superficie alla direzione di propagazione dell onda, Rappresenta quindi la potenza per unità di area. Verso e direzione del vettore coincidono con il verso e direzione di propagazione dell onda. [S]= J/(s m 2 )= W/m 2 Calcoliamo S per un onda e.m. piana per cui E B = EB In questo caso è: S = EB ma dato che B/E=c è: µ 0 S = E 2 µ 0 c = c B 2 µ 0 valore di S in ogni istante Ettore Focardi 5
Energia trasportata dalle onde elettromagnetiche Per un onda e.m. piana sinusoidale la quantità più interessante è il <S> nel tempo, calcolato su uno o più cicli, chiamato l intensità I dell onda: I =< S >= 1 T t +T t EB µ 0 dt = E max B t +T max cos 2 (kx ωt)dt = Tµ t 0 E max B max Tµ 0 T 2 = E maxb max 2µ 0 = E 2 max 2µ 0 c = c B 2 max 2µ 0 Ricordiamo che la densità di energia u E =1/2ε 0 E 2 e che u B =1/(2µ 0 )B 2. Per un onda e.m. piana dalle relazioni B=E/c e c=1/ (µ 0 ε 0 ) si ha: u B = (E c )2 2µ 0 = µ 0ε 0 2µ 0 E 2 = 1 2 ε 0E 2 = u E In un onda e.m. piana, la densità di energia associata al campo magnetico è uguale, istante per istante, alla densità di energia associata al campo elettrico. La densità istantanea totale di energia u=u E +u B : u=u E +u B =ε 0 E 2 =B 2 /µ 0 Se facciamo la media di questa quantità si ottiene sempre il fattore ½, quindi l energia totale media per unità di volume è: u med =ε 0 (E 2 ) med =1/2ε 0 Ε 2 max=b 2 max/2µ 0 da cui si ha: I = S med =c u med L intensità di un onda e.m.è uguale al prodotto della densità di energia media per la velocità della Ettore Focardi 6 luce.
Quantità di moto e pressione di radiazione Le onde e.m. trasportano anche quantità di moto. Se un onda incide su una superficie esercita una pressione. Supponiamo che l onda colpisca la superficie perpendicolarmente e che essa assorba tutta la energia incidente U in un certo tempo t. Maxwell dimostrò che la quantità di moto totale p trasportata su questa superficie ha modulo p = U/c La pressione sulla superficie è definita come P=F/A= (1/A)dp/dt=(1/A)(d/dt)(U/c)=(dU/dt)/cA, Ma (du/dt)/a è energia per s per unita di area, cioè il modulo del vettore di Poynting è: P=S/c Se la superficie è perfettamente riflettente(specchio) e l incidenza è normale, la p trasferita in t è doppia (p luce incidente + p luce riflessa) p=2u/c. La quantità di moto trasferita ad una superficie arbitraria varia tra U/c e 2U/c a seconda del potere riflettente della superficie. La pressione di radiazione su superficie perfettamente riflettente e è: Apparecchio per la misura della pressione di radiazione P=2S/c Nasa ha usato p trasferita da Sole ai pannelli solari di Mariner 10 per piccole correzioni di rotta vicino Mercurio. pannelli solari Mariner 10 Ettore Focardi 7
esempio Pressione prodotta da un puntatore laser. Se un puntatore laser di potenza P=3 mw produce un punto luminoso di 2 mm di diametro, trovare la pressione di radiazione nel caso in cui lo schermo riflette il 70% della luce incidente. Occorre trovare il vettore di Poynting del fascio dividendo la potenza media emessa dalle onde e.m. per l area della sezione trasversa: S = P A = P πr 2 = 3 10 3 W π( 1 2 2 10 3 m) = 955W /m 2 Questa è circa l intensità della luce del Sole sulla superficie terrestre. Per questo è pericoloso puntare il fascio laser verso gli occhi dei presenti; potrebbe essere più dannoso che guardare direttamente il sole. Calcoliamo ora la pressione. Supponiamo che la superficie assorba il fascio e quindi P=S/c. Se essa riflette solo una frazione f, la pressione dovuta al fascio riflesso è P=fS/c. Da qui la pressione totale: P = S c + f S c = (1+ f ) S c = (1+ 0.7) 955W /m2 3 10 8 m /s = 5.4 10 6 N /m 2 (valore piccolo, confronto con pressione atmosferica 10 5 N/m 2 ). Ettore Focardi 8
Onde elettromagnetiche da un antenna Ogni volta che la corrente che attraversa un filo conduttore, varia nel tempo, il filo emette una radiazione elettromagnetica. Il meccanismo di produzione di tale radiazione è l accelerazione di una particella carica. Una tensione alternata applicata ai fili di un antenna mette in oscillazione le cariche elettriche nell antenna. Questa è la tecnica usata per accelerare cariche ed è la sorgente delle onde radio emesse dall antenna di trasmissione di una stazione radio. Campo elettrico prodotto da cariche che oscillano sull antenna. Il campo si allontana dall antenna alla velocità della luce. Un campo magnetico oscillante al piano accompagna il campo elettrico oscillante. Ettore Focardi 9
Spettro onde elettromagnetiche I vari tipi di onde dello spettro elettromagnetico sono classificati in figura. La radiazione è prodotta da cariche accelerate. onde radio: 0.1-10 4 m comunicazione radio-tv Microonde: 0.3-10 -4 m sistemi radar, cucina Infrarosse: 10-3 -7 10-7 m onde prodotte dai corpi a T ambiente e facilmente assorbite dai materiali riscaldamento. Terapia fisica. Visibile: 7 10-7 (rosso)- 4 10-7 (violetto) m sensibilità massima occhio ~5.5 10-7 m palle da tennis di colore giallo-verde, perchè? Ultravioletto: 4 10-7 - 6 10-10 m. Sole sorgente UV scottatura pelle. Parte delle radiazione da Sole è assorbita nella stratosfera dall ozono (O 3 ). Tale schermo converte radiazione UV (pericolosa) in calore. Buco dell Ozono meno protezione Raggi X: 10-8 -10-12 m prodotti da accelerazione di e - frenati in lastra metallica. Diagnosi e terapia medica Raggi γ : 10-10 -10-14 m. Onde prodotte da nuclei radioattivi. Ettore Focardi 10